【文档说明】吉林省长春市外国语学校2023-2024学年高三上学期期中考试 数学答案.docx，共(9)页，928.093 KB，由小赞的店铺上传

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长春外国语学校2023-2024学年第一学期期中考试高三年级数学试卷参考答案1．B【分析】化简集合A，根据交集的定义求得AB，进而可求解.【详解】因为3,N0,1,2,3Axxx==，所以0,1,2,3AB

=，则AB中元素的个数为4个.故选：B.2．D【分析】根据复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由()()()()22i2i44i1342i2ii2i2i2i555zz−−−−+=−====−++−，故选：D3．C【分析】将3ABACABAC−=+平方，再

结合模长运算即可求解.【详解】因为3ABACABAC−=+，所以()()223ABACABAC−=+，所以2240ABACABAC++=，又2ABAC==，所以4440ABAC++=，所以2ABAC=−.故选：C.4．B【详解】椭圆2222:1(0)xyCabab+=的一个焦点与

抛物线243yx=的焦点重合,可得c3=，长轴长等于圆222150xyx+−−=，即()22116xy−+=的半径，a=2，则b=1，所求椭圆方程为：2214xy+=.故选B.5．C【分析】利用函数导数与函数单调性的关系将问题转化为216axx+恒成立问题，构造函数()216gxx

x=+，利用导数求得()gx的最大值，从而得解.【详解】因为()3116ln3xxaxfx=+−，则()216fxxax=+−，由题意知()0fx在区间1,3上恒成立，即216axx+在区间1,3上恒成立.令()216gxxx=+，1,3x，所以()()()23222

2216216224xxxgxxxxxx−+==+−−=，因为()22241330xxx++=++，所以当12x时，()0gx，当23x时，()0gx，所以()gx在()1,2上单调递减，在()2,3上单调递增，又()216117

11g+==，()21634317333g+==，所以()()max117gxg==，则17a，即a的取值范围是)17,+.故选：C.6．A【分析】根据点到直线距离公式和垂径定理得到方程，求出1k=

，从而得到答案.【详解】圆心O到直线:1lykx=+的距离为211dk=+，当||2AB=时，由垂径定理得2221|2|dAB+=，即22212121k+=+，解得1k=，故“1k=−”是“||2AB=”的充分

而不必要条件.故选：A7．B【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出πsin(2)13+=，结合角的范围求得，即可求得答案.【详解】由题意()2sincos3cos23++=，则12sincos3c

os23++=，即sin23cos22+=，故π2sin(2)23+=，即πsin(2)13+=，由于π02，所以ππ4π2(,)333+，则ππ232+=，即π12=，故π1sin2si

n62==，故选：B8．C【分析】化简已知条件，利用基本不等式即可得出结论.【详解】由题意，0x，0y，xyxy+=，∴111xy+=，∴()1122213232222xyxyxyyxxyxxyy+=

++++==+++，当且仅当2xyyx=即221,12xy=+=+时等号成立，故选：C.9．ACD【分析】由百分位数的定义，即可判断A，由回归方程的性质即可判断B，由方差的性质即可判断CD.【详解】因为00107575.=，所以这

组数据的第75百分位数是第8个数，即为16，A正确；由回归方程可知，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量y减少0.6个单位，B错误；选项C，由()DXM=，可得()()3199DXDXM+==，C正确；由()502211250iisx==−，得2x=，所

以这组样本数据的总和等于502100=，故D正确；故选：ACD10．CD【分析】根据降幂公式、二倍角正弦公式，结合正弦型函数的最值、对称性、单调性、图象变换性质逐一判断即可.【详解】()211cos2112πsins

incossin2sin21222224xfxxxxxx−=++=++=−+.A：函数()fx的最大值为212+，因此本选项不正确；B：因为π2ππsin2118284f=−+=，所以图象C不关于π8,0中心对称，因

此本选项不正确；C：当π3π,88x−时，πππ2,422x−−，所以函数()fx在区间π3π,88−内是增函数，因此本选项正确；D：函数()fx图象上，横坐标伸长到原来的2倍，得到2πsin124yx=−+，再

向左平移π4可得到2sin12yx=+，所以本选项正确，故选：CD11．ABD【分析】对于A，B选项，直接利用几何法判断即可，对于C选项，利用线面垂直证明线线垂直，对于D选项，利用坐标法可证.【详解】当1=时，1BPBCBB=+，则点P在1CC上运动，则当点

P与1C重合时，则此时面积取得最大值，22112ACACCC=+=,由于直三棱柱111ABCABC-，则1ABAA⊥，ABC为等腰直角三角形，则ABAC⊥，又1ACAAA=∩，AC，1AA面11ACCA，则AB⊥面11ACCA，因为1AC

面11ACCA，所以1ABAC⊥，则111222ABPABCSSABAC===，故选项A正确；当1=时，则1BPBCBB=+，点P在11BC上运动，则11PABCABPCVV−−=，由于点1A到平面BPC的距离为定值22，点P到线段BC的距离恒为1，则122122BCPS==，

则1112213226PABCABPCVV−−===，故选项B正确；当12=时，112BPBCBB=+，设BC的中点为M，11BC的中点为N，则点P在MN上运动，当点P与点M重合时，BMMN⊥，BMAN⊥，又1MNANN=，MN，1AN

平面1AMN，则BM⊥面1AMN，又因为1AP面1AMN，则1BMAP⊥，当点P与点N重合时，1AN⊥面11BCCB，即1AP⊥面11BCCB，则1APBP⊥，故选项C错误；如图建立空间直角坐标系，设1BB的中点为H，1CC的中点为G，当12=时，112

BPBCBB=+，则点P在线段HG上运动，则()10,0,0A，()1,0,1B，()0,0,1A，()11,0,0B，1,1,2Paa−，故()11,0,1AB=，()11,0,1AB=−，1,1,2APaa=

−设平面1APB的法向量为(),,mxyz=，则()101102ABmxzAPmaxayz=−==+−−=，令1x=，得121,,122ama−=−，当12a=时，则1ABuuur与m平行，则存在点P，使得1AB⊥平面1ABP，故选项D正确；故

选：ABD.12．BCD【分析】根据赋值法，可判断()01f=或()00f=，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD.【详解】令0xy==，则()()()()()0020000fffff+=

=或()01f=，故A错误，若()01f=时，令0x=，则()()()()()()=20=fyfyfyffyfy+-?，此时()fx是偶函数若()00f=时，令0y=，则()()()()()=200=0fxfxfxffx+=?，此时()

fx既是偶函数又是奇函数；因此B正确，令12x=，则()111112=0=022222fyfyffyfyfy++−=++−，所以()fx关于1,02中心对称，故C正确，由()fx关于1,0

2中心对称可得()()=1fxfx--，结合()fx是偶函数，所以()()()()()()=1=1=2=2fxfxfxfxfx--------，所以()fx的周期为2，令12xy==，则()()11102=022ffff+=

，故()()()()12=10=0ffff++，进而()()()()()122022101112=0fffff+++=+，故D正确，故选：BCD13．358−【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求出r的值，即可求得展开式中含5x项的

系数．【详解】712xx−的展开式中，通项公式为()77721711CC22rrrrrrrTxxx+−+=−=−，令752r+=，求得3r=，可得展开式中含5x项的系数33781C235−=−.

故答案为：358−．14．21,(1)2,(2)nnn−=【分析】根据题中1nnaS+=，利用na和nS的关系式11,1,2nnnSnaSSn−==−来求解，注意1n=时要检验是否符合2n时的表达式.【详解】当1n=时，1211aSa===；当2n

时，因为1nnaS+=，所以1nnaS−=所以11nnnnnaaSSa+−−=−=；所以12nnaa+=；所以当2n时，na是以2为公比的等比数列；所以2222nnnaaq−−==，当1n=时，1211122a−==所以2*1,12,2nnnannN−=

=，故答案为：21,(1)2,(2)nnn−=15．312+【分析】由题意知四边形12PQFF为菱形，再结合图形得出1223,2PFcPFc==，最后根据定义即可得出离心率.公众号：全元高考【详解】设双曲线22221(0,0)xyabab−=焦距为2c，

不妨设点P在第一象限，由题意知12PQFF∥，由12PQFF=且1PF与2QF垂直可知，四边形12PQFF为菱形，且边长为2c，而1QFO为直角三角形，112,QFcFOc==，故1130,60FQOQFO=

=，则1120FQP=，则1232223,22PFccPFc===，故122322PFPFcca−=−=，即离心率131231e+==−.故答案为:312+.16．4010π3【分析】根据条件确定点F的轨迹为圆，

再根据勾股定理判断出ACE△为直角三角形，其外心为AE与1OO的交点Q，进而计算出QFQEQCQA===，确定Q为四面体ACEF的外接球的球心，求出半径进行计算即可.【详解】因为F是上底面的一个动点，且16OF=，所以点F的轨迹是上底面上以1O为圆心，6为半径的圆，在ACE△中，32AC=，22(

32)222CE=+=，226240AE=+=，∴222ACCEAE+=，∴ACE△为直角三角形，其外心为AE与1OO的交点Q，且1OQ=，10QE=，而222112610QFQOOF=+=+=，所以QFQEQCQA===

，所以Q为四面体ACEF的外接球的球心，球半径为10，所以球的体积344010ππ(10).33V==故答案为：4010π.3公众号：全元高考17．(1)2nna=；(2)12nnTn+=.【分析】（1）根据1,1,2nnnnSnaSSn−==−，并

结合等比数列的定义即可求得答案；（2）结合（1），并通过错位相减法即可求得答案.【详解】（1）当1n=时，11122,2Saa=−=，当2n时，11122(22),2nnnnnnnaSSaaaa−−−=−=−−−=，{}na是以2为首项，2为公比的

等比数列，1222nnna−==.（2）2log2,(1)2nnnnbncn===+，12122322(1)2nnnTnn−=+++++…①231222322(1)2nnnTnn+=+++++…②①-②得23112(21)4222(1

)22(1)221nnnnnTnn++−−=++++−+=+−+−1112(1)22nnnnn+++=−+=−，12nnTn+=.18.（Ⅰ）3A=；（Ⅱ）326bc+.【详解】试题分析：()1利用正弦定理及余弦定理整理求出cosA，即可求得

角A的大小；()2利用余弦定理及常用不等式求解即可解析：（Ⅰ）()2coscosbcAaC−=根据正弦定理得()2sinsincossincosBCAAC−=()2sincossincossincossinsinBACAACACB=+=+=1sin0,cos2BA=又()0,A3A

=（Ⅱ）在ABD中，根据余弦定理得2222cosADABBDADABA+−=即()221292222bcbcbc+−==()22932bcbc+−=又2222bcbc+()22292232

bcbcbc+−+=()2236bc+26bc+又23bc+,326bc+19．(1)证明见解析(2)155【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理可证OF⊥平面QPDA，

进而可得结果；（2）以O为原点、,,OFODOQ分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz−，求出DE和平面QFD的法向量，利用点到平面的距离公式的向量求法可得答案.【详解】（1）设O是线段AD的中点，连接,Q

OOF，过D作DMBC⊥，垂足为M，因为四边形ABCD为等腰梯形，//ADBC，224BCADAB===，所以1CM=，2CD=，因为F是BC的中点，可得221,3ODMFDMCDCM===−=，则//ODMF

，即四边形OFMD为平行四边形，可得//,3OFDMOFDM==，所以OFAD⊥，又因为四边形PQAD是边长为2的菱形，且π3QAD=，则QAD是边长为2的等边三角形，可得,3QOADQO⊥=，则222QOFOQF+=，可得QOOF⊥，因为,ADOQOAD=I平面,QPDA

OQ平面QPDA，所以OF⊥平面QPDA，且OF平面ABCD，所以平面QPAD⊥平面ABCD.（2）以O为原点、,,OFODOQ分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系Oxyz−，则()()()()130,0,3,0,1,0,

3,0,0,0,,,0,0,322QDFEQ−，可得()()333,0,3,0,,,0,1,322QFDEDQ=−=−=−uuuruuuruuur，设平面QFD的法向量为(),,mxyz=，则33030mQFxzmDQyz=−==−+=，取3z=，则

3,3yx==，可得()3,3,3m=，则点E到平面QFD的距离为()()22230333232155333mDEhm−+===++.20．（1）6481；（2）分布列见解析，数学期望为10727．【分析】（1）根据题意，结合五局三胜制规则，分别求得比赛三、四和五局且甲获

胜的概率进而求得甲获胜的概率；（2）随机变量X的取值为3，4，5，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得期望.【详解】（1）由题意知，比赛三局且甲获胜的概率3128327P==，比赛四局且甲获胜的概率为22232128

33327PC==，比赛五局且甲获胜的概率为222342121633381PC==，公众号：全元高考所以甲获胜的概率为12388166427278181PPPP=+

+=++=．（2）随机变量X的取值为3，4，5，则()332113333PX==+=，()22223321212182104333333272727PXCC==+=+=，()222421853327PXC===

，所以随机变量X的分布列为X345P131027827所以()11081073453272727EX=++=．【点睛】求随机变量X的期望与方差的方法及步骤：1、理解随机变量X的意义，写出

X可能的全部值；2、求X取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),EXDX；4、若随机变量X的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.21．(1)2214xy+=；(2)1．【分析】（

1）由椭圆的离心率为32，且点13,2−在椭圆C上，列出方程组求出,ab，由此能求出椭圆C的方程；（2）设l与x轴的交点为(),0Dn，直线:lxmyn=+，联立方程组，得()2224240mymnyn+++−=，由此利用韦达定理、弦长公式、均值定理

，结合已知条件能求出POQ△面积的最大值.【详解】（1）解：因为椭圆C的离心率为32，且点1(3,)2−在椭圆C上所以，22222321341caabbac=+==−，即222222

2234311414acabbaca=+==−=，解得24a=，21b=,所以，椭圆C的方程是2214xy+=.（2）解：设直线l与x轴的交点为(),0Dn，直线:lxmyn=+，与椭圆交点为()11,Pxy，(

)22,Qxy，联立xmyn=+，2214xy+=，得()2224240mymnyn+++−=，∴12224yymnm+=−+，212244nyym−=+，∴()1212224224myynxxnm+++==+，即224

,44nmnHmm−++，∵1OH=，∴()2222416mnm+=+，∴12121122POQSODyynyy=−=−，令()()()222221212122244121616mTnyynyyyym+=−=+−=+，设()244tmt=+，

则()222241114424144481624mtttmtt+==+++++，当且仅当144tt=，即12t=，等号成立，∴()21222114111216121612224816POQmSnyym+−===+，∴P

OQ△面积的最大值为1.22.(1)()12ln2yx=−(2)存在，1a=，证明见解析公众号：全元高考【分析】（1）求导，得到()12ln2f=，由导函数的几何意义求出切线方程；（2）分01x和1x两种情况，分离参数，构造函数得到函数的最值

，从而得到a的值.【详解】（1）当2a=时，()2lnxfxx−=，()()()()221ln2ln2lnlnxxxxxxfxxxx−−−+==，()()22ln212ln22ln2f==，又()20f=，∴曲线()yfx=在点()()22f,处的切线方程为()12ln2yx=−．

（2）①当01x时，ln0x，则lnxaxx−，故lnaxxx−，令()lngxxxx=−，则()122ln1ln22xxxgxxxxx−−=−−=，令()22lnhxxx=−−，则()1110xhxxxx−

=−=在()0,1上恒成立，∴()hx在()0,1上单调递减，∴当01x时，()()10hxh=，∴()22ln02xxgxx−−=，∴()gx在()0,1上单调递增，()()11gxg=，∴1a．②

当1x时，ln0x，则lnxaxx−，故lnaxxx−．由①知当1x时，()10xhxx−=，()hx在()1,+上单调递增，当1x时，()()10hxh=，∴()22ln02xxgxx−−=，∴()gx

在()1,+上单调递增，∴()()11gxg=，∴1a．综合①②得：1a=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com