【文档说明】吉林省榆树市第一高级中学2021届高三上学期（老教材）期末备考卷（A） 数学（理）试卷含答案.doc，共(16)页，640.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年上学期高三期末备考卷理科数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题

卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合23100Axxx=−−，集合16Bxx=−，则AB等于（）A．15xx−B．15xx−C．26xx−D．25xx−【答案】B【解析】由23100(2)(5)025Axxxxx

xxx=−−=+−=−，所以15ABxx=−．2．复数2i1iz=−（i为虚数单位），则z等于（）A．3B．22C．2D．2【答案】D【解析】2i2i(1i)i(1i)1i1i(1i)(1i)z+===+=−+−−+，所以1iz=−−，2z=．3．已知(1,

3)=a，(2,2)=b，(,1)n=−c，若()−⊥acb，则n等于（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】由题可知(1,4)n−=−ac，因为()−⊥acb，所以有(1)2240n−+=，得5n=．4．设1tan2=，4cos(π)((0,π

))5+=−，则tan(2)−的值为（）A．724−B．524−C．524D．724【答案】D【解析】1tan2=，22tan4tan21tan3==−，4cos(π)cos((0,π))5+=−=−，4cos5=，3sin5=，3tan4=，43ta

n2tan734tan(2)431tan2tan24134−−−===++．5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．193B．4C．254D．132【答案】A【解析】程序运行过程如下：3,0xM==；22,33xM==；11,26xM=−=；193,6

xM==；223,36xM==；110,23xM=−=；193,43xM==退出循环，输出结果为193．6．连接双曲线22122:1xyCab−=及22222:1yxCba−=的4个顶点的四边形面积为1S，连接4个焦点的四边形的面积为2S，则当12SS取得最大值时，双曲线1C的离心率为

（）A．52B．322C．3D．2【答案】D【解析】四个顶点形成的四边形的面积112222Sabab==，四个焦点连线形成的四边形的面积2212222Sccc==，所以1222221222SabababScabab===+，当12SS取得最大值时有ab=，2ca=，

离心率2cea==．7．在区间3,3−上随机取一个数x，使得301xx−−成立的概率为等差数列na的公差，且264aa+=−，若0na，则n的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【答案】D【解析】由题意，本题符合几

何概型，区间3,3−长度为6，使得301xx−−成立的x的范围为(1,3区间长度为2，使得301xx−−成立的概率为2163d==，又26442aaa+=−=，42a=−，1102(4)333nnan=−+−=−+，令0na，则有10n，故n的最小值为11．8．已知函数()

()614,7,7xaxxfxax−−+=是R上的减函数，当a最小时，若函数()4yfxkx=−−恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．1(,0)2−B．1(2,)2−C．(1,1)−D．1(,1)2【答案】A【解析】由于()fx为R上的减函数，则有10017(1)4aaaa

−−+，可得112a，所以当a最小时，12a=，函数()4yfxkx=−−恰有两个零点等价于方程()4fxkx=+有两个实根，等价于函数()yfx=与4ykx=+的图像有两个交点．画出函数()fx的

简图如下，而函数4ykx=+恒过定点(0,4)，数形结合可得k的取值范围为102k−．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．4π3B．5π3C．2π23+D．2π43+【答案】B【解析】由三视图可知其是由半个球及半个倒立的圆柱拼接而成，其中球的半

径为1，其体积为31142π1π233V==，半圆柱的体积为221π12π2V==．所以总体积5π3V=．10．函数)sin(2)(+=xxf(00π)，的部分图像如图所示，若5=AB，点A的坐标为(1,2

)−，若将函数()fx向右平移(0)mm个单位后函数图像关于y轴对称，则m的最小值为（）A．12B．1C．π3D．π2【答案】B【解析】由于5=AB，函数最高点与最低点的高度差为4，所以函数()fx的半个周期32T=，所以2ππ63T===，又(1,2)A−，0π

，则有π2sin(1)23−+=，可得5π6=，所以π5πππππ()2sin()2sin()2cos(1)363323fxxxx=+=++=+，将函数()fx向右平移m个单位后函数图像关于y轴对称，即平移后为偶函数，所以m的最小值为1．11．等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD

中，90C=，6BD=，现将ABD△沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为45时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（）A．33B．22C．32D．233【答案】A【解析】设E为BD中点，连接AE、CE，由题可知AEBD⊥，CEBD⊥，所以BDAEC⊥平面，过A作AO

CE⊥于点O，连接DO，则AOBDC⊥平面，所以ADO即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，所以2sin2AOADOAD==，可得32AO=，在AOE△中，可得3OE=，又132OCBD==，即点O与点C重合，此时有ACBCD⊥平面，过C作CF⊥AE与点F，又BDAEC⊥平面，所

以BDCF⊥，所以CFABD⊥平面，从而角CAE即为直线AC与平面ABD所成角的平面角，33sin333CECAEAE===．12．已知函数321()(0)3fxaxxa=+．若存在实数0(1,0)x−，且012x−，使得0(

)fx=1()2f−，则实数a的取值范围为（）A．2(,5)3B．2(,3)(3,5)3C．18(,6)7D．18(,4)(4,6)7【答案】D【解析】2()2fxaxx=+，令()0fx=，得10x=，2

2xa=−．其单调性及极值情况如下：x2(,)a−−2a−2(,0)a−0(0,)+()fx+0_0+()fx极大值极小值若存在011(1,)(,0)22x−−−，使得01()()2fxf=−，则由（1）可知，需要212211(1)()2aaff−

−−−−−（如图1）或3122aa−−−（如图2）．（图1）（图2）于是可得18(,4)(4,6)7a．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(1)nx+展开式中的系数的和大于8而小于32，则n=．【答案】4【解析】018CCC

232nnnnn++=，4n=．14．已知数列{}na的各项均为正数，满足11a=，1kkiaaa+−=．,1,2,ikk=（3,,1)n−，若{}na是等比数列，数列{}na的通项公式na=．【答案】12n−【解析】因为

211aaa−=，所以212aa=，因为{}na是等比数列，所以数列{}na的公比为2．又1,1,2,3,,1)kkiaaaikkn+−==−（，所以当ik=时，有1=2kkaa+．这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以12nna−=．15．实数x，y满足121yyxxy

m−+，如果目标函数zxy=−的最小值为2−，则yx的最小值为．【答案】17【解析】先做121yyx−，的区域如图可知在三角形ABC区域内，由zxy=−，得yxz=−可知，直线的截距最大时，z取得最小值，此时直线为2(2)yxx−=−=+，作出直线2yx=+，交21

yx=−于A点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线xym+=也过A点，由212yxyx=−=+，得35xy==，代入xym+=，得358m=+=，所以点C的坐标为()7,1．yx等价于点(,)x

y与原点连线的斜率，所以当点为点C时，yx取得最小值，最小值为17．16．已知M是抛物线22yx=上一点，N是圆22(2)=1xy+−关于直线0xy−=对称的曲线C上任意一点，则MN的最小值为．【答案

】31−【解析】假设圆心(0,2)关于直线0xy−=对称的点为00(,xy），则有0000212022yxxy−=−+−=，解方程组可得0020xy==，所以曲线C的方程为22(2)1xy−+=，圆心为(2,0)C，设(,)(0)Mxyx，则222(2)MCxy=−+，又

22yx=，所以22222(2)=24(1)3MCxyxxx=−+−+=−+，2max3MC=，即min3MC=，所以min31MN=−．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知在ABC△中，a、b、c分别为角A、B、C的

对边，且sinsinsinsinaAcCbBC−=−．（1）求角A的值；（2）若3a=，设角B=，ABC△周长为y，求()yf=的最大值．【答案】（1）π3A=；（2）π3=时，max33y=．【解析】（1）由已

知sinsinsinsinaAcCbBC−=−，可得sinsinsinsinbBbcaAcC−=−，结合正弦定理可得222bcabc+=+，∴2221cos22bcaAbc+−==，又(0,π)A，∴π3A=．（2）由3a=，π3A

=及正弦定理得2sinsinsinbcaBCA===，∴2sin2sinbB==，2π2π2sin2sin()2sin()33cCB==−=−，故2π32sin2sin()3yabc=++=++−，即π23sin()36y=++，由2π03，得ππ5π666+，∴当

ππ62+=，即π3=时，max33y=．18．（12分）如图，已知三棱柱111ABCABC−中，1ABCBBC△与△是全等的等边三角形．（1）求证：1BCAB⊥；（2）若11cos4BBA=，求二面角1BBCA−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）55．【解

析】（1）取BC的中点O，连接AO，1BO，由于1ABCBBC△与△是等边三角形，所以有AOBC⊥，1BOBC⊥，且1AOBOO=，所以1BCBAO⊥平面，11ABBAO平面，所以1BCAB⊥．（2）

设ABa=，1ABCBBC△与△是全等的等边三角形，所以11BBABBCACBCa=====，又11cos4BBA=，由余弦定理可得2222113242ABaaaaa=+−=，在1ABC△中，有22211ABAOBO=+，所以以1,,OAOBOB分别为

x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则3(,0,0)2Aa，(0,,0)2aB，13(0,0,)2B，设平面1ABB的一个法向量为(,,)xyz=n，则1310022033022axayABABaxaz−+===−+=nn，令1x=，则(1,3,1)=n，又

平面1BCB的一个法向量为(1,0,0)=m，所以二面角1BBCA−−的余弦值为5cos5==nmnm．19．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22列联表如下：35岁以下（含35

岁）35岁以上合计使用移动支付4050不使用移动支付40合计100（1）将上22列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人

颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望．（参考公式：()()()()()22nadbckabcdacbd−=++++（其中nabcd=+++）【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2

）分布列见解析，125EX=．【解析】（1）根据题意及22列联表可得完整的22列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付401050不使用移动支付104050合计5050100根据公式可得()22505100040401

010366.6035055k=−=，所以在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关．（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，所以获得奖励的35岁以下（含35岁

）的人数为X，则X的可能为1，2，3，且1282310CC8(1)C120PX===，2182310CC56(2)C10PX===，38310C56(3)C120PX===，其分布列为X123P8120561205612085656121231201201

205EX=++=．20．（12分）已知椭圆2222:1xaCyb+=(0ab)的离心率为22，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线20xy+−=相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，已知Q点坐标为5,04（），求QAQB

的值．【答案】（1）2212xy+=；（2）716−．【解析】（1）由离心率为22，可得22cea==，22ca=，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为222xya+=，因与直线20xy+−=相切，则有22a=，即2a=，1

c=，1b=，故而椭圆方程为2212xy+=．（2）①当直线l的斜率不存在时，21,2A，21,2B−，由于525271,1,424216−−−=−

．②当直线l的斜率为0时，()2,0A，()2,0B−，则5572,02,04416−−−=−．③当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1xty=+，()11,Axy，()22,Bxy，由1xty=+及2212xy+=，得22(2)21

0tyty++−=有0Δ，∴12222tyyt+=−+，12212yyt=−+，111xty=+，221xty=+，∴2112212121212551111(,)(,)()()(1)()4444416xyxytytyyytyytyy−−=−−+=+−++222222

11212217(1)242162(2)1616tttttttt−−+=−+++=+=−+++，综上所述：716QAQB=−．21．（12分）已知函数2()22lnfxbxaxx=−+．（1）若曲线()yfx=在(1,(1))f处的切线为24yx=+，试求实数,ab的值；（2）当1b=时，

若()yfx=有两个极值点12,xx，且125,2xxa，若不等式12()fxmx恒成立，试求实数m的取值范围．【答案】（1）6ab==−；（2）9ln28m−−．【解析】（1）由题可知(1)21462fba=+==−，2()22

fxbxax=−+，(1)2222fba=−+=，联立可得6ab==−．（2）当1b=时，2()22lnfxxaxx=−+，222(1)()22xaxfxxaxx−+=−+=，()fx有两个

极值点12,xx，且12xx，12,xx是方程210xax−+=的两个正根，1252xxa+=，121xx=，不等式12()fxmx恒成立，即12()fxmx恒成立，232321111111111211122()22ln22l

n2()2lnfxxaxxxaxxxxxxxxxxx−+==−+=−++3111122lnxxxx=−−+，由1252xxa+=，121xx=，得11152xx+，1102x，令31()22ln,(0)2hxxxxxx=−−+，2()32ln0hxxx=−+，()

hx在1(0,]2上是减函数，19()()ln228hxh=−−，故9ln28m−−．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4坐标系与参数方

程】过点()1,0P−作倾斜角为的直线与曲线3cos(2si:nCxy==为参数）相交于M、N两点．（1）写出曲线C的一般方程；（2）求PMPN的最小值．【答案】（1）22132xy+=；（2）43．【解析】（1）由曲线C

的参数方程3cos(2sinxy==为参数），可得2222cossin132xy+=+=，即曲线C的一般方程为22132xy+=．（2）直线MN的参数方程为1cossinxtyt=−+=（t为参数），将直线MN的

参数方程代入曲线22132xy+=，得222(1cos)3(sin)6tt−++=，整理得22(3cos)4cos40tt−−−=，设M，N对应的对数分别为12,tt，则12243cosPMPNtt==−，当cos0=时，PMPN取得最小值为43．23．（10分）【选

修4-5：不等式选讲】已知函数()1621fxx=−−．（1）解不等式()2fxx+；（2）若函数()yfxa=−存在零点，求a的求值范围．【答案】（1）17|53xxx−或；（2）16a．【解析】（1）有题不等式可化为22116xx++−，当2x

−时，原不等式可化为22116xx−−−+，解得173x−；当122x−时，原不等式可化为22116xx+−+，解得13x−，不满足，舍去；当12x时，原不等式可化为22116xx++−，解得5x，所以不等式的解集为17|53xxx−或．（2）因为11

72,()2()1152,()2xxfxxx−=+，所以若函数()yfxa=−存在零点则可转化为函数()yfx=与ya=的图像存在交点，数形结合可知16a．