【文档说明】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.946 MB，由小赞的店铺上传

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哈师大附中2023—2024学年度高二上学期月考数学试题命题人：金石杨智博审题人：马云龙一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过点()1,4A的直线的方向向量为(

)1,2m=，则该直线方程为（）A.220xy−+=B.260xy+−=C.270xy−+=D.50xy+−=【答案】A【解析】【分析】由直线的斜率和方向向量之间的关系即可求解.【详解】不妨设点(),Pxy为直线上异于点()1,4A的任意一点，则由直线的斜率和方向向量之间的关系可知4211PAy

kx−==−，整理得220xy−+=，因此满足题意的直线方程为220xy−+=.故选：A.2.国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：7,5,9,7,4,8,9,9,7,5，则这组数据第70百分位数为（）A.7B.8

C.8.5D.9【答案】C【解析】【分析】将数据按照从小到大顺序排序，根据百分位数的求法直接求解即可.【详解】将10次射击成绩按照从小到大顺序排序为：4,5,5,7,7,7,8,9,9,9，1070%7=，第70百分位数为898.52+=.故

选：C.3.已知直线1:60lxay++=和2:(2)320laxya−++=，若12//ll，则=a（）A.3B.1C.-1D.3或-1【答案】C【解析】【分析】代入两直线平行的公式，即可求解.【详解】若12ll//，则16232aaa=−，解得：1a=−.故选：

C4.若圆C经过点()2,5A，()4,3B，且圆心在直线l：330xy−−=上，则圆C的方程为（）A.()()22234xy−+−=B.()()22238xy−+−=C.()()22362xy−+−=D.()()223610xy−+−=【答案】A

【解析】【分析】求解AB的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆C经过点()2,5A，()4,3B，可得线段AB中点为()3,4，又53124ABk−==−−，所以线段AB的中垂

线的方程为43yx−=−，即10xy−+=，由10330xyxy−+=−−=，解得23xy==，即()2,3C，圆C的半径()()2222532r=−+−=，所以圆C的方程为()()22234xy−+−=.故选：A.5.某校为了了解学生的身

体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如下图所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%，则下列说法错误的是（）的A.该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在)30,60内的

学生人数占70%B.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在60,80内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2倍还多C.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在)50,60内D.相比202

2届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加【答案】C【解析】【分析】根据扇形统计图和条形图对四个选项逐个判断可得答案.【详解】2022届初三年级学生仰卧起坐一分

钟的个数在)30,60内的学生人数占比为20%25%25%++70%=，A正确.由于2023届初三学生人数较2022届上升了10%，假设2022届初三学生人数为a（0a），则仰卧起坐一分钟的个数在60,80内的学生

人数为0.2a，2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在60,80内的学生人数为()110%41%0.451aa+=，0.4510.220.4aaa=，B正确.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在)40,50内，2023届初三

学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在)50,60内，C错误.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占25%15%5%45%++=，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占41%34%7%82%++=，D正确.故选：C.6.已知直线1

l：mx－y－3m＋1＝0与直线2l：x＋my－3m－1＝0相交于点P，点Q是圆C：()()22111xy+++=上的动点，则PQ的最小值为（）A.42B.422−C.221−D.421−【答案】C【解析】【分析】

根据题意分析可得P点的轨迹是圆心为()2,2M，半径为22r=的圆，结合圆的性质运算求解.【详解】圆C：()()22111xy+++=的圆心()1,1C−−，半径11r=，因为()110mm+−=，所以

直线1:310lmxym−−+=与直线2:310lxmym+−−=互相垂直，由1:310lmxym−−+=，得()310mxy−−+=，所以直线1l过定点()3,1W，由2:310lxmym+−−=得()130xmy−+

−=，所以直线2l过定点()1,3N，因为WN中点为()2,2M，且()()22113113222MPWN==−+−=，所以P点的轨迹方程为()()22222xy−+−=，其圆心为()2,2M，半径为22r

=，所以Q点的轨迹是以()1,1C−−为圆心，1为半径的圆，且()()22212132MC=+++=，故PQ的最小值为min||12221PQMC=−−=−.故选：C.7.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数

）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数4x；②平均数4x且极差小于或等于3；③平均数4x且标准差4s；④众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组【

答案】B【解析】【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.【详解】①举反例：0，0，0，4，11，其平均数34x=．但不符合入冬指标；②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，则此

组数据中的最小值为1037−=，此时数据的平均数必然大于7，与4x矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10.符合入冬指标；③举反例：1，1，1，1，11，平均数34x=，且标准差4s=.但不符合入冬指标；④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超

过9.符合入冬指标.故选：B．8.在平面直角坐标系Oxy中，圆22:1Oxy+=，若曲线12ykx=−+上存在四个点()1,2,3,4=iPi，过动点iP作圆O的两条切线，,AB为切点，满足32iiPAPB=，则k的取值范围是（）．A.4,

03−B.4,3−−C.()4,00,3−+D.()4(,)0,3−−+【答案】B【解析】【分析】利用条件，先求出P的轨迹方程，分情况讨论此曲线轨迹与12ykx=−+交点情况即可.详解】如图所示，设,iiPOdAPO==，则222

1iiiPAPBPOAOd==−=−，2222cos212sin121iAOPOd=−=−=−，()22223cos2112iiiiPAPBPAPBdd==−−=，【化简得()()42222940214dddd−

+==−−，24d=或2112d=（舍去），即iP在以O为圆心的圆上，轨迹方程为224xy+=，如上图所示，易知曲线12ykx=−+过定点()1,2，记为M，若0122kykx=−+，最多与圆224xy+=有一个交点()0,2，不符合题意

，可排除C、D选项；若0k，先判定()12ykx=−+与224xy+=相切的情况，则圆心()0,0到直线()12ykx=−+的距离为1224231kdkk−===−+，由图形可知当43k−时，曲线12ykx=−+与224xy+=有四个交点.故选：B二、多项选择题：本大题共4小

题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数据1210,,,xxx的平均数是a，中位数为b，方差为c，极差为d.由这组数据得到新数据1210,,,yyy，其中()321,2,,10iiyx

i=+=，则（）A.新数据的平均数是3aB.新数据的中位数是3bC.新数据的方差是9cD.新数据的极差是3d【答案】CD【解析】【分析】直接利用平均数，中位数，方差，极差的定义求解判断即可.【详解】对于A，新数据的平均数

为()()12101210113232321010yyyxxx+++=++++++()12101323210xxxa=++++=+，故A错误；对于B，因为原数据的中位数为b，所以新数据的中位数是32b+，

故B错误；对于C，因为原数据的方差为()()()2221210110cxaxaxa=−+−++−，所以新数据的方差是()()()2221210132323210yayaya−−+−−+−−()()()22212109910xaxaxac=−+−+−=，故C正确；对于D

，设数据1210,,,xxx中nx最大，mx最小，其中110,110nm,**N,Nnm,则nmxxd−=，所以新数据的极差是()32323nmnmyyxxd−=+−+=，故D正确.故选：CD.10.圆221:20xyxO+−=和圆222:280Oxyxy

++−=的交点为,AB，则有（）A.公共弦AB所在直线方程为20xy−=B.线段AB中垂线方程为220xy+−=C.公共弦AB的长为255D.P为圆1O上一动点，则P到直线AB距离的最大值为515+【答案】ABD【解析】

【分析】直接把两圆的方程作差判断A；利用直线方程的点斜式写出线段AB的中垂线方程判断B；求出公共弦长判断C；由1O到AB的距离加上1O的半径判断D．【详解】对于A，由2220xyx+−=与22280xyxy++−=，

两式作差可得480xy−=，即20xy−=，∴公共弦AB所在直线方程为20xy−=，故A正确；对于B，圆221:20xyxO+−=的圆心为()1,0，圆222:280Oxyxy++−=的圆心()1,4−，AB的中点坐标()0,2，1

2ABk=，∴AB的中垂线的斜率为2−，可得AB的中垂线方程为()220yx−−−＝，即220xy+−=，故B正确；对于C，圆心1O到直线20xy−=的距离15d=，半径为1r=，则21452155AB=−=，故C错误；对于D，P为圆1O上一动点，圆

心1O到直线0xy−=的距离为55，半径1r=，则P到直线AB的距离的最大值为515+，故D正确．故选：ABD11.已知实数,xy满足曲线C的方程22220xyx+−−=，则下列选项正确的是（）A.22xy+的最大值是31+B.11yx++的最大值是26+C.3

xy−+的最小值是223−D.过点()0,2作曲线C的切线，则切线方程为220xy−+=【答案】BD【解析】【分析】由22xy+表示圆C上的点到定点()0,0O的距离的平方，可判定A错误；由11yx++表示圆上的点与点()1,1P−−的斜率k，设11ykx

+=+，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由3xy−+表示圆上任意一点到直线30xy−+=的距离的2倍，进而可判定C错误；根据点()0,2在圆C上，结合圆的切线的性质，可判定D正确.【详解】由圆22:220Cxyx+−−=可化为()2213xy−+=，可得圆心()

1,0，半径为3r=，对于A中，由22xy+表示圆C上的点到定点()0,0O的距离的平方，所以它的最大值为222[(10)03]423−++=+，所以A错误；对于B中，11yx++表示圆上的点与点()1,1P−−的斜率k，设11ykx+=+

，即()11ykx+=+，由圆心()1,0到直线()11ykx+=+的距离22131kdk−=+，解得2626k−+，所以11yx++的最大值为26+，所以B正确；对于C中，由3xy−+表示圆上任意一点到直线30xy−+=的距离的2倍，圆心到直线的距离4222d==，所

以其最小值为()222346−=−，所以C错误；对于D中，因为点()0,2满足圆C的方程，即点()0,2在圆C上，则点C与圆心连线的斜率为12k=−，根据圆的性质，可得过点()0,2作圆C的切线的斜率为1122kk=−=，所以

切线方程为22(0)2yx−=−，即220xy−+=，所以D正确.故选：BD.12.已知圆221()12Cxy+−=：上两点,AB满足2AB，点()00Mx，满足MAMB=，则下列选项正确的有（）A.当2AB=时012x=B.当00x=时，过M点的圆C的最短弦

长是3C.线段AB的中点纵坐标最小值是122−D.过M点作圆C的切线且切点为,AB，则0x的取值范围是7722−−+，，【答案】BCD【解析】【分析】由题意可知点M在线段AB的垂直平分线上，对于A，令22

x=举出反例即可判断；对于B，此时点M刚好在原点，通过分析发现圆的过点M的最短弦长即为被x轴所截得的弦长；对于C，设出线段AB的中点坐标(),Pts，由垂径分线定理将不等式2AB转换成2212ABPC=−，从而即可判断；对于D，由切线长定理即可判断.【详解】圆221()12C

xy+−=：的圆心、半径分别为10,,12Cr=，令圆心C到线段AB的距离为d；对于A，不妨设直线2:2ABx=，此时22022d=−=，由弦长公式可知2222222122=−=−=ABrd，但此时线段AB的垂直平分线是平行于x轴的，即此时点()

00Mx，不存在，故A选项错误；对于B，如图所示：当00x=时，点M与坐标原点重合，设FG为过点M的任意一条不与DE重合的弦，,CHFGCMDE⊥⊥，可以发现CMCH，由弦长公式222221lrdd=−=−可知，若要弦长l最短，只需d最大，而当且仅当CMDE⊥时，max12Cd

CMy===，此时222min122132lDErCM==−=−=，所以当00x=时，过M点的圆C的最短弦长是3，故B选项正确；对于C，不妨设线段AB的中点坐标(),Pts，由垂径分线定理可知221ABPC=−，又2AB，所以2212PC−，解得212PC，注

意到22212PCts=+−，所以222111,0222stt−−，解得2211112222tst−−+−，因此当20t=时，min122s−=，即线段AB的中点纵坐标

最小值是122−，故C选项正确；对于D，如图所示：设线段AB的中点为P，由题意及切线长定理可知1,,2MAACMCABABMCMAAC⊥⊥=，我们来简单说明一下切线长定理：事实上四边形AMBC的面积一方面可以表示为1122AMCBMCSSMCA

PMCBP+=+，另一方面也可以表示为1222AMCSMAAC=，且注意到APPBAB+=，所以由等面积法结合以上式子可得12ABMCMAAC=，又由勾股定理有2221MAMCACMC=−=−，且注意到2AB，所以2111222MCMAACABMCMC−==，

解得22MC，又()22201002MCx=−+−，所以有()22010022x−+−，解得072x−或072x，即0x的取值范围是7722−−+，，，故D选项正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题A选项的

关键是举反例证伪，B选项较为常规，至于C选项要注意转换成2212ABPC=−来做，D选项的话关键在于用切线长定理以及勾股定理来转换已知条件，从而顺利求解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我国古代数学名著

《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何?”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），

则北面共有________人.【答案】100【解析】【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可．【详解】设北面共有x人，则由题意可得1030020060xx=++，解得100x=，所以北面共有100人.故答

案为：100．14.两条平行线210xy++=和240xy+−=的距离为________．【答案】5【解析】【分析】直接由两平行线直接的距离公式即可求解.【详解】由题意直接由两平行线之间的距离公式可知，两条平行线210xy++=和240xy+−=的距离为()

2214512d−−==+.故答案为：5.15.将一张坐标纸折叠一次，使得点()3,4−与点()4,a−重合，点()1,2-与点2,2b−重合，则ab−=_____________．【答案】1【解析】【分析】根

据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可.【详解】设点()3,4−为点A，点()4,a−为点B，所以线段AB的中点为74,22aE−+.设点()

1,2-为点C，设点2,2b−为点D，所以线段CD的中点为232,22bF+−，由题意可知1ABCDEFABkkkk==−，，于是有：2424321314214241734322baaababba−−=−+−+

=−=+=−−−=−−+−+，故答案为：1【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系.16.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果

集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点M与两定点,AB的距离之比为(()0,1，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点P为圆22:4Oxy+=上的动点，()()4,0,3,

1MN−，则2PMPN+的最小值为_____________.【答案】217【解析】【分析】首先进行转化，假设存在这样的点(),0Qt，使得2PMPQ=，则224PMPQ=，设点(),Pxy，可得()22233884160xytxt+−++−=，该圆对照224xy+=，所以1t=−，求得

点()1,0Q−，再由()22222PMPNPQPNPQPNQN+=+=+，即可得解.【详解】假设存在这样的点(),0Qt，使得2PMPQ=，则224PMPQ=，设点(),Pxy，则()()222244xyxty+

+=−+，即()()222222228164233884160xyxxytxtxytxt+++=+−++−++−=，该圆对照224xy+=，所以1t=−，所以点()1,0Q−，所以()22222217PMPNPQPNPQPNQN+=+

=+=.故答案为：217四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆C经过三点(0,0),(1,1),(4,2)OAB.（1）求圆C的方程；（2）经过点()1,4M−的直线l被圆

C所截得的弦长为45，求直线l的方程.【答案】（1）22860xyxy+−+=；（2）260xy−−=或270xy++=.【解析】【分析】（1）设出圆C的一般方程，再利用待定系数法求解作答.（2）由（1）求出圆C的圆心和半径，结合弦长及点到直线距离求解作答.【小问1详解】设圆C的方程为2

2220,(40)xyDxEyFDEF++++=+−，由圆C经过三点(0,0),(1,1),(4,2)OAB，得02020420FDEFDEF=+++=+++=，解得860DEF=−==，所以圆C的方程为22860.xyxy+−+=【小问2详解】由（1）知圆C：

()()224325xy−++=，即圆心(4,3)C−，半径为5，由直线l被圆C所截得的弦长为45，得圆心C到直线l的距离225(25)5d=−=，而直线l经过点()1,4M−，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为()41ykx+=−，即40k

xyk−−−=，于是243451kkdk+−−==+，得2k=或12k=−，所以直线l的方程为260xy−−=或270.xy++=18.某高校就业部从该校2022年已就业的博士研究生的毕业生中随机抽取了200人进行问卷调查，其

中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这200人月薪收入的样本平均数x；（2）该校在某地区就业的2022届博士研究生的毕业生共100人，决定于20

23年五一劳动节长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间1.85,2.15=，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元；方案二：每人按月薪收入的样本平

均数的3%收取；用该校就业部统计的这200人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？【答案】（1）2（万元）（2）方案一能收到更多的费用【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算公式，准确

计算，即可求解；（2）分别计算得到方案一和方案二中这50人共收活动费用的多少，比较即可得到结论.【小问1详解】解：根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得这200人月薪收入的样本平均数：0.021.70.101.80.241.90.3120.22

.10.092.20.042.32x=++++++=（万元）．【小问2详解】解：方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为()0.020.10100400100000.48+=（万元）；月薪落在区间内收活动费用约()0.240.310.20100600

100004.5++=（万元）；月薪落在区间右侧收活动费用约为()0.090.04100800100001.04+=（万元）．因此方案一，这100人共收活动费用约为0.484.51.046.02++=（万元）；方案二：这100人共收活动

费用约为3%10020.031006x==（万元）．为因为6.026，故方案一能收到更多的费用.19.在四棱锥PABCD−中，90ABCACD==，30BCACDA==，PA⊥平面ABCD，,EF分别为,PDPC的中点，2PAAB=.（1）求证：平面PAC⊥

平面AEF；（2）求二面角EACD−−大小【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）易得//EFCD，根据线面垂直的性质可得PACD⊥，从而可证得CD⊥平面PAC，进而可得EF⊥平面PAC，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）分别取,ACAD的中点,MN，连接,,MNM

ENE，不妨设1AB=，先利用勾股定理求出,AECE，从而可证得AECE=，进而可得EMN即为二面角EACD−−的平面角，再解MNE即可得解.【小问1详解】因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥，又,,,ACCDACPAAACPA⊥=平面PAC，所以CD⊥平面

PAC，因为,EF分别为,PDPC的中点，所以//EFCD，所以EF⊥平面PAC，又EF平面AEF，所以平面PAC⊥平面AEF；【小问2详解】分别取,ACAD的中点,MN，连接,,MNMENE，的不妨

设1AB=，则2PA=，在RtABC△中，30BCA=，则22ACAB==，在RtACD△中，30CDA=，则24,23ADACCD===，因为PA⊥平面ABCD，,ACAD平面ABCD，所以,PAACPAAD⊥⊥，则112,522AFPCAEPD====，因为,EF分别为,P

DPC的中点，所以132EFCD==，由（1）得EF⊥平面PAC，因为PC平面PAC，所以EFPC⊥，则225CECFEFAE=+==，因为M为AC的中点，所以MEAC⊥，因为N为AD的中点，所以//MNCD且13

2MNCD==，又ACCD⊥，所以MNCD⊥，所以EMN即为二面角EACD−−平面角，因为E为PD的中点，所以//NEPA且112NEPA==，又PA⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，又AD平面ABCD，所以NEMN⊥，在RtMNE△中，3tan3NE

EMNMN==，所以π6EMN=，即二面角EACD−−的大小为π6.的20.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，使用按男女学生人数比例分配的分层抽样方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：)20,30，)30,40，L，80,90，并整理得到如下

频率分布直方图：（1）已知样本中分数在)40,50的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；（2）试估计测评成绩的第三四分位数；（3）已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为69，方差为180，女生样本的均值为73，方差为200，求总样本的方差.【答案】（1）20人（2）

78.75（3）188【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可计算超过50分的人数，结合题意可估计总体；（2）直接利用频率分布直方图计算75%分位数即可；（3）根据分层抽样的方差公式计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，分数在)50,90的频率为()0.0

10.020.040.02100.9+++=，在样本中分数在)50,90的人数为1000.990=（人），又在样本中分数在在)40,50的学生有5人，所以样本中低于40分的人数有1009055−−=人，故总体中分数小于40的人数为100520400=人；【小问2详解】测试成绩从低到高

排序，样本中分数在)40,70的频率为0.4，样本中分数在)40,80的频率为0.8，则75%分位数在)70,80之间，所以估计测评成绩的75%分位数为0.750.47010708.7578.750.80.4−+=+=−；【小问3详解】由题意

可知总样本的均值为：3169737044+=，所以总样本的方差为()()222311806970200737018844s=+−++−=总.21.已知圆M：()2224xy−+=，点()()1,RPtt−.（1）若0=t，求以P为圆心

且与圆M相切的圆的方程；（2）若过点P的两条直线被圆M截得的弦长均为23，且与y轴分别交于点S、T，34ST=，求t的值.【答案】（1）()2211xy++=或()22125xy++=（2）1t=或1t=−【解析】【分析】（

1）由题意，可设圆P的方程为()2221xyr++=，判断出点P在圆外，则圆P与圆M外切或内切，分类讨论两圆内切与外切两种情况，列方程求解r，从而可得圆P的方程；（2）先排除过点P与x轴垂直的情况，从而设过点P的直线方

程为()1ytkx−=+，再根据圆的弦长公式建立方程并化简可得228610ktkt++−=，结合根与系数的关系以及34ST=，从而可得t的方程，解方程即可得解.【小问1详解】当0=t时，()1,0P−，设圆P的方程为()2221xyr++=，因为()2212094−−+=，所以点P在

圆外，所以圆P与圆M外切或内切，又()2,0M，圆M的半径为2，当两圆外切时：()221PMr=+=−−，可得1r=；当两圆内切时：()221PMr=−=−−，可得=5r；所以以P为圆心且与圆M相切的圆的方程为()2211xy++

=或()22125xy++=.【小问2详解】若过点()1,Pt−的直线与x轴垂直时，直线方程为=1x−，圆心M到直线=1x−的距离为3，直线与圆相离，不满意题意；设过点P的直线方程为()1ytkx−=+，即0kxykt−++=，由题意

得，()22232311ktk+=−=+，化简得228610ktkt++−=，设直线PS、PT的斜率分别为12,kk，则122123418tkktkk+=−−=，且()222363214320ttt=−−=+，对过点P的直线()1yt

kx−=+，令0x=，得ykt=+，()()120,,0,SktTkt++，()2212121283444tSTkkkkkk+=−=+−==，解得1t=，所以1t=.【点睛】方法点睛：解决直线与圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个

条件，明确确定直线、圆的条件；（2）强化利用几何法求解圆的弦长，代入公式222lrd=−化简得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．22.已知直线:1lxmy=−，圆22:40Cxyx++=.（1）证明：直线l与圆C相交；（2

）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为1l，在点B处的切线为2l，1l与2l的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）22

320xyx+++=；（3）点Q恒在直线2x=上，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出直线:1lxmy=−过定点()1,0−，得到()1,0−在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点(),Mxy，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得

到此圆的方程，联立22:40Cxyx++=，求出相交弦的方程，即直线l的方程，根据直线l过的定点，得到02x=，从而得到点Q恒在直线2x=上.【小问1详解】证明：直线:1lxmy=−过定点()1,0−，代入22:40Cxyx++=得：1040+−，故()1,0−在圆内，

故直线l与圆C相交；【小问2详解】圆22:40Cxyx++=的圆心为()2,0C−，设点(),Mxy，由垂径定理得：1CMlkk=−，即00112yyxx−−=−++，化简得：22320xyx+++=，点M的轨迹方程为：22320xyx+++=【小问3详

解】设点()00,Qxy，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：()()()0020xxxyyy−++−=，即()22000220xyxxyyx++−−−=，与圆C的方程22:40Cxyx++=联立，消去二

次项得：()000220xxyyx+++=，即为直线l的方程，因为直线:1lxmy=−过定点()1,0−，所以0022xx=+，解得：02x=，所以当m变化时，点Q恒在直线2x=上.【点睛】本题的第三问是稍有难度的，处理方法是根据

四点共圆，直径的端点坐标，求出此圆的方程，与曲线联立后得到相交弦的方程，是处理此类问题的关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com