【文档说明】湖南省岳阳市临湘市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(24)页，1.689 MB，由管理员店铺上传

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2024年高二数学期中考试试题一、单选题（共40分）1向量()()2,1,3,1,2,9axby==−，若a∥b，则（）A.1xy==B.11,22xy==−C.13,62xy==−D.12,63xy=−=【答案】C【解析】【分析】利用空间向量平行列出关于,xy的方程组，解之即可求得,xy的

值.【详解】因为ab∥，所以ab=，由题意可得()()()2,1,31,2,9,2,9xyy=−=−，所以21239xy==−=，则131632xy===−．故选：C.2.

直线330xy+−=的倾斜角是（）A.30oB.60oC.150D.120【答案】C【解析】【分析】由斜率可确定直线的倾斜角.【详解】由330xy+−=得333yx=−+，所以该直线的斜率为：33k=−.设直线倾斜角为θ，则0θ180，且33tan=−，所以150

=.故选：C3.在所有棱长均为2的平行六面体1111ABCDABCD−中，1160AABAADBAD===，则1AC的长为（）.A.23B.25C.26D.6【答案】C【解析】【分析】先将1AC用1,,ABAD

AA表示，然后再结合数量积的运算律即可得解.【详解】因为111ACABBCCCABADAA=++=++，所以()222211ACABADAAABAD=++=+2111222AAABADABAAADAA++++444222cos60222co

s60222cos60=+++++44444424=+++++=，从而126AC=，即1AC的长为26．故选：C.4.已知向量()1,2,1a=−，()3,,1bx=，且ab⊥

，那么b等于（）A.10B.23C.11D.5【答案】C【解析】【分析】先根据向量垂直数量积为零求坐标，再根据坐标求模长计算即可.【详解】因为()1,2,1a=−，()3,,1bx=，且ab⊥，所以1321

10x−++=，即1x=，所以()3,1,1b=，所以22231111b=++=，故选：C．5.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点，若ABa=，ADb=，1AAc=，则下列向量中与BM相等的

向量是（）A.1122−++abcB.1122abc++C.1122abc−−+D.1122abc−+【答案】A【解析】【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出BM即可.【详解】11,BMBBBM=+12cBD=+1()2cBABC=++=()12cab+−+=1122−++

abc故选：A.6.已知直线过点()1,2，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A.20xy−=B.240xy+−=C.20xy−=或220xy+−=D.20xy−=或240xy+−=【答案】D【解析】【分析】分直线l过原点与不过原点两种情况求

解可得直线l的方程.【详解】根据题意，分2种情况讨论:①直线l过原点，设直线l方程为ykx=，又由直线l经过点(1,2)，所以21k=，解得2k=，此时直线l的方程为2yx=，即20xy−=；②直线l不过原点，设其方程为12xyaa+=，又由直线l经过点(1

,2)，则有1212aa+=，解可得2a=，此时直线l的方程为240xy+−=，故直线l的方程为20xy−=或240xy+−=.故选：D.7.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，下列说法正确的是（）A.平面1ABD与平面11BDC的距离为233B.三棱

锥11BABD−外接球的表面积为6πC.11//ACADD.直线BC与平面11ABCD所成的角为π3【答案】A【解析】【分析】D选项，作出辅助线，由线面垂直得到11DC⊥1BC，故1BC⊥平面11ABCD，直线BC与平面11ABCD所成的角为1CBC，且1π4CBC

=，故D错误；C选项，建立空间直角坐标系，求出平面1DAB的法向量()1,1,1n=−−，得到12ACn=−，所以1AC⊥平面1DAB，1AC⊥1AD；B选项，三棱锥11BABD−的外接球就是正方体1111ABC

DABCD−的外接球，从而求出外接球半径3R=，得到外接球表面积；A选项，先证明出平面1//DAB平面11BDC，利用点到平面距离向量公式得到答案.【详解】D选项，如图1，连接1BC，与1BC相交于O点，因为11DC⊥平面11BBCC，且1B

C平面11BBCC，所以11DC⊥1BC，又因为1BC⊥1BC，1111BCDCC=，111,BCDC平面11ABCD，所以1BC⊥平面11ABCD，即直线BC与平面11ABCD所成的角为1CBC，且1π4CBC=，故D错误；C选项，如图

2，连接111,,,ACADBDAB，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()112,0,0,0,2,2,2,0,2,0,0,0,2,2,0ACADB，则()()()112,2,2,2,2

,0,2,0,2ACDBDA=−==，设平面1DAB的法向量为(),,nxyz=，则()()()()1,,2,2,0220,,2,0,2220nDBxyzxynDAxyzxz==+===+=，令1x=，则1,1yz=−=−，则()1,1,1n=−−，则12ACn=−，所以1AC

⊥平面1DAB，又因为1AD平面1DAB，则1AC⊥1AD，故C错误；B选项，三棱锥11BABD−的外接球就是正方体1111ABCDABCD−的外接球，设其外接球的半径为R，则2222222R=++，即3R=，所以

24π12πSR==，故B错误；A选项，如图3，因为11//BDBD，BD平面1DAB，11BD平面1DAB，所以11//BD平面1DAB，同理1//BC平面1DAB，又1111BDBCB=，111,BDBC平面11BDC，所以平面1//DAB平面11BDC，由B选项可知，平面1DAB的一

个法向量为()1,1,1n=−−，且()112,0,0DA=，则两平面间的距离()()112,0,01,1,122331113DAndn−−====++，故A正确.故选：A8.已知,AB两点的坐标分别为

()()0,1,1,0AB，两条直线1:10lmxy−+=和()2:10lxmym+−=R的交点为P，则APBP+的最大值为（）A.22B.2C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点P的轨

迹，再设ABP=，结合辅助角公式求出即可；【详解】由题意可得直线1:10lmxy−+=恒过定点()0,1A，2:10lxmy+−=恒过定点()1,0B，且两直线的斜率之积为1−，所以两直线相互垂直，所以点P在以线段AB为直径

的圆上运动，2AB=，设ABP=，则2cos,2sinAPBP==，所以π2cos2sin2sin4APBP+=+=+，所以当π4=时，即0m=时，APBP+取得最大值2，此时点P的

坐标为()1,1.故选：D.二、多选题（共20分）9.如图，四棱柱1111ABCDABCD−中，M为1CD的中点，Q为1CA上靠近点1A的五等分点，则（）A11132AMABADAA=++B.122AMABADAA=++C.1133545AQABADAA=++D.154AQABADAA=++

【答案】BD【解析】【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解.【详解】()112AMABCMABCBCADCCD=++=+++1111112222ADAAADABABABAA=+−+=++，即122AMABADAA=++，故A错误、B正确；()1111111

1111155AAQACADCQAAAAACCAD=+=+=+++()11111145555AAAAAADABAABAD=++−=++，即154AQABADAA=++，故C错误，D正确.故选：BD..10.下列结论正确的是（）A.已知向量()()9,

4,4,1,2,2ab=−=，则a在b上的投影向量为(1,2,2)B.若对空间中任意一点O，有111632OPOAOBOC=++则P，A，B，C四点共面C.已知{},,abc是空间的一组基底，若mac=+，则{,,}abm也是空间的一组基底D.若直线l的方向向量为(1,0,3),e=平面

的法向量2(2,0,)3n=−，则直线l⊥【答案】ABC【解析】【分析】利用投影向量的定义判断A，利用空间四点共面，满足OPmOAnOBtOC=++，其中1mnt++=判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D.【详解】因为()()9,4,4,1,2,2

ab=−=，所以a在b上的投影向量为()()29881,2,21,2,2144abbb+−==++，故A对；因OPmOAnOBtOC=++，且1mnt++=，则P，A，B，C四点共面，因为1111632++=，所以P，A，B，C四点共面，故B对

；{},,abc是空间的一组基底，若mac=+，所以,,abac+两向量之间不共线，所以{,,}abm也是空间的一组基底，故C对；因为直线l的方向向量为(1,0,3),e=平面的法向量2(2,0,)3n=−，且2020en=−++=，则直线l∥或l，故D错；故选：A

BC11.由正四棱锥P-ABCD和正方体ABCD-A1B1C1D1组成的多面体的所有棱长均为2，则（）为A.//PA平面11CBDB.平面PAC⊥平面11CBDC.PB与平面11CBD所成角的余弦值为66D.点P到平面11CBD的

距离为2363+【答案】BD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，判断AP与平面11CBD的一个法向量是否垂直即可判断A；根据平面PAC和平面11CBD的法向量是否垂直判断出B；由线面夹角的正弦的公式及同角三角函数的

平方关系即可判断C；由点到平面的距离公式即可判断D．【详解】以1D为原点，以11111,,DADCDD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接BD，与AC交点为E，连接PE，则PE⊥平面ABCD，因为正

四棱锥PABCD−和正方体1111ABCDABCD−的所有棱长均为2，所以22BDAC==，122AEAC==，点E坐标为()1,1,2，所以()2222222PEAPAE=−=−=，则()1,1,22P+，又()2,0,2A，()10,0,

0D，()12,2,0B，()0,2,2C，()2,2,2B，对于A：(1,1,2)AP=−，11(2,2,0)DB=，1(0,2,2)DC=，设平面11CBD的一个法向量为1(,,)nxyz=，则1111100DBnDCn==，

即220220xyyz+=+=，取1x=得1(1,1,1)n=−，因为11120APn=−−+，所以PA与平面11CBD不平行，故A错误；对于B：由A得平面11CBD的一个法向量为1(1,1,1)n=−，(2,2,0)=−AC，(1,1,2)AP=−，设平面APC

的一个法向量为2(,,)nabc=，则2200ACnAPn==，即22020ababc−+=−++=，取1x=得2(1,1,0)n=，因为12110nn=−=，即12nn⊥，所以平面PAC⊥平面

11CBD，故B正确；对于C：由A得平面11CBD的一个法向量为1(1,1,1)n=−，(1,1,2)BP=−−，设PB与平面11CBD所成角为，则11126sincos,632BPn−++===，所以230cos1sin6=−=，即PB与平面11CBD所成角的

余弦值为306，故C错误；对于D：由A得平面11CBD的一个法向量为1(1,1,1)n=−，因为(1,1,2)CP=−，所以点P到平面11CBD的距离1111262333CPndn+++===，故D正确；故选：BD．12.如图所示，

在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，EF、分别为,ABBC的中点，则（）A.1EFBD⊥B.//EF平面11ADBC.直线1BD与平面ABCD所成的角为π4D.三棱锥1BEBF−外接球表面积

为6π【答案】AD【解析】【分析】由线面垂直的判定及性质即可判断A；由线面关系即可判断B；由线面角的定义即可判断C；由球的表面积公式即可判断D．【详解】对于A，连接AC，则//ACEF，因为ACBD⊥

，所以EFBD⊥，因为1DD⊥平面ABCD，EF平面ABCD，所以1DDEF⊥，又1BDDDD=，1,BDDD平面1BDD，所以⊥EF平面1BDD，又1BD平面1BDD，所以1EFBD⊥，故A正确；对于B，连接11AC，由正方体11

11ABCDABCD−得，11//ACAC，又//ACEF，所以11//EFAC，因为11AC平面111ADBA=，即11AC与平面11ADB不平行，所以EF与平面11ADB不平行，故B错误；对于C，由题意知，1DBD是直线1BD与平面ABCD所成的角，且

112tan122DDDBDBD==，所以直线1BD与平面ABCD所成的角不是π4，故C错误；对于D，由正方体1111ABCDABCD−得，1BB⊥平面ABCD，且BEBF⊥，12,1BBBEBF===，所以三棱锥1BE

BF−外接球的直径222121146RBEBFBB=++=++=，所以62R=，外接球表面积为264π4π6π4R==，故D正确；故选：AD．三、填空题（共20分）13.在正方体1111ABCDABCD−中，E

是棱AD的中点，则异面直线1BD与1CE所成角的余弦值是__________.【答案】39【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解.【详解】因为1111ABCDABCD−是正方体，建立以D为原点的坐标系，如

图，设正方体的棱长为2，则有()2,2,0B，()10,0,2D，()12,2,2BD=−−，()10,2,2C，()1,0,0E，()11,2,2CE=−−，设异面直线1BD与1CE所成角为，11112443cos9||||233BDCEBDCE−

+−===．故答案为：39．14.设点(2,3),(0,)ABa−，若直线AB关于ya=对称的直线与圆22(3)(2)1xy+++=有公共点，则a的取值范围是________．【答案】13,32【解析】【分析】首先求出点A关于

ya=对称点A的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：()2,3A−关于ya=对称的点的坐标为()2,23Aa−−，()0,Ba在直线ya=上，所以AB所在直线即为直线

l，所以直线l为32ayxa−=+−，即()3220axya−+−=；圆()()22:321Cxy+++=，圆心()3,2C−−，半径1r=，依题意圆心到直线l的距离()()223342132aada−−−−=−+，即()()2225532aa−−+，解得1332a，即13,32a

；故答案为：13,3215.已知()2,3A，()1,2B−，若点𝑃(𝑥,𝑦)在线段AB上，则1yx−的取值范围是______.【答案】)(3,,1+−−【解析】【分析】根据1yx−的形式，

可转化为线段AB上点与()1,0Q连线的斜率，结合图形即可求解.【详解】1yx−的几何意义是点𝑃(𝑥,𝑦)与点()1,0Q连线的斜率，又点𝑃(𝑥,𝑦)在线段AB上，由图知，因为()2,3A，()1,2B−，所以30203,1,21111AQBQPQy

kkkx−−====−=−−−−，因为点P是线段AB上的动点，所以)(3,,11PQykx=+−−−，故答案为：)(3,,1+−−16.如图，在正三棱柱111ABCABC−中，12.ABAA==E、F分别是BC、11AC的中点.设D是线

段11BC上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为104，则线段BD的长为_______.【答案】22【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,,2)(11)Dtt−，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，即可

得到方程，解得t，从而得解．【详解】解：如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()310,0,0,,,2,0,1,0,22EFB−设(0,,2)(11)Dtt−，则()31,,2,0,1,222EF

BDt==+，设直线BD与EF所成角为所以214102cos4||||5(1)4tEFBDEFBDt++===++，即22314370tt+−=，解得1t=或3723t=−（舍去），所以22202222BD=+

+=，故答案为：22．四、解答题（共70分）17.如图，三棱锥ABCD−中，DADBDC==，BDCD⊥，60ADBADC==，E为BC的中点．（1）证明：BCDA⊥；（2）点F满足EFDA=，求二面角DABF−−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33．【

解析】【分析】（1）根据题意易证⊥BC平面ADE，从而证得BCDA⊥；（2）由题可证AE⊥平面BCD，所以以点E为原点，,,EDEBEA所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，再求出平面,ABDABF的一个法向量，根

据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．【小问1详解】连接,AEDE，因为E为BC中点，DBDC=，所以DEBC⊥①，因为DADBDC==，60ADBADC==，所以ACD与ABD△均为等边三角形，ACAB=，从而AEBC⊥②，由①②，AEDEE=，,AEDE

平面ADE，所以，⊥BC平面ADE，而AD平面ADE，所以BCDA⊥．【小问2详解】不妨设2DADBDC===，BDCD⊥，22,2BCDEAE===．2224AEDEAD+==，AEDE⊥，又,AEBCDEBCE⊥=，,DEBC平面BCDAE⊥平面BCD．以点

E为原点，,,EDEBEA所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,0,0)DABE，设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为()()11112222,,,,,nxyznxyz==

，二面角DABF−−平面角为,而()0,2,2AB=−，因为()2,0,2EFDA==−，所以()2,0,2F−，即有()2,0,0AF=−，1111220220xzyz−+=−=，取11x

=，所以1(1,1,1)n=；22222020yzx−=−=，取21y=，所以2(0,1,1)n=，所以，121226cos332nnnn===，从而63sin193=−=．所以二面角DABF−−的正弦值为33．18.在三角形ABC中，

内角ABC､､所对边分别为abc､､，已知πsincos6aBbA=−.（1）求角A的大小；（2）若2cb=，三角形ABC的面积为233，求三角形ABC的周长.【答案】（1）π3（2）232+【解析】【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得πsincos6aBbA

=−，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出tan3A=，即可求出A.(2)由三角形的面积公式可得4bc=，结合2cb=及余弦定理即可求出a，即可得出结果.【小问1详解】由正弦定理sinsinabAB=得sinsinaBbA=，所以πs

incos6bAbA=−所以π31cossin6sinc22osAAAA−=+=，整理得sin3cosAA=，因()0,πA，所以sin0A，因此cos0A，所以sintan3cosAAA==，所以π3A=.【小问2详解】由ABCV的面积为233，得123

sin23bcA=，解得83bc=，又2cb=,则233b=，433c=.由余弦定理得22216482cos4333acbbcA=+−=+−=，解得2a=，23bc+=，所以ABCV的周长为232+.19.如

图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC⊥==，E为AC的中点．为（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设2,60ABBDACB===，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．【答案】（

1）证明过程见解析（2）CF与平面ABD所成的角的正弦值为437【解析】【分析】（1）根据已知关系证明ABDCBD≌△△，得到ABCB=，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到BED

E⊥，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【小问1详解】因为ADCD=，E为AC的中点，所以ACDE⊥；在ABD△和CBD△中，因为,,BACDCDADBDBDBD===，所以ABDCBD≌△△，所以ABCB=，又因为E为AC的中点，所以ACBE⊥；又因

为,DEBE平面BED，DEBEE=，所以AC⊥平面BED，因为AC平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.【小问2详解】连接EF，由（1）知，AC⊥平面BED，因为EF平面BED，所以ACEF⊥，所以1=2AFCSACEF△

，当EFBD⊥时，EF最小，即AFC的面积最小.因为ABDCBD≌△△，所以2CBAB==，又因为60ACB=，所以ABCV是等边三角形，因为E为AC的中点，所以1AEEC==，3BE=，因为ADCD⊥，所以112DEAC==,在DEB

中，222DEBEBD+=，所以BEDE⊥.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz−，则()()()1,0,0,0,3,0,0,0,1ABD，所以()()1,0,1,1,3,0ADAB=−=−，设平面ABD的一个法向量为(),,nxyz=，则030nADxznABxy=−+

==−+=，取3y=，则()3,3,3n=，又因为()331,0,0,0,,44CF−，所以331,,44CF=，所以643cos,77214nCFnCFnCF===

，设CF与平面ABD所成的角为02，所以43sincos,7nCF==，所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为437.20.已知ABCV的顶点()4,2A−，顶点C在x轴上，AB边上的高所在的直线方程

为20xym++=．（1）求直线AB的方程；（2）若AC边上的中线所在的直线方程为40xy−−=，求m的值．【答案】（1）2100xy−−=（2）2m=−【解析】【分析】（1）求出直线AB的斜率，利用点斜式可得

出直线AB的方程；（2）设点(),0Ct，求出线段AC的中点D的坐标，将点D的坐标代入直线40xy−−=的方程，求出t的值，可得出点C的坐标，再将点C的坐标代入直线20xym++=的方程，即可求出实数m的值.【小问1详解】解：由条件知AB边上的高所在的直线的斜率为12−，所以直线AB的斜率为

2，又因为()4,2A−，所以直线AB的方程为()224yx+=−，即2100xy−−=.【小问2详解】解：因为C点在x轴上．所以设(),0Ct，则线段AC的中点为4,12tD+−，点D在直线40xy−−=上，所以41402t++−=

，得2t=，即()2,0C，又点C在直线20xym++=上，所以20m+=，解得2m=−．21.在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是直角梯形，且PD⊥平面,//ABCDABDC，24,,2DCABABADPD==⊥=，点M在棱PC上．（1）当2MCMP

=时，求证://PA平面MBD;（2）若直线PA与平面ABCD所成的角为45，二面角PBDM−−的余弦值为33，求PMPC的值．【答案】（1）证明见解析（2）12PMPC=【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OM，利用几何性质证

明PAMO∥，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，设(01)PMPC=，求出平面PBD的法向量,用表示出平面MBD的法向量，利用向量的夹角公式计算，即可求得答案.小问1详解】证

明：连接AC交BD于点O，连接OM，由ABDC∥知，ABOCDO∽，∴12OAABOCCD==，∵2MCMP=，∴12OAMPOCMC==，∴PAMO∥，又MO平面MBD，PA平面MBD，∴PA∥平面MBD．【小问2详解】∵PD⊥平面ABCD，∴PAD为PA与底面ABCD所成的角，即45P

AD=，∴2ADPD==，又四边形ABCD是直角梯形，故以D为坐标原点，分别以,,DADCDP为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2)ABC

P，【∴(2,2,0)DB=，(0,0,2)DP=，(0,4,2)PC=−，设平面PBD法向量为()111,,mxyz=，则00DPmDBm==，即11120220zxy=+=，令11x=，则(1,1,0)m=−，设(01)PMPC=，

则(0,4,22)DMDPPM=+=−，设平面MBD的法向量为()222,,nxyz=，则00DBnDMn==，即()22222204220xyyz+=+−=，令21x=，则21,1,1n=−−，因为二面角PBDM−−的余弦值为3

3∴222211(1)(1)0313||||21(1)1(1)1mnmn+−−+−==+−+−+−，解得12=，∴12PMPC=．22.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为()1101

pp，收到0的概率为11p−；发送1时，收到0的概率为()2201pp，收到1的概率为21p−．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发

送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1，若依

次收到1,1,1，则译码为1）．（1）已知1223,34pp==．①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．（2）若发送1，采用三次传输方案时译

码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求2p的取值范围．【答案】（1）①59；②证明见解析（2）1,12【解析】【分析】（1）①记事件A为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件B为“第

三次收到的信号为1”，事件C为“三次收到的数字之和为2”，证明()()()PBCPBPC=即可；（2）记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”，事件N为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得()()PMPN，解不等式可解.【小问1详解】①记事件A为“至少收到一次0”，则(

)12115233339PA=+=．②证明：记事件B为“第三次收到的信号为1”，则()31144PB=−=．记事件C为“三次收到的数字之和为2”，则()22321112143343343349PC=

++=．因为()()()21112113343349PBCPBPC=+==，所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．【小问2详解】记事件M为“采用三次传

输方案时译码为0”，则()()2322231PMppp=−+．记事件N为“采用单次传输方案时译码为0”，则()2PNp=．根据题意可得()()PMPN，即()23222231pppp−+，因为201p，所以()22222223

11,2310ppppp−+−+，解得2112p，故2p的取值范围为1,12．【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率.