【文档说明】上海市华东师范大学附属东昌中学2021-2022学年高三下学期第二次阶段检测数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.043 MB，由小赞的店铺上传

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华东师范大学附属东昌中学2021学年度第二学期阶段检测一考试高三试卷一、填空题：（本大题满分54分，第1-6题，每题4分，第7-12题，每题5分．）1.复数2i2i1+−的共轭复数是__________．【答案】i【解析

】【分析】根据复数的运算，化简复数再根据共轭复数的概念，即可得到答案.【详解】由题意得，2i2i1+−＝()()()()2i2i15ii2i12i15++=−−=−+，所以其共轭复数为i.故答案为：i.2.若2log1142x−=−，则x=__________【答案】42或22【解析】

【分析】根据行列式及对数的运算法则、性质求解.【详解】因为2log1142x−=−，所以22|2log4||21o|14xxg−==，即2211olog242xg==，解得42x=或22x=，故答案为：42或223.设全集RU=，集合3,1A=−，22,1Bm

m=−−，且AB=，则实数m=______．【答案】3或-1##-1或3【解析】【分析】根据集合相等得到223mm−=，解出m即可得到答案.【详解】由题意，2233mmm−==或m=-1.故答案为：3或-1.4.已知函数()fx是定义域为R的奇函数

，当0x时，()2logfxx=，则()2f−=______．【答案】12−##0.5−【解析】【分析】根据给定条件利用函数奇偶性定义直接计算作答.【详解】因函数()fx是定义域为R的奇函数，当0x时，()2logfxx=，所以()()2122log22ff−=−=−

=−故答案为：12−5.已知sin3cos0−=，则2sinsin2+=__________.【答案】32##1.5【解析】【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出tan，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；【

详解】解：因为sin3cos0−=，所以sintan3cos==，所以22sinsin2sin2sincos+=+222sin2sincossincos+=+22tan2tantan1

+=+223233312+==+故答案为：326.已知{}na为无穷等比数列，13a=，na的各项和为9，2nnba=，则数列{}nb的各项和为______．【答案】185【解析】.【分析】先求出公比q，得到21223()3nnnba−==，直接用公式法求和.【详解】解：设{

}na的公比为q，由13a=，na的各项和为9，可得391q=−，解得23q=，所以123()3nna−=，21223()3nnnba−==，可得数列{}nb是首项为2，公比为49的等比数列，则数列{}nb的各项和为2184

519=−．故答案为：185．7.已知函数()eexxfx−=−，则不等式()2(2)40fxfx−+−的解集为______．【答案】()3,2−【解析】【分析】判断()fx的单调性和奇偶性，再利用其性质求解不等式即可.【详解】因为()eexxfx−=−，定义域为R，且()(

)eexxfxfx−−=−=−，故()fx为奇函数；又e,exxyy−==−均为单调增函数，故()fx是R上的单调增函数；则()2(2)40fxfx−+−，即()()224fxfx−−，也即224xx−−，故260xx+−，()()320xx+−，解得3

2x−.故不等式()2(2)40fxfx−+−的解集为()3,2−.故答案为：()3,2−.8.已知点P在圆222xy+=上，已知(4,0)A，(0,4)B−，则PAPB的最小值为___________.【答案】6−【解析】【分析】

推导出极化恒等式，即222214PAPBPMBMPMAB==−−，结合||PM最小值为2222−=，求出PAPB的最小值.【详解】由题意，取线段AB的中点()2,2M−，则2PAPBPM+=，2PAPBBABM−==，两式分别平方得：22224PAPAPBPBPM++

=①，22224PAPAPBPBBM−+=②，①－②得：222214PAPBPMBMPMAB==−−，因为圆心()0,0O到()2,2M−距离为22OM=，所以||PM最小值为2222−=，又||42AB=，故最小值为：286−=−.故答案为：6−9.已知正方体1111

ABCDABCD−的棱长为3，点E为棱11DC上一动点，点F为棱1BB上一动点，且满足2EF=．则三棱锥11BEFC−的体积的最大值为______．【答案】312【解析】【分析】设11,,CEmBFn==由2EF=得到221+=mn，表示出三棱锥11BEFC−的体积，利用基本

不等式求最值.【详解】如图示，不妨设11,,CEmBFn==则()222222111132EFCEBCBFmn=++=++=，所以221+=mn.而111111221111333333266212BEFCFB

ECBECmnVVSBFmnmn−−+=====.故三棱锥11BEFC−的体积的最大值为312.故答案为：312.10.中国古乐中以“宫”“商”“角”“徵”“羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，如果用这五个基本音阶随机排成一个五个音阶的音序，则“官”“商

”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为_______．【答案】415【解析】【分析】分别求出被一个音阶隔开的情况和被两个音阶隔开的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】由题意得，只被一个音阶隔开的情况为“宫徵商”或“宫羽商”，有32322AA种排法，被两个音阶隔开的情况为“宫徵

羽商”，共有222222AAA种排法，故“宫”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为3222232222552AAAAA4A15+=．故答案为：41511.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F在直线220xy−−=上，过点F的直线l与抛物线C相

交于A，B两点，O为坐标原点，△OAF的面积是△OBF面积的4倍，则直线l的方程为____________．【答案】4433=−yx【解析】【分析】设A，B分别为()()1122,,,xyxy，由焦点在已知直线上求F坐标及抛物线方程，再根据

题设三角形的面积关系可得124yy=−，并设直线l为1myx=−，联立抛物线应用韦达定理求参数m，即可知直线l的方程.【详解】设点A，B的坐标分别为()()1122,,,xyxy，直线220xy−−=，令0y=可得

1x=，故焦点F坐标为(1,0)，所以2p=，由1111122==OAFSyy，2211122==OBFSyy，而△OAF的面积是△OBF面积的4倍，所以12122=yy，即124yy=−，的设直线l为1myx=−，联立方程241yxmyx==−，消去x后整理为2440

ymy−−=，所以121244yymyy+==−，代入124yy=−，有2223444ymy−=−=−，可得34m=，则直线l的方程为4433=−yx．故答案为：4433=−yx.【点睛】关键点点睛：根据抛物线焦点位置及其所在直线求抛物线方程，由面积关系

得到交点纵坐标的数量关系，注意交点在x轴两侧，再设直线联立抛物线求参数即可.12.已知函数21(1),02()(2),2xxfxfxx−−=−，若对于正数(*)nknN，直线nykx=与函数()fx的图像恰好有21n+个不同的交点，则22212nk

kk+++=___________.【答案】4(1)nn+【解析】【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到nk的表达式，最后裂项求和即可求得22212nkkk+++的值.【详解】当02x

时，2()1(1)yfxx==−−，即22(1)1xy−+=，0y；当2x时，()(2)fxfx=−，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：nykx=与函数恰有21n+个不同的交点，根据图象知，直线nykx=与第1n+个半圆相切，故2211(21)144nknnn==+−+，故22

1111()4441nknnnn==−++，22212111111(1)422314(1)nnkkknnn+++=−+−++−=++.故答案为：4(1)nn+.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)

常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解二、选择题：（本大题满分20

分，每题5分．）13.设a，bR，则“ab”是“11ba”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】分别取特殊值验证充分性和必要性不满足，即可得到答案.【详解】充分性：取1,1ab==−，满足“ab

”，但是“11ba”不成立，即充分性不满足；必要性：取1,1ab=−=，满足“11ba”，但是“ab”不成立，即必要性不满足；所以“ab”是“11ba”的既不充分也不必要条件.故选：D14.在52axx−的展开式中2x的系数为20，则常数=

a（）A.12B.12C.2D.2【答案】A【解析】【分析】写出二项展开式通项公式，求得2x的项数后，由系数为20可得参数值．的【详解】由题意得二项展开式的通项公式为3552152()−−+=−rrrrrTCax，依题意，令3522r−=，则2r=，2325C2()20−=a，解得12

a=．故选：A．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则acb+的取值范围是()A.(1,2B.(1,3C.3,2D.)2,2【答案】A【解析】【分析】根据角A，B，C成等差数列求出B，再利用正弦定理边化角，结

合三角恒等变换即可求范围.【详解】∵角A，B，C成等差数列，∴2A+C=B，∵ABC++=，∴3B=，∴23AC+=.根据正弦定理得：sinsinsinacACbB++==22sinsin33AA

+−＝231sincossin223AAA++23331sincos2sincos22223AAAA=+=+2sin6A=+

，∵203A，∴5666A+，∴1sin126A+，∴12acb+≤.故选：A.16.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法

等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：22xyxy+=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+；②曲线C上的任意两点间的距离不超过2；③若(),Pmn是曲线C上任意一点，则3412m

n+−最小值是17522−．其中正确结论的个数为（）A.0B.1C.2D.3的【答案】C【解析】【分析】结合已知条件写出曲线C的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合

数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线C上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.【详解】当0x且0y时，曲线C的方程可化为：22111

()()222xy−+−=；当0x且0y时，曲线C的方程可化为：22111()()222xy++−=；当0x且0y时，曲线C的方程可化为：22111()()222xy−++=；当0x且0y时，曲线C的方程可化为：22111()()

222xy+++=，曲线C的图像如下图所示：由上图可知，曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为2的正方形的面积之和，从而曲线C所围成的面积2114(2)222+=+，故①正确；由曲线C的图像可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即

2222222+=，故②错误；因为(,)Pmn到直线34120xy+−=的距离为22|3412||3412|534mnmnd+−+−==+，所以34125mnd+−=，当d最小时，易知(,)Pmn在曲线C的第一象限内的图像上，因为曲线C的第

一象限内的图像是圆心为11(,)22，半径为22的半圆，所以圆心11(,)22到34120xy+−=的距离'2211|3+412|17221034d−==+，从而'min21752210dd−=−

=，即minmin1752341252mnd−+−==，故③正确，故选：C.三、解答题：（本大题满分76分）17.如图，四棱锥PABCD−的底面是正方形，E是棱PC的中点，F是棱PD上的点，且A，B，E，F四点共面，2AB=．（1）求证：F

为PD的中点；（2）若PA⊥底面ABCD，二面角PCDA−−的大小为45，求直线AC与平面ABEF所成的角．【答案】（1）证明见详解（2）6.【解析】【分析】（1）//AB平面PCD，可得//EFCD，从而可得F是PD的中点.（2）如图以,,ABADAP所在直线

为坐标轴建立空间直角坐标系，求平面ABEF的一个法向量，直线AC的方向向量，利用向量法可求直线AC与平面ABEF所成的角.【小问1详解】证明：依题意//ABCD，CD平面PCD，AB平面PCD//AB平面PCD又AB

平面ABEF，平面ABEF平面PCDEF=，//ABEF，//EFCD，又PEEC=,PFFD=,即F是PD的中点.【小问2详解】PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，PACD⊥，又CDAD⊥，APADA=,CD\^平面P

AD，PD平面PAD,PDCD⊥，CDAD⊥，平面PCD平面=ABCDCDADP为二面角PCDA−−的平面角，45,ADPPAAD==,2AB=,如图以,,ABADAP所在直线为坐标轴建立,,xyz空间直角坐标系，则(000),(200),(220),(020

),(002),(011)ABCDPF，，，，，，，，，，，，,依题意(220),=(200)ACAFAB==，，（0,1,1），，，,设平面ABEF的一个法向量为(,,)nxyz=，则00nABnAF==,即200xyz=+=，

令1z=，则0,1xy==−平面ABEF的一个法向量为(0,1,1)n=−，设直线AC与平面所成角为，sincos,nAC=nABnAC=212222==,0,2,直线AC与平面ABEF所成的角为6.18.已知函数22()log

(2)log(2)fxxx=+−−．（1）求函数()fx的定义域，判断函数()fx的奇偶性，并说明理由；（2）关于x的方程2()log()fxax=+有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．【答案】（1）(2,2)−，奇函数，理由见解析（2）(1,2

)【解析】【分析】（1）由函数的解析式有意义列出相应的的不等式，求得函数的定义域，根据函数奇偶性的定义，即可判断函数的奇偶性.（2）将关于x的方程2()log()fxax=+有两个不同的实数解转化为转化为

4(2)32axx=+−−−，(2,2)x−有两个解，即函数ya=与4(2)32yxx=+−−−，(2,2)x−的图象有两个交点，数形结合，求得答案.【小问1详解】由函数22()log(2)log(2)fxxx=+−−，需满足2020xx+

−，解得22x−，即函数定义域为(2,2)−；又22()log(2)log(2)()fxxxfx−=−−+=−，故22()log(2)log(2)fxxx=+−−为奇函数；【小问2详解】关于x的方程2()log()fxax=+，(2,2)x−即222log

(2)log(2)log()xxax+−−=+，所以22xaxx+=+−，即24(2)4(2)3222xxaxxxxxx+−−=−=−=+−−−−−，故关于x的方程2()log()fxax=+有两个不同的实数解，转化为4(2)32axx=+−−−，(2,2)x−有两个解，即函数

ya=与4(2)32yxx=+−−−，(2,2)x−的图象有两个交点，设2,(2,2)txx=−−，则43,(0,4)yttt=+−，作出函数43,(0,4)yttt=+−的图象如图示：当12a时函数ya=与43,(0,4)yttt=+−的图象有两个交点，即关于x的方程2(

)log()fxax=+有两个不同的实数解，故实数a的取值范围是(1,2).19.降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是(

)()2sin0,03fxAxA=+，其中的振幅为2，且经过点()1,2.−（1）求该噪声声波曲线的解析式()fx以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式()gx；（2）先将函数()fx图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6个单位，得到

函数()hx的图象．若锐角满足()1013h=−，求sin2的值．【答案】（1）()252sin36fxx=+，()252sin36gxx=−+；（2）12sin213=.【解析】【分析】（1）求出A的值，再由()12f

=-结合的取值范围可得出的值，即可得出函数()fx的解析式，再由()()gxfx=−可得出函数()gx的解析式；（2）利用三角函数图象变换可得出函数()hx的解析式，由已知条件可得出cos2的值，

利用同角三角函数的基本关系可求得sin2的值.【小问1详解】解：由已知可得2A=，()212sin23f=+=−，可得2sin13+=−，所以，()232Z32kk+=+，得()52Z6kk=+，因为0

，则56=，故()252sin36fxx=+，()()252sin36gxfxx=−=−+.【小问2详解】解；将函数()fx图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得到函数52si

n26yx=+的图象，再将所得函数图象向右平移6个单位，可得函数()hx的图象，则()52sin22cos266hxxx=−+=，因为()102cos213h==−，则5cos2

13=−，02，则02，故212sin21cos213=−=.20.数列na的数列na的首项11a=，前n项和为nS，若数列na满足：对任意正整数n，k，当nk时，()2nknknkSSSS+−+=+总成立，则称数列

na是“()Dk数列”（1）若na是公比为2的等比数列，试判断na是否为“()2D”数列？（2）若na是公差为d的等差数列，且是“()3D数列”，求实数d的值；（3）若数列na既是“()2D”，又是“()3D”，求证：数列na

为等差数列.【答案】（1）na不是“()2D”数列；（2）2d=；（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）假设na是()2D数列，由已知，可得21nnS=−，当3n=时，5132SS+=，()32220SS+=，()51322SSSS++，故可判断na不是为(

)2D为数列；（2）设na的公差为d，则()11nand=+−，由题意，()3332nnnSSSS+−+=+即()1232132nnnnnnaaaaaaS+++−−++−++=，解方程即可；（3）由数列na既是“()2D

数列”，又是“()3D数列”，可得()()2223332,23,2nnnnnnnSSSSnSSSS+−+−+=++=+①②，()()311242132,23,2nnnnnnnSSSSnSSSS+−++−+

+=++=+③④，进一步推理可得113,,nnnaaa−++成等差数列，214,,nnnaaa−++成等差数列，从而即)2(nan成等差数列.【详解】（1）因为11a=，2q=，所以21nnS=−，假设na是()

2D数列，则当2n时，则()2222nnnSSSS+−+=+成立，但3n=时，5132SS+=，()32220SS+=，()51322SSSS++，所以假设不成立，na不是为()2D为数列.（2）设

na的公差为d，则()11nand=+−，因为na是“()3D数列”，则3n，()3332nnnSSSS+−+=+即()1232132nnnnnnaaaaaaS+++−−++−++=，所以3292

32dd=+，即2d=.（3）数列na既是“()2D数列”，又是“()3D数列”，所以()()2223332,23,2nnnnnnnSSSSnSSSS+−+−+=++=+①②②-①得：3n

，3232nnaaa+−−=，()()311242132,23,2nnnnnnnSSSSnSSSS+−++−++=++=+③④④-③得：3n，4142nnaaa+−−=又③-①得：2n，3112nnnaaa+−++=④-②得：3n

，4212nnnaaa+−++=所以113,,nnnaaa−++成等差数列，设公差为1d，214,,nnnaaa−++成等差数列，设公差2d，因此311nnaad++=+，412nnaad++=+所以432112nnnnaaddaa++−−−=−=−对3

n恒成立，即)2(nan成等差数列，设公差为d，在（1）（2）中分别取3n=，4n=得：22242472adad−=−−=−，解得23a=，2d=，所以21nan=−.【点睛】本题考查新定义数

列问题，涉及到等比数列，等差数列通项及求和公式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.21.已知椭圆C：()222210xyabab+=的长轴长为4，过C的焦点且垂直长轴的弦长为1，A是椭圆的右顶点，直线l过点()1,

0M−交椭圆于C，D两点，l交y轴于点P，PCCM=，PDDM=，记ACD，AOC，AOD△的面积分别为S，1S，2S.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：+为定值；为（3）若12SmSS=−，当02时，求实数m范围.【答案】（1）2214x

y+=（2）证明见解析（3）124115−，【解析】【分析】（1）根据长轴长与通径长求出2a=，21b=，进而得到椭圆方程；（2）设出直线方程，先利用向量关系表达出121112tyy−+++=，联立椭圆方程，根据韦达定理，表达出两根之和与两根之积，代入后

求解出答案；（3）利用面积关系，表达出()()181313m=++++，求出的范围，利用单调性求出实数m范围.【小问1详解】将xc=代入椭圆方程，解得：2bya=，由已知得:22421aba==，即2a=，21b=所以，椭圆标准方程为2214xy+=.【小问2详解】设()1

1,Cxy，()22,Dxy，不妨设20y，因为直线l与y轴有交点，故斜率一定存在，由已知可设直线CD：1xty=−，则10,Pt由PCCM=得：()111111tyyt=−+=+.同理：()22111

1tyyt=−+=+.由221440xtyxy=−+−=得：()224230tyty+−−=，即()22113240ttyy+−+=于是121123tyy+=−，21211403tyy+=−，得120yy.12111823tyy

+==−++=−.【小问3详解】83=−−.因为02，所以14833−−又因为ACDAOCAODSmSS=−△△△12121322ACDSAMyyyy=−=−△，1112AOCSAOyy==△，2212AODSAOyy==△

于是121232yymyy−=−，由120yy得()121232yymyy−=+由（2）知：()111yt=+，()211yt=+，所以()()221144333311831222211313ymy+

++=−+=−+==++++++，其中115133−+−，由对勾函数可知：()()181313m=++++单调递增，因此，124115m−，所以实数m范围是124115−，.【点睛】利用韦达定理解

决圆锥曲线问题是非常重要的方法，要先设出直线方程，与圆锥曲线联立得到一元二次方程，通常情况下设直线方程，要尽可能的与圆锥曲线联立后尽可能的运算简单，通常情况下直线过x轴上的定点时，要消去x，而当直线过y轴上的定点时，要消去y，注意直线斜率不存在的情况，可能要单独考虑.获得更多资源请

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