【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第5章 第7讲　余弦定理、正弦定理应用举例 含解析【高考】.doc，共(23)页，979.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第7讲余弦定理、正弦定理应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线01上方的角叫仰角，在水平线02下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角．如B点方位角为α(如图②)

．3．方向角相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向、东北方向等．(1)北偏东α，即由03

指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；(2)北偏西α，即由04指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：05坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)．2(2)坡度：06坡面的

铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是0，π2.1．两座灯塔A和B与海岸观察站

C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°答案B解析由题可知∠ABC＝50°，A，B，

C位置如图．故选B.2．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10mB．53mC．5(3－1)mD．5(3＋1)m答案D解析在直角三角形中，根据三角函数的定义得ABtan30°－A

Btan45°＝10，解得3AB＝5(3＋1)(m)．故选D.3．(2021·安徽安庆期末质量监测)某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方

向上，则门店A，B间的距离为()A．akmB．2akmC.3akmD．2akm答案C解析如图所示，依题意知CA＝CB＝akm，∠ACB＝50°＋70°＝120°，∠A＝∠B＝30°，由正弦定理，得ABsin120°＝asin30°，则AB＝asin120°

sin30°＝3a(km)，即门店A，B间的距离为3akm.故选C.4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的

仰角为30°，则水柱的高度是________m.答案50解析设水柱的高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝hm，AB＝100m，BC＝3hm，根据余弦定理得(3h)2＝h2＋1002－

2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.5．一艘轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东

10°的方向行驶10海里至海岛C，若此船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.答案北偏东40°103解析如图，因为B在A点北偏东70°，C在B北偏东10°，故∠ABC＝180

°4－70°＋10°＝120°，又AB＝BC，故∠CAB＝∠ACB＝30°，故C在A北偏东70°－30°＝40°方向．在△ABC中，根据余弦定理可得AC＝102＋102－2×10×10cos120°＝103.故此轮船沿着北偏东40°方向行驶103海里至海岛C.考向

一测量距离问题例1(2022·湖北宜昌月考)几千年的沧桑沉淀，凝练了黄山清幽秀丽的自然风光和文化底蕴厚重的旅游环境．自明清以来，文人雅士，群贤毕至，旅人游子，纷至沓来，使黄山成为名噪江南的旅游热点．如图，游客从黄山风景区的景

点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘景区观光车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘观光车到B，在B处停

留20分钟后，再从B匀速步行到C.假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟，山路AC长为2340米，经测量cosA＝2425，cosC＝35.(1)求观光车路线AB的长；(2)乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？解(1)在△ABC中，因为cosA＝2425，cos

C＝35，所以sinA＝725，sinC＝45，从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC5＋cosAsinC＝117125，由正弦定理ABsinC＝ACsinB，得AB＝ACsinB×sinC＝234011712

5×45＝2000m，所以观光车路线AB的长为2000m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处250tm，由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(250t)2－2×(100＋50t)×250t×2425＝1000(41t2－38t

＋10)＝100041t－19412＋4941，因为t∈0，2000250，即t∈[0,8]，故当t＝1941时，甲、乙游客的距离最短．距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合

题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．1．(2021·上海高三模拟)如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．

已知山高AB＝1km，CD＝3km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A，C之间的距离为()A．22kmB．10kmC.13kmD．33km答案C解析由题意知，AB＝1km，CD＝3km，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠BED6＝

120°.所以BE＝ABtan30°＝133＝3(km)，DE＝CDtan60°＝33＝3(km)．在△BED中，由余弦定理得，BD2＝BE2＋DE2－2×BE×DEcos∠BED＝3＋3－2×3×3×－12＝9，所以AC＝BD2＋

(CD－AB)2＝9＋(3－1)2＝13(km)，即两山顶A，C之间的距离为13km.故选C.2.(2021·福建宁德第二次质量检查)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的

口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________米．答案805解析∵在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝

150°，∴∠DAC＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin150°sin15°＝406－24＝40(6＋2)(米)，在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠CBD＝30°，由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，∴BC＝CDsi

n∠BDCsin∠CBD＝80sin15°12＝160sin15°＝40(6－2)(米)，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝1600(8＋43)＋1600()8－43＋72×1600(6＋2)×(6－2)×12＝1600×16＋1600×4＝16

00×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考向二测量高度问题例2(2021·临汾模拟)说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安

革命纪念馆组成．尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位．如图，宝塔山的坡度比为7∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在山坡A处测得∠CAD＝15°，从A

处沿山坡往上前进66m到达B处，在山坡B处测得∠CBD＝30°，则宝塔CD的高为()A．42mB．44mC．46mD．48m答案B解析由题可知∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，则∠ACB＝15°，∴BC＝AB

＝66，设坡角为θ，则由题可得tanθ＝73，则可求得cosθ＝34，在△BCD中，∠BDC＝θ＋90°，由正弦定理可得CDsin30°＝BCsin(θ＋90°)，即CD12＝66cosθ＝6634，解得CD＝44，故宝塔CD的高为44m．故选B.处理高度问

题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错

．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．83.(2021·北京市朝阳区二模)圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便

会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长

)为a，则表高(即AC的长)为()A.asin53°2sin47°B．2sin47°asin53°C.atan26.5°tan73.5°tan47°D．asin26.5°sin73.5°sin47°答案D解析由题可知，

∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°，在△BAD中，由正弦定理可知，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin47°＝ADsin26.5°，则AD＝asin26.5°sin47°，又在△A

CD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin73.5°，所以AC＝asin26.5°sin73.5°sin47°，故选D.考向三测量角度问题例3如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C

处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．9解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝103t(海里)，BD

＝10t(海里)．在△ABC中，∵AB＝(3－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝(3－1)2＋22－2×2×(3－1)cos120°＝6(海里)．根据正弦定理，可

得sin∠ABC＝ACsin∠BACBC＝2×326＝22.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝BDsin∠

CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6(海里)，则有10t＝6，t＝610≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船，大约需要14.7分钟．解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或

方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．4．(2021·商丘模拟)如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(

∠BAC＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P的仰角为60°，已知山10高为23千米．(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少

度的方向？解(1)在△BCP中，由tan∠PBC＝PCBC，得BC＝PCtan∠PBC＝2，在△ABC中，由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ABsin∠BCA，即2sin15°＝ABsin45°，所以AB＝2(3＋1)，故船的航行速度是每小时6(3＋1)千米．(2)在

△BCD中，BD＝3＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，则由余弦定理，得CD＝6，在△BCD中，由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠CDB，即6sin60°＝2sin∠CDB，所以sin∠CDB＝22，所以山顶位于D处南

偏东45°的方向．11一、单项选择题1．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10kmB．103kmC．105kmD．107km答案D解析如图所示，由余弦定理可得AC2＝100＋400－2×10

×20×cos120°＝700，∴AC＝107(km)．2．(2021·马鞍山模拟)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为()A.1722海里/小时B．3

46海里/小时C.1762海里/小时D．342海里/小时答案C解析如图所示，在△PMN中，PM＝68海里，∠PNM＝45°，∠MPN＝120°，由正弦定理可得68sin45°＝MNsin120°，所以MN＝346海里，所以该船航行的速度为1762海里/小时．3.如

图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即12今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米

，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646)()A．39米B．43米C．49米D．53米答案D解析在

△ACB中，AB＝60米，BC＝60米，∠ABC＝60°，所以AC＝60米，在△CDA中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos60°＝602＋402－2×60×40×12＝2800，所以AD＝

207≈53(米)．故选D.4．(2021·合肥模拟)“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，

已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组就可以求出C，D间距离的有()①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1

DC和∠DCP1.A．0组B．1组C．2组D．3组答案D解析在△P1P2D中，已知P1P2＝a，∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，可得∠P1DP2，13由正弦定理可得P1D，P2D.①中，给出∠DP1C和∠DCP1，由CDsin∠DP1C＝DP1sin∠DCP1，可得CD＝

DP1·sin∠DP1Csin∠DCP1，故由①可求得CD；②中，给出∠P1P2C和∠P1CP2，由P1P2sin∠P1CP2＝P1Csin∠P1P2C，得P1C＝P1P2·sin∠P1P2Csin∠P

1CP2，由∠P1P2C和∠P1CP2，可得∠P2P1C，减去β可得∠DP1C，在△DP1C中，由余弦定理可得CD，故由②可求得CD；③中条件∠P1DC，利用三角形内角和定理，可化为与①等价问题，也可求得CD.所以可求出C，D间距离的有3

组．故选D.5.(2022·山东济南期末)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，又测得泉标顶

部仰角为80°.则李明同学求出泉标的高度约为(sin20°≈0.3420，sin80°≈0.9848，结果精确到1m)()A．38mB．50mC．66mD．72m答案A解析如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，故∠AD

B＝20°.在△ABD中，根据正弦定理，得BDsin∠BAD＝ABsin∠ADB，∴BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝15.2·sin60°sin20°≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°≈38.5·sin80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高度约为3

8m.146.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()A．8km/hB．62km/hC．23

4km/hD．10km/h答案B解析设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝0.61＝35，从而cosθ＝45，所以由余弦定理得110v2＝110×22＋

12－2×110×2×1×45，解得v＝62(km/h)．7．某人在C点测得塔底O在南偏西80°，塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到达D处，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15米B．5米

C．10米D．12米答案C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，15CD＝10，OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD·cos∠OCD，即(3h)2＝h

2＋102－2h×10×cos120°，所以h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．故选C.8.某观察站B在A城的南偏西20°方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处30km的C处有一人正沿此公路骑车以40km/h的速度向A城

驶去，行驶了15min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为810km，则此人到达A城还需要()A．40minB．42minC．48minD．60min答案C解析由题意可知，CD＝40×1560＝10(km)．cos∠BDC＝102＋(810)2－3022×10×810

＝－1010，∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC)＝1010，∴sin∠ADB＝1－cos2∠ADB＝31010，∴sin∠ABD＝sin[π－(∠ADB＋∠BAD)]＝255.在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD＝BDsin∠BAD，∴AD255＝81022，∴AD＝32(km

)，∴所需时间t＝3240＝0.8(h)，16∴此人还需要0.8h即48min才能到达A城．二、多项选择题9．(2022·重庆质检)某人向正东走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走3km，结果离出发点恰好3km，那么x的值是()A.3B．23C．3D．6答案A

B解析如图，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°.由余弦定理得3＝x2＋9－2×x×3×cos30°.解得x＝23或x＝3，故选AB.10.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了以下四种测

量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)．其中一定能确定A，B间距离的所有方案为()A．测量∠A，∠C，bB．测量a，b，∠CC．测量∠A，∠B，aD．测量a，b，∠B答案ABC解析对于A，在△ABC中，∠B＝π－(∠

A＋∠C)，所以sinB＝sin(A＋C)．由正弦定理得bsin(A＋C)＝csinC，所以c＝bsinCsin(A＋C)；对于B，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以c＝a2＋b2－2abcosC；对于C，在△ABC中，∠C＝π－(∠A＋∠B)，所以sinC＝s

in(A＋B)，由正弦定理得asinA＝csin(A＋B)，所以c＝asin(A＋B)sinA；对于D，由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac，解得的c可能有两个值．故17一定能确定A，B间距离的所有方

案为A，B，C.11.(2021·江苏徐州二模)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，

则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是()A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC答案ACD解析对于A，已知s，∠ACB，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，利用三角形内角和为

180°可求得∠CBD＝180°－∠BDC－∠BCD，利用正弦定理CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，可求得BC，在△ABC中，AB⊥BC，由tan∠ACB＝ABBC，即可求得AB；对于B，在△BCD中，已知一边CD，一角∠BCD，无法求解三角形，在△ABC中，已知两角

∠ABC＝90°，∠ACB，无法求解三角形，在△ACD中，已知一边CD，一角∠ACD，无法求解三角形；对于C，在△ACD中，已知一边CD，两角∠ACD，∠ADC，由三角形内角和可求得∠CAD，由正弦定理可求得AC，在△ABC中，

已知两角∠ACB，∠ABC＝90°，一边AC，利用sin∠ACB＝ABAC，可求得AB；对于D，在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，由tan∠ACB＝ABBC，可用AB表示BC，由sin∠ACB＝ABAC，可用AB表示AC，在△ACD中，已18

知∠ADC，边CD，AB表示AC，利用余弦定理可用AB表示AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可用AB表示BD，在△BCD中，已知∠BCD，CD，AB表示BD，AB表示BC，利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求解AB.故选ACD

.12．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为126海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为123海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向．下面结论正确的有()A．AD＝24B．CD＝12C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D．∠CDA＝

60°答案ABD解析如图，在△ABD中，∠B＝45°，由ADsin45°＝ABsin60°＝12632＝242，AD＝24，A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×ADcos30°＝(123)2＋242－2×123×24×32＝144，∴CD＝12，B正确

；由正弦定理得CDsin30°＝ACsin∠CDA，sin∠CDA＝32，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，因为AD>AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，D正确，C错误．三、填空题13.如图，某工程中要将一长为100m，倾

斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.19答案1002解析设坡底需加长xm，由正弦定理得100sin30°＝xsin45°，解得x＝1002(m)．14．甲船在A处观察到乙船在它北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲

船的速度是乙船的3倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ＝________.答案30°解析如图所示，∠CAB＝60°－θ，∠B＝120°，设甲船追上乙船时乙船行驶的距离为x，则BC＝x，AC＝3x.在△ABC中，根据正弦定理BCsin∠CAB＝ACsinB，即xsi

n(60°－θ)＝3xsin120°，得sin(60°－θ)＝12，又60°－θ为锐角，所以60°－θ＝30°，得θ＝30°.15.(2021·长郡中学高三月考)《易经》中记载着一种几何图形——八卦图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积

相等的曲边梯形代表八卦田．某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积．如图，现测得正八边形的边长为8m，代表阴阳太极图的圆的半径为2m，则每块八卦田的面积为________m2.答案162＋16－π2解析由图可知，正八边形分割成8个

全等的等腰三角形，顶角为360°8＝45°，20设等腰三角形的腰长为a，由正弦定理可得asin135°2＝8sin45°，解得a＝82sin135°2，所以三角形的面积S＝1282sin135

°22sin45°＝322·1－cos135°2＝16(2＋1)(m2)，则每块八卦田面积为16(2＋1)－18×π×22＝162＋16－π2(m2)．16.(2021·聊城模拟)如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形

AOB.O为南门位置，C为东门位置，小区里有一条平行于AO的小路CD，若OD＝20063米，则圆弧AC︵的长为________米．答案50π解析连接OC，因为CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝180°－∠DOA＝180°－120°

＝60°，在△OCD中，由正弦定理可得ODsin∠DCO＝OCsin∠CDO，所以20063sin∠DCO＝20032，解得sin∠DCO＝20063×32200＝22，因为∠DCO＝∠COA，且0°<∠COA<120°，所以∠DCO＝∠COA＝45°，故圆弧AC

︵的长为45°360°×2π×200＝50π(米)．四、解答题17.(2022·山西晋城监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．21(1)原计划

CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2(结果精确到1)．(参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)解(1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，∴CD⊥AB.又α＝45°，∴CD＝AC＝

4.(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，由ADsinβ＝ABsin∠ADB得AD＝ABsinβsin∠ADB＝10sin30°sin97°＝5sin97°≈5.在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·A

Ccosα≈52＋42－2×5×4×cos53°≈17.18．(2021·十堰模拟)为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与D(A，B，C，D四点共面)，测得AC＝1.6m，CD＝2m，BD＝1.8m，已知

cos∠BDC＝－74，tan∠ACD＝37.(1)求△ACD的面积；(2)求A，B两点间的距离．解(1)因为tan∠ACD＝37，所以sin∠ACD＝378.所以S△ACD＝12AC·CDsin∠ACD＝375(m2)．22(2)因为tan∠ACD＝37，所以cos∠ACD＝18，

所以AD2＝1.62＋22－2×1.6×2×18＝5.76，则AD＝2.4m.因为cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22AD·CD＝34，所以sin∠ADC＝74，又cos∠BDC＝－74，所以∠ADB＝π2，所以AB＝AD2＋BD2＝2.42＋1.82＝3(m)．19．在一次

海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需要的时

间和角α的正弦值．解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14xnmile，BC＝10xnmile，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28nmile，BC＝20nmile.根据

正弦定理，得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.20．(2021·江西南昌模拟)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单23位研究出

一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为

30°.(已知声音的传播速度为340米/秒)(1)求A，C两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.解(1)设BC＝x米，由条件可知AC＝x＋217×340＝x＋40(米)，在△ABC中，BC2＝AB

2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，即x2＝1002＋(x＋40)2－2×100×(x＋40)×12，解得x＝380，所以AC＝380＋40＝420(米)，故A，C两地的距离为420米．(2)在Rt△ACH中，AC＝420米，∠HAC＝30°，HC＝AC·tan∠

HAC＝420×33＝1403(米)，故这种仪器的垂直弹射高度为1403米．