【文档说明】山西省山西大学附属中学、汾阳中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学（理）试题 含答案.docx，共(18)页，776.385 KB，由小赞的店铺上传

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山西大学附中2020～2021学年高二第一学期12月模块诊断（理）数学试题考试时间：100分钟满分：100分一．选择题（每小题3分，共36分）1．直线l的方程为3310xy+−=，则直线l的倾斜角为()A．150°

B．120°C．60°D．30°2．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4OA=,，,则下列叙述正确的是()A．原图形是正方形B．原图形是非正方形的菱形C．原图形的面积是D．原图形的面积是3．命题“对任意，都有”的否定为()

A．对任意，都有B．不存在，都有C．存在，使得D．存在，使得4．设aR，则“1a=”是“直线1l：210axy+−=与直线2l：(1)40xay+++=平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．两圆，，则两圆公切线条数为（）A

．1B．2C．3D．46．在直三棱柱111ABCABC−中，2ABACBC===，11AA=，则点A到平面1ABC的距离为()A．34B．32C．334D．32OC=30AOC=8283xR20xxR20xxR20x0xR200x0xR2

00x221:16Cxy+=222:2270Cxyxy+++−=7．直线2sin0xy+=被圆222520xyy+−+=截得最大弦长为()A．25B．23C．3D．228.已知圆C：22(4)(3)4xy−+−=和两点(0,),(0,)AaBa−(0)a，若圆C上有且只有一

点P，使得90APB=,则a的值为（）A．3B．5C．3或5D．3或79．若yx,满足条件:−−+−−+033042022yxyxyx,则22yx+的最小值为()A.54B．1C．13D．210．已知圆(x－3)2＋

(y＋5)2＝36和点A(2，2)，B(－1，－2)，若点C在圆上且△ABC的面积为52，则满足条件的点C的个数是（）A．1B．2C．3D．411．已知点P是椭圆22:110064xyC+=上一点，M，N分别是圆22(6)1xy−+=和圆22(6)4xy++=上的点，那么||||PMPN+

的最小值为（）A．15B．16C．17D．1812．（理）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E为线段1BC的中点，F是棱11CD上的动点，若点P为线段1BD上的动点，则PEPF+的最小值为（）A．5

26B．122+C．62D．322二、填空题(本题有4个小题，每小题4分，共16分)13．已知(1,2)M，(4,3)N，直线l过点(2,1)P−且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是__________________14．已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,-1

)，圆C2：x2+y2=4，则圆C1，C2的公共弦长为__________________15．若对圆22(1)(1)1xy−+−=上任意一点(,)Pxy，34349xyaxy−++−−的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是______

____________16．如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，MN、分别是棱1ABCC、的中点，1MBP的顶点P在棱1CC与棱11CD上运动，有以下四个命题：①平面11MBPND⊥；②平面111MBPNDA⊥；③1MBP在底面ABCD

上的射影图形的面积为定值；④1MBP在侧面11DDCC上的射影图形是三角形．其中正确的命题序号是___________三、解答题（本题有5个小题，共48分，请将推理、计算过程写在答题卡上。）17．(8分)已知命题p：a14；命题q：方程x2

＋(a－3)x＋a＝0有两个不相等正实根；（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若p∨q为真命题，且p为假命题，求实数a的取值范围．18．(10分)已知圆的方程为22240xyxym+−−+=.（1）若圆与直线240xy+−=相交于M、N两点，且OMON⊥，(O为坐标原点)，

求m的值；（2）在（1）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.19.(10分)如图，在三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，,,DEF分别为111,,AAACAC的中点，5ABBC==，12ACAA==．（1）求证：A

C⊥平面BEF；（2）求二面角1BCDC−−的余弦值.20．(10分)已知圆22:16Oxy+=，直线():300lxytt−+=与圆O相交于,AB两点，且27AB=.（1）求直线l的方程；（2）已知点()2,0D，()4.0E−，()4,0F，点M是圆O上任意一点，点N在线

段MF上，且存在常数R使得23DNDEDM=+，求点N到直线l距离的最小值.21．(10分)如图，三棱柱111ABCABC−中，AB⊥侧面11BBCC，已知13BCC=，1BC=，12ABCC==，点E是棱1CC的中点.（1）求证：1CB⊥平面ABC；

（2）求二面角11AEBA−−的余弦值；（3）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面11ABE所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由.一．选择题（每小题3分，共36分）1．直线l的方

程为3310xy+−=，则直线l的倾斜角为()A．150°B．120°C．60°D．30°答案：A2．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4OA=,，,则下列叙述正确的是()A．原图形是正方形B．原图形是非正方形的菱形C．原图形

的面积是D．原图形的面积是答案C3．命题“对任意，都有”的否定为()A．对任意，都有B．不存在，都有C．存在，使得D．存在，使得答案D4．设aR，则“1a=”是“直线1l：210axy+−=与直线2l：(1)40xay+++=平行”的A．充分不必

要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A5．两圆，，则两圆公切线条数为（）A．1B．2C．3D．4答案BOABC2OC=30AOC=8283xR20xxR20xxR20x0xR200x0xR2

00x221:16Cxy+=222:2270Cxyxy+++−=6．在直三棱柱111ABCABC−中，2ABACBC===，11AA=，则点A到平面1ABC的距离为()A．34B．32C．334D．3答案B7．直线2sin0xy+=被圆22252

0xyy+−+=截得最大弦长为()A．25B．23C．3D．22【答案】D8.已知圆C：22(4)(3)4xy−+−=和两点(0,),(0,)AaBa−(0)a，若圆C上有且只有一点P，使得90APB=,则a

的值为（）A．3B．5C．3或5D．3或7答案D9．若yx,满足条件:−−+−−+033042022yxyxyx,则22yx+的最小值为()A.54B．1C．13D．2答案A10．已知圆(x－3)2＋(y＋5)2＝36和点A

(2，2)，B(－1，－2)，若点C在圆上且△ABC的面积为52，则满足条件的点C的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C11．已知点P是椭圆22:110064xyC+=上一点，M，N分别是圆22(6)1xy−+=和圆22(6)4xy++=上的点，那么||||PMPN+的最小值为

（）A．15B．16C．17D．18【答案】C12．（理）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E为线段1BC的中点，F是棱11CD上的动点，若点P为线段1BD上的动点，则PEPF+的最小值为（）A．526B．122+C．62D．322【答案】

A13．已知(1,2)M，(4,3)N，直线l过点(2,1)P−且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）(,3][2,)−−+14．已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，-1)，圆C2：

x2+y2=4，则圆C1，C2的公共弦长为（）15215．若对圆22(1)(1)1xy−+−=上任意一点(,)Pxy，34349xyaxy−++−−的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是()6a1

6．如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，MN、分别是棱1ABCC、的中点，1MBP的顶点P在棱1CC与棱11CD上运动，有以下四个命题：①平面11MBPND⊥；②平面111MBPNDA⊥；③1MBP在底面ABCD上的射影图形的面积为定

值；④1MBP在侧面11DDCC上的射影图形是三角形．其中正确的命题序号是___________②③17．已知命题p：a14；命题q：方程x2＋(a－3)x＋a＝0有两个不相等正实根；（1）若命题q为真命题，求实数

a的取值范围；（2）若p∨q为真命题，且p为假命题，求实数a的取值范围．【答案】（1）01a；（2）114a．【分析】（1）由一元二次方程根的分布求得a的取值范围；（2）由p为假命题，q为真命题，可得结论【详解】（1）设方程2(3)0xaxa+−+=两个不相等正实根为

12xx、命题q为真1212000xxxx+，解得01a（2）若pq为真命题，且p为假命题，则p假q真p真：14a；p为假命题，则14aq真：01a所以实数a的取值范围：114a18．已知圆的方程为22240xyxym+−−+=.（1）若

圆与直线240xy+−=相交于M、N两点，且OMON⊥，(O为坐标原点)，求m的值；（2）在（1）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.【答案】（1）85m=；（2）224816()()555xy−+−=.【分析】（1）直线方程与圆方程联立，消去x，设11()Mx

y，、22()Nxy，，由韦达定理得1212,yyyy+，由OMON⊥得12120xxyy+=，代入后可求得m值，检验符合直线与圆相交即可；（2）求出中点坐标，即新圆心坐标，再求出半径，得圆标准方程．【详解】(1)由22240xyxym+−−+=得22(1)

(2)5xym−+−=−，由50m−可得5m，∴由题意联立22240240xyxyxym+−=+−−+=得：251680yym−++=，设11()Mxy，、22()Nxy，，根据韦达定理得12165yy+=，1285myy+=，∵OMON⊥

，∴12120xxyy+=，又24xy=−+，∴12120xxyy+=，∴121258()160yyyy−++=，16881605m+−+=，解得85m=，符合5m，可取；(2)设圆心为()ab，，则12825yyb+==，4425ab=−=，半

径22128811164551(2)5()422555ryy+=+−−=−=，∴圆的方程224816()()555xy−+−=.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点为11()Mxy，

、22()Nxy，，由直线方程与圆方程联立方程组消元后，应用韦达定理得1212,yyyy+，代入OMON⊥所得的12120xxyy+=可求参数m值．19.(12分)如图，在三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，,,DEF分别为111,,AAACAC的中

点，5ABBC==，12ACAA==．（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角1BCDC−−的余弦值；19.解：（1）在三棱柱中，平面，四边形为矩形．又，分别为，的中点，………………2分又，，………………4分,,BEEFEBE

BEFEFBEF=平面平面平面．………………5分（2）法一：由（1）知，由平面，平面．………………6分如图建立空间直角坐称系．由题意得，，，，，，，设平面的法向量为，，，令，则，，平面的法向量，……………8分111ABCABC

−1CC⊥QABC11AACCEFAC11ACACEF⊥ABBC=QACBE⊥AC⊥BEF1EFCC∥1CC⊥ABCEF⊥ABCExyz−()0,2,0B()1,0,0C−()1,0,1D()0,0,2F()0,2,1G()=2,01CDu

uur,()=1,2,0CBuurBCD(),abc=,n00CDCB==uuuruurnn2020acab+=+=2a=1b=−4c=−BCD()2,14=−−，,n又平面的法向量为，………………9分．………

………11分所以二面角的余弦值为．………………12分20．已知圆22:16Oxy+=，直线():300lxytt−+=与圆O相交于,AB两点，且27AB=.（1）求直线l的方程；（2）已知点()2,0D，()4.0E−，()4,0F，点M是圆O上任意一点，点N在线段MF上，且存在常数

R使得23DNDEDM=+，求点N到直线l距离的最小值.【答案】（1）360xy−+=；（2）1.【分析】（1）圆22:16Oxy+=，圆心()0,0O，半径4r=.求出圆心O到直线l的距离d，又()22213ttd==+−，求出t，即得直线l的方程；（2）设(),Mmn，(),N

xy，根据23DNDEDM=+，得32ny=.根据点N在线段MFQ1CDC()=0,2,0EBuur21cos=21EBEBEB=−uuruuruurnnn1BCDC−−2121−上，则,FMFN共线，可得322mx=−，代入2216mn+=，求出点N的轨迹方程，可求

点N到直线l距离的最小值.【详解】（1）圆22:16Oxy+=，圆心()0,0O，半径4r=，∵直线:30lxyt−+=()0t与圆O相交于,AB两点，且27AB=，∴圆心O到直线l的距离1673d=−=，又()22213ttd==+−，0t，解得6t=.∴直

线l的方程为360xy−+=.（2）设(),Mmn，(),Nxy，则()2,DNxy=−，()6,0DE=−，()2,DMmn=−.∵23DNDEDM=+，∴23yn=，即32ny=.又∵点N在线段MF上，

∴,FMFN共线，∴()()44mynx−=−，∴322mx=−.∵点M是圆O上任意一点，∴2216mn+=，∴223321622xy−+=，即2246439xy−+=.∴点N在以4,03R为圆心，半径为83的圆R上.圆心R到直线

:360lxy−+=的距离()224611833313d+==+−，∴813d−=∴点N到直线:360lxy−+=距离的最小值为1.【点睛】本题考查点到直线的距离公式，考查向量共线定理，考查代入法求轨迹方程及直线与圆的位置关系，属于较难的题目.21．如图，三棱柱111ABCABC−中，AB

⊥侧面11BBCC，已知13BCC=，1BC=，12ABCC==，点E是棱1CC的中点.（1）求证：1CB⊥平面ABC；（2）求二面角11AEBA−−的余弦值；（3）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与

平面11ABE所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）255（3）存在,13CMCA=或523CMCA=.【分析】（1）根据线面垂直的判定

定理，即可证得1CB⊥平面ABC.（2）以B为原点，分别以BC，1BC和BA的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面1ABE和平面11ABE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；（3）假设

存在点M，设(),,Mxyz，根据CMCA=，得到EM的坐标，结合平面11ABE的法向量为列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，因为1BC=，12CC=，13BCC=，∴13BC=，又∴22211BCBCCC+=，∴1BCBC⊥，∵AB⊥侧面11BBCC，∴1ABBC⊥.又∵A

BBCB=，AB，BC平面ABC∴直线1CB⊥平面ABC.（2）以B为原点，分别以BC，1BC和BA的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,2A，()11,3,0B−，13,,022E，()11,3,2A−，设平面1ABE的一

个法向量为()111,,nxyz=()11,3,2AB=−−，13,,222AE=−∵100nABnAE==，∴111111320132022xyzxyz−+−=+−=，令13y=，则11x=

，∴()1,3,1n=r设平面11ABE的一个法向量为(),,mxyz=，()110,0,2AB=−，133,,222AE=−−，∵11100mABmAE==，∴20332022zxyz−=−−=，令3y=，

则1x=，∴()1,3,0m=，2m=，5n=，4mn=，∴425cos,525mnmnmn===.设二面角11AEBA−−为，则25coscos,5mn==.∴设二面角11AEBA−−的余弦值为2

55.（3）假设存在点M，设(),,Mxyz，∵CMCA=，0,1，∴()()1,,1,0,2xyz−=−，∴()1,0,2M−∴13,,222EM=−−设平面11ABE的一个法向量为()1,3,0m=，∴22132112211132424

−−=−++，得2693850−+=.即()()312350−−=，∴13=或523=，∴13CMCA=或523CMCA=.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考

查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.