【文档说明】《（2020-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》三年专题07 平面解析几何（选择题、填空题）（教师版）【高考】.docx，共(31)页，910.121 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-5ebb8d7a3eb29b8381bc6f0839306ad8.html

以下为本文档部分文字说明：

三年专题07平面解析几何（选择题、填空题）1．【2022年全国甲卷】已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为13，𝐴1,𝐴2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若𝐵𝐴1→⋅𝐵𝐴2→=−1，则C的方程为（）A．𝑥218+𝑦2

16=1B．𝑥29+𝑦28=1C．𝑥23+𝑦22=1D．𝑥22+𝑦2=1【答案】B【解析】【分析】根据离心率及𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐵𝐴2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1，解得关于𝑎2,𝑏2的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率𝑒=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2=13，解得

𝑏2𝑎2=89，𝑏2=89𝑎2，𝐴1,𝐴2分别为C的左右顶点，则𝐴1(−𝑎,0),𝐴2(𝑎,0)，B为上顶点，所以𝐵(0,𝑏).所以𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−𝑎,−𝑏),𝐵𝐴2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(

𝑎,−𝑏)，因为𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐵𝐴2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1所以−𝑎2+𝑏2=−1，将𝑏2=89𝑎2代入，解得𝑎2=9,𝑏2=8，故椭圆的方程为𝑥29+𝑦28=1.故选：B.2．【2022年全国甲卷】椭圆𝐶:𝑥2𝑎2

+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线𝐴𝑃,𝐴𝑄的斜率之积为14，则C的离心率为（）A．√32B．√22C．12D．13【答案】A【解析】【分析】设𝑃(𝑥1,𝑦1)，则�

�(−𝑥1,𝑦1)，根据斜率公式结合题意可得𝑦12−𝑥12+𝑎2=14，再根据𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1，将𝑦1用𝑥1表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：𝐴(−𝑎,0)，设𝑃(𝑥1,𝑦1)，则

𝑄(−𝑥1,𝑦1)，则𝑘𝐴𝑃=𝑦1𝑥1+𝑎,𝑘𝐴𝑄=𝑦1−𝑥1+𝑎，故𝑘𝐴𝑃⋅𝑘𝐴𝑄=𝑦1𝑥1+𝑎⋅𝑦1−𝑥1+𝑎=𝑦12−𝑥12+𝑎2=14，又𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1，则𝑦12=𝑏2(𝑎2−𝑥12)�

�2，所以𝑏2(𝑎2−𝑥12)𝑎2−𝑥12+𝑎2=14，即𝑏2𝑎2=14，所以椭圆𝐶的离心率𝑒=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2=√32.故选：A.3．【2022年全国乙卷】设F为抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点，点

A在C上，点𝐵(3,0)，若|𝐴𝐹|=|𝐵𝐹|，则|𝐴𝐵|=（）A．2B．2√2C．3D．3√2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点𝐴的横坐标，进而求得点𝐴坐标，

即可得到答案.【详解】由题意得，𝐹(1,0)，则|𝐴𝐹|=|𝐵𝐹|=2，即点𝐴到准线𝑥=−1的距离为2，所以点𝐴的横坐标为−1+2=1，不妨设点𝐴在𝑥轴上方，代入得，𝐴(1,2)，所以|𝐴𝐵|=√(3−1)2+(0−2)2=2√2.故选：B4．【2022年全国乙卷】双曲

线C的两个焦点为𝐹1,𝐹2，以C的实轴为直径的圆记为D，过𝐹1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠𝐹1𝑁𝐹2=35，则C的离心率为（）A．√52B．32C．√132D．√172【答案】C【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在𝑥轴，设过𝐹1作圆�

�的切线切点为𝐺，可判断𝑁在双曲线的右支，设∠𝐹1𝑁𝐹2=𝛼，∠𝐹2𝐹1𝑁=𝛽，即可求出sin𝛼，sin𝛽，cos𝛽，在△𝐹2𝐹1𝑁中由sin∠𝐹1𝐹2𝑁=sin(𝛼+𝛽)求出sin∠𝐹1𝐹2

𝑁，再由正弦定理求出|𝑁𝐹1|，|𝑁𝐹2|，最后根据双曲线的定义得到2𝑏=3𝑎，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在𝑥轴，设过𝐹1作圆𝐷的切线切点为𝐺，所以𝑂𝐺⊥𝑁𝐹1，因为

cos∠𝐹1𝑁𝐹2=35>0，所以𝑁在双曲线的右支，所以|𝑂𝐺|=𝑎，|𝑂𝐹1|=𝑐，|𝐺𝐹1|=𝑏，设∠𝐹1𝑁𝐹2=𝛼，∠𝐹2𝐹1𝑁=𝛽，由cos∠𝐹1𝑁𝐹2=35，即cos𝛼=

35，则sin𝛼=45，sin𝛽=𝑎𝑐，cos𝛽=𝑏𝑐，在△𝐹2𝐹1𝑁中，sin∠𝐹1𝐹2𝑁=sin(𝜋−𝛼−𝛽)=sin(𝛼+𝛽)=sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽=45×𝑏𝑐+35×𝑎𝑐=3𝑎+4𝑏5𝑐，由正弦定理得2𝑐sin𝛼

=|𝑁𝐹2|sin𝛽=|𝑁𝐹1|sin∠𝐹1𝐹2𝑁=5𝑐2，所以|𝑁𝐹1|=5𝑐2sin∠𝐹1𝐹2𝑁=5𝑐2×3𝑎+4𝑏5𝑐=3𝑎+4𝑏2，|𝑁𝐹2|=5𝑐2sin𝛽=5𝑐2×𝑎𝑐=

5𝑎2又|𝑁𝐹1|−|𝑁𝐹2|=3𝑎+4𝑏2−5𝑎2=4𝑏−2𝑎2=2𝑎，所以2𝑏=3𝑎，即𝑏𝑎=32，所以双曲线的离心率𝑒=𝑐𝑎=√1+𝑏2𝑎2=√132故选：C5．【2021年甲卷文科】点()3,0到双曲线221169xy−=的一

条渐近线的距离为（）A．95B．85C．65D．45【答案】A【解析】【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169xy−

=，即340xy=，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340xy+=的距离：9095916d+==+.故选：A.6．【2021年乙卷文科】设B是椭圆22:15xCy+=的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为（）A．52B．

6C．5D．2【答案】A【解析】【分析】设点()00,Pxy，由依题意可知，()0,1B，220015xy+=，再根据两点间的距离公式得到2PB，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．【详解】设点()00,Pxy，因为()0,1B，220015xy+=，所以()(

)()222222200000001251511426444PBxyyyyyy=+−=−+−=−−+=−++，而011y−，所以当014y=−时，PB的最大值为52．故选：A．【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质

即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．7．【

2021年乙卷理科】设B是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A．2,12B．1,12C．20,2D．10,

2【答案】C【解析】【分析】设()00,Pxy，由()0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,Pxy，由()0,Bb，因为2200221xyab+=，222a

bc=+，所以()()2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc=+−=−+−=−++++，因为0byb−，当32bbc−−，即22bc时，22max4PBb=，即m

ax2PBb=，符合题意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc−−，即22bc时，42222maxbPBabc=++，即422224babbc++，化简得，()2220cb−，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出PB的

最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．8．【2021年新高考1卷】已知1F，2F是椭圆C：22194xy+=的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A．

13B．12C．9D．6【答案】C【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa+==，借助基本不等式212122MFMFMFMF+即可得到答案．【详解】由题，229,4ab==，则1226MFMFa+==，所以2121292MFMFMFMF

+=（当且仅当123MFMF==时，等号成立）．故选：C．9．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)ypxp=的焦点到直线1yx=+的距离为2，则p=（）A．1B．2C．22D．4【答案】B【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.【详解】

抛物线的焦点坐标为,02p，其到直线10xy−+=的距离：012211pd−+==+，解得：2p=(6p=−舍去).故选：B.10．【2020年新课标1卷理科】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为

12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2B．3C．6D．9【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知||122ApAFx=+=，即1292p=+，解得6p=.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化

与化归思想，是一道容易题.11．【2020年新课标1卷理科】已知⊙M：222220xyxy+−−−=，直线l：220xy++=，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线,PAPB，切点为,AB，当||||PMAB最小时，直线AB的方程为（）A．21

0xy−−=B．210xy+−=C．210xy−+=D．210xy++=【答案】D【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,APBM共圆，且ABMP⊥，根据44PAMPMABSPA==可知，当直线MPl⊥时，PMAB最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即

可求出直线AB的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114xy−+−=，点M到直线l的距离为2221125221d++==+，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,APBM四点共圆，且ABMP⊥，所以14442PAMPMABSPAAMPA==

=，而24PAMP=−，当直线MPl⊥时，min5MP=，min1PA=，此时PMAB最小．∴()1:112MPyx−=−即1122yx=+，由1122220yxxy=+++=解得，10xy=−

=．所以以MP为直径的圆的方程为()()()1110xxyy−++−=，即2210xyy+−−=，两圆的方程相减可得：210xy++=，即为直线AB的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力

，属于中档题．12．【2020年新课标1卷文科】已知圆2260xyx+−=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得

出结论.【详解】圆2260xyx+−=化为22(3)9xy−+=，所以圆心C坐标为(3,0)C，半径为3，设(1,2)P，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP=−+−=根据弦长公式得最小值为229

||2982CP−=−=.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.13．【2020年新课标1卷文科】设12,FF是双曲线22:13yCx−=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP=，则12PFF

△的面积为（）A．72B．3C．52D．2【答案】B【解析】【分析】由12FFP是以P为直角直角三角形得到2212||||16PFPF+=，再利用双曲线的定义得到12||||2PFPF−=，联立即可得到12||||PFPF，代入12FFPS=△121||||

2PFPF中计算即可.【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)FF−，则1,2ac==，因为12122OPFF==，所以点P在以12FF为直径的圆上，即12FFP是以P为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PFP

FFF+=，即2212||||16PFPF+=，又12||||22PFPFa−==，所以2124||||PFPF=−=2212||||2PFPF+−12||||162PFPF=−12||||PFPF，解得12||||6PFPF=，所以12FFPS=△121||||32PFPF=故选：B【点晴

】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.14．【2020年新课标2卷理科】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230xy−−=的距离为（）A．55B．255C．355D．455【答案】B【解析】【分析】由题意可知

圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0aaa，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230xy−−=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所

以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),aa，则圆的半径为a，圆的标准方程为()()222xayaa−+−=.由题意可得()()22221aaa−+−=，可得2650aa−+=，解得1a=或5a=，所以圆心

的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d−−==；圆心到直线的距离均为225532555d−−==圆心到直线230xy−−=的距离均为22555d−==；所以，圆心到直线230xy−−=的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计

算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.15．【2020年新课标2卷理科】设O为坐标原点，直线xa=与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线分别交于,DE两点，若OD

E的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32【答案】B【解析】【分析】因为2222:1(0,0)xyCabab−=，可得双曲线的渐近线方程是byxa=，与直线xa=联立方程求得D，E两点坐标，即可求得||ED，根据ODE的面积

为8，可得ab值，根据2222cab=+，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】2222:1(0,0)xyCabab−=双曲线的渐近线方程是byxa=直线xa=与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四

象限联立xabyxa==，解得xayb==故(,)Dab联立xabyxa==−，解得xayb==−故(,)Eab−||2EDb=ODE面积为：1282ODESabab===△双曲线2222:1(0,0)xyCabab

−=其焦距为2222222168cabab=+==当且仅当22ab==取等号C的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档

题.16．【2020年新课标3卷理科】设O为坐标原点，直线2x=与抛物线C：22(0)ypxp=交于D，E两点，若ODOE⊥，则C的焦点坐标为（）A．1,04B．1,02C．(1,0)D．(2,0)【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件ODOE⊥

，结合抛物线的对称性，可知4DOxEOx==，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x=与抛物线22(0)ypxp=交于,ED两点，且ODOE⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOxEOx==

，所以()2,2D，代入抛物线方程44p=，求得1p=，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.17．【2020年新

课标3卷理科】设双曲线C：22221xyab−=（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即

可得出答案.【详解】5ca=，5ca=，根据双曲线的定义可得122PFPFa−=，12121||42PFFPFFSP==△，即12||8PFPF=，12FPFP⊥，()22212||2PFPFc+=，()2

2121224PFPFPFPFc−+=，即22540aa−+=，解得1a=，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.18．【2020年新课标3卷文科】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=1ACBC，则点C的

轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线【答案】A【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设()20ABaa=，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0AaBa−，设(),Cxy，

可得：()(),,,ACxayBCxay→→=+=−，从而：()()2ACBCxaxay→→=+−+，结合题意可得：()()21xaxay+−+=，整理可得：2221xya+=+，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，21a+为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量

积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【2020年新课标3卷文科】点(0，﹣1)到直线()1ykx=+距离的最大值为（）A．1B．2C．3D．2【答案】B【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P−，设(0,1)

A−，当直线(1)ykx=+与AP垂直时，点A到直线(1)ykx=+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)ykx=+可知直线过定点(1,0)P−，设(0,1)A−，当直线(1)ykx=+与AP垂直时，点A到直线(

1)ykx=+距离最大，即为||2AP=.故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.20．【2022年新高考1卷】已知O为坐标

原点，点𝐴(1,1)在抛物线𝐶:𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)上，过点𝐵(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为𝑦=−1B．直线AB与C相切C．|𝑂𝑃|⋅|𝑂𝑄|>|𝑂𝐴|2D．|𝐵𝑃|⋅|𝐵𝑄|>|𝐵𝐴|2【答案】BCD【

解析】【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点𝐴的代入抛物线方程得1=2𝑝，所以抛物线方程为𝑥2=𝑦，故准线方程为𝑦=−1

4，A错误；𝑘𝐴𝐵=1−(−1)1−0=2，所以直线𝐴𝐵的方程为𝑦=2𝑥−1，联立{𝑦=2𝑥−1𝑥2=𝑦，可得𝑥2−2𝑥+1=0，解得𝑥=1，故B正确；设过𝐵的直线为𝑙，若直线𝑙与𝑦轴重合，则直线�

�与抛物线𝐶只有一个交点，所以，直线𝑙的斜率存在，设其方程为𝑦=𝑘𝑥−1，𝑃(𝑥1,𝑦1),𝑄(𝑥2,𝑦2)，联立{𝑦=𝑘𝑥−1𝑥2=𝑦，得𝑥2−𝑘𝑥+1=0，所以{Δ=𝑘2−4>0𝑥1+𝑥2=𝑘𝑥1

𝑥2=1，所以𝑘>2或𝑘<−2，𝑦1𝑦2=(𝑥1𝑥2)2=1，又|𝑂𝑃|=√𝑥12+𝑦12=√𝑦1+𝑦12，|𝑂𝑄|=√𝑥22+𝑦22=√𝑦2+𝑦22，所以|𝑂𝑃|⋅|𝑂𝑄|=√𝑦1𝑦2(1+𝑦1)(1+𝑦2)=√𝑘𝑥1×𝑘𝑥

2=|𝑘|>2=|𝑂𝐴|2，故C正确；因为|𝐵𝑃|=√1+𝑘2|𝑥1|，|𝐵𝑄|=√1+𝑘2|𝑥2|，所以|𝐵𝑃|⋅|𝐵𝑄|=(1+𝑘2)|𝑥1𝑥2|=1+𝑘2>5，而|𝐵𝐴|2=5，故D正确.故选：

BCD21．【2022年新高考2卷】已知O为坐标原点，过抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点𝑀(𝑝,0)，若|𝐴𝐹|=|𝐴𝑀|，则（）A．直线𝐴𝐵的斜率为2√6B．|𝑂𝐵|=|𝑂𝐹|C．|𝐴𝐵|

>4|𝑂𝐹|D．∠𝑂𝐴𝑀+∠𝑂𝐵𝑀<180°【答案】ACD【解析】【分析】由|𝐴𝐹|=|𝐴𝑀|及抛物线方程求得𝐴(3𝑝4,√6𝑝2)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线𝐴𝐵的方程，联立抛物线求得𝐵(

𝑝3,−√6𝑝3)，即可求出|𝑂𝐵|判断B选项；由抛物线的定义求出|𝐴𝐵|=25𝑝12即可判断C选项；由𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑<0，𝑀𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑀𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑<0求得∠𝐴𝑂

𝐵，∠𝐴𝑀𝐵为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得𝐹(𝑝2,0)，由|𝐴𝐹|=|𝐴𝑀|可得点𝐴在𝐹𝑀的垂直平分线上，则𝐴点横坐标为𝑝2+𝑝2=3𝑝4，代入抛物线可得𝑦2=2𝑝⋅3𝑝4=32𝑝2，则𝐴(3𝑝4,√

6𝑝2)，则直线𝐴𝐵的斜率为√6𝑝23𝑝4−𝑝2=2√6，A正确；对于B，由斜率为2√6可得直线𝐴𝐵的方程为𝑥=12√6𝑦+𝑝2，联立抛物线方程得𝑦2−1√6𝑝𝑦−𝑝2=

0，设𝐵(𝑥1,𝑦1)，则√62𝑝+𝑦1=√66𝑝，则𝑦1=−√6𝑝3，代入抛物线得(−√6𝑝3)2=2𝑝⋅𝑥1，解得𝑥1=𝑝3，则𝐵(𝑝3,−√6𝑝3)，则|𝑂𝐵|

=√(𝑝3)2+(−√6𝑝3)2=√7𝑝3≠|𝑂𝐹|=𝑝2，B错误；对于C，由抛物线定义知：|𝐴𝐵|=3𝑝4+𝑝3+𝑝=25𝑝12>2𝑝=4|𝑂𝐹|，C正确；对于D，𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=(3𝑝4,√

6𝑝2)⋅(𝑝3,−√6𝑝3)=3𝑝4⋅𝑝3+√6𝑝2⋅(−√6𝑝3)=−3𝑝24<0，则∠𝐴𝑂𝐵为钝角，又𝑀𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑀𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−𝑝4,√6𝑝2)⋅(−2𝑝3,−√6𝑝3)=−𝑝4⋅(−2𝑝3)+√

6𝑝2⋅(−√6𝑝3)=−5𝑝26<0，则∠𝐴𝑀𝐵为钝角，又∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐴𝑀𝐵+∠𝑂𝐴𝑀+∠𝑂𝐵𝑀=360∘，则∠𝑂𝐴𝑀+∠𝑂𝐵𝑀<180∘，D正确.故选：ACD.22．【2021年新高考1卷】已知点P在圆(

)()225516xy−+−=上，点()4,0A、()0,2B，则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当PBA最小时，32PB=D．当PBA最大时，32PB=【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，

可判断AB选项的正误；分析可知，当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆()()225516xy−+−=的圆心为()5,5M，半径为4，直线AB的方程为142xy+=，即240xy+−=，圆心M到直线AB的距离为2252541111

545512+−==+，所以，点P到直线AB的距离的最小值为115425−，最大值为1154105+，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PMPB⊥，()()22052534BM=−+−=，4MP=，由勾股定理可得2232B

PBMMP=−=，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线l的距离的取值范围是,drdr−+.23．【2021年新高考2卷】已知直线2:0laxbyr+−=与圆22

2:Cxyr+=，点(,)Aab，则下列说法正确的是（）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【解析】

【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,abr+的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C到直线l的距离222rdab=+，若点(),Aab在圆C上，则222abr+=，所以222=rdrab=+，则直线l与圆C相

切，故A正确；若点(),Aab在圆C内，则222abr+，所以222>rdrab=+，则直线l与圆C相离，故B正确；若点(),Aab在圆C外，则222abr+，所以222<rdrab=+，则直线l与圆C相交，故C

错误；若点(),Aab在直线l上，则2220abr+−=即222=abr+，所以222=rdrab=+，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.24．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知曲线22:

1Cmxny+=.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为myxn=−D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答

案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，0mn时表示椭圆，0mn=时表示圆，0mn时表示双曲线，0,0mn=时表示两条直线.【详解】对于A，若0mn，则221mxny+=可化为22

111xymn+=，因为0mn，所以11mn，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0mn=，则221mxny+=可化为221xyn+=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若0mn，则221

mxny+=可化为22111xymn+=，此时曲线C表示双曲线，由220mxny+=可得myxn=−，故C正确；对于D，若0,0mn=，则221mxny+=可化为21yn=，nyn=，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D

正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.25．【2022年全国甲卷】设点M在直线2𝑥+𝑦−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙𝑀上

，则⊙𝑀的方程为______________．【答案】(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=5【解析】【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙𝑀上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M在直线2𝑥+𝑦−

1=0上，∴设点M为(𝑎,1−2𝑎)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙𝑀上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴√(𝑎−3)2+(1−2𝑎)2=√𝑎2+(−2𝑎)2=𝑅，𝑎2−6𝑎+9+4�

�2−4𝑎+1=5𝑎2，解得𝑎=1，∴𝑀(1,−1)，𝑅=√5，⊙𝑀的方程为(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=5.故答案为：(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=526．【2022年全国甲卷】记双曲线𝐶:𝑥2

𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的离心率为e，写出满足条件“直线𝑦=2𝑥与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足1<𝑒≤√5皆可）【解析】【分析】根据题干信

息，只需双曲线渐近线𝑦=±𝑏𝑎𝑥中0<𝑏𝑎≤2即可求得满足要求的e值.【详解】解：𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，所以C的渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥,结合渐近线的特点，只需0<𝑏𝑎≤2，即𝑏2𝑎2≤4，可满足条件“直线𝑦=

2𝑥与C无公共点”所以𝑒=𝑐𝑎=√1+𝑏2𝑎2≤√1+4=√5，又因为𝑒>1，所以1<𝑒≤√5，故答案为：2（满足1<𝑒≤√5皆可）27．【2022年全国甲卷】若双曲线𝑦2−𝑥2𝑚2=1(𝑚>0

)的渐近线与圆𝑥2+𝑦2−4𝑦+3=0相切，则𝑚=_________．【答案】√33【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】

解：双曲线𝑦2−𝑥2𝑚2=1(𝑚>0)的渐近线为𝑦=±𝑥𝑚，即𝑥±𝑚𝑦=0，不妨取𝑥+𝑚𝑦=0，圆𝑥2+𝑦2−4𝑦+3=0，即𝑥2+(𝑦−2)2=1，所以圆心为(0,2)，半径𝑟=1，依题意圆心(0,2)到渐近线

𝑥+𝑚𝑦=0的距离𝑑=|2𝑚|√1+𝑚2=1，解得𝑚=√33或𝑚=−√33（舍去）．故答案为：√33．28．【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的

三点的一个圆的方程为____________．【答案】(𝑥−2)2+(𝑦−3)2=13或(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=5或(𝑥−43)2+(𝑦−73)2=659或(𝑥−85)2+(𝑦−1)2=16925；【解析】【分析】设圆的方程为𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+

𝐹=0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0，若过(0,0)，(4,0)，(−1,1)，则{𝐹=016+4𝐷+𝐹=01+1−𝐷+𝐸+𝐹=0，解得{𝐹=0𝐷=−4�

�=−6，所以圆的方程为𝑥2+𝑦2−4𝑥−6𝑦=0，即(𝑥−2)2+(𝑦−3)2=13；若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则{𝐹=016+4𝐷+𝐹=016+4+4𝐷+2𝐸+𝐹=0，解得{𝐹=0𝐷=−4𝐸=−2，所以圆的方程为𝑥2+𝑦2−4𝑥−2𝑦=0

，即(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=5；若过(0,0)，(4,2)，(−1,1)，则{𝐹=01+1−𝐷+𝐸+𝐹=016+4+4𝐷+2𝐸+𝐹=0，解得{𝐹=0𝐷=−83𝐸=−143，所以圆的方程为𝑥2+𝑦2

−83𝑥−143𝑦=0，即(𝑥−43)2+(𝑦−73)2=659；若过(−1,1)，(4,0)，(4,2)，则{1+1−𝐷+𝐸+𝐹=016+4𝐷+𝐹=016+4+4𝐷+2𝐸+𝐹=0，解得{𝐹=−165𝐷=−165𝐸=−2，所以圆的方程

为𝑥2+𝑦2−165𝑥−2𝑦−165=0，即(𝑥−85)2+(𝑦−1)2=16925；故答案为：(𝑥−2)2+(𝑦−3)2=13或(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=5或(𝑥−43)2+(𝑦−73)2=659或(𝑥−85)2+(𝑦−1)2=16925；29．【

2022年新高考1卷】写出与圆𝑥2+𝑦2=1和(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=16都相切的一条直线的方程________________．【答案】𝑦=−34𝑥+54或𝑦=724𝑥−2524或𝑥=−1【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆�

�2+𝑦2=1的圆心为𝑂(0,0)，半径为1，圆(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=16的圆心𝑂1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为√32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为𝑘𝑂𝑂1=43，所以𝑘𝑙=−34，设方程为𝑦=−34𝑥+𝑡(𝑡>0)

O到l的距离𝑑=|𝑡|√1+916=1，解得𝑡=54，所以l的方程为𝑦=−34𝑥+54，当切线为m时，设直线方程为𝑘𝑥+𝑦+𝑝=0，其中𝑝>0，𝑘<0，由题意{|𝑝|√1+𝑘

2=1|3𝑘+4+𝑝|√1+𝑘2=4，解得{𝑘=−724𝑝=2524，𝑦=724𝑥−2524当切线为n时，易知切线方程为𝑥=−1，故答案为：𝑦=−34𝑥+54或𝑦=724𝑥−2524或𝑥=−1.30．【2022年新高考1卷】已知椭圆𝐶:𝑥

2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，C的上顶点为A，两个焦点为𝐹1，𝐹2，离心率为12．过𝐹1且垂直于𝐴𝐹2的直线与C交于D，E两点，|𝐷𝐸|=6，则△𝐴𝐷𝐸的周长是________________．【答案】1

3【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为𝑥24𝑐2+𝑦23𝑐2=1，即3𝑥2+4𝑦2−12𝑐2=0，根据离心率得到直线𝐴𝐹2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线𝐷𝐸的斜率，写出直线𝐷𝐸的方程：𝑥=√3𝑦−𝑐，代入椭圆方程3𝑥2+4𝑦

2−12𝑐2=0，整理化简得到：13𝑦2−6√3𝑐𝑦−9𝑐2=0，利用弦长公式求得𝑐=138，得𝑎=2𝑐=134，根据对称性将△𝐴𝐷𝐸的周长转化为△𝐹2𝐷𝐸的周长，利用椭圆的定义得到周长为4𝑎=13.【详解】∵椭圆的离心率为�

�=𝑐𝑎=12，∴𝑎=2𝑐，∴𝑏2=𝑎2−𝑐2=3𝑐2，∴椭圆的方程为𝑥24𝑐2+𝑦23𝑐2=1，即3𝑥2+4𝑦2−12𝑐2=0，不妨设左焦点为𝐹1，右焦点为𝐹2，如图所示，∵𝐴𝐹2=𝑎，𝑂𝐹2=𝑐，𝑎=2𝑐，∴

∠𝐴𝐹2𝑂=𝜋3，∴△𝐴𝐹1𝐹2为正三角形，∵过𝐹1且垂直于𝐴𝐹2的直线与C交于D，E两点，𝐷𝐸为线段𝐴𝐹2的垂直平分线，∴直线𝐷𝐸的斜率为√33，斜率倒数为√3，直线𝐷𝐸的方程：𝑥=√3𝑦−𝑐，代入椭圆方程3𝑥2+4𝑦

2−12𝑐2=0，整理化简得到：13𝑦2−6√3𝑐𝑦−9𝑐2=0，判别式∆=(6√3𝑐)2+4×13×9𝑐2=62×16×𝑐2，∴|𝐶𝐷|=√1+(√3)2|𝑦1−𝑦2|=2×√∆13=2×6×4×�

�13=6，∴𝑐=138，得𝑎=2𝑐=134，∵𝐷𝐸为线段𝐴𝐹2的垂直平分线，根据对称性，𝐴𝐷=𝐷𝐹2，𝐴𝐸=𝐸𝐹2，∴△𝐴𝐷𝐸的周长等于△𝐹2𝐷𝐸的周长，利用椭圆的定义得到△𝐹2𝐷𝐸周长为|𝐷𝐹2|+|𝐸𝐹2|+|𝐷𝐸|

=|𝐷𝐹2|+|𝐸𝐹2|+|𝐷𝐹1|+|𝐸𝐹1|=|𝐷𝐹1|+|𝐷𝐹2|+|𝐸𝐹1|+|𝐸𝐹2|=2𝑎+2𝑎=4𝑎=13.故答案为：13.31．【2022年新高考2卷】设点𝐴(−2,3)

,𝐵(0,𝑎)，若直线𝐴𝐵关于𝑦=𝑎对称的直线与圆(𝑥+3)2+(𝑦+2)2=1有公共点，则a的取值范围是________．【答案】[13,32]【解析】【分析】首先求出点𝐴关于𝑦=𝑎对称点𝐴′的坐标，即可得到直线𝑙的方程，根据圆心到

直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：𝐴(−2,3)关于𝑦=𝑎对称的点的坐标为𝐴′(−2,2𝑎−3)，𝐵(0,𝑎)在直线𝑦=𝑎上，所以𝐴′𝐵所在直线即为直线𝑙，所以直线𝑙为𝑦=𝑎−3−2𝑥+𝑎，即(𝑎−3)𝑥+2𝑦−2𝑎=0；

圆𝐶:(𝑥+3)2+(𝑦+2)2=1，圆心𝐶(−3,−2)，半径𝑟=1，依题意圆心到直线𝑙的距离𝑑=|−3(𝑎−3)−4−2𝑎|√(𝑎−3)2+22≤1，即(5−5𝑎)2≤(𝑎−3

)2+22，解得13≤𝑎≤32，即𝑎∈[13,32]；故答案为：[13,32]32．【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆𝑥26+𝑦23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，

且|𝑀𝐴|=|𝑁𝐵|,|𝑀𝑁|=2√3，则l的方程为___________．【答案】𝑥+√2𝑦−2√2=0【解析】【分析】令𝐴𝐵的中点为𝐸，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，利用点差法得到�

�𝑂𝐸⋅𝑘𝐴𝐵=−12，设直线𝐴𝐵:𝑦=𝑘𝑥+𝑚，𝑘<0，𝑚>0，求出𝑀、𝑁的坐标，再根据|𝑀𝑁|求出𝑘、𝑚，即可得解；【详解】解：令𝐴𝐵的中点为𝐸，因为|𝑀𝐴|=|𝑁𝐵|，所以|𝑀𝐸|=|𝑁𝐸|，设𝐴(𝑥1,𝑦

1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则𝑥126+𝑦123=1，𝑥226+𝑦223=1，所以𝑥126−𝑥226+𝑦123−𝑦223=0，即(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2)6+(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)3=0所以(

𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2)=−12，即𝑘𝑂𝐸⋅𝑘𝐴𝐵=−12，设直线𝐴𝐵:𝑦=𝑘𝑥+𝑚，𝑘<0，𝑚>0，令𝑥=0得𝑦=𝑚，令𝑦=0得𝑥=−𝑚𝑘，即𝑀(−𝑚𝑘,0)，𝑁(0,𝑚)，所以𝐸(−�

�2𝑘,𝑚2)，即𝑘×𝑚2−𝑚2𝑘=−12，解得𝑘=−√22或𝑘=√22（舍去），又|𝑀𝑁|=2√3，即|𝑀𝑁|=√𝑚2+(√2𝑚)2=2√3，解得𝑚=2或𝑚=−2（舍

去），所以直线𝐴𝐵:𝑦=−√22𝑥+2，即𝑥+√2𝑦−2√2=0；故答案为：𝑥+√2𝑦−2√2=033．【2021年甲卷文科】已知12,FF为椭圆C：221164xy+=的两个焦点，P，Q为

C上关于坐标原点对称的两点，且12PQFF=，则四边形12PFQF的面积为________．【答案】8【解析】【分析】根据已知可得12PFPF⊥，设12||,||PFmPFn==，利用勾股定理结合8mn+=，求出mn，四边形12PFQF面积等于mn，即可求解.【详解】因

为,PQ为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF=，所以四边形12PFQF为矩形，设12||,||PFmPFn==，则228,48mnmn+=+=，所以22264()2482mnmmnnmn

=+=++=+，8mn=，即四边形12PFQF面积等于8.故答案为：8.34．【2021年乙卷文科】双曲线22145xy−=的右焦点到直线280xy+−=的距离为________．【答案】5【解析】【

分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，22543cab=+=+=，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280xy+−=的距离为22|3208|55512+−==+.故答案为：535．【2021年乙卷理科】已知双曲线22:1(0)xCymm−=

的一条渐近线为30xmy+=，则C的焦距为_________．【答案】4【解析】【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,ab的关系，再结合双曲线中22,ab对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】由渐

近线方程30xmy+=化简得3yxm=−，即3bam=，同时平方得2223bam=，又双曲线中22,1amb==，故231mm=，解得3,0mm==（舍去），2223142cabc=+=+==，故焦距24c=.

故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.36．【2021年新高考1卷】已知O为坐标原点，抛物线C：22ypx=(0p)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂

直，Q为x轴上一点，且PQOP⊥，若6FQ=，则C的准线方程为______.【答案】32x=−【解析】【分析】先用坐标表示PQ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p，即得结果.【详解】抛物线C：22ypx=(0p)的焦点,02pF

,∵P为C上一点，PF与x轴垂直，所以P的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P的纵坐标为p,不妨设(,)2pPp,因为Q为x轴上一点，且PQOP⊥，所以Q在F的右侧，又||6FQ=，(6,0),(6,)2pQPQp

+=−uuur因为PQOP⊥，所以PQOP=2602pp−=,0,3pp=Q，所以C的准线方程为32x=−故答案为：32x=−.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.37．【2021年新高考2卷】若双曲

线22221xyab−=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3yx=【解析】【分析】根据离心率得出2ca=，结合222+=abc得出,ab关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题可

知，离心率2cea==，即2ca=，又22224abca+==，即223ba=，则3ba=，故此双曲线的渐近线方程为3yx=.故答案为：3yx=.38．【2020年新课标1卷理科】已知F为双曲线2222:1(0,0)xyC

abab−=的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可知，2bBFa=，AFc

a=−，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1xcxyabcba=−==+，解得2xcbya==，所以2bBFa=.依题可得，3BFAF=，AFca=−，即()2223bcaacaaca−==−−，变形得3caa+=，2ca=,因此，双曲线C

的离心率为2.故答案为：2．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．39．【2020年新课标3卷文科】设双曲线C：22221xyab−=(a>0，b>0)的一条渐近线为

y=2x，则C的离心率为_________．【答案】3【解析】【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,abc的关系，即可求解.【详解】由双曲线方程22221xyab−=可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为2y

x=，所以2ba=，2213cbeaa==+=.故答案为：3【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.40．【2020年新高考1卷（山东卷）】斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B

两点，则AB=________．【答案】163【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结

果.【详解】∵抛物线的方程为24yx=，∴抛物线的焦点F坐标为(1,0)F，又∵直线AB过焦点F且斜率为3，∴直线AB的方程为：3(1)yx=−代入抛物线方程消去y并化简得231030xx−+=，解法一：解得121,33xx==所以212116||1||13|3|33ABkxx=+

−=+−=解法二：10036640=−=设1122(,),(,)AxyBxy，则12103xx+=,过,AB分别作准线1x=−的垂线，设垂足分别为,CD如图所示.12||||||||||11ABAFBFACBDxx=+=+=+++1216+2=3xx

=+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.