【文档说明】湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，2.020 MB，由小赞的店铺上传

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长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期入学考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2

Z34Axxx=+，{}1,2,5B=-，则AB中元素的个数为（）A.1B.4C.6D.7【答案】C【解析】【分析】首先求解集合A，再根据并集的定义，即可求解.【详解】因为()()2Z34Z140Z

413,2,1,0Axxxxxxxx=+=−+=−=−−−，{}1,2,5B=-，所以3,2,1,0,2,5AB=−−−，有6个元素.故选：C.2.命题“xQ，2tanxQ”的否定是（

）A.xQ，2tanxQB.xQ，2tanxQC.xQ，2tanxQD.xQ，2tanxQ【答案】A【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得否定命题.【详解】命题“xQ，2tanxQ”的否

定是xQ，2tanxQ.故选：A.3.已知i是虚数单位，则复数12i1i−−的虚部是（）A.12−B.12C.32−D.32【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算得出结果.【详解】()()()()1

2i1i12i3i31i1i1i1i222−+−−===−−−+，所以复数12i1i−−的虚部为12−，故选：A.4.函数()lneexxxfx−=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数()f

x的定义域，排除CD选项，再由函数()fx的为偶函数，排除A选项，即可求解.【详解】由函数()lneexxxfx−=+，可得其定义域为0xx，可排除C、D选项，又由()()lnlneeeexxxxxxfxfx−−−−=

==++，所以函数()fx为偶函数，排除A选项.故选：B.5.已知0x，0y，lg2lg8lg2xy+=，则13xy+的最小值是（）A.8B.12C.16D.1023+【答案】C【解析】【分析】利用对数的运算法则

和基本不等式的性质可得.【详解】解：lg2lg8lg2xy+=()lg28lg2xy=322xy+=31xy+=0x>，0y()1313333331010216yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=当且仅当14x

y==时取等号.故选：C【点睛】本题考查对数的运算法则及基本不等式，属于中档题.6.已知随机事件A，B，C中，A与B相互独立，B与C对立，且()0.3PA=，()0.6PC=，则()PAB=（）A.0.4B.0.58C.0.7D.0.72【答案】B【解析】【分析】由公式(

)()()()PABPAPBPAB=+−可知只需求出()(),PBPAB即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解.【详解】()1()0.4PBPC=−=，()()()0.30.40.12PABPAPB===，所以

()()()()0.30.40.120.58PABPAPBPAB=+−=+−=.故选：B.7.甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符

，则得奖的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人.【详解】甲乙丙丁甲得奖乙得奖丙没得奖丁没得奖由上表知：若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若丙得奖

，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；所以丁得奖，只有丙说法与事实相符.故选：D8.设5log2a=，0.60.5b=，0.50.6c=，则（）A.cbaB.cabC.bacD.acb【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性和指数

函数的单调性分别求出12a，12b，即可判断出ba，再利用作差法比较,cb的大小关系即可求解．【详解】解：551log2log52a==，10.620.150.5b==，ba，350.610.52b==，120.530.65c==

，10351011264b==，101210324353125c==，10102431124270312564200000cb−=−=，cb，cba，故选：A．二、选

择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin26fxx=+，则下列结论正确的是（）A.()fx的图象向左平

移π6个单位长度后得到函数()πsin23gxx=+的图象B.直线π3x=是()fx图象的一条对称轴C.()fx在ππ,42上单调递减D.()fx的图象关于点5π,012对称【答案】CD【解析】【分析】利用正弦函数的性质来研究正弦型函数的性质即可.【详解】对于

A，由()fx图象向左平移π6个单位得：ππππsin2=sin26362fxxx+=+++，与得到函数()πsin23gxx=+不相同，故A错误；对于B，将π3x=代入得：πππ

5πsin2=sin3366f=+，此时既不是最高点，也不是最低点，所以直线π3x=不是()fx图象的一条对称轴，故B错误；对于C，当ππ,42x时，π2π7π2,636x+，由于sinyx=在π3

π,22上递减，而2π7ππ3π,,3622，所以()fx在ππ,42上单调递减，故C正确；对于D，将5π12x=代入得：5π5ππsin2=sinπ012126f=+=，此时是函数零点，所以()fx的

图象关于点5π,012对称，故D正确；的故选：CD．10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了

容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，x，21s；n，y，22s．记样本平均数为，样本方差为2s，2222212[()][()]mnssxsymnm

n=+−++−++．A.男生样本容量为50B.每个女生被抽到的概率110C.抽取的样本的均值为165D.抽取的样本的方差为43【答案】ABD【解析】【分析】根据抽样比即可求解人数判断A，根据概率公式即可求解B，根据平均数以

及方差的计算公式即可求解CD.【详解】对于A，男生被抽的人数为5009050900=，故A正确，对于B，每个女生被抽到的概率为40090190040010=，故B正确，对于C，抽取的样本均值为170501614016690

+=，故C错误，对于D，样本的方差为22254[19(170166)][28(161166)]4399s=+−++−=，故D正确，故选：ABD11.如图，正方体ABCDABCD−的棱长为4，M是侧面ADDA上的一个动点（含边界），点P在棱CC上，且||1PC=，则下列结论正

确的有（）A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为73B.保持PM与BD垂直时，点M的运动轨迹长度为32C.若保持||25PM=，则点M的运动轨迹长度4π3D.平面ADP截正方体ABCDABCD−所得截面为等腰梯形【答案】BCD【解析】【分析】根据平面展开即可判断A；过P做

平面//PEF平面ACB，即可判断B；根据点M的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体ABCDABCD−被平面ADP所截的截面即可判断D．【详解】对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP，则16496573AP=+=，故A错误；对于B，如图：DD平面ABCD，AC平面

ABCD，DDAC⊥，又ACBD⊥，DDBDD=，DD，BD平面DDB，AC⊥平面DDB，BD平面DDB,ACBD⊥，同理可得BDAB⊥，ACACA=，AC，AB平面ACB．BD

⊥平面ACB．过点P作//PGCD交CD交于G，过G作//GFAC交AD交于F，由//ABCD，可得//PGAB，PG平面ACB，AB平面ACB，//PG平面ACB，同理可得//GF平面ACB，,,P

GGFGPGGF=平面PGF，则平面//PGF平面ACB．设平面PEF交平面ADDA于EF，则M的运动轨迹为线段EF，由点P棱CC上，且||1PC=，可得||||1DGDF==，//EFBC3324EFAD==，故B正确；对

于C，如图：若||25PM=，则M在以P为球心，25为半径的球面上，过点P作PQ⊥平面ADDA，则||1DQ=，此时22||||||2QMPMPQ=−=．点M在以Q为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3．点M的运动轨迹长度2π4π×2=33，故C

正确；对于D，如图：延长DC，DP交于点H，连接AH交BC于I，连接PI，平面ADP被正方体ABCDABCD−截得的截面为AIPD．~PCHDDH，||||||3||||||4PHPCHCDHDDDH===，~ICHADH，||

||||3||||||4CIHCIHDADHAH===，||||||3||||||4PHIHPIDHAHAD===，//PIAD，且||||PIAD，截面AIPD为梯形，||||16117

AIPD==+=，截面AIPD为等腰梯形，故D正确．故选：BCD．在【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量(1,1)am=−，(,3)bmm=+，若abab=−，则m的值为________．【答案】1−【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，得到向量,ab的夹角为π=，设(0)ba=，结合向量的坐标表示，列出方程组

，即可求解.【详解】设向量,ab的夹角为，因为abab=−，可得cos1=−，因为[0,π]，所以π=，即向量a与向量b反向，又因为向量(1,1)am=−，(,3)bmm=+，设(0)ba=，可得)((,13),1mmm−+=，可得3mmm

=+=−且0解得1,1m=−=−.故答案为：1−.13.如图60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在二面角两个半平面内，且垂直于AB，6ACBD==，8AB=，则CD=__________．【答案】10【解析】【分析】过点B作BEAC∥，且6BEAC==，连接CE

，DE，先证明BDEV为等边三角形，从而得到DE，再证明CEDE⊥，进而利用勾股定理即可求解．【详解】如图，过点B作BEAC∥，且6BEAC==，连接CE，DE，则60DBE=，又6BDBE==，所以BDEV为等边三角形，所以6DE=，则四边形ABEC为矩形，即CEAB=，

由ACAB⊥，则EBAB⊥，又BDAB⊥，且BDEBB=，所以AB⊥平面BDE，所以CE⊥平面BDE，又DE平面BDE，所以CEDE⊥，则由勾股定理得22228610CDCEDE=+=+=．故答案为：10．14

.若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t，其中*Nt，则t的一个取值可以为______．【答案】25（答案不唯一）【解析】【分析】根据三角形的三边关系即可求解范围，进而根据*Nt求解.【详解】如图所示的三棱锥中，5,21,

23,29,8ABACBCBDCD=====,在,ABCBCD中，三边关系符合三角形的边角关系，设ADt=，则1329ACCDADACCDAD−+且2434BDACADBDACAD−+，因此2429AD，由于*Nt，故可取25t=，故答案为：25（答案不唯一）四、解

答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设锐角ABCV的内角、、ABC的对边分别为,2sin3abccAa=,,，（1）求角C；（2）若边7c=，面积为103，求ABCV周长．【答案】（1）π3；（2）20.【解析】【分析】（1）由正弦定理得到3sin2

C=，求出π3C=；（2）由三角形面积得到40ab=，根据余弦定理得到13ab+=，从而得到周长【小问1详解】由2sin3cAa=及正弦定理，得2sinsin3sinCAA=，又π02A，得sin0A，所以3sin2C=，又C为锐角，所以π3C=；【小问2详解】由（1）得13

sin10324ABCSabCab===△，则40ab=，由余弦定理，得()()222222cos22cos3cababCabababCabab=+−=+−−=+−，所以()223169abcab+=+=，所以

13ab+=，所以ABCV的周长为13720labc=++=+=．16.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1

组)160,164，第2组)164,168，…，第6组)180,184，得到如下频率分布直方图．（1）求a的值并估计这50名男生的身高的第60百分位数；的.（2）求这50名男生中身高在176cm以上（含176cm）的人数；（3）从这50

名男生身高在176cm以上（含176cm）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm以上（含180cm）的概率．【答案】（1）0.05；169.5（2）6（3）815【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解a的值，再结合百分位数的定义即可求解

结果；（2）根据图表先求出相应的频率，再求出频数即可；（3）根据图表先求出相应区间的人数，再根据古典概型求解概率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，()0.010.020.020.080.0741a+++++=

，解得0.05a=.因为()0.050.0740.48+=，0.0840.32=，所以第60百分位数落在)168,172区间内，设第60百分位数为x，则()1680.080.12x−=，解得169.5x=，即第60百分位数为169

.5.【小问2详解】由图知，身高在176cm以上（含176cm）的人数频率为0.0340.12=，则身高在176cm以上（含176cm）的人数为500.126=.【小问3详解】由（2）知，身高在176cm以上（含1

76cm）的人数为6，则身高在180cm以上（含180cm）的人数为1623=，男生中身高在)176,180内的人数为4，令身高在)176,180内编号为1,2,3,4，身高在)180,184内编号为5,6，则样本空间为()()()

()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，所以该2人中身高恰有1人在180cm以上（含180cm）的概率为815.17.如图，在底面为

菱形的四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，60ABC=，2PAAB==，点E，F分别为棱BC，PD的中点，Q是线段PC上的一点．（1）若Q是直线PC与平面AEF的交点，试确定PQPC的值；（2）若三棱锥CEQA−的体积为3

6，求直线AQ与平面AEF所成角的正弦值．【答案】（1）23（2）14【解析】【分析】（1）根据线线平行可得平面BNMK//平面AEF,即可根据中点关系，结合面面平行的性质，即可求解AQH的余弦值，根据AQ与平面AEF所成角

与AQH互为余角即可求解.（2）根据体积公式可得Q是PC中点，进而根据线线垂直证明PD⊥平面AEF，即可根据三角形的边角关系，以及余弦定理求解【小问1详解】取PA中点为K，取PF中点M，过M作//MNPQ,连接BN，由于1//,,2KFADKFAD=且1//,2BEADBEA

D=，故//,KFBEBEKF=,故四边形BEFK为平行四边形，故//BKEF，BK平面AEF,EF平面AEF,故//BK平面AEF又//KMAF,KM平面AEF,AF平面AEF,故//KM平面AEF,,,KMBKKKMBK=平面BNMK，故平面BNMK//平面AEF,由

于平面PBC与平面BNMK相交于BN,于平面AEF相交于EQ，故//EQBN，又//MNPQ，M是PF的中点，N是BC的中点，所以,NQQCNQPN==,故Q是PC靠近于C处的三等分点，故23PQPC=【小问2详解】

由于三棱锥CEQA−的体积为36，由于60,2ABCABBC===,故ABCV为等边三角形，故,3,AEBCAE⊥=则11111331332326CEQAQECAACEQQQVVShAEEChh−−=====

,故1Qh=，即Q到平面ABCD的距离为1，由于2PA=,故Q是PC中点，由于PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,故PAAE⊥,又,//AEBCADBC⊥,则AEAD⊥，,,PAADAPAAD=平面PAD，故AE⊥平面PAD，PD平面PAD，故AEPD⊥,

又,PAADF=为中点，故AFPD⊥,,,AFAEAAFAE=平面AEF，故PD⊥平面AEF，取CD的中点H，连接HQ,则//HQPD,故HQ⊥平面AEF，22221111222,2222222AQPCQ

HPD==+===+=,223AHADDH=−=,则2222231cos24222AQQHAHAQHAQQH+−+−===,由于AQH为锐角，且AQ与平面AEF所成角与AQH互为余角，因此A

Q与平面AEF所成角的正弦值为1418.已知函数()sincosfxaxbx=+，称非零向量(),pab=为()fx的“特征向量”，()fx为p的“特征函数”．（1）设函数()ππ2sincos36hxxx=−−

+，求函数()hx的“特征向量”；（2）若函数()fx的“特征向量”为()1,3p=，求当()85fx=且ππ,36x−时sinx的值；（3）若()3,1p=的“特征函数”为()fx，11π0,6x且方程()

()()2230fxafxa+−+−=存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．【答案】（1）13,22−（2）43310−（3）(()1,34,5．【解析】【分析】（1）先利用两角和正余弦公式展开化简函数，再根据特征函数的概念求解即可；（2）由已知可得π4sin3

5x+=，利用ππsinsin33xx=+−即可求解；（3）由定义得()fx并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程()()()2230fxafxa+−+−=得()1fx=或()3fxa=−且31a−，()1fx=求得

两根，然后作出函数()fx，11π[0,]6x的图象，由图象可得()3fxa=−且31a−有两根的的范围．【小问1详解】因为()3131312cossincossincossin222222hxxxxxxx=−−−=−所以ℎ(𝑥)的“特征向量”为1

3,22p=−．【小问2详解】由题意知()πsin3cos2sin3fxxxx=+=+，由()85fx=得π82sin35x+=，π4sin35x+=，因为ππ,36x

−，ππ0,32x+，所以π3cos35x+=，所以ππ1π3π433sinsinsincos33232310xxxx−=+−=+−+=．【小问3详解】()

π3sincos2sin6fxxxx=+=+，当11π0,6x时，ππ,2π66x+．由()()()2230fxafxa+−+−=得()()()()()130fxfxa−−−=，所以()1fx=或()3fxa=−，由()

1fx=，即π1sin62x+=，而11π0,6x，解得0x=或2π3x=，即()1fx=在11π0,6x上有两个根，因为方程()()()2230fxafxa+−+−=在11π0,6x上存在4个不相等的实数根，所以当且仅当(

)3fxa=−且31a−在11π0,6x上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数𝑦=𝑓(𝑥)在11π0,6x上的图像和直线3ya=−，因为方程()()34fxaa=−在11π0,6x上有两个不等实根，即当且仅当函数𝑦=𝑓(𝑥

)在11π0,6x上的图像和直线()34yaa=−有两个公共点，由图像可知：230a−−或132a−，解得13a<?或45a，所以实数G的取值范围是(()1,34,5．【点睛】本题在以新定义基础之上考查了三角函数的有关知识点，考查了诱导公式及三角恒等

变换中的几个公式，还考查了三角函数中的方程的根的问题.19.在空间直角坐标系Oxyz−中，已知向量(,,)uabc=，点0000(,,)Pxyz．若平面以u为法向量且经过点0P，则平面的点法式方程可表示为000()()()0axxbyyczz−+−+−=，一般式方程可表示为0

axbyczd+++=．（1）若平面1：210xy−−=，平面1：3210yz−+=，直线l为平面1和平面1的交线，求直线l的一个方向向量；（2）已知集合{(,,)|||1,||1,||1}Pxyzxyz=

，{(,,)|||||||2}Qxyzxyz=++，{(,,)|||||2,||||2,||||2}Txyzxyyzzx=+++．记集合Q中所有点构成的几何体的体积为1V，PQ中所有点构成的几何

体的体积为2V，集合T中所有点构成的几何体为W．（ⅰ）求1V和2V的值；（ⅱ）求几何体W的体积3V和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值．【答案】（1）()1,2,3（2）（ⅰ）1323V=；2203

V=；（ⅱ）316V=，12−【解析】【分析】（1）根据直线l满足方程，对y进行合理取值两次，求出,xz即可求解；（2）（ⅰ）根据分析得到PQ为截去三棱锥4123QQQQ−所剩下的部分，然后用割补法求解体积即可；（ⅱ）利

用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可．【小问1详解】直线l是两个平面210xy−−=与3210yz−+=的交线，所以直线l上的点满足2103210xyyz−−=−+=，不妨设1y=，则1,2xz==，不

妨设3y=，则2,5xz==，直线l的一个方向向量为：()()21,31,521,2,3−−−=；【小问2详解】（ⅰ）记集合Q，PQ中所有点构成的几何体的体积分别为1V，2V，考虑集合Q的子集{(,,)|

2,0,0,0}Qxyzxyzxyz=++，即为三个坐标平面与2xyz++=转成的四面体，四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，此四面体的体积为1142(22)323QV==，由对称性知13283QVV

==，考虑到P子集P构成的几何体为棱长为1的正方体，即{(,,)|01,01,01}Pxyzxyz=，{(,,)|2,0,0,0}Qxyzxyzxyz=++，PQ为截去三棱锥4123QQQQ−所剩下的部分，P的体积1

111PV==，三棱锥4123QQQQ−的体积为41231111(11)326QQQQV−==，PQ的体积为412315166PQPQQQQVVV−=−=−=，由对称性知22083PQVV==．（

ⅱ）①记集合T中所有点构成的几何体为W，如图，的其中，正方体ABCDLIJM−即为集合P所构成的区域，EABCD−构成了一个正四棱锥，其中E到面ABCD的距离为2，1412233EABCDV−==，W的体积34686163PEABCDV

VV−=+=+=．②由题意面EBC的方程为20xz+−=，由题干定义知其法向量为1(1,0,1)n=，面ECD方程为20yz+−=，由题干定义知其法向量为2(0,1,1)n=，1212121cos,2||||nnnnnn==，由图知两个相邻面所成的角为钝

角，所成二面角的余弦值为：12−．【点睛】方法点睛：关于直线的方向向量求法，求出直线上的两个点坐标即可求解；求体积利用割补法，把不规则转规则进行求解：解决二面角的余弦值，利用空间向量来解决．