【文档说明】四川省宜宾市叙州区第一中学校2023-2024学年高三上学期10月月考数学（理）试题 含解析.docx，共(24)页，1.300 MB，由小赞的店铺上传

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叙州区一中高2021级高三10月考试数学（理工类）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集05Uxx=，集合

A满足13UAxx=ð，则（）A.1AB.2AC.3AD.4A【答案】D【解析】【分析】根据补集的定义求出集合A，再判断即可.【详解】因为05Uxx=，且13UAxx=ð

，所以|0135Axxx=或，所以1A，2A，3A，4A.故选：D2.已知复数2iz=−，则z=（）A.5B.3C.2D.2【答案】A【解析】【分析】根据题意得到2iz=+，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由复数2iz=−

，可得2iz=+，所以22215z=+=.故选：A.3.若函数()()221,0log3,0xxfxxx+=+，则()()2ff−=（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据函数()fx的解析式由内到外可计算得出()()2ff−的值.【详解】由题意可得()()222

15f−=−+=，则()()()225log83fff−===.故选：C.4.函数()5sincosexxfxxx=+在2,2−上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.【详解】首

先()()fxfx−=−，所以函数是奇函数，故排除D，()22f=，故排除B，当0,2x时，()0fx，故排除A，只有C满足条件.故选：C5.已知函数22()ln(e1)1xfxxx=+−+，()2fa=，则()fa−的值为（）A.1B.0C.1−D.2−【答案】B【解析

】【分析】构造函数()22()lne1xgxxx=+−，判断函数()gx为奇函数，即得解.【详解】解：构造函数()22()lne1xgxxx=+−，则()()2222()()lne1lne1xxgxgxxxxx−−+=−+−++−22222e1ln2lne20e1xx

xxxxx−+=−=−=+，故函数()gx为奇函数.又()()12faga=+=，∴()1ga=，∴()()()110fagaga−=−+=−+=.故选：B6.若1sincos5+=，0，则sin2cos2+=（）A.1725B.1725−C.31

25D.3125−【答案】D【解析】【分析】将1sincos5+=两边同时平方得到242sincos25=−，进而可以缩小角的范围，得到324，从而得到322，然后结合二倍角以及同角的平方关系即可求出结果.【详解

】将1sincos5+=两边同时平方，112sincos25+=，所以242sincos25=−，因此，sin,cos异号，故2，且sincos0+，则324，因此322

，而24sin22sincos25==−，2247cos212525=−−−=−，所以24731sin2cos2252525+=−+−=−，故选：D.7.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的

曲率定义如下：若()fx是()fx的导函数，()fx是()fx的导函数，则曲线()yfx=在点()(),xfx处的曲率()()()()3221fxKfx=+.函数()3lnfxx=的图象在()()1,

1f处的曲率为（）A.31000B.3100C.30100D.310100【答案】D【解析】【分析】求出()fx、()fx，代值计算可得出函数()3lnfxx=的图象在()()1,1f处的曲率.【详解】因为

()3lnfxx=，所以()3fxx=，()23fxx=−，所以()13f=，()13f=−，所以()()()()()3233222133103101001911fKf−====++.故选：D.8.若2co

s230,,21tan8=+，则cos6+=（）A32B.22C.12D.1【答案】C【解析】【分析】将cos2用221tan1tan−+替换后，解方程解出即可.【详解】因为2cos230,,21tan8=+，可得()2

222222sincos1tan31tan88sincos1tan−−+==++，可得()22231tan88tan+=−，解得21tan3=，因为0,2，所以3tan3=，所以6=，所以1cos

cos632+==.故选：C..9.已知函数()424xxfx=+，则（）A.()()0.10.2ffB.函数()fx有一个零点C.函数()fx是偶函数D.函数()fx的图象关于点11,22对称【答案】D【解析】【分析】根据题意，判断函数的单

调性，结合单调性性质判断A，由指数函数的性质可得()0fx，结合零点定义判断B，举反例判断C，证明()()11fxfx+−=，由此可得函数的对称性，判断D，综合可得答案．【详解】函数()424xxfx=+的定义域为R，

对于A，函数()4212424xxxfx==−++，函数4xy=在R上为增函数，易得()fx在R上为增函数，则有()()0.10.2ff，A错误；对于B，()424xxfx=+，有40x，则有()0fx，所以()fx没有零点，B错误；对于C，()42163f==，()114112

49f---==+，所以()()11ff−，()fx不是偶函数，C错误；对于D，因为()424xxfx=+，所以()1144212424442xxxxfx---===+?+所以()()11fxfx+−=，所以函数()fx的图象关于点11,22

对称，D正确；故选：D．10.如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，2BE=，N为AF的中点，23EMEF=，则三棱锥MBNC−外接球的表面积为（）A.25π3B.

13π3C.25π12D.103π3【答案】A【解析】【分析】根据题意得到BC⊥平面ABEF，进一步得出BCBM⊥，MNNC⊥，则MC为外接球直径，代入球的表面积公式即可求解．【详解】由23EMEF=可知，33FM=，1FNNA==，可求23

3MN=，2NB=，433MB=，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB=，又BCAB⊥，BC平面ABCD，所以BC⊥平面ABEF，BM平面ABEF，所以BCBM⊥，由433MB=，3BC=，得533MC=，又2NB=，同理可

得得7NC=，又233MN=，所以()222222325733MNNCMC+=+==，所以MNNC⊥.所以MC为外接球直径，在Rt△MBC中533MC=，即536R=，故外接球表面积为225π4π3SR==．故选：A．11.将()π2cos84fxx=

+的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π16个单位长度，得到()gx的图象，若π8gx+在ππ,126上单调递增，则正数的取值范围为（）A.30,2B.39,24C.30,4D.39,44【答案】B【解析】【分

析】利用三角函数图象的变换规律求得()gx的解析式，进而得π8gx+的解析式，再利用三角函数的单调性求得的范围．【详解】将()π2cos84fxx=+的图象横坐标伸长为原来的2倍，得到π2cos44yx=+的图象，再向右

平移π16个单位长度，得到()π2cos42cos4π641gxxx=−+=的图象．πππ2cos42cos42sin4882gxxxx+=+=+=−

，由π3π2π42π,Z22kxkk++，0，得ππ3ππ,Z8282kkxk++，∴π8gx+的增区间为ππ3ππ,,Z8282kkk++，若π8gx+在ππ,126上单调递增，则

Zπ,π,12ππ3ππ,82862kkk++，∴2π2π1π8k+且ππ326π8k+，∴()3412k+且()3434k+，又0，∴当0k=时，3924，故答案为：B．12.已

知0.4e1a=−，0.42ln1.2b=−，0.2c=，则,,abc大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.cba【答案】B【解析】【分析】分别构造()2e1xfxx=−−和()()2ln1

gxxx=−+，求导判断出在()0,1上的单调性，比较出函数值与端点值的大小关系，进而得出,,abc的大小关系．【详解】令()()2e1,0,1xfxxx=−−，则()22e10xfx=−恒成立，即()fx在()0,1上单调递增，且()00f=，故()()00

fxf=，取0.2x=，则()0.20f，即0.4e10.20−−，可得0.4e10.2−，即ac；令()()()2ln1,0,1gxxxx=−+，则()211011xgxxx−=−=+

+恒成立，即()gx在()0,1上单调递减，且()00g=，故()()00gxg=，取0.2x=，则()0.20g，即0.22ln1.20−，可得0.42ln1.20.2−，即bc；综上可得

：,,abc的大小关系为acb故选：B第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.912xx+展开式中的常数项为________.【答案】212##10.5【解析】的【分

析】写出912xx+展开式的通项公式，令x的指数为0，求得参数r，即可求得答案.【详解】由题意912xx+的通项公式为939219911C()()()C,0,1,2,,922rrrrrrrTxxrx−−+===，令930,32rr−==，故

912xx+展开式中的常数项为339121()C22=，故答案为：21214.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点()1,2A−在角的终边上，则sin2=______.【答案】45−##0.8−【解析】【分析】根据三角函数的定义

和二倍角公式可得答案.【详解】根据三角函数的定义可知()222222sin512yxy===+−+，()222211cos512xxy−−===+−+，由二倍角公式得4sin22sincos5==−.故答

案为：45−.15.()23cossincosfxxxx=−在,mm−上单调递减，则实数m的最大值是______．【答案】π12##1π12【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()fx，求出()fx含有数0的单调递减区间

，再借助集合的包含关系求解作答.【详解】依题意，313133π()(1cos2)sin2(sin2cos2)sin(2)2222223fxxxxxx=+−=−−=−−，由π2232x−−得51212x−，因此，函数()fx含有数0的单调递减区间

是π5π[,]1212−，因()fx在,mm−上单调递减，于是得π5π[,][,]1212mm−−，即5π012π012mm−−，解得π012m，所以实数m的最大值是π12.故答案为：π1216.若存在,()0x+，使得lne12xxxax−+，则a

的取值范围是__________.【答案】1,2−−【解析】【分析】首先注意到lnee,e1xxxtxt+=+，故考虑切线放缩lneeln1xxxxxx+=++，从而()2lne1ln1ln1xax

xxxxxx−++−++=−，所以12a−，考虑取等条件是否成立即可.【详解】不妨设()e1xfxx=−−，求导得()e1xfx=−，而()e1xfx=−在R上单调递增，且()0e11100f=−=−=，所以当0x时，()()e100xf

xf−==，此时()fx单调递减，当0x时，()()e100xfxf−==，此时()fx单调递增，所以()()000e1e1110xffxx=−−−=−−==，所以e1+tt等号成立当且仅当0=t，注意到lnlneeee

xxxxxx+==，所以考虑切线放缩有lneeln1xxxxxx+=++，从而()2lne1ln1ln1xaxxxxxxx−++−++=−，又,()0x+，所以12a−，由以上分析可知不等式()2lne1ln1ln1xaxxxxxxx−++−++=−取等，当且仅当12a=

−，ln0xx+=，接下来考虑12a=−是否成立：不妨设()ln,0gxxxx=+，则()110gxx=+，即()gx单调递增，注意到()1111ln10,11ln1101eeeegg=+=−=+=+=，所以由零点存在

定理可知01,1ex，使得()000ln0gxxx=+=.综上所述：若存在,()0x+，使得lne12xxxax−+，则只需000002lne1xaxxxx−+−，从而a的取值范围是1,2−−.故答案为：1,2−−.【点睛】关键

点点睛：解决问题的关键是考虑切线放缩()2lne1ln1ln1xaxxxxxxx−++−++=−，从而12a−，另一个关键的地方是证明12a=−是否成立，从而即可顺利求解.三、解答题：共70分.解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.将函数2sin3cos33cos6yxxx=+的图象向左平移π02个单位长度后得到函数()fx的图象．（1）若()fx为奇函

数，求的值；（2）若()fx在19ππ,18上单调递减，求的取值范围．【答案】（1）π9=或5π18或4π9；（2）π5π13π17π,,36363636.【解析】【分析】

（1）利用倍角公式、辅助角公式化简函数式再平移得()fx，结合奇偶性计算即可；（2）利用三角函数的单调性计算即可.【小问1详解】易知πsin63cos62sin63yxxx=+=+，向左平移个单位长度得()()ππ2sin62sin6

633fxxx=++=++，因为()fx为奇函数，所以π6π,Z3kk+=，故ππ618k=−，因为π02，所以π9=或5π18或4π9；【小问2详解】由（1）知()π2sin663fxx=++，19ππ

π2ππ,666π6,6π618333xx++++++，则由题意可知()ππ6π62ππ35ππ31π32Z2π3π3363366π62π32kkkkk+++−−+++，结合π02，取3,4k=时分别得π5π3636

，13π17π3636，即π5π13π17π,,36363636.18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且23ABACBABCCACB+=.（1）求bc；（2）

已知π4B=，2a=，求△ABC面积.【答案】（1）3（2）512−【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积的定义结合余弦定理即可求出结果；的（2）由正弦边角关系得6sin6C=，30cos6C=，

结合sinsin()ABC=+求值，应用正弦定理求c，进而求出三角形的面积.【小问1详解】由已知2cos3coscosABACABABCBCACBC+=，所以2cos3coscosbcAacBabC+=，结合余弦定理，()()22222222223bcaacbabc+−++−=+−

，化简得：223cb=，所以3bc=．【小问2详解】由正弦定理知sinsinbBcC=，即sinsin3BC=，又π4B=，所以6sin6C=，显然3bcc=，即BC，故30cos6C=，由23026153sinsin()sincoscossin26266ABC

BCBC+=+=+=+=，又sinsinacAC=，则sin66102sin32153aCcA−===+，所以ABC面积11102251sin222222ABCSacB−−===.19.设a为实数，函数()lnfxxx=，32

()3gxxxa=−+．（1）求()fx的极值；（2）对于11,eex，2[1,3]x，都有()()12fxgx=，试求实数a取值范围．【答案】（1）极小值为1e−，无极大值.（2）1e

,4e−【解析】【分析】（1）由导数得出函数()fx的单调性，进而得出极值；的的（2）由导数得出()fx，()gx的值域，由()fx的值域是()gx的值域的子集得出实数a的取值范围．【小问1详解】

()ln1fxx=+，当()0fx时，1ex；当()0fx时，10ex；即函数()fx在10e，上单调递减，在1,e+上单调递增；函数()fx的极小值为1111

()lneeeef==−，无极大值.【小问2详解】由（1）可知，函数()lnfxxx=在1,ee上单调递增，则1()eefx−.2()36gxxx=−，[1,3]x，当()0gx时，23x；当()0gx时，12

x；即函数()gx在()1,2上单调递减，在()2,3上单调递增；因为(1)2,(3)gaga=−=，所以min()(2)8124gxgaa==−+=−，max()gxa=.即4()agxa−.因为11,eex，2[1,3]x，都有()()12fxgx=，所以()fx

的值域是()gx的值域的子集.即14eeaa−−，解得1e4ea−.即实数a的取值范围为1e,4e−.20.如图，在三棱锥ABCD−中，BCD△是等边三角形，ADBADC=，M是BC边的中点.（1）求证：BCAD⊥；（2）3MA=

，23BC=，平面ABC与平面BCD所成二面角为2π3，求直线BD与平面ACD所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）277.【解析】【分析】（1）连接MD，根据题意证得,BBCMACMD⊥⊥，结合线面垂直的判定定理，证得BC⊥平面AMD，进而证得BCAD⊥；（

2）过M作MD的垂线，由BC⊥平面AMD，以M为原点建立空间直角坐标系，根据题意求得平面ACD的一个法向量()1,3,3n=和()3,3,0BD=，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，连接MD，因为BCD△是等边三角形，所以BDCD=在ABD

△和ACD中，因为ADBADC=，ADAD=，所以ABDACD△≌△，所以ABAC=，又因为M是BC边的中点，所以BCMA⊥，BCMD⊥.因为MAMDM=，MA平面AMD，MD平面AMD，所以BC⊥平面AMD，又因为AD平面AMD，所以BCAD⊥.【小问2详解

】解：在AMD中，过M作MD的垂线，交AD与点N，由（1）可得BC⊥平面AMD，以M为原点建立空间直角坐标系，如图所示，又由,233BMCA==，且平面ABC与平面BCD所成二面角为2π3，因为BCMA⊥，BCMD⊥，所以AMD∠为平面ABC与平面BC

D所成二面角的平面角，即2π3AMD=，所以π6AMz=，可得333,0,22A−，()0,3,0B−，()0,3,0C，()3,0,0D，()0,0,0M，设平面ACD的法向量为(),,

nxyz=，且333,3,22AC=−，()3,3,0CD=−则3333022330nACxyznCDxy=+−==−=，令1x=，则3y=，3z=，所以()1,3,3n=又因为()3,3

,0BD=，设直线BD与平面ACD所成角为，则21sincos,7BDnBDnBDn===，可得27cos7=，即直线BD与平面ACD所成角的余弦值为277.21.已知1()sin(1)1fxaxxxx=−+−+，且0为()fx的

一个极值点．（1）求实数a的值；（2）证明：①函数()fx在区间(1,)−+上存在唯一零点；②22111sin121nknk=−+，其中*Nn且2n．【答案】（1）2a=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()21cos1(1)fxaxx=−−+，由0为()fx的一个极

值点，可得()00f=，进而求解；（2）①当10−x时，由()0fx，可得()fx单调递减，由(1,0x−，可得()()01fxf=≥，此时函数()fx无零点；当π02x时，设()21cos1(1)gxaxx=−−+，结合其导数分析单调性，结合()00g，π02g

和零点存在性定理，可知存在0π0,2x，使得()0gx=，进而得到()fx单调性，结合()00f=得到()fx在()00,x上单调递增；结合()00fx，π02f，存

在10π,2xx，得到函数()fx的单调性，可得而()fx在π0,2上无零点；当π,π2x时，由()0fx，可得()fx在π,π2单减，再结合零点存在定理，可得函数()fx在π,π2上存在唯一零点；当πx

时，由()0fx，此时函数无零点，最后综合即可得证.②由（1）中()fx在π0,4单增，所以π0,4x，有()()01fxf=，可得11sin121xxx+−

+.令()212xkk=，利用放缩法可得2111sin1kkk−+，再结合sinxx，分别利用累加发可得22111sin21nkkn=−+，2211sin11nkkn=−，即可求证.【小问1详解】由1()sin(1)1fxaxxxx

=−+−+，则()21cos1(1)fxaxx=−−+，因为0为()fx的一个极值点，所以()020fa=−=，所以2a=．当2a=时，()212cos1(1)fxxx=−−+，当10x−时，因为函数()fx在()1,0−上

单调递减，所以()2110fx−−=，即()fx在()1,0−上单调递减；当π02x时，()212cos1(1)gxxx=−−+，则()322sin(1)gxxx=−++，因为函数()gx在π0,2上单调递减，且()020

g=，3π2202π12g=−++，由零点存在定理，存在0π0,2x，使得()0gx=，且当()00,xx时，()0gx，即()fx单调递增，又因为()00

f=，所以()00,xx，()0fx¢>，()fx在()00,x上单调递增；.综上所述，()fx在()1,0−上单调递减，在()00,x上单调递增，所以0为()fx的一个极值点，故2a=.【小问2详解】①当10−x时，()2110fx−−=

，所以()fx单调递减，所以对(1,0x−，有()()01fxf=≥，此时函数()fx无零点；当π02x时，设()212cos1(1)gxxx=−−+，则()322sin(1)gxxx=−++，因为函数()gx在π0,2上单

调递减，且()020g=，3π2202π12g=−++，由零点存在定理，存在0π0,2x，使得()0gx=，且当()00,xx时，()0gx，即()fx单调递增，当0π,2xx时，()0gx，即

()fx单调递减．又因为()00f=，所以()00,xx，()0fx¢>，()fx在()00,x上单调递增；因为()00fx，2π1102π12f=−−+，所以存在10π,2xx，当()01,xxx时，()0fx¢>，

()fx单调递增，当1π,2xx时，()0fx，()fx单调递减．所以，当()10,xx时，()fx单调递增，()()01fxf=；当1π,2xx时，()fx单调递减，()ππ120π2212fxf=−+

+，此时()fx在π0,2上无零点；当π,π2x时，()212cos10(1)fxxx=−+−，所以()fx在π,π2单减，又π02f，()1π0π0π1f=−++，由零点存在定理，函

数()fx在π,π2上存在唯一零点；当πx时，()12sin2π101fxxxx=−+−++，此时函数无零点；综上所述，()fx在区间()1,−+上存在唯一零点．②因为2π12104π14f=−−+，由（1

）中()fx在π0,2上的单调性分析，知1π4x，所以()fx在π0,4单增，所以对π0,4x，有()()01fxf=，即12sin11xxx−++，所以11sin121xxx+−+．令

()212xkk=，则2222211111111sin2111kkkkkkkk+=−++++，所以22111111111sin2334121nkknnn=−+−++−=−++，设()sinhxx

x=−，10,4x，则()cos10hxx=−，所以函数()sinhxxx=−在10,4x上单调递减，则()()sin00hxxxh=−=，即sinxx，10,4x，所以2211111sin(1)1kkkkkk

=−−−，所以221111111sin1112231nkknnn=−+−++−=−−，所以22111sin121nknk=−+.【点睛】关键点睛：本题第（2）②，关键在于先证明11sin121xxx+−+，令()212xkk=，利

用放缩法可得2111sin1kkk−+，再结合累加法即可得证.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy

中，设曲线1C的参数方程为132312xtyt=+=−+（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C的极坐标方程为()cos0aa=．（1）求曲线1C的普通方程；（2）若曲线2C上恰有三

个点到曲线1C的距离为12，求实数a的值．【答案】（1）340xy−−=（2）()1023a=−【解析】【分析】（1）曲线1C的参数方程消去参数即可求出曲线1C的普通方程；（2）首先曲线2C的极坐标方程转化为普通方程，可以得到曲线2C是圆，要使曲线2

C上恰有三个点到曲线1C的距离为12，圆心到直线的距离12dr=−，求解方程即可.【小问1详解】由已知得()23tx=−代入312yt=−+，消去参数t得曲线1C的普通方程为340xy−−=．【小问2

详解】由曲线2C的极坐标方程cosa=得2cosa=，又222xy=+，cosx=，siny=，所以22xyax+=，即22222aaxy−+=，所以曲线2C是圆心为

,02a，半径等于2a的圆．因为曲线2C上恰有三个点到曲线1C的距离为12，所以圆心,02a到直线340xy−−=的距离122ad=−，即()()2234122231aa−−=+−，解得()1023a=−．[选修4-5：不等式选讲]23.设函数()22

fxxx=+−−.（1）解不等式()2fx；（2）当x∈R，0<y<1时，证明：11221xxyy+−−+−.【答案】（1）{|1}xx；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）去绝对值将函数转化为()4,22,224,2xfxxxx=−−−，然后分2x，

22x−两种情况讨论求解.（2）通过（1）得到224xx+−−，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求得111yy+−的最小值即可.【详解】（1）由已知可得：()4,22,224,2xfxxxx=−−−

，当2x时，42＞成立；当22x−时，22x，即1x，则12x＜.∴()2fx的解集为{|1}xx.（2）由（1）知，224xx+−−，∵01y＜＜，则()1111111yyyyyy+=++−−−，122241y

yyy−=+++=−当且仅当1=1yyyy−−，即12y=时取等号，则有11221xxyy+−−+−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com