【文档说明】（基础训练）2022-2023学年新高考高三数学一轮复习专题 -平面向量数量积及应用 含解析【高考】.docx，共(14)页，667.942 KB，由小赞的店铺上传

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1平面向量数量积及应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在平行四边形ABCD中，，

，则ABAD=()A.5−B.~4−C.~3−D.2−2.非零向量a，b，c满足abac=，a，b的夹角为6，||4b=，则c在a上的投影向量的模为()A.2B.23C.3D.43.在ABC中，90C

=，4AC=，3BC=，点P是AB的中点，则CBCP=()A.94B.4C.92D.64.已知向量(3,1)a=，(1,3)b=，且()()abab+⊥−，则的值为.()A.2−B.1−C.1D.25.向量的数量积

可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在平行四边形ABCD中，M是BC中点，3AM=，10BC=，则.ABAC=()A.32B.32−C.16D.16−6.已知单位向量a，b的夹

角为60，则在下列向量中，与b垂直的是()A.2ab+B.2ab+C.2ab−D.2ab−7.已知向量a，b满足||1a=，，且a与b的夹角为60，则()A.7B.3C.5D.228.已知向量a，b满足||5a=，||6b=，6ab=−，则cosa

，ab+=()2A.3135−B.1935−C.1735D.1935二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.设向量(2,0)a=，(1,1)b=，则()A.||||ab=B.()//abb−C.()abb−⊥D.a与b的夹角为410.定

义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A.()()abab=B.abba=C.若0ab=，则ab⊥D.||||||abab„三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知(3,)a=，(4,3)b=−，若a与

b的夹角为锐角，则的取值范围为__________.12.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足1()2APABAC=+，则||PD=__________；PBPD=__________.13.已知ABC的外心为O，2AOABAC=+，||||1AOAB==，则A

OAC=__________.14.已知非零向量a，b满足||4||ba=，且(2)aab⊥+，则a与b的夹角为__________.15.已知正六边形ABCDEF的边长为1.那么ABAF=__________.若ADxAByAF=+，则xy+=_____

_____.四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题12.0分)在平面直角坐标系中，已知(1,2),(3,4).ab=−=()Ⅰ若(3)//()abakb−+

，求实数k的值；()Ⅱ若()atbb−⊥，求实数t的值.317.(本小题12.0分)如图，在ABC中，2BDDC=，E是AD的中点，设ABa=，.ACb=(1)试用a，b表示AD；(2)若||1a=，||1b=，且a与b的

夹角为60，求||.BE18.(本小题12.0分)已知点(1,1)A−，(1,2)B，(,1)Cx−，(3,).Dy(1)若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值；(2)若2x=−，且()ABACCD+⊥，求向量AB在CD方向上的投影向量．

4答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量的运算，向量的平行四边形法则和三角形法则，属于基础题．根据题意，运用向量的平行四边形法则和三角形法则，得到BCAD=，ABDC=，结合题设条件得到(1,2)ABBC+=，(3,4)BCAB−

=，求出向量AB和BC，利用ABADABBC=可计算得出答案.【解答】解：由题意，作出图形如下所示：因为四边形ABCD为平行四边形，所以BCAD=，ABDC=，所以ACABBC=+，即得(1,2)ABBC+=，①BDADAB=−，

即(3,4)BCAB−=，②由①+②，得2(4,6)BC=，所以(2,3)BC=，由①-②，得2(2,2)AB=−−，所以(1,1)AB=−−，于是ABADABBC=12(1)3=−+−5.=−故选：.A2.【答案】B【解析】5【

分析】利用向量的数量积的等式，化简求解推出c在a上的投影向量的模．本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．【解答】解：非零向量a，b，c满足abac=，a，b的夹角为6

，||4b=，可得||||cos||||cos,6abacac=，所以，所以c在a上的投影向量的模为23.故选：.B3.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．利用向量的数量积以及向量的线

性运算即可求解．【解答】解：在ABC中，90C=，则0CBCA=，因为点P是AB的中点，所以1()2CPCBCA=+，所以222111119[()]||.222222CBCPCBCBCACBCBCACBCB=+=+===故选：.C4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查

了向量垂直的充要条件，平面向量的坐标运算，属于基础题．根据向量垂直其数量积为零，列出方程求的值即可．【解答】解：向量(3,1)a=，(1,3)b=，则(4,4)ab+=，6(3,13)ab−=−−，且()()abab+⊥−，所以()()abab+−4(3)4(13)0

=−+−=，解得1.=故选：.C5.【答案】D【解析】【分析】本题考查新定义极化恒等式问题，考查了向量的数量积，属于基础题，由题意可得2ADAM=，代入极化恒等式，即可求得结果.【解答】解：因为在AB

C中，M是BC中点，3AM=，10BC=，所以2ADAM=，由题意，故选：.D6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了判断两向量是否垂直的应用问题，是基础题．利用平面向量的数量积为0，即可判断两向量是否垂直．【解答】解：单位向量||||1ab==，111cos602ab==，对于A，

215(2)2222abbabb+=+=+=，所以(2)ab+与b不垂直；对于B，21(2)22122abbabb+=+=+=，所以(2)ab+与b不垂直；对于C，213(2)2222abbabb

−=−=−=−，所以(2)ab−与b不垂直；7对于D，21(2)22102abbabb−=−=−=，所以(2)ab−与b垂直．故选：.D7.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的模的求法，向量的数量积，属于基础题.根据，代入数值即可得解.【解答】解：因为向量a，b满足||1

a=，，且a与b的夹角为60，则1142127.2=++=故选.A8.【答案】D【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题.利用已知条件求出||ab+，然

后利用向量的数量积求解即可.【解答】解：向量a，b满足||5a=，||6b=，6ab=−，可得22||22512367abaabb+=++=−+=，cosa，2()25619.575735||||aabaababaab++−+====+故选.D9.【答案】CD8【解析】【分析】

本题考查了根据向量的坐标求向量模，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．可以求出||2,||2ab==，从而判断A错误；得出()0abb−=，从而判断B错误，C正确；求出2cos,2ab=，从而判断

D正确．【解答】解：||2,||2ab==，A错误；(1,1)ab−=−，()110abb−=−=，()abb−⊥，B错误，C正确；22cos,2||||22ababab===，且0,ab剟，a与b的夹角为4，D正确．故选.CD10.【答案】BD【解析】【分析

】本题主要考查了新定义运算，涉及向量的模及夹角，属于难题.结合已知的向量的模及夹角，运用新定义运算逐一分析解答.【解答】解：对于A：，，故不会恒成立，故A错误；对于B，，，故abba=恒成立，故B正确；对于C，若0ab=，则，所以sin,0ab=，故,0ab=或，所以//ab，故C

错误；对于D，，故D正确.故选.BD911.【答案】【解析】【分析】本题考查向量的坐标运算，考查向量的夹角，向量共线的坐标表示，属于基础题.根据a与b的夹角为锐角，可知0ab，从而求出的取值范围.【解答】

解：a与b的夹角为锐角，0ab，即1230−，解得4，又a与b不共线，所以940−−，解得94−，所以的取值范围为4且94−，故答案为12.【答案】51−【解析】【分析】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐

标系，向量的坐标表示及运算，求出点P的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及PBPD

的值.【解答】10解：以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，故答案为：5；1.−13.【答案】32【解析】【分析】本题考查向量的数量积，属于基础题.根据题意得出BC为圆O的直径，则90BAC=，求

出30OAC=，利用数量积的定义直接求即可.【解答】解：因为ABC的外心为O，2AOABAC=+，所以BC为圆O的直径，则90BAC=，因为||||1AOAB==，所以AOB为等边三角形，所以60BAO=，所以30OAC=，且2222213ACBCAB=−=−=，所以11故

答案为3.214.【答案】23【解析】【分析】本题主要考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化，为基础题．由(2)aab⊥+知2(2)20aabaab+=+=，设a与b的夹角为，求得1co

s2=−，结合的范围，可求得的值．【解答】解：由已知非零向量a，b满足||4||ba=，且(2)aab⊥+，得2(2)20aabaab+=+=设a与b的夹角为，则22||||4||cos0aaa+=，即1cos2=−，又因为[0,]，所以2.3=15.【

答案】12−4【解析】【分析】本题考查向量数量积的计算公式，平面向量基本定理，向量数乘运算，考查了计算能力，属于中档题．可画出图形，根据图形可得出120BAF=，1ABAF==，从而求出ABAF的值；然后得出

22ADABAF=+，进而可求出xy+的值．12【解答】解：如图，120BAF=，1ABAF==，1||||cos1202ABAFABAF==−，又2()22ADABAFABAFxAByAF=+=+

=+，根据平面向量基本定理，2x=，2y=，4.xy+=故答案为：1;4.2−16.【答案】解：()3(0,10),(31,42)abakbkk−=−+=+−Ⅰ，(3)//()abakb−+，310k+=，解得13k

=−；()(13,24)atbtt−=−−−Ⅱ，()atbb−⊥，()3(13)4(24)0atbbtt−=−−+=，解得1.5t=−【解析】本题考查了向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，考查了计算能力．()Ⅰ可以求出3(0,10),(31,42)abakbkk−=−+

=+−，可得出310k+=，解出k即可；()Ⅱ根据()atbb−⊥，即可得出()0atbb−=，即可得解.1317.【答案】解：22221(1)()().33333ADABBCaACABababa=+=+−=+−=+(2)由题意可得111cos602ab

==，11211()22333BEAEABADABbaab=−=−=+−=−56a，222552515125||()36993699236babBEaba=−=−+=−+19.6=【解析】本题考查向量的模，向量的夹角公式，考查运算求解能力

，是基础题．(1)利用向量和与差的几何意义，用a，b表示AD即可．(2)利用向量数量积的定义求得ab，用a，b表示BE，根据25||()36baBE=−，即可求得结果．18.【答案】解：(1)由(1,1)A−，(1,2)B，(,1)Cx−，(3,)Dy，得(2,1)AB=，

(3,1)CDxy=−+，因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD=−，即(2,1)(3,1)xy=−−+，所以2(3)1(1)xy=−−=−+，解得5.2xy==−因为5x=，2y=−时，(2,1)AB=与(4,3)

BC=−不共线，符合题意，所以5x=，2.y=−(2)由(1,1)A−，(1,2)B，(,1)Cx−，(3,)Dy，且2x=−，得(2,1)AB=，(1,2)AC=−−，(5,1)CDy=+，(1,1)ABAC+=−，因为()ABACCD+⊥，所以()0ABACCD+=，即5(1

)0y−+=，解得4y=，所以(5,5).CD=14设向量AB与CD的夹角为，则向量AB在CD方向上的投影向量为222215(5,5)33||cos(,).22||||||5555CDABCDCDABCDCDCD===++【解析】本题主要考查向量平行和垂

直、向量数量积及向量的模的坐标表示，属于中档题．(1)求出向量的坐标，利用向量平行的坐标表示进行求解即可．(2)根据向量垂直以及向量投影的概念进行计算即可．