【文档说明】安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理科）试卷 【精准解析】.docx，共(16)页，1.081 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年安徽省合肥六中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共l2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知大前提：所有的奇函数在0x=处的函数值为0；小前提：

1()fxx=是奇函数；结论：(0)0f=．则该三段论式的推理()A．是正确的B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误2．（5分）用反证法证明“若0abc=，则a，b，c中至少有一个为0”的第一步假设应为()A．a，b，c全为

0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c不全为0D．a，b，c全不为03．（5分）已知函数2()(0)fxaxa=从1x=到2x=的平均变化率为6−，则实数a的值等于()A．2B．1C．1−D．2−4．（5分）在复平面内，复数z所对应的点在射线2(0)yxx=−

…上，且||5z=，则(z=)A．12i−B．12i−+C．2i−D．2i−+5．（5分）观察下列图形的规律，则第*()nnN个图中正三角形的个数为()A．21n−B．32n−C．43n−D．54n−6．（5分）已知函数()f

xlnxax=+的图象在1x=处的切线倾斜角为135，则实数(a=)A．2−B．1−C．0D．17．（5分）若4234nnnACA−=，则正整数(n=)A．4B．5C．6D．78．（5分）把10名同学的学号分别写在10张卡片上，再把卡片分发给这10名

同学，每人1张，则恰有3名同学卡片上的数字与自己学号不一致的分发方法数为()A．120B．240C．360D．4809．（5分）要安排6名消防员去4个小区进行消防安全教育，每人去1个小区，每个小区至少

安排1人，则不同的安排方法数为()A．480B．1080C．1560D．252010．（5分）已知12201()afaaxdxadx−=−−，0a，则f（a）的最小值为()A．4−B．1−C．4D．111．（5分）已知函数2()xfxxe=，则

()fx的导函数()fx的图象可能是()A．B．C．D．12．（5分）已知函数()fx的导函数为()fx，若存在0x使得00()()fxfx=，则称0x是()fx的一个“巧值点”．函数2()fxlnxx=+的巧值点的个数为()A．0B．1C．2D．3二、填空题：本题共4小题

，每小题5分，共20分.13．（5分）若复数22aizi−=+是纯虚数，则实数a=．14．（5分）将A，B，C，D四盆不同的花从左到右摆放成一排，但A，C不能相邻，B，C相邻，则共有种不同的摆放方法．15．（5分）函数3()x

xfxe=的极值点为x=．16．（5分）观察下列各式：3211=，332123+=，33321236++=，33332123410+++=，归纳得第n个等式为33332*123(,)nmmnN++++=．若不等式21

60nm−−恒成立，则实数的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数1z满足1(1)15izi+=−+，23zai=−+，aR．（Ⅰ）求1z的共轭复数1z；（Ⅱ）若121||||zzz−，求a的取值范围．18

．（12分）请你根据向量数量积的定义和性质，推导出平面向量数量积的坐标表示，即：已知1(ax=，1)y，2(bx=，2)y，证明：1212abxxyy=+．19．（12分）某晚会上有4个歌舞类节目和3个语言类节目，分别求满足以下各条件

的不同表演顺序种数．（Ⅰ）前两个节目中既有歌舞类节目也有语言类节目；（Ⅱ）3个语言类节目都不相邻；（Ⅲ）3个语言类节目相邻，且指定的某个歌舞类节目不排在最后．20．（12分）已知函数32()23fxaxbxx=+++．（Ⅰ）若()fx在点(1，f（1）)处的切线方程为910xy−−=，求实

数a，b的值；（Ⅱ）若16a，()fx在[1−，0)内存在极小值，且(2)0(()ffx−=为()fx的导函数），求实数b的取值范围．21．（12分）已知函数()xfxaebx=+的图象经过点(0,2)−和(2

,24)lnln−．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知函数()gx与()fx的图象关于直线1x=对称，求()gx的解析式，并求()gx在[1，4]上的最值．22．（12分）已知函数()(1)fxxalnx=−+的最小值为0．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）设函数(

)()gxxfx=，证明：()gx有两个极值点1x，2x，且121()()4gxgx+．2020-2021学年安徽省合肥六中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共l2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.1．（5分）已知大前提：所有的奇函数在0x=处的函数值为0；小前提：1()fxx=是奇函数；结论：(0)0f=．则该三段论式的推理()A．是正确的B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误【考点】演绎推理【分析】当xR时，函数()fx是奇函数，则(0)0f=

，故大前提是错误的．【解答】解：当xR时，函数()fx是奇函数，则(0)0f=，故推理的大前提：“函数()fx是奇函数，则(0)0f=”是错误的，导致结论错．故选：B．【点评】本题考查演绎推理，演绎推理的基本方法，考查

三段论，属于基础题．2．（5分）用反证法证明“若0abc=，则a，b，c中至少有一个为0”的第一步假设应为()A．a，b，c全为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c不全为0D．a，b，c全不为0【考点

】反证法【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答【解答】解：用反证法证明命题“若0abc=，则a，b，c中至少有一个为0”时，假设正确的是：假设a，b，c全不为0．故选：D．【点评】本题考查反证法，解此题关键

要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3．（5分）已知函数2()(0)fxaxa=从1x=到2x=的平均变化率为6−，则实数a的值等于()A．2B

．1C．1−D．2−【考点】变化的快慢与变化率【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2）、f（1）的值，由平均变化率公式可得(2)(1)3621yffax−===−−，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数2()(0)fxaxa=，则f（2）4a=，f（1）a

=，若函数()fx从1x=到2x=的平均变化率为6−，即(2)(1)3621yffax−===−−，解可得：2a=−；故选：D．【点评】本题考查变化率的计算，注意变化率的计算公式，属于基础题．4．（5分）在复平面内，复数z所对应的点在射线2(0)yxx=−…上，且||5z=，则(z=)A．

12i−B．12i−+C．2i−D．2i−+【考点】复数的模【分析】设zabi=+，(,)abR，复数z所对应的点在射线2(0)yxx=−…上，且||5z=，可得：2ba=−，(0)a，225ab+=，解得a，b．【解答】解：设

zabi=+，(,)abR，复数z所对应的点在射线2(0)yxx=−…上，且||5z=，2ba=−，(0)a，225ab+=，解得1a=，2b=−．则12zi=−，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、模的计算公式，考查了推理能

力与计算能力，属于基础题．5．（5分）观察下列图形的规律，则第*()nnN个图中正三角形的个数为()A．21n−B．32n−C．43n−D．54n−【考点】归纳推理【分析】先观察给出的三角形图案，将各图的三角形的个数列出来，探讨规律，将其转化为特殊的数列，再用通项公式求解．【解答】解：由

观察知，第一个图中正三角形的个数为1，第二个图中正三角形的个数为5，第三个图中正三角形的个数为9，第n个图中正三角形的个数构成首项为1，公差为4的等差数列，第n个图中正三角形的个数为1(1)443nn+−=−．故选：C．【点

评】本题主要考查归纳推理，归纳其规律，体现了特殊到一般的思想方法，属于基础题．6．（5分）已知函数()fxlnxax=+的图象在1x=处的切线倾斜角为135，则实数(a=)A．2−B．1−C．0D．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】依

题意，可求得()fxlnxax=+的图象在1x=处的切线的斜率为1−，从而可得答案．【解答】解：函数()fxlnxax=+的图象在1x=处的切线的斜率11()|11xkaax==+=+=−，故选：A．【点评】本题考查利用导数研究函数曲线上某点的斜率，

考查运算能力，属于基础题．7．（5分）若4234nnnACA−=，则正整数(n=)A．4B．5C．6D．7【考点】排列及排列数公式【分析】根据排列数、组合数的公式，列方程求解即可．【解答】解：因为4234nnnACA−=，所以(1)(1)(2)(3)4322nnnn

nn−−−−=，整理得2560nn−−=，解得6n=或1n=−，所以正整数6n=．故选：C．【点评】本题考查了排列数、组合数公式的应用问题，是基础题．8．（5分）把10名同学的学号分别写在10张卡片上，再把卡片分发给

这10名同学，每人1张，则恰有3名同学卡片上的数字与自己学号不一致的分发方法数为()A．120B．240C．360D．480【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】分两步，第一步，先选出3名同学卡片上的数字与自己学号不一致的方法，第二步求出名同学卡片上的数字与自己学号不一致的

方法，根据分步计数原理可得．【解答】解：恰有3名同学卡片上的数字与自己学号不一致，则其它7人与自己的学号一致，先选出3人，有310120C=种，3名同学卡片上的数字与自己学号不一致的方法2种，根据分步计数原理可得，共有1

202240=种．故选：B．【点评】本题考查了分步计数原理，考查了运算求解能力，属于基础题．9．（5分）要安排6名消防员去4个小区进行消防安全教育，每人去1个小区，每个小区至少安排1人，则不同的安排方法数为()A．480B．1080C．1560D．2520【考点】排列

、组合及简单计数问题【分析】6名消防员可以分为(3，1，1，1)，(2，2，1，1)两种情况，再分配到4个小区，即可求出．【解答】解：6名消防员可以分为(3，1，1，1)，(2，2，1，1)两种情况，再分配到4个小区，共有31122146326424322

322()1560CCCCCCAAAA+=，故选：C．【点评】本题考查了分组分配问题，考查了排列组合的应用，属于基础题．10．（5分）已知12201()afaaxdxadx−=−−，0a，则f（a）的最小值为()A．4−B

．1−C．4D．1【考点】定积分、微积分基本定理【分析】根据定积分的几何意义，求出22204aaaxdx−=，找出被积函数a的原函数，求出112adxa−=，再利用二次函数求最值即可．【解答】解：220(0)a

axdxa−表示以原点为圆心，以a为半径的圆的面积的14，22220144aaaxdxa−==，111|21adxaxa−==−，f（a）22442()(0)44aaaa=−=−−，f（a）的

最小值为4−．故选：A．【点评】本题考查了定积分的基本运算和几何意义，以及二次函数求最值问题，属于基础题．11．（5分）已知函数2()xfxxe=，则()fx的导函数()fx的图象可能是()A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象的变换【分析】求导得

到()fx，利用()fx的零点及x→−时，()0fx→可得出答案．【解答】解：22()2(2)(2)xxxxfxxexeexxexx=+=+=+，显然()0fx=有两个解，0x=或2x=−，故排除选项AD，当x→−时，()0fx→，故排除选项B．故选：C．【点评】

本题考查导数运算，考查函数图象的识别，考查数形结合思想，属于基础题．12．（5分）已知函数()fx的导函数为()fx，若存在0x使得00()()fxfx=，则称0x是()fx的一个“巧值点”．函数2()fxlnxx=+的巧值点的个数为()A．0B．1C．2D．3【考点】函数与方程的综合运用【

分析】根据题意，求出()fx的导数，可得()()fxfx=，即212lnxxxx+=+，设21()2Fxlnxxxx=+−−，(0)x，求出()Fx的导数，分析()Fx的单调性，由函数零点判定定理分析()Fx的零点，即可得()Fx的零点个数，分析可得答案

．【解答】解：根据题意，2()fxlnxx=+，则其导数1()2fxxx=+，若()()fxfx=，即212lnxxxx+=+，设21()2Fxlnxxxx=+−−，(0)x函数()Fx的零点就是方程()()fxfx=的根，也就是函数2(

)fxlnxx=+的巧值点，211()22Fxxxx=++−，当0x时，1222xx+…，当且仅当22x=时等号成立，必有()0Fx在(0,)+上恒成立，故()Fx在(0,)+上是增函数，又由F（1）20=−，F（2）1202ln=−，则有F（1）F（2）0，

()Fx在区间(1,2)上存在零点，又由()Fx在(0,)+上是增函数，则()Fx存在唯一的零点，故函数2()fxlnxx=+的巧值点的个数为1；故选：B．【点评】本题考查函数零点的判断，涉及函数导数的计算，属于基础题．二、填空题：本题共4小题

，每小题5分，共20分.13．（5分）若复数22aizi−=+是纯虚数，则实数a=1．【考点】复数的运算【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数2(2)(2)22(4)2242(

2)(2)555aiaiiaaiaaziiii−−−−−+−+====−++−是纯虚数，2205a−=，405a+−，解得1a=．故答案为：1．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）将A，B，C，D四盆不同的花从左到右

摆放成一排，但A，C不能相邻，B，C相邻，则共有8种不同的摆放方法．【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】把BC捆绑在一起看作一个复合元素插入到A，D之间，再排除C在AB之间，即可求出．【解答】解：先把BC捆绑在一起看作一个复合元素插入到A，D之间，共有22122312AAA=

种，其中满足AC相邻，BC也相邻，即C在AB之间，有22224AA=种故有1248−=种，故答案为：8．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是本题中所用到的绑定与插空，不同的计数问题中所采用的技巧，将这些技巧与具体的背景结合起来，熟练掌握这些技巧．

15．（5分）函数3()xxfxe=的极值点为x=3．【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可．【解答】解：3()xxfxe=，23223(3)()(

)xxxxxexexxfxee−−==，令()0fx=，解得：3x=，故()fx的极值点是3x=，故答案为：3．【点评】本题考查了求函数的极值点问题，考查导数的应用，是基础题．16．（5分）观察下列各式：3211=，332123+=，33321236++=，33332123410++

+=，归纳得第n个等式为33332*123(,)nmmnN++++=．若不等式2160nm−−恒成立，则实数的取值范围是(,9)−．【考点】归纳推理【分析】先得到(1)2nnm+=，再利用分参得到16(1)minnn++，最后利用基

本不等式求出最值即可．【解答】解：由题意得，(1)123...2nnmn+=++++=，2160nm−−恒成立，(1)16nnn++，16(1)minnn++，162168nn+=…，当且仅当16nn=，即4n=时取等号，16nn+的最小值为8，9，即

的取值范围为(,9)−．【点评】本题考查了归纳推理，考查了恒成立，分参利用基本不等式求最值问题，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数1z满足1(1)15izi+=−+，23zai=−

+，aR．（Ⅰ）求1z的共轭复数1z；（Ⅱ）若121||||zzz−，求a的取值范围．【考点】复数的运算；复数的模【分析】()I由1(1)15izi+=−+，利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．（Ⅱ）1223(3)52zziaiai−=+−

−+=−+，aR．若121||||zzz−，则2222(5)223a−++，化简即可得出a的取值范围．【解答】解：1()(1)15Iizi+=−+，1(1)(1)(1)(15)iizii−+=−−+，1215

6zi=−++，123zi=+，1z的共轭复数123zi=−．（Ⅱ）1223(3)52zziaiai−=+−−+=−+，aR．若121||||zzz−，则2222(5)223a−++，化为(2)(8)0aa

−−，解得：28a，a的取值范围为(2,8)．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（12分）请你根据向量数量积的定义和性质，推导出平面向量数量积的坐标表示，即：已知1(ax=，1)y，2(bx=，2

)y，证明：1212abxxyy=+．【考点】平面向量数量积的性质及其运算【分析】设出坐标轴上的单位向量，利用平面向量数量积的运算法则化简求解即可，【解答】证明：设x轴上的单位向量为：i，y轴上的单位向量为j，所以0ij=

，21i=，21j=，11axiyj=+，22bxiyj=+，1122()()abxiyjxiyj=++2212122112xxixyijxyijyyj=+++1212xxyy=+．所以1212abxxyy=+．【点评】本题考查向量的数量积

的坐标运算公式的证明，是中档题．19．（12分）某晚会上有4个歌舞类节目和3个语言类节目，分别求满足以下各条件的不同表演顺序种数．（Ⅰ）前两个节目中既有歌舞类节目也有语言类节目；（Ⅱ）3个语言类节目都不相邻；（Ⅲ）3个语言类节目相邻，且指定的某个

歌舞类节目不排在最后．【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【分析】（Ⅰ）特殊位置优先安排的原则，根据分步计数原理即可求出；（Ⅱ）利用插空法，即可求出；（Ⅲ）利用捆绑法和插空法即可求出．【解答】解：（Ⅰ）先从歌舞类节目和语言类节目各选1个，排在前两个节目，其它的任意排，故C

41C31A22A55＝2880种；（Ⅱ）将3个语言类节目插入到4个歌舞类节目所形成的空中，有A44A53＝1440种；（Ⅲ）将3个语言类节目相邻捆绑在一起看作一个复合元素，再和除指定的某个歌舞类节目的3个歌舞类节目全排，最后将指定的某个歌舞类节目插入到所形成的空（不包含

最后一个空）中，故有A33A44A41＝576种．【点评】本题考查排列、组合的应用，要掌握常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，属于基础题．20．（12分）已知函数32()23fxaxbxx=+++．

（Ⅰ）若()fx在点(1，f（1）)处的切线方程为910xy−−=，求实数a，b的值；（Ⅱ）若16a，()fx在[1−，0)内存在极小值，且(2)0(()ffx−=为()fx的导函数），求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（Ⅰ）

求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值点，得到故a，b的不等式，求出b的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（1）8=，2()3

22fxaxbx=++，由题意得：322958abab++=++=，解得：12ab==；（Ⅱ）2()322fxaxbx=++，(2)0f−=，12420ab−+=，即132ba=+，2()3(61

)2(31)(2)fxaxaxaxx=+++=++，16a，()0fx=有2个不同的实数解，即13xa=−或2x=−且123a−−，在(,2)−−上，()0fx，()fx递增，在1(2,)3a−−上，()0fx，()fx递减，在1(3

a−，)+上，()0fx，()fx递增，13xa=−是()fx的极小值点，1103a−−„，解得：13a…，132ba=+，32b…，实数b的取值范围是3[2，)+．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是中档

题．21．（12分）已知函数()xfxaebx=+的图象经过点(0,2)−和(2,24)lnln−．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知函数()gx与()fx的图象关于直线1x=对称，求()gx的解析式，并求()gx在[1，4]上的最值．【考点】利用导数研究函数的最值【分析】（Ⅰ）代入点的

坐标，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出()gx的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最大值和最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：022224lnaeaeblnln=−+=−，解得：21ab=−

=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：()2xfxex=−+，由函数()gx与()fx的图象关于直线1x=对称，得2()(2)22xgxfxex−=−=−+−，则2()21xgxe−=−，令()0gx，解得：22xln+，令()0gx，解得：22xln

+，故()gx在[1，22)ln+递增，在(22ln+，4]递减，故()(22)21maxgxglnln=+=−−，由g（1）12e=−，g（4）222e=−−，故g（4）g（1），综上，()gx的最大值是21ln−−，最小值是222e−−．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，

考查导数的应用，是中档题．22．（12分）已知函数()(1)fxxalnx=−+的最小值为0．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）设函数()()gxxfx=，证明：()gx有两个极值点1x，2x，且121()()4gxgx+

．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出12()

()gxgx+的解析式，结合函数的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）()(1)fxxalnx=−+，定义域是(0,)+，()1axafxxx−=−=，0a„时，()0fx，()fx在(0,)+递增，无最小值，不合题意，0a时，令()0fx，解得：xa，

令()0fx，解得：xa，故()fx在(0,)a递减，在(,)a+递增，故()minfxf=（a）0aaalnaalna=−−=−=，解得：1a=，综上：1a=；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）2()()gxxfxxxxlnx==−−，则()21122gxxlnxxlnx=−−−=−−

，21()xgxx−=，令()0gx，解得：12x，令()0gx，解得：102x，故()gx在1(0,)2递减，在1(2，)+递增，故1()()2102mingxgln==−

，而21()0ge，g（1）0=，故()gx有2个零点1x，2x，其中11(0,)2x，21x=，由1()0gx=，得：1122xlnx−=，故212111()()4gxgxxx+=−+„，当且仅当112x=时“=”成立，显然“=”不

成立，故121()()4gxgx+．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．