【文档说明】八年级数学下册期末考点大串讲（人教版）专题04 勾股定理（专题强化-提高）解析版.docx，共(35)页，1.315 MB，由管理员店铺上传

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1专题04勾股定理（专题强化-提高）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2021·广东广州市·九年级一模）如图，在直角三角形纸片ABC中，90ABC=，3AB=，点E在边BC上，将ABE△沿直线AE折叠，点B恰好落在斜边AC上的点F处，若EABECA=，则AE的长是（）A

．6B．33C．23D．3【答案】C【分析】根据折叠的性质可得AF=AB，∠EAB=∠EAC，∠AFE=∠ABC=90°，即可得出∠EAC=∠ECA，可得AE=CE，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AF=CF，即可证明AC=2AB，可得∠ECA=30°，可得∠BAE=30°，根

据含30°角的直角三角形的性质可得BE=12AE，利用勾股定理列方程求出AE的值即可得答案．【详解】∵将ABE△沿直线AE折叠，点B恰好落在斜边AC上的点F处，90ABC=，∴AF=AB，∠EAB=∠EAC

，∠AFE=∠ABC=90°，∵EABECA=，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∴AF=CF，∴AC=2AB，∴∠ECA=30°，∴∠BAE=30°，∴BE=12AE，2在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，∴32+（12AE）2=AE2

，解得：AE=23，（负值舍去）故选：C．【点睛】本题考查折叠的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，翻折前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等；30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握相关知识是解题关键．2

．(本题4分)（2021·江苏常州市·九年级一模）如图，等边ABCV中，6AB=，点P是BC边上一点，则AP的最小值是（）A．3B．4C．5D．33【答案】D【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等边三角形的性质得到BH＝CH＝3，利用勾股定理计算出AH＝33，

然后根据垂线段最短解决问题．【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，3∵△ABC为等边三角形，∴BH＝CH12=BC＝3，∴AH2263=−=33，当P点与H点重合时，AP的值最小，∴AP的最小值是33．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定

理，等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．也考查了垂线段最短．3．(本题4分)（2021·黑龙江牡丹江市·八年级期中）ABCV在由边长为1的小正方形

构成网格中的位置如图所示，则AC边上的高是（）A．135B．145C．165D．175【答案】D4【分析】作BDAC⊥于D，根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形面积公式求ABCV中AC边上的高即可．【详解】解：作BDAC⊥于D，如图所示，∵小正方形的边长

都为1，∴22345AC=+=，∵11117451523342222ABCS=−−−=V，∴11175222ABCSACBDBD===V，解得：175BD=，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理在网格中的应用以及三角形的面积

，根据题意得出ABCV的面积等于矩形的面积减去三个小三角形的面积是解题的关键．4．(本题4分)（2021·湖北黄石市·中考真题）如图，在RtABCV中，90ACB=，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于

12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若10AB=，6BC=，则线段CD的长为（）5A．3B．103C．83D．165【答案】A【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分

线，过D点作DH⊥AB于H点，设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到222(8)4xx−=+，由此即可求出x的值．【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥A

B于H点，∵∠C=∠DHB=90°，∴DC=DH，2222ACABBC1068=−=−=，设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理：222ADAH

DH=+，代入数据：222(8)4xx−=+，解得3x=，故3CD=，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键．5．(本题4分)（202

1·陕西中考真题）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若6cmAC=，CDBC⊥，则线段CE的长度为（）6A．6cmB．7cmC．62cmD．8cm【答案】D【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，证明BFCCG

D≌，即可证明BFCG=，进一步计算即可得出答案．【详解】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，∵，CDBC⊥，∴9090BCFFBCBCFGCD+=+=，，∴FBCGCD=，在BFCV和CGDV中；BFCC

GDFBCGCDBCCD===，∴BFCCGDVV≌，∴BF=CG，∵5ABBCCDDEcm====，∴ABCCDEVV，均为等腰三角形，∵6cmAC=，∴132FCACcm==，7∴2222534BFB

CFCcm=−=−=，∴22248CECGBFcm====，故选：D．【点睛】本题主要考查等腰三角形判定与性质，全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点，正确画出辅助线是解决本题的关键．6．(本题4分)（2021·广东深圳市·八年级期中）如图VABC中，AB＝

AC，∠BAC＝120°，BC＝23，D为BC的中点，DE⊥AB，则VEBD的面积为（）A．334B．338C．34D．38【答案】B【分析】根据AB＝AC，BAC＝120°可得∠B和∠C的度数，根据D是BC的中点可以求得BD的长，根据直角三角

形中30所对直角边是斜边的一半，确定DE长，根据勾股定理即可求出BE，然后利用三角形面积公式，本题得以解决．【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵D是BC的中点，23BC=，∴

在RtBEDn中，132BDBC==，∴32DE=，∴2232BEBDDE=−=，∴11333322228EBDSBEDE===gg，8故选：B．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质、直角三角形中30角性质、

勾股定理及三角形面积公式，难点在于直角三角形中30°角性质及勾股定理运算及理解．7．(本题4分)（2021·绵竹市孝德中学九年级一模）在RtABC△中，5ABBC==，P是ABCV内一点，且5PA=，5PC=，则PB的值为（）A．25B．23C．25或10D．10【答案】D【分析】先依据题意作图形

，再结合图形进行分析，在等腰直角△ABC中，已知PA、PC，通过辅助线求出AD，DC及PD边的长，进而PB可求．【详解】解：如图所示，过点B作BE⊥AC，过点P作PD，PF分别垂直AC，BE，则四边形PDEF为矩形，,,PDFEPFDE==在△APD中，222PAPDAD=+=5，在△PCD中，

22225PCPDCD=+=，且AD+CD=52，2220,CDAD−=()()20,CDADCDAD+−=22,CDAD−=解得：AD=322，CD=722，PD=22，在Rt△ABC中，,,52,BABCBEACAC=⊥=9BE=AE=522，52322,22PFDEAEAD==−

=−=所以在Rt△BPF中，222PBPFBF=+=()22522222+−=10，∴PB=10．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的运用．会画出简单的图形辅助解题．8．(本题4分)（2021

·浙江金华市·九年级二模）如图，点A，B是棱长为1的立方体的两个顶点，若将该立方体按图中所示展开，则在展开图中，A，B两点间的距离是（）A．2B．3C．5D．10【答案】C【分析】连接AB，根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，AC=1

，BC=2，可得：AB=22125+=，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，得出正方体上A、B两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键．9．(本题4分)（2021·浙江湖州市·九年级二模）如图，在四边形ABCD中，//ABCD，10ABBD⊥，5AB=，4BD=，3CD=

，点E是AC的中点，则BE的长为（）．A．2B．52C．5D．3【答案】C【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．【详解】解：延长BE

交CD延长线于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，EABECPAECEAEBCEP===∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵

4BD=∴2225BPDPBD=+=∴BE＝12BP＝5．故选：C．11【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．10．(本题4分)（2021·浙江九年级期末）如图，点P，Q，R分别在等边

ABCV的三边上，且APBQCR==，过点P，Q，R分别作BC，CA，AB边的垂线，得到DEFV．若要求DEFV的面积，则只需知道（）A．AB的长B．AP的长C．BP的长D．DP的长【答案】B【分析】先

证△DEF是等边三角形，可得△DEF的面积=234DF，设AP=BQ=CR=a，AC=BC=AB=b，利用直角三角形的性质可求DF=3a，即可求解．【详解】解：如图，设DR交AB于J．延长QF交AC于N，12∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵RJ⊥AB，∴∠

AJR=90°，∵PE⊥BC，∠B=60°，∴∠JPD=30°，∴∠PDJ=∠EDF=60°，同法可证，∠DEF=∠DFE=60°，∴△DEF是等边三角形，∴△DEF的面积=234DF，∵AP=CR=BQ，∴CQ=AR，在△ARJ和△CNQ中，6090ACAJRQNCARCQ

＝＝＝＝＝，∴△ARJ≌△CNQ（AAS），∴AJ=CN，设AP=BQ=CR=a，AC=BC=AB=b，∴AR=b-a，∵∠ARJ=30°，∴()322babaAJCNJR−−===，，13∴322babaPJaN

R−−=−==，∴3(3)63PJbaJDNF−===，∴3(3)23baRFNF−==，∴3()3(3)3(3)3263bababaDFa−−−=−−=，∴△DEF的面积=2233344DFAP=，∴只要知道AP的长，可求△

DEF的面积，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用参数求出DF的长是本题的关键．二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级二模）在RtABCV中，90C=，两锐角的度数之比为1:2，最

短边AC长为2，且30ACP=，CP交边AB所在直线于点P，则CP的长为______．【答案】23或3【分析】先根据题意得出两个锐角的度数，再分两种情况画图并求解即可．【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，两锐角的度数之比为2：1，∴两锐角的度数为

：60°，30°；∵最短边AC长为2，∴∠A=60°，∠B=30°，CA=2，∴AB=4，∴BC=22224223ABAC−=−=．14如图，当∠ACP=30°时，∵∠ACP=30°，∠A=60°，∴∠APC=90°∴PA=112122AC

==∴CP=2222213ACAP−=−=；当∠ACP'=30°时，则∠P'CB=120°，∴∠AP'C=30°∵∠B=30°，∴∠AP'C=∠B，∴P'C=BC=23；故答案为：23或3．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形中线段的计算，正确分类画图，是解题的关键．1

2．(本题5分)（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）在平面直角坐标系中，点1A在x轴的正半轴上，11OA=，21322021202030AOAAOAAOA====，211AAOA⊥，322AAOA⊥，，202120202020AAO

A⊥．按此规律，则20212020AA的长为______．15【答案】2019101023．【分析】观察图形可得，12OAA△,23OAA△20202021OAA△都是含有30°角的直角三角形，根据30°角所对的边等于斜边的一半，找出规律写出202

12020AA长度即可．【详解】解：∵211AAOA⊥，322AAOA⊥，，202120202020AAOA⊥，且21322021202030AOAAOAAOA====，∴12OAA△,23OAA

△20202021OAA△都是含有30°角的直角三角形，在12RtOAAV中，11OA=，12212AAOA=，由勾股定理可得：2221122OAAAOA+=,∴22314OA=，2233OA=，∴2133AA=；同理可得：3223

AA=；43439AA=；165489AA=；••••••∴当n为奇数时，21122=3nnnnAA−−−；当n为偶数时，21223=3nnnnAA−−g；∴20192021202010102=3AA故答案为：2019101023．【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌

握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．13．(本题5分)（2021·江苏镇江市·九年级二模）如图，在ABCV中，5,6ABACBC===，BD平分ABC，将ABD△沿BD折叠，点A落A处，则DAC△的面积是_____．【答案】1211【分析】根据折叠，A

在BC上，分别求出,ABDDBC△△的面积，即可求出DAC△．【详解】如图，分别过AD、作,,AEBCDFBCDGAB⊥⊥⊥垂足分别为,,EFGQ5,6ABACBC===3BEEC==172222534A

EABBE=−=−=11641222ABCSBCAE===△由折叠可知：ABAB=,QBC平分ABCABDCBD=QBDBD=ABDABD△≌△QBC平分ABC，,DGABDFBC⊥⊥DGDF=Q12ABDSABDG=△12CBDSBCDF=△56ABDBC

DSABSBC==△△511ABDABCSS=△△，611BCDABCSS=△△又ABDABDQ△≌△DACBCDABDSSS=−△△△BCDABDSS=−△△111ABCS=△1211=18故答案为：1211．【点睛】本题考查了折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，角平分

线性质，求出,ABDDBC△△的面积是解题的关键．14．(本题5分)（2021·山东九年级三模）在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的()2,2A、()8,4B两个城镇分别铺设管道输送燃气．其中()2,2A、()8,4B之间规划位置固定的生态保护区，其中C在A的正东方向，2AC=，四边形CD

EF为边长是3的正方形．现要求燃气管道不能穿过该区域，试确定燃气站的位置使铺设管道的路线最短，则最短路程为______．【答案】415+【分析】要找到最短距离，考虑两点间线段最短，连接'AB会经过生态保护区，所以方案不可行，但是连接'

AD后使得AGGD+距离最短，与DB两点间距离和即为满足条件的方案，在坐标系中运用勾股定理即可求得答案．【详解】如图所示：最短路程为AGGDDB++，19根据题意可得：()2,2A，()8,4B，()7,2D，'A为A点的对称点，所以：()'2,2A−，()()

()22722241AD=−+−−=，41AGGDAD+==，()()2287425BD=−+−=，∴415AGGDDBADBD++=+=+，最短距离为：415+，故答案为：415+．【点睛】题目主要考察距离最短方案设计及在坐标系中利用勾股定理求两点间距离，关键点是可以设计出最短距离的方案

．三、解答题(共90分)2015．(本题8分)（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级三模）如图，在44的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是

无理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题目要求作出三角形即可（答案不唯一）；（2）根据题目要求作出三角形即可（答案不唯一）；【详解】解：（1）设每个小方格的边长为1，根据题目要求作出两直

角边长为2，斜边为：2的直角三角形，如图1（答案不唯一）（2）根据题目要求作出两直角边长分别为2,22，斜边长为10的直角三角形，如图2（答案不唯一）【点睛】本题考查按题目要求作图，解题的关键是：理解无理数、勾股定理及其逆定理的使用．16．(本题8分)（2021·广西贵港市·九年级三模）

如图，在ABCV中，90C=，4AC=，8BC=．（1）用直尺和圆规作AB边的垂直平分线；（保留痕迹，不写作法）21（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，则BD的长为______．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）分别以A，B为圆心

，大于12AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．（2）设AD=BD=x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）如图直线MN即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∵A

D2=AC2+CD2，∴x2=42+（8-x）2，解得x=5，∴BD=5．故答案为：5．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．(本题8分)（202

1·浙江杭州市·九年级三模）1）门框的尺寸如图1，一块长3m，宽2.1m22的长方形薄板能否从门框内通过？请通过计算进行说明．（2）放在墙角的立柜（图2）上下面是一个等腰直角三角形（图3），腰长为1.4m，现要将这个立柜搬过宽为1.2m的通道，能通过吗

？请通过计算进行说明．（参考数据：21.4，52.2）【答案】（1）能通过，理由见解答；（2）能通过，理由见解答．【分析】（1）只要求出门框对角线的长再与已知薄木板的宽相比较即可得出答案；（2）根据等腰直角三角形可得0.981

.2CDmm，可得AB边平行通道两边来平移立柜就可以通过．【详解】解：（1）能，理由是：如图，连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形，根据勾股定理得，则22221252.2ACABBC=+=+=，232.

12.2cmcmQ，该长方形能从门框内通过．（将该长方形的宽沿着AC斜着进去）；（2）能，理由是：在等腰直角三角形中（图3)，Q腰长为1.4m，()7225ABACm==，CDAB⊥Q，()1720.98210CDABm==，0.981.2mm

Q，能通过．(AB边平行通道两边来平移立柜就可以通过）．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握勾股定理的应用．18．(本题8分)（2021·浙江台州市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝102（1）求证：△AB

C≌△ADC；（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．【答案】（1）见详解；（2）60°【分析】（1）通过SSS证明△ABC≌△ADC，即可；（2）先证明AC垂直平分BD，从而得BOCV是等腰直角三角

形，求出BO=10，从而得BD=20，24ABD△是等边三角形，进而即可求解．【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，∵ABADBCDCACAC=＝＝∴△ABC≌△ADC（SSS），（2）连接BD，交AC于点O，∵△ABC≌△ADC，∴AB=AD，B

C=DC，∴AC垂直平分BD，即：∠AOB=∠BOC=90°，又∵∠BCA＝45°，∴BOCV是等腰直角三角形，∴BO=BC÷2=102÷2=10，∴BD=2BO=20，∵AB＝AD＝20，∴ABD△是等边三角形，∴∠BAD=60°．【点睛

】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握垂直平分线的判定定理，是解题的关键．2519．(本题10分)（2020·浙江九年级期末）在ABCV中，D为AC的中点，DMAB⊥于M，DNBC⊥于N，

且DMDN=．（1）求证：ADMCDN△≌△．（2）若2,AMABAC==，求四边形DMBN的周长．【答案】（1）见解析；（2）1243+【分析】（1）利用HL证明RtADM△≌RtCDN△即可；（2）连接BD，证明RtBDMV≌RtBDN△，得到BMBN=，根据RtADM△≌RtCDN△得

到AMCN=，证明ABCV是等边三角形，根据30°的直角三角形的性质求出AD和DM，从而求出BM和BN，再根据周长的计算方法可得结果．【详解】解：（1）∵DMAB⊥，DNBC⊥，∴90DMADNC==，∵D为

AC中点，∴DADC=，∵DMDN=，∴RtADM△≌RtCDN△（HL）．（2）如图，连接BD，26在RtBDMV和RtBDN△中，DMDNBDBD==，∴RtBDMV≌RtBDN△（HL），∴BMBN=，由（1）知ADM△≌CDN△，∴AMCN=，∴BMAMBNCN+=+，

则ABBC=，又∵ABAC=，点D是AC的中点，∴ABACBC==，∴ABCV是等边三角形，∴BDAC⊥，BD平分ABC，60AABCC===，∴30ADM=，又∵2AM=，∴24ADAM==，2223DMADAM=−=

，∴28ACADAB===，∴826BMABAMBN=−=−==，∴四边形DMBN的周长BMBNDMDN=+++662323=+++1243=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．20．

(本题10分)（2021·北京九年级一模）如图，在ABCV中，90ACB=，CACB=，27点P在线段AB，作射线CP()045ACP，将射线CP绕点C逆时针旋转45，得到射线CQ，过点A作ADCP⊥于点D，交CQ于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示

线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．【答案】（1）补全图形见详解；（2）线段AD，DE，BE之间的数量关系为：BE2=（2DE）2+（DE-AD）2，【分析】（1）根据作图语句，即可补全图形：（2）线段AD，DE，BE

之间的数量关系为：BE2=（2DE）2+（AD-DE）2，将△ACE顺时针旋转90°得到△BCG，连结GE，证得点D在EG上，再得到∠AEC=∠BGC=∠CEG=45°，可求∠EGB=90°，在Rt△EGB中，由勾股定理222BEEGBG=+，BG=AE=

AD-DE，GE=ED+DG=2DE，可证()()2222BDEDEDEA=+−．【详解】解：（1）根据作图语句，补全图形如下：28（2）线段AD，DE，BE之间的数量关系为：BE2=（2DE）2+（AD-DE）2，证明如

下，将△ACE顺时针旋转90°得到△BCG，连结GE，则△ACE≌△BCG，AE=BG，CE=CG，∠AEC=∠BGC，∵AD⊥CP，∠ECD=45°，∴∠CED=90°-45°=45°，∴CD=ED，∵CE=CG，∠ECG=90°，∴∠CEG=∠CGE=45°，∴

点D在EG上，∴∠AEC=∠BGC=∠CEG=45°，∴∠EGB=∠CGB+∠CGE=45°+45°=90°，在Rt△EGB中，由勾股定理222BEEGBG=+，∵CE=CG，ADCP⊥，∴ED=DG,∵BG=AE=DE-AD，GE=ED+DG=2DE，∴(

)()2222BDEDEDEA=+−．29【点睛】本题考查作图，等腰直角三角形旋转，三角形全等变换，直角三角形的判定，勾股定理，等腰三角形性质，掌握尺规作图方法，等腰直角三角形性质，三角形全等变换，直角三角形的判定方法，勾股定理应用，等腰三角形性质是解题关键．21．(

本题12分)（2020·浙江八年级期中）如图，ABCV是等边三角形，30ADC=，连接BD，3AD=，5BD=，求出CD的长．【答案】4【分析】首先以CD为边作等边△CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长即可．【详解】解：如图，以CD为边作等边△CD

E，连接AE．30,60,DCCEDEDCEEDC====ABCQV为等边三角形，,60,ABACBCACB===∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，ACBCACEBCDCDCE=

==，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD=AE．又∵∠ADC=30°，∴∠ADE=90°．在Rt△ADE中，AE=5，AD=3，于是DE=22AEAD−=4，∴CD=DE=4．【点睛】此题主要考查了等

边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据已知得出∠ADE=90°是解题关键．22．(本题12分)（2021·全国八年级专题练习）定义：如图，等腰ABCV中，点E，F分别在腰,ABAC上，连结EF，若AECF=，则称EF为该等腰三角形的逆等线．

31（1）如图1，EF是等腰ABCV的逆等线，若EFAB⊥，7ABAC==，3AE=，求逆等线EF的长；（2）如图2，若等腰直角DEFV的直角顶点D恰好为等腰直角ABCV底边BC上的中点，且点E，F分别在,ABAC

上，求证：EF为等腰ABCV的逆等线．【答案】（1）7；（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的逆等线的定义得到CF=AE，根据勾股定理计算；（2）连接AD，根据等腰直角三角形的性质得到AD=12BC=CD，AD⊥BC，证明△ADE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到A

E=CF，根据等腰三角形的逆等线的定义证明．【详解】解：（1）∵EF是等腰△ABC的逆等线，∴CF=AE=3，∴AF=AC-CF=7-3=4，∵EF⊥AB，∴∠AEF=90°，∴EF=22AFAE−=7；（2）连接AD

，∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC上的中点，∴AD=12BC=CD=BD，AD⊥BC，∴∠EAD=45°=∠C∵∠EDF=90°，∴∠EDA=∠FDC，在△ADE和△CDF中，32EADFCDADCDEDAFDC===，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，即

EF为等腰△ABC的逆等线．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的逆等线的定义，掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．(本题14分)（2021·广东深圳市·八年

级期中）（1）[问题背景]如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α°，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转α°得到AE，连接EC，则∠BCE＝°（用含α的式子表示），线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；（2）[

探究证明]如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，求证：BD2+CD2＝2AD2；（3）[拓展延伸]如图3，在四边形ABCF中，∠ABC＝∠ACB＝∠AFC＝45°，BF＝3，CF＝1．将△A

BF绕点A逆时针旋转90°，试画出旋转后的图形，并求出AF的长度．（不要求尺规作图）【答案】（1）（180﹣α），BC＝CD+EC；（2）见解析；（3）画图见解析；AF＝2．【分析】（1）利用SAS证明△BAD≌△CAE，即可得到答案；（2）连接CE，证明△BAD≌△CAE，得到∠BCE＝

90°，利用勾股定理求出答案；33（3）补全图形，连接CG、FG，得到∠GFC＝90°，利用全等三角形证得CG＝BF＝3，利用勾股定理求出FG的长，再根据△FAG是等腰直角三角形求出答案．【详解】（1）解：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠

CAE，在△BAD和△CAE中，ABACBADCAEADAE===，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝12（180°﹣α），∵∠ACB＝∠B＝12（180°﹣α）∴∠BCE＝180°﹣α，∴BC＝BD+CD＝CD+E

C．故答案为：（180﹣α），BC＝CD+EC．（2）证明：如图2，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，34ABACBADCAEADAE===，∴△BAD≌

△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE＝2AD，∴2AD2＝BD

2+CD2．（3）如图3，将AF绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、FG，则△FAG是等腰直角三角形，∴∠AFG＝45°，∵∠AFC＝45°，∴∠GFC＝90°，同理得：△BAF≌△CAG，∴CG＝BF＝3，Rt△CGF中，∵CF

＝1，∴FG＝22223122CGCF−=−=，∵△FAG是等腰直角三角形，∴AF＝222＝2．【点睛】35此题考查勾股定理，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定及性质，正确掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．