【文档说明】2024届高考二轮复习理科数学试题（老高考旧教材） 考点突破练3　三角函数与解三角形 Word版含答案.docx，共(4)页，64.287 KB，由小赞的店铺上传

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考点突破练3三角函数与解三角形1.(2023北京东城一模)已知函数f(x)=sinx+sin(x+π3).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若π6是函数y=f(x)-f(x+φ)(φ>0)的一个零点,求φ的最小值.2.(2023辽

宁辽阳一模)已知函数f(x)=4sin(ωx+π3)(ω>0)在[π6,π]上单调递减.(1)求ω的最大值;(2)若f(x)的图象关于点(3π2,0)中心对称,且f(x)在[-9π20,m]上的值域为[-2,4],

求m的取值范围.3.(2023陕西西安八校联考二)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=2√77,cosB=5√714.(1)求C的值;(2)若a+b=12,求△ABC的面积.4.(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.5.如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处,小岛B北偏东15°距离(30√3-30)海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离;(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求

游船航行的方向.6.(2023新高考Ⅱ,17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为√3,D为BC的中点,且AD=1.(1)若∠ADC=π3,求tanB;(2)若b2+c2=8,求b,c.

7.(2023四川乐山一模)设函数f(x)=cos(2x+π3)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积.若f(𝐵2)=-14,且b=√3,求√3cosAcosC+S的最大值.

8.(2023四川内江一模)已知函数f(x)=√3sinx·cosx-cos2x+12,x∈R.(1)已知f(x)=-12,求cos(4x-π3)的值;(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(C)=1,c=3,若向量m=(-1,sinA)与n=(sinB,2)垂

直,求△ABC的周长.考点突破练3三角函数与解三角形1.解(1)∵f(x)=sinx+sin(x+π3)=sinx+12sinx+√32cosx=32sinx+√32cosx=√3sin(x+π6),∴f(x)的最小正周期为2π.(2)由题设y=

f(x)-f(x+φ)=√3sin(x+π6)-√3sin(x+π6+φ),由π6是该函数零点可知,√3sin(π6+π6)-√3sin(π6+π6+φ)=0,即sin(π3+φ)=√32.故π3+φ=π3+2kπ,k∈Z

或π3+φ=2π3+2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ,k∈Z或φ=π3+2kπ,k∈Z.∵φ>0,∴φ的最小值为π3.2.解(1)由条件知x∈[π6,π],则ωx+π3∈[π𝜔6+π3,πω+π3],由正弦函

数的性质可知[π𝜔6+π3,πω+π3]⊆[π2+2kπ,3π2+2kπ],∴{π6𝜔+π3≥π2+2𝑘π,π𝜔+π3≤3π2+2𝑘π,k∈Z,∴ω∈[1+12k,76+12k],k∈Z.又有π-π6=5π6≤

𝑇2=π𝜔,∴0<𝜔≤65,当k=0时,1≤𝜔≤76符合题意;当k≥1时,ω>65,不符合题意,∴ω的最大值为76.(2)∵f(x)的图象关于点(3π2,0)中心对称,∴3π2𝜔+π3=kπ(k∈Z),即ω=2𝑘3−29(k

∈Z).由(1)得1≤𝜔≤76,∴ω=109,则f(x)=4sin(109x+π3),当x∈[-9π20,m]时,109x+π3∈[-π6,109m+π3].∵f(x)在[-9π20,m]上的值域为[-2,4],∴sin(109x+π3)∈[-12,1]

,则π2≤109m+π3≤7π6,解得3π20≤m≤3π4,∴m的取值范围是[3π20,3π4].3.解(1)由题意得A,B,C∈(0,π),又cosA=2√77,cosB=5√714,∴sinA=√217,sinB=√2114

,∴cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-2√77×5√714+√217×√2114=-12,∴C=2π3.(2)由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,得𝑎+𝑏sin𝐴+sin𝐵=𝑐

sin𝐶,即123√2114=𝑐√32,解得c=4√7,∴由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶=4√7√32,得a=8.∴△ABC的面积为S△ABC=12acsinB=12×8×4√7×√2114=8√3.4.解(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-

AB2=AC·AB.①由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA.②由①②得cosA=-12.因为0<A<π,所以A=2π3.(2)由正弦定理及(1)得𝐴𝐶sin𝐵=𝐴𝐵sin𝐶=𝐵𝐶

sin𝐴=2√3,从而AC=2√3sinB,AB=2√3sin(π-A-B)=3cosB-√3sinB.故BC+AC+AB=3+√3sinB+3cosB=3+2√3sin(B+π3).又0<B<π3,所以当B=π6时,△ABC周长取得最大值3+2√3.5.解(1)在△AB

C中,AB=60,BC=30√3-30,∠ABC=180°-75°+15°=120°,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=602+(30√3-30)2-2×60×(30√3-30)·cos120°=5400.AC

=30√6,∴小岛A到小岛C的最短距离是30√6海里.(2)由正弦定理,得𝐴𝐶sin∠𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵sin∠𝐴𝐶𝐵,∴30√6sin120°=60sin∠𝐴𝐶𝐵,解得sin∠ACB=√22.在△

ABC中,∵BC<AC,∴∠ACB为锐角,∴∠ACB=45°,∴∠CAB=180°-120°-45°=15°,由75°-15°=60°得游船应该沿北偏东60°的方向航行.答:小岛A到小岛C的最短距离是30√6海里;游船应该

沿北偏东60°的方向航行.6.解(1)(方法一正弦定理+余弦定理)由题意可知S△ABC=12acsinB=√3,故acsinB=2√3.①在△ABD中,有𝐴𝐷sin𝐵=𝐴𝐵sin∠𝐴𝐷𝐵,由∠ADC=π3,得∠ADB=2π3,所以1sin𝐵=𝑐si

n2π3,故csinB=√32.②将②式代入①式,得a=4.在△ADB中,由余弦定理得AB2=c2=AD2+BD2-2AD·BDcos2π3,即c2=12+22-2×1×2×(-12)=7,得c=√7.在△ABD中,cosB=𝐴𝐵2+𝐵𝐷

2-𝐴𝐷22𝐴𝐵·𝐵𝐷=7+4-12√7×2=52√7>0,故B∈(0,π2),则sinB=√32√7,tanB=√35.(方法二余弦定理)因为AD为△ABC的中线,所以S△ABC=2S△AD

C=2×12×𝑎2×1×sinπ3=√34a=√3,故a=4.在△ADC中,由余弦定理知b2=12+22-2×1×2×cosπ3=3.在△ABD中,c2=AB2=12+22-2×1×2×cos2π3=7.在△ABC中,co

sB=𝑐2+𝑎2-𝑏22𝑐𝑎=7+16-32√7×4=52√7>0,故B∈(0,π2),有sinB=√32√7,tanB=√35.(2)(方法一)在△ABC中,由𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,得|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|2=14|

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2=14(|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2+2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗).由余弦定理得2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2-|�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2.故|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|2=14(2|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2+2|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2-|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2),即AD2=12(b2+c2)-14a2,得a=2√3.由S△ABC=12bcsinA和b2

+c2-a2=2bccosA,得S△ABC=14(b2+c2-a2)tanA,得tanA=-√3<0,故A∈(π2,π),有A=2π3.又因为S△ABC=12bcsinA,所以bc=4.由b2+c2=8和bc=4,得b=c=2.(方法二几何法)过

点A作AH⊥BC交BC于点H(图略).在△ABC,△ABD中,由余弦定理得cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=(𝑎2)2+𝑐2-12𝑎𝑐,解得a2=2(b2+c2)-4.将b2+c2=8代入a2=2(b2+c2)-4中得a=2√3.S△ABC=12BC·AH=12×

2√3AH=√3,则AH=1.又因为AD=1,所以点H与点D重合,即AD为边BC的中垂线,所以b=c=√𝐴𝐷2+(𝑎2)2=√1+3=2.7.解(1)f(x)=cos(2x+π3)+sin2x=12cos2x-√32sin2x+1-cos2𝑥2=12−√32sin2x,∴函数f(x)的

最大值为1+√32,最小正周期为π.(2)由(1)得f(x)=12−√32sin2x,∵f𝐵2=12−√32sinB=-14,∴sinB=√32.∵B为锐角,∴B=π3.∵𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶=𝑏sin𝐵,∴a=2sinA,c=2sinC.∴S=12acsinB=√34ac=

√3sinAsinC.∴√3cosAcosC+S=√3(cosAcosC+sinAsinC)=√3cos(A-C).当A=C=π3时,原式有最大值√3.∴√3cosAcosC+S的最大值为√3.8.解(1)∵f(x)=√3sinxcosx-cos2x+12=√32sin2x-1+c

os2𝑥2+12=sin(2x-π6),又f(x)=-12,∴sin(2x-π6)=-12,∴cos(4x-π3)=1-2sin2(2x-π6)=1-2×14=12.(2)由(1)得f(C)=sin(2C-π6)=1,则2C-π6=π2+2kπ,k∈Z,∴C

=π3+kπ,k∈Z,又0<C<π,∴C=π3,又向量m=(-1,sinA)与n=(sinB,2)垂直,∴m·n=-sinB+2sinA=0,∴-sinB+2sin(B+π3)=-sinB+2(12sinB+√32cosB)=√3cosB=0,即cosB=0,又0<B<π,∴B=π2,则A

=π-B-C=π6.由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=3√32=2√3,则a=2√3sinA=√3,b=2√3sinB=2√3,∴△ABC的周长为3+√3+2√3=3+3√3.