【文档说明】内蒙古包头市第四中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学（理）试题 含解析.docx，共(19)页，886.882 KB，由小赞的店铺上传

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包头四中2020-2021学年第二学期月考试高二年级数学（理科）试题满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2iz=+，则下列结论不正

确的是（）A.5z=B.复数z的共轭复数为2i−C.202112z=+iiD.234iz=+【答案】C【解析】【分析】根据复数的模长，共轭复数，乘方等分别计算即可判断选项的正误.【详解】A：22215z=+=，故A正确；B：复数z的共

轭复数为2i−，故B正确；C：因为2021ii=，所以()202122212zz==+=+=−+iiiiiii，故C不正确；D：()22224434z=+=++=+iiii，故D正确；故选：C.2.在用反证法证明“已知x，yR，且0x

y+，则x，y中至多有一个大于0”时，假设应为（）A.x，y都小于0B.x，y至少有一个大于0C.x，y都大于0D.x，y至少有一个小于0【答案】C【解析】【分析】反证法，应假设命题结论的否定.【详解】“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有

且仅有一个大于0”，故其对立面为“x，y都大于0”．故选：C3.欧拉恒等式：ie10+=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e､圆周率､虚数单位i､自然数1和0完美地结

合在一起，它是由欧拉公式：iecosisin()=+R令=得到的根据欧拉公式，2ie在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】令iecosisin()=+R中2=即得解.详解】令ie

cosisin()=+R中2=得：2iecos2isin2=+，所以2ie在复平面内对应的点为(cos2,sin2)因为cos20,sin20，所以2ie在复平面内对应的点在第二象限.故选：B4.已知函数()yfx=的导函数为()fx，且满足()()21lnfxxfx=+

，则曲线在点()()1,1Pf处的切线的斜率等于（）A.e−B.1−C.1D.e【答案】B【解析】【分析】对函数求导，根据导数的几何意义求出曲线在点()()1,1Pf处的切线斜率即可.【详解】由()()21lnfxxfx=+可得()

()121fxfx=+，则()()1211ff=+，所以()11f=−，由导数的几何意义可得，曲线在点()()1,1Pf处的切线的斜率等于()11kf==−.故选：B.5.3239xdx−−等于（）A.98B.94C.92D.9【答案

】C【解析】【分析】根据定积分的几何意义直接求解即可得到结果.【【详解】3239xdx−−表示以原点为圆心，3为半径的上半圆的面积，3223199322xdx−−==.故选：C.6.函数()eln2xfxx=−−的大致图象为（）A

.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】易知()fx是偶函数，结合导数判断单调性与极值点范围即可得结果．【详解】由()()fxfx−=可知()fx是偶函数，排除A；当0x时，()eln2xfxx=−−，则()1exfxx=−，可知()fx在(

)0,+上单调递增，且121e202f=−，()1e10f=−，则存在01,12x，使得()00fx=，当00xx时，()0fx，()fx单调递减；当0xx时，()0fx，()fx单调递增，且0x

是()fx在()0,+上唯一极小值点，故选：D．7.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､

戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法

”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（）A.庚子年B.辛丑年C.己亥年D.戊戌年【答案】B【解析】【分析】根据“干支纪年法”的规则判断．【详解】天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到202

1年，经过了7年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年，故选：B.8.执行如图所示的程序框图，若输出k的值为5，则判断框内可填入的条件是（）A12sB.35sC.710sD.45s【答案】

B【解析】【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，结合输出结果进行判定，即可求解.【详解】执行给定的程序框图，可得：第一次循环：9911010s==，8k=，应满足条件；第二次循环：98810910s=

=，7k=，应满足条件，排除选项D；第三次循环：87710810s==，6k=，应满足条件，排除选项C；第四次循环：76610710s==，5k=，这时不再满足条件，结束循环，所以判断框中可填入的条件为35s．故选：B..9.已知双曲线:()22221

0,0xyabab−=的一条渐近线与函数lnln2yxe=+的图象相切，则双曲线的离心率等于（）A.5B.3C.52D.32【答案】A【解析】【分析】设该渐近线方程为byxa=，则切点为00,bxxa，由导数

的几何意义得出2ba=，再由离心率公式得出答案.【详解】设该渐近线方程为byxa=，则切点为00,bxxa函数lnln2yxe=+的导数为1yx=，则01bxa=，0axb=，即切点为,1ab将其代入函数lnln2yx

e=+，得lnln21aeb+=，2ln1aeb=，解得2ba=则双曲线的离心率等于21145cbaa=+=+=故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由导数的几何意义得出2ba=，再求离心率.10.若()ln0,0xexaxaxa

x++，则a的最大值为（）A.4eB.2eC.eD.2e【答案】C【解析】【分析】由题设得lnlnxaxexeax++，构造()xgxex=+并利用导数研究单调性，易知lnlnaxx−恒成立，进而构造()lnfxxx=−只需minln(

)afx即可求a的最大值.【详解】由题设，lnlnxaxexeax++，若()xgxex=+，则()10xgxe=+，即()gx在0x上单调递增，而()(ln)gxgax，∴lnlnlnxaxax=+，要使lnxexaxax++，只需lnlnaxx−恒成立，令()lnfxxx=

−，则1()1fxx=−：当01x时()0fx，即()fx递减；当1x时()0fx，即()fx递增；∴()(1)1fxf=，故只需ln1a，即ae.故选：C【点睛】关键点点睛：转化不等式并构造()xgxex

=+，利用其单调性将问题转化为lnlnaxx−恒成立，再次构造函数结合导数求参数a的范围.11.直线10xy−+=经过椭圆()222210xyabab+=的左焦点F，交椭圆于A、B两点，交y轴于C点，若2FCAC=，则该椭圆的离心

率是（）A.1022−B.312−C.222−D.21−【答案】A【解析】【分析】求出椭圆的两个焦点坐标以及点C的坐标，由2FCAC=求出点A的坐标，利用椭圆的定义求得2a的值，进而可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可知，点(),0Fc−在直线10xy−+=上，即10c−=，可得1c=，直线10x

y−+=交y轴于点()0,1C，设点(),Amn，()1,1FC=，(),1ACmn=−−，由2FCAC=可得()21211mn−=−=，解得1212mn=−=，椭圆()222210xyabab+=的右焦点为()1,0E，则22111010222AE=++−

=，又2211210222AF=−++−=，10222aAEAF+=+=，因此，该椭圆的离心率为()41022241022821021022cea−−=====++.故选：A.【点

睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值

法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12.若函数()fx满足()()()'lnfxxfxx=−，且11fee=，则函数()fx（）A.既无极大值又无极小值B.有极小值无极大值C.既有极大值又有极小值D.有极大值无极小值【答案】A【解析】【分析】对已知式子进行整理

可得()lnfxxxx=，从而可知()lnfxxc=+，结合11fee=可求出()1ln1fxxe=++，求出导数即可求出极值.【详解】解：因为0x，则()()()2lnxfxfx

fxxxxx−==，所以()lnfxxc=+，c为常数，则111ln1fcceee=+=−=，所以11ce=+，则()1ln1fxxe=++，所以()10fxx==无解，所以函数既无极大值又无极小值.故选:

A.【点睛】本题考查了导数的运算，考查了函数极值的求解.本题的难点是对函数的解析式的求解.本题的关键是对已知式子进行变形整理.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线2yx=−与直线2yx=−围成的图形的面积为______

_____.【答案】92【解析】【分析】根据题意，求出曲线2yx=−与直线2yx=−交点的横坐标，可得要求图形的面积122(2)Sxxdx−=−−+，进而计算可得答案．【详解】解；根据题意，22yxyx=−=−，则有22xx−=−，解得1x=或2−，则曲线2yx=−与直线2yx

=−围成的图形的面积312212219(2)(2)|322xSxxdxxx−−=−−+=−−+=.故答案为：9214.观察下列各式：211121122C−+=，3122211211233CC−++=，41233331112112344CCC−+++=，51234444411112112

3455CCCC−++++=，……照此规律，当*nN时，121111231nnnnCCCn++++=+_________________．【答案】1211nn+−+【解析】【分析】根据给出的等式，找出运算结果的结构形式，利用归纳推理，即可求解.【详解】由已知等式观察，等式右边

为21kk−形式，其中k比等式左侧各组合数下标大1，照此规律，当*nN时，1121112112311nnnnnCCCnn+−++++=++．故答案为：1211nn+−+.15.已知函数()2lnfxaxx=+满足0(1)(1

2)lim23xffxx→−−=，则曲线()yfx=在点11,22f处的切线斜率为___________．【答案】3【解析】【分析】根据极限形式和求导公式得(1)213fa=+=，进而得1

a=，计算12f得解.【详解】由0(1)(12)lim23xffxx→−−=，可得0(12)(1)lim32xfxfx→−−=−．因为1()2fxaxx=+，所以(1)213fa=+=，即1a=，则2()lnfxxx=+，所以1()2fxxx=+，132f=

．故答案为：3.16.2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线Z：24xy=的焦点为F，圆F：()2214xy+−=与抛物线Z在第一象限的交点为2,4mPm，直线l：()0xttm=

与抛物线Z的交点为A，直线l与圆F在第一象限的交点为B，则m=______；FAB周长的取值范围为______．【答案】①.2②.()4,6【解析】【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m，然后由()02xtt=分别与抛物线，与圆的方

程联立求得A，B的坐标，再结合抛物线的定义求解.【详解】如图所示：由()2224140,0xyxyxy=+−=，解得2,1xy==，∴2m=由24xtxy==，解得24xtty==，所以2,4tAt

由()2214xtxy=+−=，解得214xtyt==+−，所以()2,14Btt+−，由抛物线的定义得：∴AFAC=，∴FAB周长FAFBAB=++，2ACABBFBC=++=+，244t=−+.(

)0,2tQ，()2444,6t−+故答案为：2，()4,6．三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.17.设函数()21lnfxxx=+−.（1）求()fx的单调区间；（2）求函数()()gxfxx=−在区间1,22上的最值.【答案】

（1）增区间为2,2+，减区间为20,2；（2）最小值为1，最大值为3ln2−.【解析】【分析】（1）求导得()221xfxx−=，令()0fx得2,2+，令()0fx，得20,2，根据导数的符号确定

函数的单调区间；（2）求导得221()xxgxx−−=，令()0gx=，得1x=，1,12x，()0gx，()1,2x时，()0gx，确定函数()gx的单调性，可得最小值，再求得()12,2gg，作差比较，即可得

到最大值．【详解】（1）定义域：()0,+，函数()21lnfxxx=+−，∴()21212xfxxxx−=−=，∴当x在2,2+时，()0fx，函数递增，当x在时，()0f

x，函数递减，故函数()fx的增区间为2,2+，减区间为20,2；（2）由()()21lngxfxxxxx=−=−+−，得221()xxgxx−−=，1[,2]2x，令()0gx=，则1x=，当1,12x，()0gx，当

()1,2x时，()0gx.∴()gx1,12上单调递减，在()1,2上单调递增，∴()()min11gxg==，()23ln2g=−，13ln224g=+，由()13923ln2ln22ln20244gg−=−−+=−，得()122g

g.在∴函数的最小值为1，最大值为3ln2−.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．18.已知函数321()(0)3fxxmxm=−．（1）当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式；（2）当f(x

)的极大值不小于23时，求m的取值范围．【答案】（1）31()3fxxx=−；（2）[1，＋∞)．【解析】【分析】（1）求导，由()10f=求出m，进而得出解析式；（2）根据导数求出极大值，再解不等式得出m的取值范围．【详解】（1）因为321()(0)3fxxmxm=−

，所以f′(x)＝x2－m2.因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′（1）＝1－m2＝0(m＞0)，所以m＝1，故31()3fxxx=−（2）f′(x)＝x2－m2.令f′(x)＝0，解得x＝±m.当x变化

时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－m)－m(－m，m)m(m，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗由上表，得3332()()33mfxfmmm=−=−+=极大值，由题意知2()3fx极大值，所以m3≥1，解得m≥1.故m的取值范

围是[1，＋∞)．19.已知曲线C:22(5)(2)8mxmy−+−=(m∈R)（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.

求证：A，G，N三点共线．【答案】（1）7(,5)2（2）略【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度不太大，从形式到条件设计都具有一般性的，相信平时对曲线的复习程度不错的学生做起来应该是得心应手的【解析】【详解】学生错解：解：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当5

0{20mm－＞，－＞，解得2＜m＜5，所以m的取值范围是(2，5)．(2)当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由224{28ykxxy＝＋，＋＝，得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.设点M，N的坐标分别为(x

1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，x1＋x2＝21612kk－＋，x1x2＝22412k＋.直线BM的方程为y＋2＝112yx+x，点G的坐标为11312xy，＋.因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝222yx－，kAG

＝－1123yx＋，所以kAN－kAG＝2121223yyxx+－＋＝2121263kxkxxx+＋＋＝12122()43xxkxx+＋＝2216241224312kkkk+－＋＋＝0.即kAN＝kAG.故A，G，N三点共线．审题引导：(1)方程的曲线是焦点在x

轴上的椭圆；(2)证明三点共线的常用方法．规范解答：解：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当50{208852mmmm－＞，－＞，，－－解得72＜m＜5，所以m的取值范围是7,52.(2)当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝

8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由224{28ykxxy＝＋，＋＝，得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×24＞0，即k2＞32.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y

2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，x1＋x2＝21612kk－＋，x1x2＝22412k＋.直线BM的方程为y＋2＝112yx+x，点G的坐标为11312xy，＋.因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝222yx－，kAG＝－1123yx＋，

所以kAN－kAG＝2212112212112216222262()441224333312kyykxkxxxkkkxxxxxxk++++－－＋＋＋＋＋＝＝＝＋＝0.即kAN＝kAG.(13分)故A，G，N三点共线．错因分析：易忽视焦点在x轴上，漏掉8852mm＞－－这一条件，

从而失误．联立消元后易忽视Δ＞0这一前提条件．20.设函数2()emxfxxmx=+−．（1）证明：()fx在(,0)−单调递减，在(0,)+单调递增；（2）若对于任意12,[1,1]xx−，都有12|()()|1fxfxe−−，求m的取值范围．【答案】（1）()

fx在(,0)−单调递减，在(0,)+单调递增；（2）[1,1]−.【解析】【详解】（Ⅰ）()(1)2mxfxmex−=+．若0m，则当(,0)x−时，10mxe−，()0fx；当(0

,)x+时，10mxe−，()0fx．若0m，则当(,0)x−时，10mxe−，()0fx；当(0,)x+时，10mxe−，()0fx．所以，()fx在(,0)−单调递减，在(0,)+单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m，()fx在[1,0]−单调递减，在

[0,1]单调递增，故()fx在0x=处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]xx−，12()()1fxfxe−−的充要条件是：(1)(0)1,{(1)(0)1,ffeffe−−−−−即1,{

1,mmemeeme−−−+−①，设函数()1tgtete=−−+，则()1tgte=−．当0t时，()0gt；当0t时，()0gt．故()gt在(,0)−单调递减，在(0,)+单调递增．又(1)0g=，1(1)20gee−−=+−，故当[1,1]t−时，()0gt

．当[1,1]m−时，()0gm，()0gm−，即①式成立．当1m时，由()gt的单调性，()0gm，即1meme−−；当1m−时，()0gm−，即1meme−+−．综上，m的取值范围是[1,1]−．考点：导数的综合应用．21.已知点(

)0,1A−，()0,1B，动点P满足PBABPABA=．记点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设D为直线2y=−上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F．证明：直线EF过定点．【答案】（1）24xy=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）

把已知条件用坐标表示，并化简即得C的方程；（2）设(),2Dt−，()11,Exy，()22,Fxy，利用导数得出切线,DEDF的方程，由D在切线上，从而可得直线EF的方程，由直线方程可得定点坐标．【详解】（1）设(),Pxy，则(),1PAxy=−−−，(),1PBxy=−−，(

)0,2AB=，()0,2BA=−，所以，PBABPABA=可以化为()()2211xyy−+−=+，化简得24xy=．所以，C的方程为24xy=．（2）由题设可设(),2Dt−，()11,Exy，()22,Fxy，由题

意知切线DE，DF的斜率都存在，由24xy=，得24xy=，则2xy=，所以12DExk=，直线DE的方程为()1112xyyxx−=−，即211122xxyyx−=−，①因为()11,Exy在24

xy=上，所以2114xy=，即21122xy=，②将②代入①得11220xxyy−−=，所以直线DE的方程为11220xxyy−−=同理可得直线DF的方程为22220xxyy−−=．因为(),2Dt−在直线DE上，所以11240txy−+=，又(),2Dt−在直线DF上，所以22240tx

y−+=，所以直线EF的方程为240txy−+=，故直线EF过定点()0,2．【点睛】关键点点睛：本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由D在切线上，根据直线方程的意义得出直线EF方

程，然后得定点坐标．22.已知函数()()lnxfxaxxxe=+−．（1）若曲线()yfx=在1x=处的切线与y轴垂直，求()fx的单调区间；（2）若对任意0x，不等式()10fx+恒成立，求a的取值集合．【答案】（1）()fx的单调递减区间为()1,+?，单调

递增区间为()0,1；（2）1.【解析】【分析】（1）由题意知：()fx定义域为()0,+?且()10f=，求a值，利用导数研究其单调区间即可；（2）法一：由()()1xafxxex=−+−，讨论a的范围，利用导数研究其

单调性，进而确定()1fx+在区间内是否恒为非正数，即可求a的取值集合；法二：令()0xtxet=，则()10fx+等价于ln10att−+，构造()ln1gtatt=−+，利用导数结合分类讨论的方法，研究()gt的单调性确定在定义域区间内是否恒为非正数，求a的取值集合.【详解】（1）

由题意知：()()111xafxexx=+−+，且()()120fea=−−=，解得ae=，∴()()1xefxxex=−+−．∵()fx的定义域为()0,+?，即()10x−+，且函数()xexex=−在()0,+

?上为增函数，()10=，即当01x时，()0x；当1x时，()0x．∴()fx的单调递减区间为()1,+?，单调递增区间为()0,1．（2）（法一）()()1xafxxex=−+−

且定义域为()0,+?，①当0a时，()0fx¢<，此时()fx在()0,+?上单调递减，当0x→时，()1fx+→+，显然不符合题意．②当0a=时，111022ef+=−，不合题意．③当0a时，令()0fx¢=，得0xaex−=，即xxea=．令()xgx

xe=，则()()10xgxex=+，所以()gx在()0,+?上单调递增，则存在()00,x+，使得00xxea=，两边同时取对数可得00lnlnxxa+=．当00xx时，xxea，()0fx¢>；当0xx时．xxea，()0fx¢<．∴()()

0000maxlnlnxfxaxxxeaaa=+−=−．令()()ln10haaaaa=−+，则()lnhaa=．由()0ha，得1a；由()0ha，得01a．从而()()min10hah==，所以()0ha．又()ln10ha

aaa=−+，所以()ln10haaaa=−+=，∴1a=，故a取值集合为1．（法二）()()lnxxfxaxexe=−，令()0xtxet=，则()10fx+等价于ln10att−+．设(

)ln1gtatt=−+，则()atgtt−=，①当0a时，()0gt，此时()gt在()0,+?上单调递减，因为11ln2022ga=−，所以ln10att−+不恒成立．②当0a时，()gt在()0,a上单

调递增，在(),+a上单调递减，则()()maxln1gtgaaaa==−+．的令()()ln10haaaaa=−+，则()lnhaa=．由()0ha，得1a；由()0ha，得01a．从而()()min10hah==，所以()0ha．又ln10aaa−+，所以ln10aaa

−+=，∴1a=，故a的取值集合为1．【点睛】关键点点睛：（1）由解析式确定导函数及其定义域，根据导数的几何意义求参数，进而研究其单调区间；（2）应用分类讨论的方法，利用导函数研究相关函数的单调性，根据恒成立确定()1fx+在区间内是否恒为非正数，进而求参数取值的集合.