【文档说明】黑龙江省齐齐哈尔市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理科）试卷【精准解析】.doc，共(18)页，865.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜6}B．{x|3＜x＜6}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x≤2}2．已知命题p：

∀x∈（0，+∞），sinx＜x，则（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），sinx≥xB．￢p：∃x0∈（0，+∞），sinx0≥x0C．￢p：∀x∈（﹣∞，0]，sinx≥xD．￢p：∃x0∈（﹣∞，0]，sinx0≥x03．已知2z+＝

6+i（i为虚数单位），则z＝（）A．2+iB．2﹣iC．1+iD．1﹣i4．（x2﹣）5展开式中的常数项为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣405．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y＝（）x是

指数函数，所以y＝（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都可能6．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（75，16），则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在

（79，83]内的个数约为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545．A．134B．136C．817D．8197．若函数y＝2cosx+a

x在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）8．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b9．由6个座位连成一排，现

有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种10．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x+C．y＝x+1D．y＝x+11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到

该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A．240B．320C．180D．12012．已知a＞0，b＞0，且ea+lnb＞a+b，则下列结论一定正确的是（）A．a＞bB．a＞lnbC．ea＜bD．a+lnb＞0二、

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．13．已知tanα＝3，则sin2α﹣2sinαcosα＝．14．已知向量，且，则|＝．15．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数

都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝+，＝+，＝+，按此规律，＝（n

≥3，n∈N*）．16．给出下列命题：①以模型y＝cekx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.6x+5，则c＝e5，k＝0.6；②若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为；③

若随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D（X）＝16；④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为．若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为．其中所有正确命题的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明

、解答过程或演算步骤．17．已知{an}是单调递增的等比数列，其前n项和为Sn，a1＝2，且2a2，a4，3a3成等差数列．（1）求an和Sn；（2）设bn＝log2（Sn+2），cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．18．如图，三棱柱ABC﹣A1

B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：BC⊥平面ABC1；（2）求直线AC与平面AEB1所成角的正弦值．19．已知函数f（x）＝lnx+﹣2x，（a＞0）．（1）当a＝2时，求f（x）在

x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．20．2021年是我党建党100周年，为了铭记历史、不忘初心、牢记使命，向党的百年华诞献礼，市总工会组织了一场党史知识竞赛，共有2000位市民报名参加，其中35周岁以上（含35周岁）的市民1200人

，现采取分层抽样的方法从参赛的市民中随机抽取100位市民进行调查，结果显示：分数分布在450～950分之间据．此绘制的频率分布直方图如图所示．并规定将分数不低于750分的得分者称为“党史学习之星”．（1）求a的值，并估计所

有参赛的市民中有多少人获得了“党史学习之星”的荣誉；（2）现采用分层抽样的方式从分数在[550，650）、[750，850）内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中获得“党史学习之星”的市民人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；

（3）若样本中获得“党史学习之星”的35周岁以下的市民有15人，请完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关？获得“党史学习之星”未获得“党史学习之星”合计35周岁以上35周岁以下合计（参考公式：K2＝，其中n＝a

+b+c+d．）P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．已知函数f（x）＝﹣lnx，（a∈Z）．（1）当a＝1时，求f（

x）的极值；（2）若不等式f（x）≥（1﹣a）x+1恒成立，求a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（

1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若P的直角坐标为（2，0），曲线C2与曲线C1交于A、B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）（1）求实数m的值；（2）若关

于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜6}B．{x|3＜x＜6}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x≤2}

解：∵集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x＜6}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：C．2．已知命题p：∀x∈（0，+∞），sinx＜x，则（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），sinx≥xB．￢p：∃x0∈（

0，+∞），sinx0≥x0C．￢p：∀x∈（﹣∞，0]，sinx≥xD．￢p：∃x0∈（﹣∞，0]，sinx0≥x0解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈（0，+∞），sinx＜x，则￢p：∃x0∈

（0，+∞），sinx0≥x0．故选：B．3．已知2z+＝6+i（i为虚数单位），则z＝（）A．2+iB．2﹣iC．1+iD．1﹣i解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵2z+＝6+i，∴2（a+bi）+（a﹣bi）＝3a+bi＝6+i，即，解得，∴z＝2+i．故选：A．4

．（x2﹣）5展开式中的常数项为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣40解：设（）5展开式中的通项为Tr+1，则Tr+1＝•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r＝（﹣2）r••x10﹣5r，令10﹣5r＝0得r＝2，∴（）5展开式中的常数项为（

﹣2）2×＝4×10＝40．故选：C．5．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y＝（）x是指数函数，所以y＝（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以

上都可能解：该演绎推理的大前提是：指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，小前提是：y＝（）x是指数函数，结论是：y＝（）x在（0，+∞）上是增函数．其中，大前提是错误的，因为0＜a＜1时，函数y＝ax在（0，+∞）上是减函数，致使得出的结论错误．故选：A

．6．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（75，16），则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在（79，83]内的个数约为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0

.9545．A．134B．136C．817D．819解：由题意，μ＝75，σ＝4，则P（79＜X≤83）＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ+σ＜X≤μ+σ）]＝（0.9545﹣0.6827）＝0.1359．故直径在（79，83]内的个数约为0.1359×1000＝135.9≈13

6．故选：B．7．若函数y＝2cosx+ax在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）解：∵y＝2cosx+ax在上单调递增，∴y′＝﹣2sinx+a≥0，即a≥2sinx在上恒成立，∵g（x）＝2sinx在上单调递增，∴g（x）ma

x＝g（）＝1，∴a≥1，故选：D．8．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递

增，∴1＝50＜a＝50.6＜b＝（）﹣0.7＝50.7，而c＝log0.60.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．9．由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种解：三人排成一排，有种排法，三人排好后

有四个位置可以插入空座位，∵恰有两个空座位相邻，∴三个空座位在种插入方法，∴恰有两个空座位相邻的不同坐法有＝72种．故选：C．10．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x+C．y＝x+1D．y＝x

+解：直线l与圆x2+y2＝相切，那么圆心（0，0）到直线的距离等于半径，四个选项中，只有A，D满足题意；对于A选项：y＝2x+1与y＝联立，可得2x﹣+1＝0，此时无解；对于D选项：y＝x+与y＝联立，可得x﹣+＝0，此时解得x＝1；∴直

线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，方程为y＝x+，故选：D．11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A．240B．320C．180D．120解：因为若要求每组至

少3人，所以有3，5和4，4两种，若人数为3，5，则有（﹣1）•＝110种；人数为4，4，则有种；共有110+70＝180，故选：C．12．已知a＞0，b＞0，且ea+lnb＞a+b，则下列结论一定正确的是（）A．a＞bB．a＞lnbC．ea＜bD．a+lnb

＞0解：令f（x）＝ex﹣x，则当x＞0时，f′（x）＝ex﹣1＞0，∴f（x）＝ex﹣x在（0，+∞）单调递增．又a＞0，b＞0，且ea+lnb＞a+b，即ea﹣a＞elnb﹣lnb，即f（a）＞f（lnb），若lnb≤0，则a＞0＞lnb；若lnb＞0，则a＞lnb＞0；∴a

＞lnb，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．13．已知tanα＝3，则sin2α﹣2sinαcosα＝．解：因为tanα＝3，所以sin2α﹣2sinαcosα＝＝＝＝

．故答案为：．14．已知向量，且，则|＝5．解：由∥，得2m＝（﹣1）×4，解得m＝﹣2，所以+2＝（10，﹣5），故|+2|＝＝5．故答案为：5．15．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其

他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝+，＝+，＝+，按此规律，＝（n≥3，n∈N*）．解：由＝+，＝+，＝+，可推理出：＝，故答案

为：．16．给出下列命题：①以模型y＝cekx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.6x+5，则c＝e5，k＝0.6；②若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为；③若随机变量X～B（100，

p），且E（X）＝20，则D（X）＝16；④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为．若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为．其中所有正确命题的序号是①②③．解：对于①，以模型y＝cekx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设z＝lny，两边

取对数：lny＝ln（cekx），＝lnc+kx，令z＝lny，可得：z＝lnc+kx，由于z＝0.6x+5，所以lnc＝5，k＝0.6，将其变换后得到线性方程z＝0.6x+5，则c＝e5，k＝0.6；故①正确对于②，若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为

＝，故②正确；③若随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则100p＝20，解得p＝，则D（X）＝np（1﹣p）＝100×＝16，故③正确；④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为．感

染此病毒的概率为，若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．已知{an}是单调递增的等比数列，其前n项和为Sn，a1＝2，且2a2，a4，3a3成等差数列．（1）求an和Sn；

（2）设bn＝log2（Sn+2），cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．解：（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞1），由2a2，a4，3a3成等差数列，得2a4＝2a2+3a3，即2a1q3＝2a1q+3a1q2，又a1＝2，所以2q2﹣3q﹣2＝0，

解得q＝2或q＝﹣（舍去），所以an＝2n；Sn＝＝2n+1﹣2．（2）由（1）可知Sn＝2n+1﹣2，所以bn＝log2（Sn+2）＝log22n+1＝n+1，所以cn＝＝＝﹣，则Tn＝c1+c2+…+cn＝（﹣）+（﹣）

+…+（﹣）＝﹣．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：BC⊥平面ABC1；（2）求直线AC与平面AEB1所成角的正弦

值．【解答】（1）证明：∵∠BCC1＝，BC＝1，C1C＝2，∴由余弦定理知，＝BC2+﹣2BC•CC1cos∠BCC1＝1+4﹣2×1×2×cos＝3，∴BC1＝，∴BC2+＝，即BC⊥BC1，∵AB⊥侧面BB1C1C，且BC⊂面BB1C1C，∴AB⊥BC，

又AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，∴BC⊥平面ABC1．（2）解：由（1）知，以B为坐标原点，BC，BC1，BA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，2），C（1，0，0），E（，，0），B1（﹣1，，0），∴＝（﹣

，﹣，2），＝（﹣，，0），＝（1，0，﹣2），设平面AEB1的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝，z＝1，∴＝（1，，1），设AC与平面AEB1所成角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝||＝

||＝，故直线AC与平面AEB1所成角的正弦值为．19．已知函数f（x）＝lnx+﹣2x，（a＞0）．（1）当a＝2时，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx+x2﹣2x，f

′（x）＝，f′（1）＝1，又f（1）＝﹣1，∴切点为（1，﹣1），∴f（x）在x＝1处的切线方程为：y﹣（﹣1）＝x﹣1，即y＝x﹣2．（2）由题意：f（x）的定义城为（0，+∞），f′（x）＝+ax﹣2＝（a＞0），①当△＝（﹣2）2﹣4a≤0，即a≥1时，ax2﹣2x+1≥0，即f′（x）≥

0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间；②当△＝（﹣2）2﹣4a＞0，即0＜a＜1时，令f′（x）＝0，则ax2﹣2x+1＝0，解得：x1＝，x2＝，且0＜x1＜x2，当f′（x）＞0，得0＜x＜或x

＞，∴f（x）的递增区间为（0，），（，+∞），当f′（x）＜0，得＜x＜，∴f（x）的减区间为（，），综上所述，当a≥1时，f（x）的增区间为（0，+∞），无递减区间；当0＜a＜1时，f（x）的增区间为（0，），（，+∞）

，减区间为（，）．20．2021年是我党建党100周年，为了铭记历史、不忘初心、牢记使命，向党的百年华诞献礼，市总工会组织了一场党史知识竞赛，共有2000位市民报名参加，其中35周岁以上（含35周岁）的市民1200人，现采取分层抽样的方法从参赛的市民中随机抽取100位

市民进行调查，结果显示：分数分布在450～950分之间据．此绘制的频率分布直方图如图所示．并规定将分数不低于750分的得分者称为“党史学习之星”．（1）求a的值，并估计所有参赛的市民中有多少人获得了“

党史学习之星”的荣誉；（2）现采用分层抽样的方式从分数在[550，650）、[750，850）内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中获得“党史学习之星”的市民人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（3）若样本中获得“党史学习之星”的35周

岁以下的市民有15人，请完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关？获得“党史学习之星”未获得“党史学习之星”合计35周岁以上35周岁以下合计（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）0.150.

100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由题意知：100×（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）＝1，解得a＝0.0035，

则所有参赛市民中获得“党史学习之星”的有，（0.0015+0.001）×100×2000＝500（人）．（2）由题意可得，从[550，650）中抽取7人，从[750，850）中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3，（k＝0

，1，2，3），故随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的数学期望．（3）由题可知，样本中35周岁以上60人，35周岁以下40人，获得“党史学习之星”的25人，其中35周岁以下15人，得出以2×2列联表：获得“党史学习之星”未获

得“党史学习之星”合计35周岁以上10506035周岁以下152540合计2570100K2＝＝≈5.556＞5.024，故有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关．21．已知函数f（x）＝﹣lnx，（a∈Z）．（1）当a＝1时，求f（x

）的极值；（2）若不等式f（x）≥（1﹣a）x+1恒成立，求a的最小值．解：（1）当a＝1时，f′（x）＝（x＞0），令f′（x）＝0，得x＝1（或x＝﹣1舍去），∵当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时

，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）极小值＝f（1）＝，无极大值．（2）f（x）≥（1﹣a）x+1，即ax2﹣lnx≥（1﹣a）x+1，即a（x2+2x）≥2lnx+2x+2，∴x＞0，即x

2+2x＞0，∴原问题等价于a≥在（0，+∞）上恒成立，设g（x）＝，x∈（0，+∞），则只需a≥g（x）max，由g′（x）＝﹣，令h（x）＝x+2lnx，∵h′（x）＝1+＞0，∴h（x）在（0，+

∞）上单调递增，∵h（1）＝1＞0，h（）＝+2ln＝﹣2ln2＝ln﹣ln4＜0，∴存在唯一的x0∈（，1），使得h（x0）＝x0+2lnx0＝0，∵当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，则g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，则g′（x）＜0，g（x）

单调递减，∴g（x）max＝g（x0）＝＝＝，∴a≥即可，∴x0∈（，1），∴∈（1，2），故整数a的最小值为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1

的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若P的直角坐标为（2，0），曲线C2与曲线C1交于A、B两点，求的值．解：（1）将曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得：．曲线C2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方

程为x﹣y﹣2＝0．（2）把直线x+y﹣2＝0，转换为参数方程为，代入，得到，故，t1t2＝﹣1，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4

）（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）∵f（x）＝m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4）

，∴5﹣m＝2且m+1＝4，解得：m＝3；（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，即关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立．可得：|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立即|a﹣3|≥3恒成立，解得：a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，即a≥6或a≤0．故实数a的取值范围是（﹣∞

，0]∪[6，+∞）．