【文档说明】湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题 Word版.docx，共(5)页，630.179 KB，由小赞的店铺上传

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长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2Z34Axxx=+，{}1,2,5B=-，

则AB中元素的个数为（）A.1B.4C.6D.72.命题“xQ，2tanxQ”的否定是（）AxQ，2tanxQB.xQ，2tanxQC.xQ，2tanxQD.xQ，2tanxQ3.已知i是虚数单位，则复数12i1i−−的虚部是（）A.12−B.12C.

32−D.324.函数()lneexxxfx−=+的图象大致为（）A.B.C.D.5.已知0x，0y，lg2lg8lg2xy+=，则13xy+的最小值是（）A.8B.12C.16D.1023+.6.已知随机事件A，B，C中，A与B相互独立，B与C对立，且()0.3PA=，()0.6PC

=，则()PAB=（）A.0.4B.0.58C.0.7D.0.727.甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（）A甲

B.乙C.丙D.丁8.设5log2a=，0.60.5b=，0.50.6c=，则（）A.cbaB.cabC.bacD.acb二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin26fxx=+，则下列结论正确的是（）A.()fx的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()πsin23g

xx=+的图象B.直线π3x=是()fx图象的一条对称轴C.()fx在ππ,42上单调递减D.()fx的图象关于点5π,012对称10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了

获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，x，21s；n，y，22s．

记样本平均数为，样本方差为2s，2222212[()][()]mnssxsymnmn=+−++−++．A.男生样本容量为50B.每个女生被抽到的概率110C.抽取的样本的均值为165D.抽取的样本的方差为4311.如图，正方体ABCDABCD−

的棱长为4，M是侧面ADDA上的一个动点（含边界），点P在棱CC上，且||1PC=，则下列结论正确的有（）.A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为73B.保持PM与BD垂直时，点M的运动轨迹长度为32C.若保持

||25PM=，则点M的运动轨迹长度4π3D.平面ADP截正方体ABCDABCD−所得截面等腰梯形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量(1,1)am=−，(,3)bmm=+，若abab=−，则m的值为________．13.如图60°的二面角的棱上有A，

B两点，直线AC，BD分别在二面角两个半平面内，且垂直于AB，6ACBD==，8AB=，则CD=__________．14.若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t，其中*Nt，则t的一个取值可以为___

___．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设锐角ABCV的内角、、ABC的对边分别为,2sin3abccAa=,,，（1）求角C；（2）若边7c=，面积为103，求ABCV的周长．16现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量

发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组)160,164，第2组)164,168，…，第6组)180,184，得到如下频率分布直方图．为.（1）求a的值并估计这50名男生的身

高的第60百分位数；（2）求这50名男生中身高在176cm以上（含176cm）的人数；（3）从这50名男生身高在176cm以上（含176cm）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm以上（含180cm）的概率．17.如图，在底面为菱形的四棱锥PABCD−中，PA⊥平面

ABCD，60ABC=，2PAAB==，点E，F分别为棱BC，PD的中点，Q是线段PC上的一点．（1）若Q是直线PC与平面AEF的交点，试确定PQPC的值；（2）若三棱锥CEQA−体积为36，求直线AQ与平面AEF所成角的正弦值．18.已知函数()sincos

fxaxbx=+，称非零向量(),pab=为()fx的“特征向量”，()fx为p的“特征函数”．（1）设函数()ππ2sincos36hxxx=−−+，求函数()hx的“特征向量”；（

2）若函数()fx的“特征向量”为()1,3p=，求当()85fx=且ππ,36x−时sinx的值；（3）若()3,1p=的“特征函数”为()fx，11π0,6x且方程()()()2230fxafxa+−+−=存在4个不相等的实数根

，求实数a的取值范围．19.在空间直角坐标系Oxyz−中，已知向量(,,)uabc=，点0000(,,)Pxyz．若平面以u为法向量且经过的点0P，则平面的点法式方程可表示为000()()()0axxbyyczz−+−+−=，一般式方程可

表示为0axbyczd+++=．（1）若平面1：210xy−−=，平面1：3210yz−+=，直线l为平面1和平面1的交线，求直线l的一个方向向量；（2）已知集合{(,,)|||1,||1,||1}Pxyzxyz=，{(,,)|||||||2}Q

xyzxyz=++，{(,,)|||||2,||||2,||||2}Txyzxyyzzx=+++．记集合Q中所有点构成的几何体的体积为1V，PQ中所有点构成的几何体的体积为2V，集合T中所有点构成的几何体为W．（ⅰ）求1V和2V的值；（ⅱ）

求几何体W的体积3V和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值．