【文档说明】浙江省杭州市2022-2023学年高三下学期4月教学测试（二模）数学试题（解析版）.docx，共(25)页，3.935 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作

答无效！3．考试结束，只需上交答题卡．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1.设集合*2N4Axxx=，3Bxyx==−，则RAB

=ð（）A.0,3B.1,3C.1,2D.1,2,3【答案】C【解析】【分析】求出两个集合，再根据集合的交集、补集运算即可.【详解】由题意可得：)1,2,3,43A,B,==+∞，所以()R3B,=−∞ð，故R1,2AB=Ið.故选：C2.设复数z满足(

1i)2iz+=−+（i是虚数单位），则z=（）A.102B.54C.52D.52【答案】A【解析】【分析】利用复数运算求得z，进而求得z.【详解】依题意，(1i)2iz+=−+，()()()()2i1i2i13i13i1i1i1i222z−+−−+−+====−+++−，

所以221310222z=−+=.故选：A3.在数列na中，“数列na是等比数列”是“2213aaa=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的性质及充分不必要条件的定义即可判断，【

详解】数列na是等比数列，得2213aaa=，若数列na中2213aaa=，则数列na不一定是等比数列，如数列12468101214，，，，，，，，，所以反之不成立，则“数列na是等比数列”是“2213aaa=”的充分不必

要条件．故选：A.4.已知平面向量()1,3a=，2b=，且10ab−=，则()()2abab+−=（）A.1B.14C.14D.10【答案】B【解析】【分析】根据向量的模长公式以及数量积的运算律即可求解.【详解】因为222210abaabb−=−+=，10a=，2b=，所以2ab=，所

以()()2222204214abababab+−=−−=−−=.故选：B5.某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉()10,2D后，下列说法正确的是（）A.相关系数r变小B.决定系数2R变小C.残

差平方和变大D.解释变量x与预报变量y的相关性变强【答案】D【解析】【分析】从图中分析得到去掉()10,2D后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可．【详解】从图中可以看出()10,2D较其他点，偏离直线远，故去掉()10,2D

后，回归效果更好，对于A，相关系数r越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D后，相关系数r变大，故A错误；对于B，决定系数2R越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D后，决定系数2R变大，故B

错误；对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D后，残差平方和变小，故C错误；对于D，若去掉()10,2D后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确．故选：D．6.已知1a，1b，且2loglog4=

ba，则ab的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】C【解析】【分析】运用对数运算及换底公式可得22loglog4ab=，运用基本不等式可求得ab的最小值.【详解】∵2loglog4=ba，∴21loglog42=ba，

即：2222log4loglog=ab∴22loglog4ab=，∵1a，1b，∴2log0a，2log0b，∴22222log()loglog2loglog4ababab=+=，当且仅当22loglogab

=即ab=时取等号，即：4216ab=，当且仅当ab=时取等号，故ab的最小值为16.故选：C.7.如图，点A、B、C、M、N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足．．．直线//MN平面ABC的是（）A.B.C.D.

【答案】D【解析】【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理、面面平行的性质可确定正确选项.【详解】对于A选项，如下图所示，在正方体DMEFGPQT−中，//QTEF且QTEF=，因为B、C分别为QT、EF的中点，则//BQEC且

BQEC=，所以，四边形BCEQ为平行四边形，所以，//BCEQ，因为BC平面EMPQ，EQ平面EMPQ，所以，//BC平面EMPQ，同理可证//AB平面EMPQ，因为ABBCB=，AB、BC平面ABC，所以，平面//E

MPQ平面ABC，因为MN平面EMPQ，故//MN平面ABC，A满足；对于B选项，如下图所示，连接PT，在正方体DECFGPQT−中，//PEFT且PEFT=，因为A、B分别为PE、FT的中点，则//PABT且PABT=，所以，四边形PABT为平行四边形，故//ABPT，因为M、

N分别为GP、GT的中点，则//MNPT，所以，//MNAB，因为MN平面ABC，//AB平面ABC，所以，//MN平面ABC，B满足；对于C选项，如下图所示，在正方体DMKNGPQT−中，取GT的中点F，连接AF、BF、P

T，因为//PGKN且PGKN=，A、C分别为PG、KN的中点，所以，//AGCN且AGCN=，故四边形ACNG为平行四边形，则//ACGN，因为F、B分别为GT、TN的中点，所以，//BFGN，则//BFAC，所以，A、B、C、F四点共面，因

为//PMNT且PMNT=，则四边形PMNT为平行四边形，所以，//PTMN，因为A、F分别为PG、GT的中点，则//AFPT，所以，//MNAF，因为MN平面ABC，AF平面ABC，所以，//MN平

面ABC，C满足；对于D选项，如下图所示，在正方体DEKFGPQT−中，取EK的中点H，连接BH、HM、CN、PT、EF、BN，因为//PEFT且PEFT=，B、N分别为PE、FT的中点，则//PBTN且PBTN=，所以，四边形PBNT为平行四边形，则/

/BNPT，因为A、C分别为GP、GT的中点，所以，//ACPT，故//ACBN，所以，A、B、C、N四点共面，同理可证//MHBN，故//ACMH，同理可得//ABMN，//BHCN，反设MN平面ABC，因为//MNAB，且AB平

面ABC，则//MN平面ABC，但MN与平面ABC有公共点M，这与//MN平面ABC矛盾，故MN平面ABC，D不满足.故选：D.8.已知()sin()fxx=+(0)满足()14f=，503f=

且()fx在5,46上单调，则的最大值为（）A.127B.1817C.617D.3017【答案】B【解析】【分析】通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案.详解】()sin()fxx

=+(0)满足()14f=，503f=，53442TnT−=+，即()1736Tnn=+N，()61217nn+=N，()fx在5,46上单调，572641222T−==，即127，当1n=时最大，最

大值为1817，故选：B.【二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若直线1ykx=+与圆C

：()2229xy−+=相交于A，B两点，则AB的长度可能．．等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】CD【解析】【分析】首先找到直线所过定点()0,1P，根据直线所截圆的弦长公式求出弦长AB的取值范围，

进而求出AB的长度可能的取值.【详解】已知直线1ykx=+恒过点()0,1P，圆()22:29Cxy−+=的圆心坐标为()2,0C，半径3r=.当直线经过圆心时，所得弦长AB最大，max26ABr==；当直线

与PC所在直线垂直时，所得弦长AB最小，22min22954ABrPC=−=−=，因此可得：46AB，故AB的长度可能等于4或5.故选：CD10.已知函数()fx（xR）是奇函数，()()2fxfx+=−且()

12f=，()fx是()fx的导函数，则（）A.()20232f=B.()fx的周期是4C.()fx是偶函数D.()11f=【答案】BC【解析】【分析】根据函数奇偶性与(2)()fxfx+=−可得(4)()fxfx+=，根据导数

的运算可得(4)()fxfx+=从而可判断B项，根据周期性与奇偶性可判断A项，根据奇偶性与导数运算可得()()fxfx−=，从而可判断C项，在(2)()fxfx+=−−中，令=1x−代入计算可判断D项.【详解】因为函数()fx是奇函数，(2)()fxfx+=−，

所以(2)()()fxfxfx+=−=−，所以(4)(2)()fxfxfx+=−+=，即：(4)()fxfx+=，故()fx的周期为4，所以(4)()fxfx+=，故()fx的周期为4，故B项正确；(2023

)(45053)(3)(1)(1)2fffff=+==−=−=−，故A项错误；因为函数()fx是奇函数，所以()()fxfx−=−，所以()()fxfx−−=−，即：()()fxfx−=，所以()fx为偶函数，故C项正

确；因为(2)()fxfx+=−，所以(2)()fxfx+=−−，令=1x−，可得(1)(1)ff=−，解得：()01f=，故D项错误.故选：BC.11.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，

从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（）A.事件1A，2A为互斥事件B.事件B，C为独立事件C.()25P

B=D.()234PCA=【答案】ACD【解析】【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得()PB判断C，根据条件概率的定义求得2(|)PCA判断D．【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；由于是红球

有3个，白球有2个，事件B发生时，两球同为白色或同为红色，2325223225CC()3()CC()4CPBCPCPB===+，事件B不发生，则两球一白一红，()1PC=，,BC不独立，B错；223225CC2()C5PB+==，C正确；事件2A发生后，口

袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C才发生，所以23(|)4PCA=，D正确．故选：ACD．12.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，1O，2O为圆柱上下底面的圆心，O

为球心，EF为底面圆1O的一条直径，若球的半径2r=，则（）A.球与圆柱的体积之比为2:3B.四面体CDEF的体积的取值范围为(0,32C.平面DEF截得球的截面面积最小值为45D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点

，则PEPF+的取值范围为225,43+【答案】AD【解析】【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A；利用12CDEFEOCDVV−=建立函数关系判断B；求出球心O到平面DEF距离的最大值判断C；令点P在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q，设QFE=，

利用勾股定理建立函数关系，求出值域作答.【详解】对于A，球的体积为34π32π33rV==，圆柱的体积2π(2)16πVrr==，则球与圆柱的体积之比为2:3，A正确；对于B，设d为点E到平面BCD的距离，0dr，而

平面BCD经过线段EF的中点1O，四面体CDEF的体积11221163224433233CDEFEODCODCdVVSdd−−====，B错误；对于C，过O作1OHDO⊥于H，如图，而122OODO⊥，则21211sinDOOHDOOOODO==，又221

(2)25DOrr=+=，于是25OH=，设截面圆的半径为1r，球心O到平面DEF的距离为1d，则125d，又222111444455rrdd=−=−−=，则平面DEF截球的截面圆面积2116ππ5Sr=，C错误；对于D，令经过点P的圆柱的母线与

下底面圆的公共点为Q，连接,QEQF，当Q与,EF都不重合时，设QFE=，则4cos,4sinQFQE==，当Q与,EF之一重合时，上式也成立，因此4cos,4sinQFQE==，[0,)2，则2222

222(14sin14cos)PEPFPQQEPQQF+=+++=+++，令2214sin14cost=+++，则226254sin2t=++，而02π，即0sin21，因此262512t+，解得1523t+，所以

PEPF+的取值范围为[225,43]+，D正确.故选：AD【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.三、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.在1nxx−的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x项的系数为___________【答案】70【解析】【分析】先由二项式系数最大确定n,再由通项公式求含2x项的

系数即可.【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：8n=.∴通项公式()38821881C1CrrrrrrrTxxx−−+=−=−，令3822r−=，解得4r=.∴展开式中含2x项的系数

为()4481C=70−.故答案为：70.14.已知sincos2sin+=，2sincossin=，则224cos2cos2−=______．【答案】0【解析】【分析】将sincos2sin+=平方，结合2sincossin=可得

22124sin0sin+=−，利用二倍角余弦公式将224cos2cos2−化简求值，可得答案.【详解】将sincos2sin+=平方得212sincos4sin+=，结合2sincossin=可得221isn2i4sn+

=，即22124sin0sin+=−，则224cos2cos2(2cos2cos2)(2cos2cos2)−=−+()()2214sin2sin2cos2cos20=−++=，故答案为：015.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线

的一些光学性质．例如，点P为双曲线（1F，2F为焦点）上一点，点P处的切线平分12FPF．已知双曲线C：22142xy−=，O为坐标原点，l是点103,2P处的切线，过左焦点1F作l的垂线，垂足为

M，则OM=______．【答案】2【解析】【分析】延长2PF交1FM延长线于点N，结合题意得点M为1FN的中点，1PNPF=，从而得到212OMFN=，再结合双曲线的定义即可求解．【详解】如图，延长2PF交1FM延长线于点N，因为点M是12FPF的角平分线上的一点，且1FMMP⊥，所

以点M为1FN的中点，所以1PNPF=，又点O为12FF的中点，且1224PFPFa−==，所以()()22111142222OMFNPNPFPNPF==−=−+=．故答案为：2．16.已知函数2()e2e2xxfxx=−+在点()()00,Pxfx处的切线方程为l

：()ygx=，若对任意xR，都有()()0()()0xxfxgx−−成立，则0x=______．【答案】ln2−##1ln2【解析】【分析】根据条件表示出()ygx=，再令()()()hxfxgx=−，求导分类研究

函数单调性，进而求出结果.【详解】因为2()e2e2xxfxx=−+，所以2()2e2e2xxfx=−+，00200()e2e2xxfxx=−+，所以()()()00002200=2e2e2e2e2xxxxgxxxx−+−+−+，令()()()hxfxgx=−，则()()0000222

00()e2e22e2e2e2e2xxxxxxhxxxxx=−+−−+−+−+，则0()0hx=，()0022()2e2e2e2exxxxhx=−−−，令2()2e2exxx=−，则2()4e2exxx=−，令()0x=，得ln2x=−，所以(),ln2x−−时，(

)0x，()x单调递减，()ln2,x−+时，()0x，()x单调递增，当()0ln2,x−+，0xx时，0()()xx，则()()0()0hxxx=−，()hx单调递增，0()()0hxhx=，即()()fxgx，所以当()0ln2,x−

+，0xx时，()()0()()0xxfxgx−−成立，当()0,ln2x−−，0xx时，0()()xx，则()()0()0hxxx=−，()hx单调递增，0()()0hxhx=，即()()fxgx，所以当()0,ln2x

−−，0xx时，()()0()()0xxfxgx−−成立，综上所述0ln2x=−.故答案为：ln2−.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性

、极(最)值问题处理．四、解答题17.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cossin02ACB++=．（1）求角B大小；（2）若:3:5ac=，且AC边上的高为15314，求ABC的周长．【答案】（1）2π3（2）15【解析】【分析】（1）利用三角形内角和及

诱导公式得到sincos22ACB+=，再利用余弦的倍角公式得到22coscos1022BB+−=，解得1cos22B=，从而得到2π3B=；的（2）由,ac比例引入常数m，利用三角形面积相等得到27bm=，

从而利用余弦定理得到关于m的方程，解之即可得到,,abc，由此得解.【小问1详解】因为ππsinsinsincos22222ACBBB+−==−=，所以由cossin02ACB++=得coscos02BB+=，所以22coscos1022BB+−=，解得1cos22B=

或cos12B=−，因为0πB，所以π022B，则cos02B，故1cos22B=，则π23B=，故2π3B=．【小问2详解】因为:5:3ca=，令()50cmm=，则3am=，由三角形面积公式可得11153sin2214acBb=，则215771

5bacm==，故27bm=，由余弦定理可得2222cosbacacB=+−，则424949mm=，解得1m=，从而3a=，5c=，7b=，故ABC的周长为15abc++=．18.设公差不为0的等差数列na的前n项和为nS

，520S=，2325aaa=．（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足11b=，1(2)nannbb++=，求数列2nb的前n项和nS．【答案】（1）22nan=−，Nn+（2）2413

3nn−−【解析】【分析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可；（2）列出1nnbb++通项公式，根据通项求出1nnbb++的前n项和，再根据通项求出nb的前2n项和，两式相减解得2n

b的通项公式，最后分组求和求出数列2nb的前n项和nS.【小问1详解】5335204Saa===，设公差为d，首项为1a()()223233352322adaaaaadadd=−+=+−=，因为公差不为0，所以解得2d=，311240a

ada=+==，数列na的通项公式为22nan=−，Nn+.【小问2详解】12212)2(2)(nannnnbb−+−==+=()()()()123456212nnbbbbbbbb−++++++++①024222222n−=+++

+()11414n−=−4133n=−()()()()122334212nnbbbbbbbb−++++++++②012222222n−=++++()2111212n−−=−2121n−=−2①-②得211241=22

133nnnbb−+−−+，解得21222=4233nnnb−−−()()81421428414122413214143333333nnnnnnnnSn−−−−−=−−=−−=−−−19.在三棱锥SABC−中，底面ABC为等

腰直角三角形，90SABSCBABC===.（1）求证：ACSB⊥；（2）若2,22ABSC==，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）根据题意，可证SCBSAB，即SASC=，从而证

得AC⊥面SBE，即可得到结果；（2）根据题意，过S作SD⊥面ABC，垂足为D，连接,ADCD，以D为原点，,,DADCDS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz−，根据空间向量的坐标运算以及二面角的计算公式，即可得到结果.【

小问1详解】证明：取AC的中点为E，连结,SEBE，∵ABBC=，∴BEAC⊥，在SCB和SAB△中，90,,SABSCBABBCSBSB====∴SCBSAB，∴SASC=，∵AC的中点为E，∴SEAC⊥，∵S

EBEE=∩，∴AC⊥面SBE，∵SB面SBE，∴ACSB⊥【小问2详解】过S作SD⊥面ABC，垂足为D，连接,ADCD，∴SDAB⊥∵,,ABSAABSDSAADA⊥⊥=，AB⊥平面SAD∴ABAD⊥，同理，BCCD⊥∵底面ABC等腰直角三角形，2,22ABSC==，∴四边形AB

CD为正方形且边长为2.为以D为原点，,,DADCDS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz−，则()()()()2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0ASCB()()()0,2,2,2,2,0,2,0,0SCACBC=−=−=−，设平面SAC的法向量()

111,,xnyz=，则1111220220nSCyznACxy=−==−+=，解得xyz==，取11x=，则111,1==yz，∴(1,1,1)n=，设平面SBC的法向量()222,,mxyz=，则22222020mSCyzmBCx=

−==−=，解得0xyz==，取21y=，则110,1xz==，∴()0,1,1m=，设平面SAC与平面SBC夹角为26coscos,332mnmnmn====故平面SAC与平面

SBC夹角的余弦值为63.20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，PAB面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP、

BQ的斜率分别为1k、2k，且1235kk=．①求证：直线PQ经过定点．②设PQB△和PQA△的面积分别为1S、2S，求12SS−的最大值．【答案】（1）2214xy+=（2）①证明见解析；②154【解析】【分析】（1）根据题意可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即

可得出椭圆C的方程；（2）①分析可知直线PQ不与y轴垂直，设直线PQ的方程为xtyn=+，可知2n，设点()11,Pxy、()22,Qxy.将直线PQ的方程的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用1253kk=求出n的值，即可得出直线PQ

所过定点的坐标；②写出12SS−关于t的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得12SS−的最大值.【小问1详解】解：当点P为椭圆C短轴顶点时，PAB的面积取最大值，且最大值为112222ABbabab===

，由题意可得222322caabcab===−，解得213abc===，所以，椭圆C的标准方程为2214xy+=.【小问2详解】解：①设点()11,Pxy、()22,Qxy.若直线PQ的斜率为零，则点P、Q关于y轴对称，则12kk=−，不合

乎题意.设直线PQ的方程为xtyn=+，由于直线PQ不过椭圆C的左、右焦点，则2n，联立2244xtynxy=++=可得()2224240tytnyn+++−=，()()()22222244441640tntnt

n=−+−=+−，可得224nt+，由韦达定理可得12224tnyyt+=−+，212244nyyt−=+，则()2121242ntyyyyn−=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422

222nyynytynytyynykyxnnkxytynytyynyyynyn−++−+−+−−====−++++++++()()()()1211222222522223nyynynnnnyynyn++−−−===+−+++

，解得12n=−，即直线PQ的方程为12xty=−，故直线PQ过定点1,02M−.②由韦达定理可得1224tyyt+=+，()1221541yyt=−+，所以，()21212121211·42

2SSAMBMyyyyyy−=−−=+−()22222222211541544154124444151415415ttttttttt++=+===++++++++，20t，则241515t+，因为函数()1fxxx=+在)15,+上单调递增，故2211161

5415151515415tt+++=+，所以，124154161515SS−=，当且仅当0=t时，等号成立，因此，12SS−的最大值为154.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）

“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,xy，常利用直线的点斜式方程()00yykxx−=−或截距式ykxb=+来证明.21.

马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，2tX−，1tX−，tX，1tX+，…，那么1tX+时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态t

X，即()()1211,,,ttttttPXXXXPXX+−−+=．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输

掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为()*N,AAAB，赌博过程如下图的数轴所示．的当赌徒手中有n元（0nB，Nn

）时，最终输光．．．．概率为．．．()Pn，请回答下列问题：（1）请直接写出()0P与()PB的数值．（2）证明()Pn是一个等差数列，并写出公差d．（3）当100A=时，分别计算200B=，1000B=时，()PA的数值，并结合实际，解释当B→

时，()PA的统计含义．【答案】（1）()01P=，()0PB=（2）证明见解析；1dB=−（3）200B=时，()50%PA=，当1000B=时，()90%PA=，统计含义见解析【解析】【分析】（1）明确0n=和nB=的含义，即可得答案；（2）由全概率公式可

得11()(1)(1)22PnPnPn=−++，整理为()()()()11PnPnPnPn−−=+−，即可证明结论；（3）由（2）结论可得()1APAB=−，即可求得200B=，1000B=时，()PA的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.【小问1详解】当0n=时，赌徒已经输光

了，因此()01P=.当nB=时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率()0PB=.【小问2详解】记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元下一场赢的事件,()()(|)()(|)PMPNPMNPNPMN=+,

即11()(1)(1)22PnPnPn=−++，所以()()()()11PnPnPnPn−−=+−，的所以(){}Pn是一个等差数列，设()()1PnPnd−−=，则()()()()1210PnPndPPd−−−=−=，,，累加得()(0)PnnPd−=，故()(0)PBPBd−=，得1

dB=−，【小问3详解】100A=，由()()0PnPnd−=得()()0PAPAd−=,即()1APAB=−,当200B=时，()50%PA=，当1000B=时，()90%PA=，当B→时，()1PA→，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下

去就会100%的概率输光．【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确11()(1)(1)22PnPnPn=−++，即可求解,22.已知函数()

e(R)xafxax=−．（1）讨论函数()fx零点个数；（2）若()lnfxaxa−恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）e1(e,)+−.【解析】【分析】（1）将()fx零点问题转化为函数图象交点问题，设()exhxx=，求出函数的导数，判断单调性，作出其

大致图象，数形结合，即可求得答案.（2）分0,0,0aaa=三种情况分类讨论，利用导数判断函数的单调性，结合不等式恒成立考虑函数最值情况或利用单调性求解不等式，从而求得参数范围.【小问1详解】由(

)e0xafxx=−=，得e,(0)xxax=,设()exhxx=，则()()1exhxx=+，当1x−时，()0hx，当10,0xx−时，()0hx，所以()exhxx=在(1,0),

(0,)−+上单调递增；在(,1)−−上单调递减，所以min1()(1)ehxh=−=−，据此可画出()exhxx=大致图象如图，所以（i）当1e−a或0a=时，()fx无零点：（ii）当1ae=−或0a

时，()fx有一个零点；（iii)当10ea−时，()fx有两个零点；【小问2详解】①当0a=时，()lnfxaxa−即e0x恒成立，符合题意；②当0a时，由()lnfxaxa−可得0x，则e0xax−，则el

nxaaxax−−，即1(lne1)xxax+−，设1()ln1mxxx=+−，则22111()xmxxxx−=−+=，当01x时，()0mx，当1x时，()0mx，所以()mx在(0,1)上单调递

减，在(1,+)上单调递增，所以()()10mxm=，所以，当0a时，1e0(ln1)xxax+−，即()lnfxaxa−恒成立，即0a符合题意；③当0a时，由（1）可知，()exhxaxa−=−，在(0,)+上单调递增．又()00haa−=−，()e(0)1ahaaa−=

−，所以0(0,)xa，使000()e0xhxaxa−=−=.i）当0(0,)xx时，e0xxa−，即e0xax−，设()eln0xagxaxax=−−+，则2()e0xaagxxx=−−−，所以()gx在0(0,)x上单调递减，所以0(0,)xx时，

()()00lngxgxaxa=−+；ii）当0(,)xx+时，e0xxa−，即e0xax−，设()eln0xatxaxax=−−+，因为222e()exxaaxaaxtxxxx+−=+−=，令20()e,,()xpxxaaxxx=+−+，则2()(2)expxxxa=+−，又

令20()(2)e(),,xnxxxaxx=++−，则2()(42)e0xnxxx=++，得()nx在0(),x+上单调递增，有020000()()()(2)e0xpxnxnxxxaaxa=

=+−=+，得()px在0(),x+上单调递增，有02000e()()0xpxpxxaaxa=+−=，则2()()0pxtxx=，得()tx在0(,)x+上单调递增，则0(,)xx+时，()()00lntxtxaxa=−+，又0(0,)xx时，()

()00lngxgxaxa=−+，得当0a时，()lnfxaxa−时，00ln00eaxax−+，由上可知00exax=，()exhxx=在(0,)+上单调递增，则此时e+10ea，综上可知，a的范围是e1(e,)+−.【点

睛】难点点睛：第二问解答不等式恒成立求解参数范围时，需要讨论a的正负，看能否保证不等式恒成立，特别是当0a时，要结合函数的零点情况，反复构造函数，判断函数单调性，由此求得参数a的范围，计算过程十分复杂，计算量较大，难度很大.获得更

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