【文档说明】八年级数学下册期末考点大串讲（人教版）专题04 勾股定理（专题强化-基础）解析版.docx，共(30)页，800.310 KB，由管理员店铺上传

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1专题04勾股定理（专题强化-基础）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2021·江苏南京市·九年级二模）用一个平面截棱长为1的正方体（如图），截面形状不可能．．．是（）A．边长为1的正方形B．长为2、宽为1的矩形C．边长为2的正三角形D．三边长为1、1、2的

三角形【答案】D【分析】平面截正方体时，分析截面形状特点，通过空间想象和画图即可求得．【详解】A、当截面与正方体任意一个面平行时，截面形状为边长为1的正方形，如图：，故该选项不合题意；B、当截面通过正方体两个相对面的对角线时，

由勾股定理得对角线为22112+=，所得截面为长为2、宽为1的矩形，如图：，故该选项不合题意；C、当截面经过正方体三个两两相邻的面的对角线时，而一个面的对角线是2，所截得的截面为边长为2的正三角形，如图：2，故该选项不合题意；D、无论怎样截取，都无法得到三边长为1、1、

2的三角形，故该选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查正方体的截面图形和勾股定理，解题关键是掌握正方体的截面图形知识和勾股定理．2．(本题4分)（2021·广东八年级专题练习）如图，在ABC中，ACBC=，90C=，AD平分BAC，交BC于点D，若1CD=，则AC的长度等于（）A．2B．

21+C．2D．22+【答案】B【分析】过D作DEAB⊥于E，根据角平分线的性质定理可得1DECD==，再证得45BDEB==，即可得1BEDE==，在RtBDE中，由勾股定理求得2BD=，即可求得BC=21AC=+．【详解】如图所示，过D作DEAB⊥于E，

ACBC=Q，90C=，AD平分BAC，1DECD==，45B=，345BDEB\???，1BEDE==，RtBDE中，22112BD=+=，21BC\=+，21AC\=+．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质定

理及勾股定理，熟练运用相关定理是解决问题的关键．3．(本题4分)（2020·四川巴中市·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵

地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺B．4.55尺C．5尺D．5.55尺【答案】B【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x尺

，则斜边为()10x−尺，根据勾股定理得：2223(10x)x+=−，解得：4.55x=．所以，原处还有4.55尺高的竹子．故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定4理解题．4．(本题4分)（2021·山东临沂市·中考真题）如图

，点A，B都在格点上，若213C=3B，则AC的长为（）A．13B．4133C．213D．313【答案】B【分析】利用勾股定理求出AB，再减去BC可得AC的长．【详解】解：由图可知：AB=2264+=21

3，∵BC=2133，∴AC=AB-BC=2132133−=4133，故选B．【点睛】本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段AB的长．5．(本题4分)（2021·全国八年

级专题练习）下列四组数中，是勾股数的是（）A．5，12，13B．4，5，6C．2，3，4D．1，2，3【答案】A【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方

．5【详解】解：A、52+122＝132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；B、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意；C、22+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意；D、2，3不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考

查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．6．(本题4分)（2021·广东深圳市·九年级二模）如图，在ABCV中，90B=，C是BD上一点，10BC=，45ADB=，60ACB=，则CD长为（）A．1

03−B．10310−C．1033−D．10210−【答案】B【分析】根据含30°直角三角形的性质求出AC，由勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质得到ABBD=，进而求得CD．【详解】解：∵在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，∴

∠CAB=30°，∴BC=12AC，10,BC=Q∴AC=2BC=20，6∴22103,ABACBC=−=∵∠ADB=45°，∴∠DAB=45°，∴∠DAB=∠ADB，∴103BDAB==，∴10310CDBDBC=−=−，故选：B．【点睛】本题考查

本题主要考查了含30°直角三角形的性质、勾股定理和等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握含30°直角三角形的性质是解决问题的关键．7．(本题4分)（2021·陕西西安市·九年级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方

形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（）A．20B．12C．25D．23【答案】B【分析】根据勾股定理求出AC2，得到答案．【详解】解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=16-4=12，则S2=AC2=12，故选：B．【点睛】本题

考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．78．(本题4分)（2021·全国九年级专题练习）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今

有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别

是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（）A．()22251xx+=+B．()222101xx+=+C．()22215xx−+=D．()222110xx−+=【答案】A【分析】首先设水深为x尺，则芦苇长x+1尺，根据勾股定理可得方程()2225

1xx+=+．【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长x+1尺，由题意得：,()22251xx+=+，故选：A．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中

抽象出勾股定理这一数学模型．9．(本题4分)（2021·全国九年级专题练习）如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝10，直线l过点B，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足分别为E、F，若AE＝8，则CF的长为（）8A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】先证△ABE≌△BC

F（AAS），得AE＝BF＝8，再由勾股定理即可得出答案．【详解】∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°．∵AE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF

，在△ABE和△BCF中，AEBBFCBAECBFABBC===，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝8，∴22221086CFBCBF=−=−=，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质

、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．10．(本题4分)（2021·合肥市第四十二中学八年级期中）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且

BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC＋PD的最小值为（）9A．27B．25C．23D．33【答案】A【分析】先确定DC′＝DP＋PC′＝DP＋CP的值最小，然后根据勾股定理计算．【详解】解：过点C作CM⊥AB于

M，延长CM到C′，使MC′＝MC，连接DC′，交AB于P，连接CP，如图：此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．∵∠ABC＝30°，∴CM＝12BC，∠BCC′＝60°，∴CC′＝2CM＝BC，∴△BCC′是等边三角形，作C′E⊥BC于E，∴BE＝EC＝12BC＝3，C

′E＝32BC＝33，∵BD＝2，∴DE＝1，根据勾股定理可得2222(33)127DCCEDE=+=+=．故选：A．【点睛】本题考查了在三角形中的两边之和的最小值的动点问题，解题的关键是：利用等边三角形的10性质，通过等量代换，再根据三点共线时距离

最短，最后利用勾股定理建立等式求解．二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2021·广东八年级专题练习）如图，在ABC中，90ACB=，6AC=，10AB=，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC

于点E，则CE的长等于____．【答案】74．【分析】连接AE，根据AB的垂直平分线DE交AB于点D得到AEBE=，再根据勾股定理求出结果．【详解】解：如图，连接AE，DEQ为AB的垂直平分线，AEBE=，Q在ABC中，90ACB=，6AC=，10AB=，由勾股定理得8BC=，设CE的长为

x，则8BEAEx==-，在RtACEV中，由勾股定理得：2226(8)xx+=−，解得：74x=，故答案为：74．【点睛】11本题主要考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理，关键在于熟练运用线段垂直平分线的性质，做出辅助线利用勾股定理进行求解．12．(本题5分)（2021·湖南岳阳市·中考真题）《

九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB

为x尺，根据题意，可列方程为________．【答案】()2226.810xx+−=【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．【详解】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；∵高比宽多6尺8寸，门高AB为x尺，∴

BC=()6.8x−尺，∴可列方程为：()2226.810xx+−=，故答案为：()2226.810xx+−=．【点睛】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角

形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．13．(本题5分)（2021·广西河池市·八年级期中）如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则1

小时后两船12相距______海里．【答案】30【分析】根据勾股定理直接计算两船的速度即可．【详解】解：∵客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，∴客船与货船方向的夹角为90，且客船行驶1小

时的距离为24海里，货船行驶1小时的距离为18海里，故两船1小时后的距离为22241890030=+==海里，故答案为：30．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，在实际问题中找到直角三角形是解题的关键．14．(本题5分)（

2021·浙江八年级期中）在44的方格中ABCV的三个顶点均在格点上，其中5,22,17ABBCAC===，则ABCV中AC边上的高的长为________．（保留根号）【答案】61717【分析】首先作出ABCV，用梯形面积−两个小三角形面积求得ABCV的面积，再根据三角形面积公式即可求解

．13【详解】解：如图：ABCV的面积111(24)22141222=+−−612=−−3=，∴ABCV中AC边上的高的长为617321717=．故答案为：61717．【点睛】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理作出△ABC是解本题的关键．三、解答题(共90

分)15．(本题8分)（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级三模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB、DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）在图中画一个以AB为底的等腰ABCV，且ABCV的面积为7.5，点C在小正方形的顶点上；（2）在图中画一个以D

E为斜边的等腰直角DEFV，点F在小正方形的顶点上．连接CF，请直接写出线段CF的长．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，5CF=14【分析】(1)利用数形结合的思想解决问题即可；（2）根据等腰直

角三角形的定义画出图形即可，利用勾股定理求出CF．【详解】解：（1）如图，ABCV为所求；（2）如图，DEFV为所求；2212=5CF=+【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾

股定理等知识，熟悉相关知识点是解题的关键．16．(本题8分)（2021·全国八年级专题练习）如图，在△CBD中，CD=BD，CD⊥BD，BE平分∠CBA交CD于点F，CE⊥BE垂足是E，CE与BD交于点A．（1）求证：BF=AC；（2）求证：BE是AC的中垂线；（3）若AD=1，求CF的

长度．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2CF=．【分析】（1）欲证明BF=AC，只要证明△BDF≌△CDA（ASA）即可；15（2）只要证明BC=BA即可解决问题；（3）连接AF，根据△BDF≌△CDA得到AD=DF，求出AF，再根据垂直平分线的性质

可得CF=AF．【详解】解：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°，∵∠DBF+∠A=90°，∠DCA+∠A=90°，∴∠DBF=∠DCA，∵BD=CD，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF=AC．（2）证明：

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵∠BEA=∠BEC=90°，∴∠A+∠ABE=90°，∠BCA+∠CBE=90°，∴∠A=∠BCA，∴BC=BA，∵BE⊥AC，∴CE=EA，∴BE是AC的中垂线．（3）连接AF．∵△BDF≌△CDA，∴AD=DF=1，2AF=，∵BE垂直平分AC，∴2

CFAF==．16【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．(本题8分)（20

21·湖北荆门市·九年级其他模拟）如图，某天我国一艘海监船巡航到B港口正西方的A处时，发现在A的北偏东60°方向，相距150海里的C处有一可疑船只正沿CB方向行驶，点C在B港口的北偏东30°方向上，海监船向B港口发出指令，执法船立即从B港口沿BC方

向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时点D与点A的距离为752海里．（1）求点A到直线CB的距离．（2）执法船从B到D航行了多少海里?【答案】（1）B点到直线CA的距离是75海里；（2）执法船从B到D航行了()75253−海里．【分析】

（1）过点A作AHCB⊥于点H，根据含30°角的直角三角形性质，得到12AHAC=，据此解题；（2）在RtADHV中，利用勾股定理解得75DH=，在RtABH△中，利用正切的定义解题即可．【详解】解：（1）过点A作AHC

B⊥于点H，如图．17由题意得：30CAB=，120ABC=，1803012030ACB=−−=，111507522AHAC===，答：B点到直线CA的距离是75海里．（2）在RtADHV中，752AD=Q，75AH=，2275

DHADAH=−=，60ABHACBC=+=Q，在RtABH△中，tan3AHABHBH==，253BH=，75253BDDHBH=−=−，答：执法船从B到D航行了()75253−海里．【点睛】本题考查解直角三角形

，涉及含30°角的直角三角形、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．(本题8分)（2021·清远市清新区凤霞中学九年级一模）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：2abab=+．例如：232238=+=（1）若()6

xy−=−，且212yx=，求x，y的值；（2）在（1）的条件下，求以x，y为边长的等腰三角形的面积．【答案】（1）2；4；（2）1518【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出，（2）分类讨论，再根据勾股定理求出

等腰三角形底边上的高，再根据三角形面积公式求出面积．【详解】解：（1）∵()6xy−=−，且212yx=，∴262212xyyx−=−+=，解得24xy==，∴x，y的值分别是2，4；（2）①若2为腰，4为底边，则三边为2、2、4，∵224+=，∴不能构成三角形

；②若4为腰，2为底边，则三边为2、4、4，∵244+，∴能构成三角形；如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=2，作AD⊥BC于D，则BD=DC=12BC=1，∴224115AD=−=，19所求的等腰三角形面积为：112151522ABCSBCAD===V．【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，还考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．19．(本题10分)（2021·湖北荆门市·八年级期中）如图，在ABCV中，边BC的垂直平分线交AB于点E，且222BEEAAC−=．（1）求

证：90A=；（2）若4AB=，5BC=，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）78【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE，再结合条件可求得EA2+AC2=CE2，可证得结论；（2）在Rt△BDE中可求得BE，则可求得CE，在Rt△ABC中

，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．【详解】解：（1）证明：连接CE，如图，∵DE垂直平分BC，∴CE=BE，∵BE2-EA2=AC2，∴CE2-EA2=AC2，20∴EA2+AC2=CE2，∴△ACE是直

角三角形，即∠A=90°；（2）∵AB=4，BC=5，∴AC=2254−=3，设AE=x，在Rt△AEC中，32+x2=（4-x）2，∴x=78，∴AE的长为78．【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理的

应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．20．(本题10分)（2021·广东深圳市·八年级期中）已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．（1）求证：CE＝CB；（2）若∠CAE＝30°，CE＝

2，求BE的长度．【答案】（1）见解析；（2）BE＝23．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，

根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．【详解】（1）证明：∵AD＝CD，21∴∠DAC＝∠DCA，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴AC是∠EAB的角平分线，又∵CE⊥AD，CB⊥AB，∴CE＝CB．（2）∵

AC是∠EAB的角平分线，∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，∵∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴∠ECD＝30°，∵CB⊥AB，∴∠CBA＝90°，∵AB∥CD，∴∠CBA+∠DCB＝180°，∴∠DCB

＝90°，∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，∵CE＝CB＝2，∴∠CBE＝∠CEB＝12（180°﹣∠ECB）＝30°，∴∠EBA＝60°，∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴

BE＝AB；在Rt△ABC中，∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝4，22∴AB＝22224223ACBC-=-=，∴BE＝23．【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边

三角形是解题的关键．21．(本题12分)（2021·山东淄博市·九年级一模）如图，一个梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶端B距地面的垂直距离为BC的长．（1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端

A向外滑动多少米?（2）设ABc=，BCa=，ACb=，且ab，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．【答案】（1）梯子的底端

向外滑动516−米；（2）存在，梯子的底端向外滑动的距离是()−ab米．【分析】（1）已知AB、BC，在直角ABCV中即可计算AC的长度，设梯子的底端向外滑动x米，由题意得，222(81)(6)10x−++=，求解即可；（2）

设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动x米，由题意得，222()()axbxc−++=，求解即可．【详解】（1）在RtABC△中，10AB=Q，8BC=，6AC=.23设梯子的底端向外滑动x米，由题意得，222(81)(6)10x−++=，解得1

516x=−，2516x=−−（舍去）516x=−即梯子的底端向外滑动516−米.（2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动x米，由题意得，222()()axbxc−++=，解得1xab=−，20x=（舍去），xab=−，即梯子的底端向外

滑动的距离是()−ab米．【点睛】本题主要考查勾股定理在实际中生活中的应用，本题中根据梯子长度不会变的等量关系求解是解题关键．22．(本题12分)（2021·江苏无锡市·九年级一模）（1）如图1，ABCV中

，D为AB边上一点，将点A沿经过点D的直线翻折，使得A的对应点A恰好落在AC边上，请用无刻度的直尺和圆规作出点A；（不写作法，保留作图痕迹）（2）D为线段AB中点．①如图2，点P在线段AC上，PA沿直线PD翻折后得到的⊥

PAAB，请用无刻度的直尺和圆规作出点P；（不写作法，保留作图痕迹）②如图3，30BAC=，点P在射线AC上，PA沿直线PD翻折后得到的⊥PAAB，若4AB=，则线段BA的长度为_______．24【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②23或2【分析】（1）以D为圆心，

AD为半径画弧，交AC于A即为所求；（2）①以D为圆心，DA为半径画圆，与AC的交点即为G；作DEAC⊥，作ADE的平分线交AC于点P即为所求；②点P在射线AC上，考虑多种情形，情形一，根据全等三角形与直角三

角形的性质分别求出AH、BH，利用勾股定理即可求解；情形二，AAP△是等边三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半直接求解．【详解】（1）如图，以D为圆心，AD为半径画弧,交点AC于点A，A为所求；（2）①如图，以D为圆心，

DA为半径画圆，与AC的交点即为G；分别以AG、为圆心，大于12AG为半径作弧交于点E，连接DE，则DEAC⊥，作ADE的平分线交AC于点P，点P为所求理由如下：25连接AP交AB于Q，由作图知：DEAG⊥,ADPADP=,,DADAPDPDADPAPD===QAPDAPD

△≌△PADPAD=QDEAG⊥90ADAPAD+=90PADADA+=PAAB⊥②情形一：如图所示，∵30BAC=，4AB=∴AD=2，DM=112AD=∴AM=22213−=26∵DF是

∠ADA的角平分线∴∠ADP=∠ADP又PD=PD，AD=AD∴△ADP≌△ADP∴∠A=∠DAP又∠APH=∠APM∴∠AHP=∠AMP=90°∴PH=PM∴AH=AP+PH=AP+PM=AM=3，DH=DM=1，BH=1+2=3∴

AB=()2222'3323BHAH+=+=情形二：如图所示，Q30BAC=Q⊥PAAB60APA=又PAPA=QAAP△是等边三角形30BAA=QAB为直径，90AAB=

4AB=Q2AB=27综上所述：23AB=或者2AB=【点睛】此题主要考查尺规作图的综合运用，解题的关键是熟知直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及基本尺规作图的方法与性质．23．(本题14分)（2021·广东深圳市·八年级期中）已知V

AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1：连AM，BN，求证：VAOM≌VBON；（2）若将RtVMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段

OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；（3）若将VMON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．【答案】（1

）见解析；（2）46322+或46322−；（3）见解析【分析】（1）根据角的和差关系可得∠AOM＝∠BON，利用SAS即可得结论．（2）当MN在OA左侧时，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得∠ANJ＝∠JOB＝90°，根据平行线的性质可得∠OHN=∠ANJ=9

0°，利用等腰直角三角形的性质可求出MN、HM、OH的长，利用勾股定理可求出AH的长，即可得出AM的长；同理可得出MN在OA右侧时AM的长，即可得答案；（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．利用SAS可证明△POM≌△TON，即可证明∠M=∠ONM=45

°，可得∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，可得PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2，即可得出结论．【详解】（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，28∴OM=ON，AO=BO，∵∠AOB＝∠M

ON＝90°，∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，∴∠AOM＝∠BON，在△AOM和△BON中OMONAOMBONAOBO===，∴△AOM≌△BON（SAS）．（2）如图，当MN在OA左侧时，设OA交BN于J，∵△AOM≌△BON，∴∠O

AM＝∠OBN，∵∠AJN＝∠BJO，∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，∵OH//BN，∴∠OHN=∠ANJ=90°，∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，∴MN＝2OM=32，MH＝HN＝OH＝32

2，∵OA=OB=4，∴AH＝22OAOH−＝22324()2−＝462，∴AM＝MH+AH＝46322+．如图，当MN在OA右侧时，29同理可得：MN＝32，MH＝HN＝OH＝322，AH＝462，∴AM＝AH-MH＝46322−．综上所述，BN的长为463

22+或46322−．（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．∵∠MON＝∠POT＝90°，∴∠MON-∠PON=∠POT-∠PON，∴∠MOP＝∠NOT，在△POM和△TON中OMONMOPNOTOPOT===∴△POM≌△TON（SAS），∴

PM＝TN，∠M＝∠ONT＝45°，∵∠M=∠ONM=45°，∴∠ONM＝∠ONT＝45°，∴∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，∴PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2∵△POT是等腰直角三角形，∴PT2＝2OP

2，∴PM2+NP2＝2OP2．30【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键．