【文档说明】上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(15)页，732.794 KB，由小赞的店铺上传

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华二附中高一期末数学试卷一、填空题（本大题满分40分，本大题共有10题）1.34i+的虚部是______．【答案】4【解析】【分析】由复数的定义即可得出答案.【详解】由复数的定义知，34i+的虚部是4.故答案：4.2.

已知世界上倾斜度最高的摩天大厦坐落于阿联酋的阿布扎比，其倾斜度达到18°，请用弧度表示倾斜度______．【答案】10【解析】【分析】利用1180rad=化简即可得出答案.【详解】181818010rad

rad==.故答案为：10.3.与向量()3,4−−反向的单位向量是______．【答案】34,55【解析】【分析】先求出向量()3,4−−的相反向量，再计算出模长，即可求解.【详解】向量

()3,4−−相反向量为()3,4，又向量()3,4的模长为22345+=，则与向量()3,4−−反向的单位向量是34,55.故答案为：34,55.4.直线ya=与函数()tanfxx=（0，为常数）的两个相邻交点的距离是_____

_．【答案】为的【解析】【分析】求出函数的周期即可得．【详解】函数()fx的最小正周期是T=，所以直线ya=与函数()tanfxx=（0，为常数）的两个相邻交点的距离是．故答案为：．5.函数()3sin24fxx=+，xR的单调递减区间

是______．【答案】()5,84kkk++Z【解析】【分析】由条件利用正弦函数的单调性，结合整体思想求得3sin(2)4yx=+，xR的单调递减区间．【详解】解：对于函数3sin(2)4yx=+，xR，令3222242kxk+++剟，kZ，求得5

88kxk++剟，kZ，可得函数的减区间为()5,84kkk++Z．故答案为：()5,84kkk++Z.6.在等差数列na中，12aa，7116aa=，4145+=aa，则该数列公差d=______．【答案】14

##0.25【解析】【分析】由12aa，可得0d，再利用等差数列的性质可得4147115aaaa=++=，即可与7116aa=解出711aa、的值，再结合等差数列通项公式即可求出1174aad−=【详解】由题，na是等差数列，12aa，210daa=−，4147115aaaa=++

=，结合7116aa=，11740aad−=可解得7112,3aa==，117144aad−==，故答案为：147.用数学归纳法证明“当*Nn时，1()5231nnfn−=++能被8整除”时，第二步“假设当()*Nnkk=

时，1()5231kkfk−=++能被8整除，证明当1nk=+时(1)fk+也能被8整除”的过程中，得到1(1)1(1)5231()kkfkfkA++−+=++=+，则A的表达式为________.【答案】()1453kk−+【解析】【分析】根据数学归纳法的证明步骤，结合题意中的()

fk以及()1fk+即可容易求解.【详解】因为1()5231kkfk−=++，1(1)1(1)5231kkfk++−+=++55231kk=++1152314543kkkk−−=++++()fk=+()1453kk−+.

故A=()1453kk−+.故答案为：()1453kk−+.【点睛】本题考查数学归纳法，属基础题.8.如图，在边长为1的正三角形ABC中，112BCAB=，112ABCA=，112CABC=，可得正三角形111ABC，以此类推可得正三角形222ABC、…、正三角形nnn

ABC，记111222nnnnABCABCABCABCSSSSS=++++△△△△，则limnnS→=______．【答案】338【解析】【分析】先判断出111222,,nnnABCABCABCABCSSSS△△△△构成一个首项为34，公比为13的等比数列，再求和，求极限.【详解】

因为正三角形ABC的边长为1，所以1311sin6024ABCS==.在边长为1的正三角形ABC中，112BCAB=，112ABCA=，112CABC=，所以1112,33ABAC==，由余弦定理得：2211121

2132333323BC=+−=同理可求：111133ABCA==.所以111ABCABC～，相似比为33,所以11113ABCABCSS=.同理可求：21121213ABCABCSS=,……，1

1113nnnnnnABCABCSS−−−=.所以111222,,nnnABCABCABCABCSSSS△△△△构成一个首项为34，公比为13的等比数列，所以limnnS→=8113lim111133343343nn→−

=−=−.故答案为：338.9.以下四个命题中所有真命题的序号是______．（1）若1z、2zC，则1221zzzz+R；（2）若1z、2zC，则2221211222zzzzzz+=++；（3）若1z、2zC，2212zz−R，则21z

R，22zR；（4）若1z、2zC，21zR，22zR，则2212zz−R．【答案】（1）【解析】【分析】设出复数1z、2z，由共轭复数及复数的运算即可判断（1）、（2）；取特殊的复数1z、2z，由复数的运算即可判断（3）、（4）.【详解】

设()12i,i,,,,zabzcdabcd=+=+R，对于（1），12i,izabzcd=−=−，则()()()()1221iiiizzzzabcdcdab+=++−+−()()i++i22acbdbcadacbda

dbcacbd=++−+−=+R，（1）正确；对于（2），()()()()2222222212i22zdacbdacbdaczbdacb+++=++++=++++=+，()()222222222211

2222zzzababcdcdz=++++++++，则2221211222zzzzzz+++，（2）错误；对于（3），取12i,1izz==+，显然满足1z、2zC，又()221222i1i12izz=−+=−−−R，但211z=−R，故（3）

错误；对于（4），取1212i,2izz=+=+，显然满足1z、2zC，又221234i,34izz=−+=+RR，但22126zz=−−R，故（4）错误.故答案为：（1）.10.已知数列na、nb满足111ab==，对任何正整数n均有221nnnnna

abab+=+++，221nnnnnbabab+=+−+，设113nnnncab=+，则数列nc的前2022项之和为______．【答案】202333−【解析】【分析】由已知等式可证得数列nnab+、nnab为等比数

列，结合等比数列通项公式可推导得到nc，可知nc为等比数列，利用等比数列求和公式可求得结果.【详解】()112nnnnabab+++=+，又112ab+=，数列nnab+是以2为首项，2为公比的等比数列，2nnnab+=；()()222112nnnnnnnnabababab

++=+−+=，又111ab=，数列nnab是以1为首项，2为公比的等比数列，12nnnab−=；1112333232nnnnnnnnnnnnnabcabab−+=+===，数列nc是以16c=为首项，3为公比的等比数列，数列nc的前2022项之和为()

202220236133313−=−−.故答案为：202333−.二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）11.20222021iii1++++=（）A.1B.i1+C.iD.0【答案】C【解析】【分析】利用复数乘方运算的周期性计算即可【详解】因为441424

3iiii0nnnn++++++=，202350543=+，所以()20222021iii150501i1i++++=++−=，故选：C12.“Gab=”是“G是a、b的等比中项”的（）条件A.既不充分也不必要B.

充分不必要C.必要不充分D.充要【答案】A【解析】【分析】分别举反例判断充分与必要条件是否满足即可【详解】当0Gab===时，满足Gab=，不满足G是a、b的等比中项；当G是a、b的等比中项，如1,4,2abG===−，但不满足Gab=，故“Gab=”是“G是a、b的等比中项”的既不充

分也不必要条件故选：A13.一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k（k≥2，kN）时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则（）A.该命题对于2n的自然数n都成立B.该命题对于所

有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以上答案都不对【答案】B【解析】【分析】当n为偶数时，可以利用数学归纳法判断命题对所有正偶数成立.当n为奇数时，则不能作出任何判断.【详解】令P（k）为该与正整数n有关的命题在n=2k，kN时的情形.则(1)

P（1）成立，即归纳奠基成立；(2)P（k）成立能得到P（k+1）成立，即归纳递推成立.根据数学归纳法，该命题对所有正偶数成立.而n为奇数时，则没有任何关于该命题的信息,所以不能作出判断故选：B.14.正三角形OAB的边长为1，动点C满足OCO

AOB=+，且221++=，则点C的轨迹是（）A.线段B.直线C.射线D.圆【答案】D【解析】【分析】可以利用平面向量数量积的运算性质得2221OC=++=，即1OC=，来确定动点C的轨迹；或者可以利用

三角形的特点合理建系，结合向量的坐标运算，设动点C的坐标，利用已知条件计算轨迹方程，来确定C的轨迹.【详解】解：方法一：由题可知：==OAOBAB，60AOB=111cos602OAOB==又OCOAOB=+()2222222OCOAOBOAOAOBOB=+=+

+221=++=所以21OC=，即1OC=所以点C的轨迹是圆..方法二：由题可知：==OAOBAB，60AOB=如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，所以13(,),(1,0)22AB

设(,)Cxy，1313(,)(1,0)(,)2222OCOAOB=+=+=+132332323xxyyy=+=−==又221++=所以2223233333133yyxyxy−−++=

整理得：221xy+=所以点C的轨迹是圆.故选：D.三、解答题（本大题满分44分，本大题共有4题）15.在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，22cossinaBbA=.（1）求cosB；（2）若c＝3，AC边

上的中线BD长为3，求a.【答案】（1）1cos3B=；（2）a＝1.【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理边化角公式得到22sincossinsinABBA=，从而得到22cossinBB=，再利用同角三角函数关系求解即可.（2）首

先根据平面向量的加法运算得到()12BDBABC=+，两边平方得到2230aa+−=，再解方程即可.【详解】（1）2cossinaBbA=由正弦定理可得：22sincossinsinABBA=，因为sin0A，所以22coss

inBB=，即cos0B.因为22sincos1BB+=，所以coscos228BB1+=，即1cos3B=.（2）在ABC中，()12BDBABC=+，所以()222124BDBABCBABC=+

+，即211392343aa=++.整理得：2230aa+−=，解得3a=−（舍去）或1a=.16.已知虚数14cos3siniz=+，223siniz=−，其中i为虚数单位，R，1z、2z是实系数一元二次方程20zmzn++=的两根．（1）求实数m

、n的值；（2）若1233zzzz−+−=，求z的取值范围．【答案】（1）m＝－4，434n=；（2）432,2【解析】【分析】（1）根据1z、2z是实系数一元二次方程20zmzn++=的两根可得12zz=，求出cos的值，进而求得1z、2z，再根据根与系数的关系求出m、n的值

即可；（2）根据复平面内1233zzzz−+−=的几何意义可得(),zab在线段12zz上，进而求得z的取值范围即可【小问1详解】由题意，12zz=，即4cos3sini23sini+=+，故1cos2=，根据韦达定理有

()()1223sini23si4nimzz=−+++−=−=−，()()212214349sin23sin4912i23sini4nzz===+=+−=+−，即4m=−，434n=【小问2详解】由（1）23sin1co

s2=−=，故不妨设1233332i,2i22zz=+=−，设izab=+，则1233zzzz−+−=的几何意义即为复平面内(),zab到1233332,,2,22zz−的距离之和为33.因为1

z到2z的距离为33333322−−=，故(),zab在线段12zz上.故当()2,0z时z取得最小值2，当z在1z或2z时，z取得最大值223343222+=，故z的取值范围为432,217.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，2ABDB

=，2ECAE=，3BEBC=．（1）求角A和DE的长；（2）若M是线段BC上一个动点（包括端点），求DMEM的最值．【答案】（1）π3A=，DE＝1；（2）最小值1716；最大值5【解析】【分析】（1）由()()3BEBCAEABACAB=−−=，根据数量积的运算律和

数量积定义可求得cosA，知ADE为等边三角形，可得||1DE=；设(01)BMBC=剟，由向量线性运算可将所求数量积化为11(())()(1)23ACABACAB+−−+−，从而将所

求数量积化为关于的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得结果．的【小问1详解】由2,2ABDBECAE==，知：D为AB中点，E为AC靠近A的三等分点；22144()()73333BEBCAEABACABACABACABABAC

=−−=−+=−=，||||cos6cos3ABACABACAA===，解得：1cos2A=，()0,πAπ3A=；又1ADAE==，ADEV为等边三角形，||1DE=；【小问2详解】设()(01)BMBCACAB==−剟，11()()22DMBMBDACAB

ABACAB=−=−+=+−，11()()()()()(1)33EMBMBEACABAEABACABACABACAB=−=−−−=−−−=−+−，11(())()(1)23DMEMACABACAB=+−−+−22222213111173(

)()(2)73226622ACABABAC=−+−+−−+=−+，对称轴为712144−=−=，当10,4，273722−+单调递减，当1,14，273722

−+单调递增则当14=时，DMEM取得最小值1716，当1=时，DMEM取最大值518.记nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，已知3453aaS+=，154aaS=，数列nb满足()11322nnnbbn−−=+，且111ba=−．（1）求na的通项公式；（

2）证明数列12nnb+是等比数列，并求nb的通项公式；（3）求证：对于任意正整数n，121117760nbbb+++．【答案】（1）2nan=（2）证明见解析，32nnnb=−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设公差为()0dd，结合

等差数列通项和求和公式可构造方程组求得1,ad，进而得到na；（2）由已知递推关系式可得11311222nnnnbb−−+=+，由此可得证得数列12nnb+为等比数列；结合等比数列通项公式推导可得nb；（3）分别验证1,2,3n=时，不等式成立；当

3n时，采用放缩法可得332193nnn−−，依此对不等式进行放缩，结合等比数列求和公式可证得当4n时不等式成立，由此可得结论.【小问1详解】设等差数列na的公差为()0dd，由3451543aaSaaS+==得：()()1

11111542335243442adadadaadad+++=++=+，解得：122ad==，()2212nann=+−=.【小问2详解】由（1）知：1111ba=−=，则113122

b+=，由()11322nnnbbn−−=+得：11312222nnnnbb−−=+，11311222nnnnbb−−+=+，数列12nnb+是以32为首项，32为公比的等比数列，3122nnnb+=，32nnnb=−.【小问3

详解】当1n=时，1177160b=；当2n=时，1211167715560bb+=+=；当3n=时，123111111197715199560bbb++=++=；当3n时，33333322738227383193nnn

nnnn−−−−−−=−−=（当且仅当3n=时取等号），当3n时，3111132193nnnnb−=−（当且仅当3n=时取等号）；当4n时，22121111111631633111519538353813nnnbbb−−

−+++++=+−+−2437719060=；综上所述：对于任意正整数n，121117760nbbb+++.【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列综合应用；证明不等式的关键是能够通过对

数列通项公式进行放缩，将无法求和的数列转化为可以利用等比数列求和公式进行求和运算的形式，进而证得结论.的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com