【文档说明】吉林省榆树市第一高级中学2021届高三上学期（老教材）期末备考卷（B）数学（理）试卷含答案.doc，共(17)页，730.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年上学期高三期末备考卷理科数学（B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡

上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合01Axx=，1021xBxx+=−，则AB=（）A．102xxB．112xxC．102xxD．11xx−【答案】A【解析】由题意得0

1Axx=，112Bxx=−，则102ABxx=，故选A．2．设复数z满足i5z−=，z在复平面内对应的点为(,)xy在第一象限且满足2232xy+=，则z=（）A．44i+B．

44i−C．33i−D．33i+【答案】A【解析】∵i5z−=，∴22(1)25xy+−=，又∵2232xy+=，解得4y=，4x=，∴44iz=+．3．若0.4log1.1a=，1.1(0.4)b=，0.4

1.1c=，则（）A．bcaB．abcC．acbD．bac【答案】B【解析】∵0.4log1.10a=，1.10(0.4)1，0.41.11c=，∴abc，故选B．4．每当临近春

节时，某酒店便会到处挂满五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀3个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，已知大灯共60个，小灯共205个．若在该酒店的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀3个小灯的概率为（）A．2559B．3459C．4959D．5359【答案】C【

解析】设一大三小和一大四小的灯球数分别为,xy，则6034205xyxy+=+=，解得3525xy==，若随机取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀3个小灯的概率为225260C491C59−=．5．函数233()||sin(ππ)22fxxxx=−的图象大致

为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵33ππ22x−时，2()||sin()fxxxfx−=−=，∴()fx为偶函数，排除A，C，又∵33ππ22x−时，3()(π)2fxf，排除D．6．若非零向量a，b满足||2||=ab且2||−=abab，则a与b的夹角为（）A．π3B

．π4C．π6D．π2【答案】B【解析】∵2||−=abab，则22||2||−+=aabbab，得223||||=+abab，设a与b的夹角为，则2222||||3||2cos3||||232||+===abbabb，则夹角为π4．7．关于函数()sin|

2||sin2|fxxx=−有以下四个结论：①()fx是奇函数；②直线3π4x=是()fx的一条对称轴；③()fx的最大值为0；④函数()fx在区间π3[,π]24单调递减．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．③④D．②④【答案】C【解析】分段

函数讨论：①()sin|2||sin(2)|sin|2||sin2|()fxxxxxfx−=−−−=−=，故①错误；②πππ()sinsin0422f−=−=，777(π)sinπ|sinπ|2422f=−=−，π7()

(π)44ff−，故3π4x=不是()fx的对称轴，故②错误；③当0x时，π0,[π,π],2()π2sin2,(π,ππ),2xkkkfxxxkkk+=++NN，故当0x时，()0fx恒成立．又由①可知()fx为偶函数，∴()f

x的最大值为0，故③正确；④当π3[,π]24x时，()sin2sin22sin2fxxxx=+=，函数递减，故④正确．8．关于函数2()(ln)2lnfxxx=−，下列说法正确的是（）A．函数()fx有2个零点B．函数()fx有4个零点C．e是函数()fx的

一个零点D．2e是函数()fx的一个零点【答案】A【解析】令2(ln)2ln0xx−=，得ln0x=或ln2x=，解得1x=或2e，故答案选A．9．已知4sin5=−，则sin5cos4sincos+−的值可能为（）A．1913或1119−B．1913−或1119C．111

9或1913−D．1119或1119−【答案】A【解析】∵4sin5=−，故3cos5=，当3cos5=时，sin5cos114sincos19+=−−；当3cos5=−时，sin5cos194sincos13+=−．故答案选A．10．已

知正三棱锥PABC−中，E，F分别为PA，AB的中点，已知PFC△的面积为93，PB与FC所成角的余弦值为14，则球O的体积为（）A．256π3B．128π3C．64π3D．512π3【答案】A【解析】如图，三棱锥PABC−为正三棱锥，设||||||2PAPBPCm===，||||||2ABACB

Ca===．过P作PMCF⊥于M，连接EF，则EFPB∥且1||||2EFPBm==，||3CFa=，23||3MCa=．在PAC△中，222444cos2222mamaPACamm+−==．∴在AEC△中，22222||42222aE

Cmamamam=+−=+．∵PFC△的面积为93，PB与FC的成角的余弦值为14．∵224||43PMma=−，∴22222214349323321cos423amamamaEFCma−=+−−==，解得323am==．∴||43PC=，||23CM

=，||6PM=．设球O的半径为R，则有222(6)(23)RR−+=，解得4R=．∴球O的体积为34256π4π33=．11．已知椭圆22221xyab+=的长轴为10，离心率为35，则以(2,2)M−为中点的弦所在的直线方程为（）A．2516820xy

−+=或1625180xy+−=B．1625180xy+−=或2516180xy++=C．2516180xy++=或2516820xy−+=D．1625820xy−+=或2516820xy−+=【答案】D【解析】由已知可得椭圆22221xyab+=的短轴为8，故椭圆方程为221251

6xy+=或2211625xy+=，设弦的两端点为11(,)Axy，22(,)Bxy，当椭圆方程为2212516xy+=时，则有221122221251612516xyxy+=+=，两式相减得12121212()()()()02516xxxxyyyy−+−++=，整理得1212162

5yyxx−=−，∴弦所在的直线的斜率为1625，其方程为162(2)25yx−=+，整理得1625820xy−+=；当椭圆方程为2211625xy+=时，则有221122221162511625xyxy+=+=，两式相减得12121212()()()()

01625xxxxyyyy−+−++=，整理得12122516yyxx−=−，∴弦所在的直线的斜率为2516，其方程为252(2)16yx−=+，整理得2516820xy−+=．根据选项可得答案为D．12．现电脑程序随机产生一个四位二进制

数1234Aaaaa=（例如1100）其中A的各位数中()2,3,4iai=出现1的概率为35，出现0的概率为25，记234Xaaa=++，则当程序运行一次时，下列说法错误的是（）A．3~(3,)5XBB．27(3)125PX==C．54(

2)125PX==D．16(0)125PX==【答案】D【解析】由于二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的4位数中后3位的所有结果有4类：①后3个数位都为0，0X=，记其概率为328(0)(

)5125PX===；②后3个数位只出现1个1，1X=，记其概率为1233236(1)C()()55125PX===；③后3位数位出现2个1，2X=，记其概率为2233254(2)C()()55125PX===；④后3个数位上出

现3个1，记其概率为333327(3)C()5125PX===，故3~(3,)5XB，故A正确，B正确，C正确，D错误，故选D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线(2)xyaxe=+在点0x=处的切线斜率为2−，则a=．【答

案】4−【解析】(2)xyaxae=++，根据导数的几何意义可知曲线在点0x=处的切线斜率为22ka=+=−，∴4a=−．14．二项式63(2)xx+的展开式中的第3项是．【答案】22160x【解析】二项式63(2)xx+的展开式中的第

3项是242263C(2)()2160xxx=．15．甲、乙两队进行篮球比赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为23

，客场取胜的概率为12，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:2获胜的概率是．【答案】19108【解析】欲使甲队4:2获胜，则第六场甲胜，前五场甲获胜三场负两场，故所求概率为32221122323211211112111()

()C()()CC()()322332223322P=++13119272736108=++=．16．设双曲线22221xyab−=的左焦点为1F，直线230xy−+=过点1F且与双曲线C在第一象限交点为P，若1OP

OF=，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为．【答案】5【解析】如图所示，∵直线230xy−+=过点1F，∴1(3,0)F−，半焦距3c=，连接2PF，过O作1OMFP⊥交1FP于M，∵12OPOFOFc===，∴12PFF△是直角三角形，且1290FP

F=，故2OMFP∥且22FPOM=，335514OM==+，∴2655PF=，∴216512536()55PF=−=，∴126525aPFPF=−=，∴355a=，∴35355cea===．三、解答题：本大题共6大题，共70分

，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2223acbac+−=．（1）若2bc=，求角A大小；（2）若1sin3sin3CA=+，求sinA．【答案】（1）π12或7π

12；（2）2236−．【解析】∵2223acbac+−=，根据余弦定理可得2223cos22acbBac+−==，∴π6B=．（1）在ABC△中，2bc=，由正弦定理可得2sinsinBC=，∴2sin2C=，∴π4C=或3π4，当π4C=时，ππ7ππ6412A=−−=；当3π

4C=时，π3πππ6412A=−−=，∴A为π12或7π12．（2）∵π6B=，∴5π6CA=−，∵1sin3sin3CA=+，∴51sin(π)3sin63AA−=+，化简得311sincos223AA−=−，π1s

in()63A−=−，∵50π6A，∴ππ2π663A−−．又∵π1sin()063A−=−，∴ππ066A−−，∴π122cos()1693A−=−=，∴ππππππ13221sinsin()sin()coscos()sin

6666663232AAAA=−+=−+−=−+2236−=．18．（12分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，1ABBCAA==，60ABC=，D，M，N分别为BC，1AB，1AC的中点．（1）证明：MN∥平面ABC；（2）求二面角11CA

DA−−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）55．【解析】（1）证明：如图，取AB、AC中点P，Q，连接MP，PQ及NQ．∵M，N分别为1AB和1AC的中点，∴1MPAA∥且112MPAA=，1NQCC∥且112NQCC=，∴MPNQ∥，MPNQ=，∴四边形MPQN为平行四边形，∴MN

PQ∥，又∵MN平面ABC，PQ平面ABC，∴MN∥平面ABC．（2）如下图，以D为坐标原点，DC方向为x轴正方向，DA为y轴正方向，以垂直x轴，y轴方向为z轴建立空间直角坐标系，∵1ABBCAA==且60ABC=，设2BCa=，则(0,0,0)D，(,0,0)Ca，(0,

3,0)Aa，1(,0,2)Caa，1(0,3,2)Aaa，则(0,3,0)DAa=，1(,0,2)DCaa=，由图易知平面1DAA的法向量为1(1,0,0)=n，设平面1ADC的法向量为2(,,)xyz=n，所以221030200DAay

axazDC==+==nn，取2x=−，则2(2,0,1)=−n．∴121212225cos,541−===−+nnnnnn，∴二面角11CADA−−的正弦值为55．19．（12分）冠状病毒是一个大

型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．某小区为进一步做好新型冠状病毒感染的肺炎疫情知识的教育，在小区

内开展《新型冠状病毒防疫安全公益课》在线学习，在此之后组织了《新型冠状病毒防疫安全知识竞赛》在线活动．已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为1、2、3、4，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛

结束前对四位业主的名次进行预测，若预测正确会有礼品获得，现用,,,abcd表示某业主对甲、乙、丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，1234Xabcd=−+−+−+−是该业主预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述．（1）求该业主获得

礼品的概率；（2）求X的分布列及数学期望．【答案】（1）124P=；（2）分布列见解析，5EX=．【解析】（1）该业主预测的结果有44A24=种可能，预测正确的结果只有一种，所以该业主获奖的概率为124P

=．（2）以（,,,abcd）为一个基本事件，如下表所示：即X所有可能的取值为0,2,4,6,8．分布列如下表所示：X02468P124187243816所以117310246852482486EX=++++=．20．（12分）已知抛物线22xy=

，点M在y轴的正半轴上，过点M的直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当直线l的斜率为1，且以AB为直径的圆与12y=−相切，求该圆的半径；（2）是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何移动，2211||||AMBM+恒

为定值．【答案】（1）2；（2）存在，定点为(0,1)M．【解析】设11(,)Axy，22(,)Bxy，（1）设点(0,)Mm，则直线l的方程为yxm=+，由22xyyxm==+，得2220xxm−−=，由韦达定理

得122xx+=，122xxm=−，1212()222yyxxmm+=++=+，由弦长公式可得||11482212ABmm=++=+，线段AB的中点的纵坐标为1m+，∴线段AB的中点到直线12y=−的距离为32m+，则32122mm+=

+，解得12m=，此时圆半径为21122AB=+=．（2）设(0,)Mm，直线l的方程为ykxm=+，由22xyykxm==+，消去y得2220xkxm−−=，2480Δkm=+，得220km+，122xx

k+=，122xxm=−，22222111||()(1)AMxymkx=+−=+，同理2222||(1)BMkx=+，222212222222222212111144||||(1)14xxkmkmAMBMkxxkmm

km++++===+++，∵2211||||AMBM+为定值，则221mmm=，解得1m=，∴存在定点(0,1)M，使得不论直线l绕点M如何移动，2211||||AMBM+恒为定值1．21．（12分）已知函数222()(12)lnfxxaxax=+−−，当1ae时，证明：（1）

()fx有唯一极值点；（2）()fx有2个零点．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）()fx的定义域为(0,)+，222222(12)()2(12)axaxafxxaxx+−−=

+−−==2(21)()xxax+−，当2(0,)xa时，()0fx，()fx单减；当2(,)xa+时，()0fx，()fx单增，∴()fx有唯一极值点．（2）由（1）知()fx在2(0,)a单减，在2(,)a+单增，∴()fx在2xa=时

取得极小值为2222()(1ln)faaaa=−−，∵1ae，∴21ae，2ln0a，∴2()0fa，又∵222221112112()(1)0afaaeeeeee−=++=++−，根据零点存在性定理，函数()fx在2(0,)a上有且只有

一个零点．∵lnxx，222()(12)lnfxxaxax=+−−222(12)xaxax+−−222(13)(13)xaxxxa=+−=+−，∵1ae，∴22231210aaa−−=−，2231aa−，∴231xa

−时，()0fx，根据零点存在性定理，函数()fx在2(,)a+上有且只有一个零点，∴()fx有2个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为32162xtyt=

=+（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为12sin63cos=+．（1）写出曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（2）若直线π()3=R与曲线C交于点A（不同于原点），与直

线l交于点B，求AB的值．【答案】（1）22:(33)(6)63Cxy−+−=，:cos3sin630l−+=；（2）33．【解析】（1）∵12sin63cos=+，∴212sin63cos=+，

∴曲线C的直角坐标方程为221263xyyx+=+，即22(33)(6)63xy−+−=，∵直线l的普通方程为3630xy−+=，∴直线l的极坐标方程为cos3sin630−+=．（2）将π3=代入直线l的极坐标方程得63=，∴π(63,)3

B．将π3=代入曲线C的极坐标方程得93=，∴π(93,)3A，∴33AB=．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()433fxxx=−−+．（1）求不等式()0fx解集；（2）若关于x的不等式25(1)54mfxx−+++有解，求实数m的取值范

围．【答案】（1）(0,2)；（2）(,5][10,)−−+．【解析】（1）63,33()5,34336,4xxfxxxxx−−=−−−，当3x−时，630x−，解得2x，故

无解；当334x−时，50x−，解得0x，∴304x；当34x时，360x−，解得2x，∴324x，∴不等式()0fx解集为(0,2)．（2）依题意得2541444141641416

15mxxxxxx−+++=+++−−++=，∴2515m−，解得10m或5m−，∴m的取值范围为(,5][10,)−−+．