【文档说明】上海市华东师范大学附属东昌中学2021-2022学年高三下学期第二次阶段检测数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.043 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-6534e7e6daa9bc0fb24f6f4c6638ad6f.html

以下为本文档部分文字说明：

华东师范大学附属东昌中学2021学年度第二学期阶段检测一考试高三试卷一、填空题：（本大题满分54分，第1-6题，每题4分，第7-12题，每题5分．）1.复数2i2i1+−的共轭复数是__________．【答案】i【解析】【分析】根据复数的运算，化简复数再根据共轭复数的概念，即可

得到答案.【详解】由题意得，2i2i1+−＝()()()()2i2i15ii2i12i15++=−−=−+，所以其共轭复数为i.故答案为：i.2.若2log1142x−=−，则x=__________【答案

】42或22【解析】【分析】根据行列式及对数的运算法则、性质求解.【详解】因为2log1142x−=−，所以22|2log4||21o|14xxg−==，即2211olog242xg==，解得42x=或22x=，故答案为：42或223.设全集RU=，集合3,1A=−，22,1Bmm=

−−，且AB=，则实数m=______．【答案】3或-1##-1或3【解析】【分析】根据集合相等得到223mm−=，解出m即可得到答案.【详解】由题意，2233mmm−==或m=-1.故答案为：3或-1.4

.已知函数()fx是定义域为R的奇函数，当0x时，()2logfxx=，则()2f−=______．【答案】12−##0.5−【解析】【分析】根据给定条件利用函数奇偶性定义直接计算作答.【详解】因函数()fx是定义域为R的奇函数，当0x时，()2

logfxx=，所以()()2122log22ff−=−=−=−故答案为：12−5.已知sin3cos0−=，则2sinsin2+=__________.【答案】32##1.5【解析】【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出ta

n，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；【详解】解：因为sin3cos0−=，所以sintan3cos==，所以22sinsin2sin2sincos+=+222sin2si

ncossincos+=+22tan2tantan1+=+223233312+==+故答案为：326.已知{}na为无穷等比数列，13a=，na的各项和为9，2nnba=，则数列{}

nb的各项和为______．【答案】185【解析】.【分析】先求出公比q，得到21223()3nnnba−==，直接用公式法求和.【详解】解：设{}na的公比为q，由13a=，na的各项和为9，可得391q=−

，解得23q=，所以123()3nna−=，21223()3nnnba−==，可得数列{}nb是首项为2，公比为49的等比数列，则数列{}nb的各项和为2184519=−．故答案为：185．7.已知函数()eexxfx−=−，则不等式()2(2)

40fxfx−+−的解集为______．【答案】()3,2−【解析】【分析】判断()fx的单调性和奇偶性，再利用其性质求解不等式即可.【详解】因为()eexxfx−=−，定义域为R，且()()eexxfxfx−−=−=−，故()fx为奇函数；又e,exxyy−==−均为单调增函数，故(

)fx是R上的单调增函数；则()2(2)40fxfx−+−，即()()224fxfx−−，也即224xx−−，故260xx+−，()()320xx+−，解得32x−.故不等式()2(2)40fxfx−+−的解集为()3,2−.故答

案为：()3,2−.8.已知点P在圆222xy+=上，已知(4,0)A，(0,4)B−，则PAPB的最小值为___________.【答案】6−【解析】【分析】推导出极化恒等式，即222214PAPBPMBMPMAB==−−，结合||PM

最小值为2222−=，求出PAPB的最小值.【详解】由题意，取线段AB的中点()2,2M−，则2PAPBPM+=，2PAPBBABM−==，两式分别平方得：22224PAPAPBPBPM++=①，22224PAPAP

BPBBM−+=②，①－②得：222214PAPBPMBMPMAB==−−，因为圆心()0,0O到()2,2M−距离为22OM=，所以||PM最小值为2222−=，又||42AB=，故最小值为：286−=−.故答案为：6−9.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为

3，点E为棱11DC上一动点，点F为棱1BB上一动点，且满足2EF=．则三棱锥11BEFC−的体积的最大值为______．【答案】312【解析】【分析】设11,,CEmBFn==由2EF=得到221+=mn，表示出三棱

锥11BEFC−的体积，利用基本不等式求最值.【详解】如图示，不妨设11,,CEmBFn==则()222222111132EFCEBCBFmn=++=++=，所以221+=mn.而111111221111333333266212BEFCFBECBECmnV

VSBFmnmn−−+=====.故三棱锥11BEFC−的体积的最大值为312.故答案为：312.10.中国古乐中以“宫”“商”“角”“徵”“羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，如果用这五个基本音阶随机排成一个五个音阶的音序，

则“官”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为_______．【答案】415【解析】【分析】分别求出被一个音阶隔开的情况和被两个音阶隔开的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】由题意得，只被一个音阶隔开的情况为“宫徵商”或“宫羽商”，有32322AA种

排法，被两个音阶隔开的情况为“宫徵羽商”，共有222222AAA种排法，故“宫”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为3222232222552AAAAA4A15+=．故答案为：41511.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F在直线220xy−−=上，

过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△OAF的面积是△OBF面积的4倍，则直线l的方程为____________．【答案】4433=−yx【解析】【分析】设A，B分别为()()1

122,,,xyxy，由焦点在已知直线上求F坐标及抛物线方程，再根据题设三角形的面积关系可得124yy=−，并设直线l为1myx=−，联立抛物线应用韦达定理求参数m，即可知直线l的方程.【详解】设点A，B的坐标分别为()()1122,,,x

yxy，直线220xy−−=，令0y=可得1x=，故焦点F坐标为(1,0)，所以2p=，由1111122==OAFSyy，2211122==OBFSyy，而△OAF的面积是△OBF面积的4倍，所以12122=yy，即124yy=−，的设直线l为1myx=−，联立方程2

41yxmyx==−，消去x后整理为2440ymy−−=，所以121244yymyy+==−，代入124yy=−，有2223444ymy−=−=−，可得34m=，则直线l的方程为4433=−yx．故答案为：4433=−

yx.【点睛】关键点点睛：根据抛物线焦点位置及其所在直线求抛物线方程，由面积关系得到交点纵坐标的数量关系，注意交点在x轴两侧，再设直线联立抛物线求参数即可.12.已知函数21(1),02()(2),2xxfxfxx−−=−

，若对于正数(*)nknN，直线nykx=与函数()fx的图像恰好有21n+个不同的交点，则22212nkkk+++=___________.【答案】4(1)nn+【解析】【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到nk的表达式，最后裂

项求和即可求得22212nkkk+++的值.【详解】当02x时，2()1(1)yfxx==−−，即22(1)1xy−+=，0y；当2x时，()(2)fxfx=−，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：nykx=与函数恰有21n+个不同的交点，根据图象知，直线nykx=与第

1n+个半圆相切，故2211(21)144nknnn==+−+，故221111()4441nknnnn==−++，22212111111(1)422314(1)nnkkknnn+++=−+−++−=++.故答案为：4(1)nn+.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)

常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法

求解二、选择题：（本大题满分20分，每题5分．）13.设a，bR，则“ab”是“11ba”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】分别取特殊值验证充分性和必要性不满足，即可得到答案.【详解】充分性：取1,1ab==−，满足“a

b”，但是“11ba”不成立，即充分性不满足；必要性：取1,1ab=−=，满足“11ba”，但是“ab”不成立，即必要性不满足；所以“ab”是“11ba”的既不充分也不必要条件.故选：D14.在52axx

−的展开式中2x的系数为20，则常数=a（）A.12B.12C.2D.2【答案】A【解析】【分析】写出二项展开式通项公式，求得2x的项数后，由系数为20可得参数值．的【详解】由题意得二项展开式的通项公式为3552152()−−+=−rrrrrTCax，依题意，令3522

r−=，则2r=，2325C2()20−=a，解得12a=．故选：A．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则acb+的取值范围是()A.(1,2B.(1,3C.3,2D.)2,2【答案】A【解析】【分析】根据角A，B，C成等

差数列求出B，再利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求范围.【详解】∵角A，B，C成等差数列，∴2A+C=B，∵ABC++=，∴3B=，∴23AC+=.根据正弦定理得：sinsinsinacACbB++==22sinsin33AA

+−＝231sincossin223AAA++23331sincos2sincos22223AAAA=+=+2sin6A=+，∵203A，∴5666A+，∴1si

n126A+，∴12acb+≤.故选：A.16.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：22xyxy+=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下

结论：①曲线C围成的图形的面积是2+；②曲线C上的任意两点间的距离不超过2；③若(),Pmn是曲线C上任意一点，则3412mn+−最小值是17522−．其中正确结论的个数为（）A.0B.1C.2D.

3的【答案】C【解析】【分析】结合已知条件写出曲线C的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线C上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距

离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.【详解】当0x且0y时，曲线C的方程可化为：22111()()222xy−+−=；当0x且0y时，曲线C的方程可化为：22111()()222xy++−=；当0x且0y时，曲线C的方

程可化为：22111()()222xy−++=；当0x且0y时，曲线C的方程可化为：22111()()222xy+++=，曲线C的图像如下图所示：由上图可知，曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为2的正方形的面积之和，从而曲线C所围成的面积2114(2)

222+=+，故①正确；由曲线C的图像可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即2222222+=，故②错误；因为(,)Pmn到直线34120xy+−=的距离为22|3412||3412|534mnmnd+−+−==+，所以34125mnd+−=，当d最小

时，易知(,)Pmn在曲线C的第一象限内的图像上，因为曲线C的第一象限内的图像是圆心为11(,)22，半径为22的半圆，所以圆心11(,)22到34120xy+−=的距离'2211|3+412|17221034d−==+，从而'min21752210dd−=−=，即minmin1752341

252mnd−+−==，故③正确，故选：C.三、解答题：（本大题满分76分）17.如图，四棱锥PABCD−的底面是正方形，E是棱PC的中点，F是棱PD上的点，且A，B，E，F四点共面，2AB=．（1）求证：F为PD的中点；（2）若PA⊥底面ABCD，二面角P

CDA−−的大小为45，求直线AC与平面ABEF所成的角．【答案】（1）证明见详解（2）6.【解析】【分析】（1）//AB平面PCD，可得//EFCD，从而可得F是PD的中点.（2）如图以,,ABADAP所在直线为坐标轴建立

空间直角坐标系，求平面ABEF的一个法向量，直线AC的方向向量，利用向量法可求直线AC与平面ABEF所成的角.【小问1详解】证明：依题意//ABCD，CD平面PCD，AB平面PCD//AB平面PCD又AB平面ABEF，平面ABEF平面PCDEF=，//ABEF

，//EFCD，又PEEC=,PFFD=,即F是PD的中点.【小问2详解】PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，PACD⊥，又CDAD⊥，APADA=,CD\^平面PAD，PD平面PAD,PDCD⊥，CDAD⊥，平面PC

D平面=ABCDCDADP为二面角PCDA−−的平面角，45,ADPPAAD==,2AB=,如图以,,ABADAP所在直线为坐标轴建立,,xyz空间直角坐标系，则(000),(200),(220),(020),(002),(011)ABCDPF，，，，，，，，，，，，

,依题意(220),=(200)ACAFAB==，，（0,1,1），，，,设平面ABEF的一个法向量为(,,)nxyz=，则00nABnAF==,即200xyz=+=，令1z=，则0,1xy==−平面ABEF的一

个法向量为(0,1,1)n=−，设直线AC与平面所成角为，sincos,nAC=nABnAC=212222==,0,2,直线AC与平面ABEF所成的角为6.18.已知函数22()log(2

)log(2)fxxx=+−−．（1）求函数()fx的定义域，判断函数()fx的奇偶性，并说明理由；（2）关于x的方程2()log()fxax=+有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．【答案】（1）(2,2)−，奇函数，理由见解析（2）(1,2)【解析】【分析】（1）由函数的

解析式有意义列出相应的的不等式，求得函数的定义域，根据函数奇偶性的定义，即可判断函数的奇偶性.（2）将关于x的方程2()log()fxax=+有两个不同的实数解转化为转化为4(2)32axx=+−−−，(2,2)x

−有两个解，即函数ya=与4(2)32yxx=+−−−，(2,2)x−的图象有两个交点，数形结合，求得答案.【小问1详解】由函数22()log(2)log(2)fxxx=+−−，需满足2020xx+−，解得22x−

，即函数定义域为(2,2)−；又22()log(2)log(2)()fxxxfx−=−−+=−，故22()log(2)log(2)fxxx=+−−为奇函数；【小问2详解】关于x的方程2()log()fxax=+

，(2,2)x−即222log(2)log(2)log()xxax+−−=+，所以22xaxx+=+−，即24(2)4(2)3222xxaxxxxxx+−−=−=−=+−−−−−，故关于x的方程2()log()fxax=+有两个不同的实数解，转化为4(2)32axx=+

−−−，(2,2)x−有两个解，即函数ya=与4(2)32yxx=+−−−，(2,2)x−的图象有两个交点，设2,(2,2)txx=−−，则43,(0,4)yttt=+−，作出函数43,(0,4)yttt=+−的图象如图示：当12a时函数ya=与43,(0,4)ytt

t=+−的图象有两个交点，即关于x的方程2()log()fxax=+有两个不同的实数解，故实数a的取值范围是(1,2).19.降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声

振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是()()2sin0,03fxAxA=+，其中的振幅为2，且经过点()1,2.−（1）求该噪声声波曲线的解析式()fx

以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式()gx；（2）先将函数()fx图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6个单位，得到函数()hx的图象．若锐角满足()1013h=−，求sin2的值．【答案】（1

）()252sin36fxx=+，()252sin36gxx=−+；（2）12sin213=.【解析】【分析】（1）求出A的值，再由()12f=-结合的取值范围可得出的值

，即可得出函数()fx的解析式，再由()()gxfx=−可得出函数()gx的解析式；（2）利用三角函数图象变换可得出函数()hx的解析式，由已知条件可得出cos2的值，利用同角三角函数的基本关系可求

得sin2的值.【小问1详解】解：由已知可得2A=，()212sin23f=+=−，可得2sin13+=−，所以，()232Z32kk+=+，得()52Z6kk=+，因为0，则56=，故()252sin36fxx=+，

()()252sin36gxfxx=−=−+.【小问2详解】解；将函数()fx图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得到函数52sin26yx=+的图象，再将所得函数图象向右平移6个单位，可得函数()hx的图象，则()52sin22cos26

6hxxx=−+=，因为()102cos213h==−，则5cos213=−，02，则02，故212sin21cos213=−=.20.数列na的数列na的首项11a=，前n项和为n

S，若数列na满足：对任意正整数n，k，当nk时，()2nknknkSSSS+−+=+总成立，则称数列na是“()Dk数列”（1）若na是公比为2的等比数列，试判断na是否为“()2D”数列？（2）若na是公差为d的等差数列，且是“()3D

数列”，求实数d的值；（3）若数列na既是“()2D”，又是“()3D”，求证：数列na为等差数列.【答案】（1）na不是“()2D”数列；（2）2d=；（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）假设na是()2D数列，由已知，可得21nnS=−，当3n

=时，5132SS+=，()32220SS+=，()51322SSSS++，故可判断na不是为()2D为数列；（2）设na的公差为d，则()11nand=+−，由题意，()3332nnnSSSS+−+=+即()1232132

nnnnnnaaaaaaS+++−−++−++=，解方程即可；（3）由数列na既是“()2D数列”，又是“()3D数列”，可得()()2223332,23,2nnnnnnnSSSSnSSSS+−+−

+=++=+①②，()()311242132,23,2nnnnnnnSSSSnSSSS+−++−++=++=+③④，进一步推理可得113,,nnnaaa−++成等差数列，214,,nnnaaa−++成等差数列，

从而即)2(nan成等差数列.【详解】（1）因为11a=，2q=，所以21nnS=−，假设na是()2D数列，则当2n时，则()2222nnnSSSS+−+=+成立，但3n=时，5132SS+=，()32220SS+=，()51322SSSS++，所以假

设不成立，na不是为()2D为数列.（2）设na的公差为d，则()11nand=+−，因为na是“()3D数列”，则3n，()3332nnnSSSS+−+=+即()1232132nnnnnnaaaaaaS+++−−++−++=，所以329232dd

=+，即2d=.（3）数列na既是“()2D数列”，又是“()3D数列”，所以()()2223332,23,2nnnnnnnSSSSnSSSS+−+−+=++=+①②②-①得：3n，3232nnaaa+−−=，()()311242132

,23,2nnnnnnnSSSSnSSSS+−++−++=++=+③④④-③得：3n，4142nnaaa+−−=又③-①得：2n，3112nnnaaa+−++=④-②得：3n，4212nnnaaa+

−++=所以113,,nnnaaa−++成等差数列，设公差为1d，214,,nnnaaa−++成等差数列，设公差2d，因此311nnaad++=+，412nnaad++=+所以432112nnnnaaddaa++−−−=−=−对3n恒成立，即

)2(nan成等差数列，设公差为d，在（1）（2）中分别取3n=，4n=得：22242472adad−=−−=−，解得23a=，2d=，所以21nan=−.【点睛】本题考查新定义数列问题，涉及到等比数列，

等差数列通项及求和公式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.21.已知椭圆C：()222210xyabab+=的长轴长为4，过C的焦点且垂直长轴的弦长为1，A是椭圆的右顶点，直线l过点()1,0M−交椭圆于C，D两

点，l交y轴于点P，PCCM=，PDDM=，记ACD，AOC，AOD△的面积分别为S，1S，2S.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：+为定值；为（3）若12SmSS=−，当02时，求实数m范围.【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析（3）124115−，【解

析】【分析】（1）根据长轴长与通径长求出2a=，21b=，进而得到椭圆方程；（2）设出直线方程，先利用向量关系表达出121112tyy−+++=，联立椭圆方程，根据韦达定理，表达出两根之和与两根之

积，代入后求解出答案；（3）利用面积关系，表达出()()181313m=++++，求出的范围，利用单调性求出实数m范围.【小问1详解】将xc=代入椭圆方程，解得：2bya=，由已知得:22421aba==，即

2a=，21b=所以，椭圆标准方程为2214xy+=.【小问2详解】设()11,Cxy，()22,Dxy，不妨设20y，因为直线l与y轴有交点，故斜率一定存在，由已知可设直线CD：1xty=−，则10,Pt由PCCM=得

：()111111tyyt=−+=+.同理：()221111tyyt=−+=+.由221440xtyxy=−+−=得：()224230tyty+−−=，即()22113240ttyy+−+=于是121123tyy+=−，21211403

tyy+=−，得120yy.12111823tyy+==−++=−.【小问3详解】83=−−.因为02，所以14833−−又因为ACDAOCAODSmSS=−△△△12121322ACDSAMyyyy=−

=−△，1112AOCSAOyy==△，2212AODSAOyy==△于是121232yymyy−=−，由120yy得()121232yymyy−=+由（2）知：()111yt=+，()211yt=+，所以()()2211443

33311831222211313ymy+++=−+=−+==++++++，其中115133−+−，由对勾函数可知：()()181313m=++++单调递增，因此，124115m

−，所以实数m范围是124115−，.【点睛】利用韦达定理解决圆锥曲线问题是非常重要的方法，要先设出直线方程，与圆锥曲线联立得到一元二次方程，通常情况下设直线方程，要尽可能的与圆锥曲线联立后尽可能的运算简单，通常情况下直线过x轴上的定点时，要消去x，而当直线过y轴上的定

点时，要消去y，注意直线斜率不存在的情况，可能要单独考虑.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com