【文档说明】河北省秦皇岛市青龙满族自治县第一中学2022届高三上学期周测四数学试题 含答案.doc，共(16)页，1.548 MB，由小赞的店铺上传

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1数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合51Ax=−，24Bxx=，则AB=A．(2,3)B．[2,3)C．(2,1)−D．[

2,1)−2．设复数z满足()1i1z+=，则z的虚部为A．12B．1−C．12−D．12i−3．已知1sincos32−+=−，则2cos6+的值为A

．23B．13C．63D．334．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有A．240种B．320种C．180种D．120种5．下列命题中的真命题是A

．xN，21xB．命题“,,2baabRab+”的否定C．“直线1l与直线2l垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于-1”D．“1m−”是“方程22121xymm−=++表示双曲线”的充分不必要条件26．函数2ln()xfxx=的大致图象是A．B．C．D．7．《九章算术》是中

国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著.是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，下列说法错误的是A．“羡除”有且仅有两个面为三角形B．“羡除”一定不是台体C．不存在有两个面为平行四边形的“羡除

”D．“羡除”至多有两个面为梯形8．已知函数()fx是定义域为R的奇函数，且当x<0时，函数()1xfxxe=+，若关于x的函数2()()(1)()Fxfxafxa=−++恰有2个零点，则实数a的取值范围为A．1,1e−−

B．()(),11,−−+UC．111,11,1ee−−−D．(),11,−−+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知110ab，则A．33abB．abC．1baD．1122ab310．已知1F、2F是双曲线22:142yxC−=的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12FF为直

径的圆经过点M，则下列说法正确的是A．双曲线C的渐近线方程为2yx=B．以12FF为直径的圆的方程为222xy+=C．点M的横坐标为2D．12MFF△的面积为2311．在公比为q等比数列na中，nS是数列na的前n项和

，若521127,==aaa，则下列说法正确的是A．3q=B．数列2nS+不是等比数列C．5120S=D．()222lglglg3nnnaaan−+=+12．某同学在研究函数()22145fxxxx=++−+的性质时，受两点

间距离公式的启发，将()fx变形为()()()()()2222001201xfxx=−+−+−+−，则下列关于函数()fx的描述正确的是A．函数()fx在区间)1,+上单调递增B．函数()fx的图象是中心对称图形C．函数()fx的值域是)22,+D．方程()()15ffx=+无实

数解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()1,am=−，()2,3b=−，若()2abb+⊥，则m=________．14．二项式61()xx−的二项展开式中的常数项是________．15．将函数()sin23cos2fxxx

=+的图象沿x轴向左平移()0个单位后得到函数()gx的图象，若()gx为偶函数，则的最小值为________．416．已知矩形ABCD满足23AB=,2AD=，若将ABD沿BD翻折到'ABD的位置，使得'ABDBCD⊥平面平面，M，N分别为'ADBC，的中点，则直线MN被四面体'

ABCD−的外接球所截得的线段长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）从①a＝3，②352ABCS=，③3sinB＝2sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出b的值；若问题中的三角形不存

在，说明理由．问题：是否存在△ABC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且21c=，3ccosB＝3a＋2b，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．18．（12分）已知数列{}na的前n项的和为nS，

且满足*21()nnSanN=−.（1）求数列{}na的通项公式na及nS；（2）若数列{}nb满足|15|nnbS=−，求数列{}nb的前n项的和nT.19．（12分）东莞的轻轨给市民出行带来了很

大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费

标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小

时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：5T（小时）(04，(45，(56，(67，(78，(824，频数（车次

）10010020020035050以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的22列联表：男女合计不超过

6小时306小时以上20合计100完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？（2）（i）X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望()EX；（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3

辆车中停车费用大于()EX的车辆数，求()2P的概率．参考公式及数据：()()()()()22nadbckabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk0.400.250.150.100.050.0250k0.7801.3232.0722.7063.8415

.02420．（12分）如图，四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是菱形，PAPC=，BDPA⊥，E是BC上一点，且3ECBE=，设ACBDO=.6（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）若60BAD=，PAPE⊥，求二面角APEC−−的余弦值.2

1．（12分）已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，其左、右焦点分别为1F，2F，点P为坐标平面内的一点，且32OP→=，1234PFPF→→=−，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角

分别为，，且2+=，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.22．（12分）已知函数()()xfxexa=+，其中e是自然对数的底数，aR．（1）求函数()fx的单调区间；（2）设()()2gxfxax=−−，讨论函数()gx零点的个数，并

说明理由．7答案1．D【解析】因为=51Axx−，2422Bxxxx==−，所以21ABxx=−．2．C【解析】由()1i1z+=得()()()11i111ii11i1i22zi−===−++−，所以z的虚部为12−

.故选C.3．A【解析】因为1sincos32−+=−，所以131sincossin22−−=，所以3sin2+3cos12=，所以3sin63+=，所

以2212cos1sin16633+=−+=−=，故选A.4．C【解析】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为43288222CC1A180A+−=.故选C.5．D【解析】对于选项

A，当0x=时，21x不成立，故A错误；对于选项B，命题“,abR，2baab+”的否定是“,,2baabRab+”，当3,1ab==不成立，故B错误；对于选项C，当一直线斜率为0，另一直线斜率不存在时，

“它们的斜率之积一定等于-1”不成立，故C错误；对于选项D，由方程22121xymm−=++表示双曲线等价于(2)(1)0mm++，即2m−或1m−，所以“1m−”是“方程22121xymm−=++表示双曲线”的充分不必要条件

，故D正确．故选D.6．B【解析】()fx的定义域为0xx，关于原点对称，且8()()22lnln()xxfxfxxx−−==−=−−，()fx为奇函数，图象关于原点对称，故A，C错误；当0x时，()()221lnxfxx−=，故当()0,xe时，()0fx，()f

x单调递增，当(),xe+时，()0fx，()fx单调递减，故D错误，B正确.故选B.7．D【解析】如图所示，////AEBFCD，四边形ACDE为梯形.对选项A，由题知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故A正确；对选项B，因为////AEBFCD，所以“羡除”一定

不是台体，故B正确；对选项C，假设四边形ABFE和四边形BCDF为平行四边形，则////AEBFCD，AEBFCD==，则四边形ACDE为平行四边形，与已知四边形ACDE为梯形矛盾，故不存在，C正确.对选项D，若AEBFCD，则“羡除”有三个面为梯形

，故D错误.故选D.8．C【解析】()(()1)(())0Fxfxfxa=−−=，()1fx=或()fxa=，0x时，()11xfxxe=+，()(1)xfxxe=+，1x−时，()0fx，()f

x递减，10x−时，()0fx，()fx递增，∴()fx的极小值为1(1)1fe−=−，又()1fx，因此()1fx=无解．此时()fxa=要有两解，则111ae−，又()fx是奇函数，∴0x时，()1fx=仍然无解，()fxa=要有两解，则111xe−−．综上，111,11,

1aee−−−．故选C．9．CD【解析】∵110ab，∴0ba，∴33ba，A错误；ab，B错误；1ba，9C正确；1122ab，D正确．故选CD.10．ACD【解析】由双曲

线方程22142−=yx知2,2ab==，焦点在y轴，渐近线方程为2ayxxb==，A正确；226cab=+=，以12FF为直径的圆的方程是226xy+=，B错；由2262xyyx+==得22xy==

或22xy=−=−，由对称性知M点横坐标是2，C正确；1212112622322MFFMSFFx===△，D正确．故选ACD．11．ABD【解析】因为521127,==aaa，所以有431127273qaqqqa===，因此选项A正确；

因为131(31)132nnnS−==−−，所以131+2+2(3+3)132nnnS−==−，因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2nnnnnSS−=常数，所以数列2nS+不是等比数列，故选项B正确；因为551(31)=1212S

=−，所以选项C不正确；11130nnnaaq−−==，因为当3n时，22222lglg=lg()=lg2lgnnnnnnaaaaaa−+−++=，所以选项D正确.故选ABD.12．ACD【解析】设(0,1)A

，(2,1)B，()()()()()2222001201xfxx=−+−+−+−表示x轴上点(,0)Px到,AB两点的距离之和，设(1,0)Q，以,AB为焦点，Q为短轴上一个端点，作椭圆，x轴与此椭圆相切于点Q，当P从Q向右移动时，PAPB+逐渐增大，即函数()fx在区间)1,+上单调递增，

A正确；当P与Q重合时，PAPB+最小，最小值为22，因此()fx的值域是[22,)+，C正确；函数图象关于直线1x=对称，不是中心对称是，B错误；当0x=或2x=时，()15fx=+，由于()22fx，因此()0fx=和()2fx=都无解，D正确．故选ACD．1013．8【解析】因为()

1,am=−，()2,3b=−，所以2(3,6)abm+=−.因为()2abb+⊥，所以()263(6)0abbm+=−−=，解得8m=.14．15【解析】因为61()xx−的展开式的通项是3362661C()(1)()C(1)rrrrrrrxxx−−−=−，当3302r−=时，r

＝2，所以展开式中的常数项是226C(1)15−=．15．π12【解析】函数π()sin23cos22sin(2)3fxxxx=+=+，将函数()fx的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数π2sin(22)3yx=++的图象，因为()gx为偶函数，所以2()32

kk+=+Z，则2k=+()12kZ．当0k=时，π12=．16．582【解析】过M做MPBD⊥于点P,连接PN,因为ABDBCD⊥平面平面，所以MPPN⊥,可求得3=2MP，3=2BP,所以5=2DP，在三角形DPN中，30PDN=,3DN=

,所以72PN=,所以102MN=,由题意可知，四面体ABCD的外接为BD中点，设为O，过O做OHMN⊥于H,连接ON,可求得1ON=，从而得104HN=,所以1061164OP=−=,因为球的半径为2

，故所截得的线段长为2265822()42−=.1117．（10分）【解析】解法1：由正弦定理，得3sinCcosB＝3sin[π-（B＋C）]＋2sinB，整理得3sinBcosC＋2sinB＝0．因为sinB≠0，所以2cos3C=−．（5分）解法2：由3ccosB＝3a＋2b，得3

accosB＝3a2＋2ab，由余弦定理，得3（a2＋c2-b2）＝6a2＋4ab，整理得3（-a2＋c2-b2）＝4ab，即3abcosC＋2ab＝0．所以2cos3C=−．（5分）选①a＝3．由余弦定理可得c2＝a2＋b2-2abcos222196()3bb=

+−−，所以b2＋4b-12＝0，解得b＝2或b＝-6（舍去），所以问题中的三角形存在．（10分）选②352ABCS=．11535sin2232ABCSabCab===，故ab＝9，（7分）由余弦定理可得c2＋a2＋b2-2abcosC224213abab=++，又a2＋

b2≥2ab，所以22410216.333abababab=++，与ab＝9矛盾，所以问题中的三角形不存在．（10分）选③3sinB＝2sinA．由正弦定理得，3sinB＝2sinA3b＝2a，（7分）由余弦定理可得c2＝a2＋b2-2abcosC2

21214b=，所以b＝2或b＝-2（舍去），所以问题中的三角形存在．（10分）18．（12分）【解析】（1）由21nnSa=−得：1121Sa=−，即11a=，由21nnSa=−得：1121nnSa++=−，两式相减得:1122nnn

aaa++=−，即12nnaa+=，即数列{}na是以1为首项，2为公比的等比数列，（4分）则12nna-=，则122112nnnS−==−−.（6分）12（2）由（1）知：|216|nnb=−，则162(14)216(4)nnnnb

n−=−，则当14n时，12(162)(162)(162)nnT=−+−++−122(12)16(222)1612nnnn−=−+++=−−11622nn+=−+；（9分）当4n时，124567(162)(162)(162)(216)(216)(216)(21

6)nnT=−+−++−+−+−+−++−1242(222)16nTn=++++−12(12)234162166612nnnn+−=+−=−+−，则111622(14)21666(4)nnnnnTnn++−+=−+.（12分）19．（12分）【解析】（1）由题,不超过6小时的频率为

1001002000.41000++=,则100辆车中有40辆不超过6小时,60辆超过6小时，（2分）则22列联表如下：男女合计不超过6小时1030406小时以上204060合计3070100根据上

表数据代入公式可得()221002030104050079427063070604063K−==．．所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关.（5分）（2）（i）由题意知：X的可取值为5,8,11,15,19,30,

则()()()()11115,8,11,15,101055PXPXPXPX========13()()7119,302020PXPX====.（7分）所以X的分布列为：X5811151930()PX1101101515720120（8分）∴()111171

581115193014.651010552020EX=+++++=.（9分）（ii）由题意得()171314.65520205PX=++=,所以3~3,5B,（10分）所以()()()23233239227812233555255125125PPPC

==+==+=+=.（12分）20．（12分）【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC的中点，BDAC⊥，∵BDPA⊥，PAACA=，∴BD⊥平面PAC，（2分）∵PO平面PAC，∴BDPO⊥.∵PAPC=，O是AC的中点，∴POAC⊥.∵AC

平面ABCD，BD平面ABCD，ACBDO=，∴PO⊥平面ABCD.（5分）（2）由（1）知，PO⊥平面ABCD，BDAC⊥.∴以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设四边形ABCD的边长为4，P

Oa=.∵四边形ABCD是菱形，60BAD=，∴ABD△与BCD都是等边三角形.∴23OAOC==.14∴()0,0,Pa，()23,0,0A，()23,0,0C−，33,,022E−，()

23,0,PAa=−，33,,22PEa=−−，333,,022EC=−−.（7分）∵PAPE⊥，∴()3323,0,,,022PAPEaa=−−−=

，即230a−+=，得3a=.∴()23,0,3PA=−，33,,322PE=−−.（9分）设平面PAE的法向量为()111,,mxyz=，由111112330333022mPAxzmPExyz=

−==−+−=，取12z=，得531,,23m=；设平面PEC的一个法向量为()222,,nxyz=，由22222333022333022nECxynPExyz=−−==−+−=，

取21x=−，得()1,3,2n=−.设二面角APEC−−的平面角为，由图可得，为钝角，则15cos5mnmn=−=−.∴二面角APEC−−的余弦值为155−.（12分）21．（12分）【解析】（1）设(,)Pmn，1(,0)Fc−，2(,0)Fc，由32OP=，123·4PFPF

=−可得2294mn+=，(cm−−，)?(ncm−−，222293)44nmcnc−=−+=−=−，即有23c=，即3c=，（2分）15又32cea==，可得2a=，221bac=−=，则椭圆的方程为22

14xy+=.（4分）（2）设1(Ax，1)y，2(Bx,2)y，由题意可得(2,0)M−，若直线AB的斜率不存在，即12xx=，12yy=−，由题意可得直线MA，MB的斜率大于0，即120yy，矛盾；（6分）因此直线BA的斜率存在，设其方程为ykxm=+．联立椭圆方

程2244xy+=，化为：222(14)84(1)0kxkmxm+++−=，△22226416(14)(1)0kmkm=−+−，化为：2214km+．122814kmxxk+=−+，21224(1)14mxxk−=+．（8分）由2+=，可得tantan1

=，1212·122yyxx=++，1212()()(2)(2)kxmkxmxx++=++，化为：221212(1)(2)()40kxxmkxxm−+−++−=，222224(1)8(1)(2)()401414mkmkmkmkk−−+−−+−=++，（10分）化为22

316200mkmk−+=，解得2mk=，或103mk=．直线AB的方程可以表示为2ykxk=+（舍去），或103ykxk=+，则直线AB恒过定点10(3−,0)．（12分）22．（12分）【解析】（1）因为

()()xfxexa=+，所以()()1xfxexa=++.（1分）由()0fx，得1xa−−；由()0fx，得1xa−−.所以()fx的增区间是()1a−−+,，减区间是(),1a−−−.（3分）16（2）()()()22xaxagxfxax

xexxex−−=−−=−=−.由()0gx=，得0x=或0xaex−−=.（6分）设()xahxex−=−，又()00ahe−=，即0x=不是()hx的零点，故只需再讨论函数()hx零点的个数.（5分）因为()1xahxe−=−，所以当(),

xa−时，()()0,hxhx单调递减；当(),xa+时，()()0,hxhx单调递增.所以当xa=时，()hx取得最小值()1haa=−.（6分）①当()0ha，即1a时，无零点；②当()

0ha=，即1a=时，()()0,hxhx有唯一零点；（8分）③当()0ha，即1a时，因为()00ahe−=，所以()hx在()a−∞，上有且只有一个零点.令2xa=，则()22ahaea=−.设()()()()22120aaahaeaaae==−

=−，则，所以()a在()1+，上单调递增，所以()1,a+，都有()()120ae=−，所以()()2ahaaea==−.所以()hx在(),a+上有且只有一个零点，所以

当1a时，()hx有两个零点综上，当1a时，()gx有一个零点；当1a=时，()gx有两个零点；当1a时，()gx有三个零点.（12分）