【文档说明】山西省太原市实验中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(16)页，1.197 MB，由小赞的店铺上传

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考试试卷（理）一、选择题1.n∈N*，20n，则（20－n）（21－n)…（100－n）等于（）A.80100nA−B.20100nnA−−C.81100nA−D.8020nA−【答案】C【解析】【详解】分析：由排列数公式即可得到答案，需注意项数．详解：由

题意可得：共有10020181nn−−−+=（）（）项，811002021100nnnnA−−−−=（）（）（），故选C．点睛：本题考查排列及排列数公式，易错点在于项数的计算，属于基础题．2.32(1)(1)ii+=−（）A.1i+B.1i−C.1i−+D.1i

−−【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算，直接对所求式子运算即可得答案.【详解】()2322(1)12(1)(1)(1)2211(1)222iiiiiiiiiiiiii++++++−+−=====−−−−−−.故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基

础题.3.为研究两变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线1l和2l，两人计算x相同，y也相同，则下列说法正确的是（）A.1l与2l重合B.1l与2l平行C.1l与2l交于点（x，y）D

.无法判定1l与2l是否相交【答案】C【解析】解：由线性回归方程的概念可知方程必定过样本中心点，因此相交于点(,)xy，选C4.下列求导运算正确的是（）A.2111xxx+=+B.21(log)ln2xx=C.3(3)3logex

x=D.2(cos)2sinxxxx=−【答案】B【解析】【分析】利用函数求导公式对选项进行一一验证.【详解】因为2111xxx+=−，故A错；因为21(log)ln2xx=，故B正确；因为(3)3ln3xx=，故C错；因为22(cos)2cossinxxx

xxx=−，故D错．【点睛】本题考查导数公式的简单运用,考查计算能力，属于基础题.5.由曲线2yx=，3yx=围成的封闭图形的面积为（）A.13B.14C.112D.712【答案】C【解析】围成的封闭图形的面积为13423100111()()343412xxxxdx−=−=−=，

选C.6.抛掷两枚质地均匀的骰子，在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是（）A.13B.118C.16D.19【答案】A【解析】【分析】根据条件列出事件的所有结果，代入条件概率公式求解即可.【详解】设“至少有一枚出现6点”为事件A，“两枚骰子的点数不同”为事件B，则()

5630nB==，()10nAB=，()()()101303nABPABnB===.故选：A【点睛】本题考查条件概率，属于基础题.7.工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布()2,N，在一次正常实验中，取

1000个零件时，不属于()3,3−+这个尺寸范围的零件个数可能为（）A.3个B.6个C.7个D.10个【答案】A【解析】【详解】试题分析：由于机器零件的尺寸服从正态分布，根据正态分布的3的原则，有99.7%的产品只存在()3,3−+内，所以不属于(

)3,3−+这个尺寸范围的零件个数可能为10000.3%3=，故选：A.考点：正态分布在产品检测中的应用.8.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝()A.5B.6C.7D.8【答案】

B【解析】试题分析：由题意可知221,mmmmCaCb+==,137ab=,221137mmmmCC+=,即()()()2!21!137!!!1!mmmmmm+=+,211371mm+=+,解得6m=．故B正确．考点：1二项式系数；2组合数的运算．9.在R上可导的函数3211()232

fxxaxbxc=+++，当(0,1)x时取得极大值，当(1,2)x时取得极小值，则21ba−−的取值范围是（）A.11(,)22−B.11(,)24−C.(1,14)D.1(,1)2【答案】C【解析】试题分析：()()()()()20002

{10{21,202fbfxxaxbfababfab=+++−−+在由()()()2,0,1,0,3,1−−−所构成的三角形的内部，21ba−−可看作点(),ab与点()1,2的连线的斜率

，结合图形可知21,114ba−−考点：函数极值及线性规划点评：函数在极值点处的导数为零且在极值点两侧导数一正一负，线性规划问题取得最值的位置一般是可行域的顶点处或边界处，本题有一定的综合性10.复数z满足方程34zi+=，那么复数z在复平面对应的点Z组成的图形为（）A.以()0

,1−为圆心，2为半径的圆B.以()1,0−为圆心，2为半径的圆C.以()0,1为圆心，4为半径的圆D.以()1,0为圆心，4为半径的圆【答案】C【解析】【分析】化简34zi+=为4zi−=，结合复数的意义可求结果.【详解】因为34zi+=

，所以4zi−=，所以复数z在复平面对应的点Z组成的图形是以()0,1为圆心，4为半径的圆.故选：C.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，zabir−−=表示以(),ab为圆心，r为半径的圆.侧重考查

数学运算的核心素养.11.已知定义在区间()2,2−上的函数()yfx=的图象如图所示，若函数()'fx是()fx的导函数，则不等式()'01fxx+的解集为()A.()2,1−B.()()2,11,1−−−C.()1,2D.

()()3,10,3−−【答案】B【解析】【分析】分()2,1x−−与()1,2x−两种情况,根据导数与单调性的关系观察求解即可.【详解】当()2,1x−−时,若()'01fxx+则()'0fx,此时函数单调递减,故()2,1x−−.

当()1,2x−时,若()'01fxx+则()'0fx,此时函数单调递增,故()1,1x−.故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与分段求解不等式的方法,属于基础题.12.已知函数32()31fxaxx=−+，若()fx存在唯一的零点0x，且00x

，则a的取值范围是A.()2,+B.()1,+C.(),2−−D.(),1−−【答案】C【解析】试题分析：当0a=时，2()31fxx=−+，函数()fx有两个零点33和33−，不满足题意，舍去；当0a时，2()36fx

axx=−，令()0fx=，得0x=或2xa=．(,0)x−时，()0fx；2(0,)xa时，()0fx；2(,)xa+时，()0fx，且(0)0f，此时在(,0)x−必有零点，故

不满足题意，舍去；当0a时，2(,)xa−时，()0fx；2(,0)xa时，()0fx；(0,)x+时，()0fx，且(0)0f，要使得()fx存在唯一的零点0x，且00x，只需2()0fa，即24a，则2a−，选C．考点

：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．二、填空题13.已知函数()yfx=在0xx=处的导数为2−，则()()000limxfxxfxx→−−=△△△______.【答案】2【解析】【分析】根据函

数()yfx=在0x处导数为2得()()000lim2xfxxfxx→−=−△+△△，然后对()()000limxfxxfxx→−−△△△进行变形，利用导数定义即可得出为2.【详解】解：依题意有()()000lim2xfxxfxx→−=−△+△△，所以()()()()()

()000000000limlimlim2xxxfxxfxfxxfxfxxfxxxx→→→−−−−−=−=−=△△△△△+△△-△△.故答案为：2.【点睛】本题考查导数的定义，关键是导数定义的等价变形，属于

基础题.14.曲线()4fxxx=−在点()1,0P处的切线的直线方程是______.【答案】33yx=−【解析】【分析】求函数在点()1,0P处的导数，利用点斜式方程即可.【详解】∵()341fxx=−∴()1413f=−=∴曲线()4fxxx=−在点()1,

0P处的切线方程为：()031yx−=−，即33yx=−故答案为：33yx=−【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属于基础题.15.安排5位工作人员在5月1日至5月5日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有

______种.（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】首先甲、乙在5月3日至5月5日中任排2天值班，剩余3位工作人员再全排列，按分步乘法计数原理求解即可.【详解】首先甲、乙在5月3日至5月5日中任排2

天值班，剩余3位工作人员再全排列，共有2333=32321=36AA种安排方法.故答案为：36【点睛】本题考查排列问题、分步乘法计数原理，属于基础题.16.有一小球从如图管道的入口V处落下，在管道的每一个节点等可能地选择路径，则小球最后落到C点处的概率是______.

【答案】38【解析】【分析】利用树状图将所有情况列出来，再数出落点在C处的情况即可.【详解】增设节点字母，如图所示：小球下落的所有可能路径的树状图如下图所示：由图可知，共有16种等可能的情况，其中落点为C的情

况有6种∴小球最后落到C点处的概率是63168=故答案为：38【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，属于中档题.三、解答题17.设函数3221()32fxxaxx=++，.（Ⅰ）当2x=时,()fx取得极值，求a的值；（Ⅱ）若()fx在()0+，内

为增函数，求a的取值范围．【答案】（1）－92；（2）【解析】【详解】()221fxxax=++，（Ⅰ）由题意：()28210fa=++=解得92a=−.经检验满足题意.（Ⅱ）方程2210xax++=的判别式28a=−,(1)当0

,即2222a−时，2210xax++,()0fx在()0+，内恒成立,此时()fx为增函数；(2)当,即22a−或22a时，要使()fx在()0+，内为增函数,只需在()0+，内有2210xax++即可,设2()21gxxax=++，由(0)10

,{022ga=−得0a,所以22a.由(1)(2)可知,若()fx在()0+，内为增函数，a的取值范围是[22,)−+.18.已知数列na的前n项和为nS，且满足0na，()242nnnSaanN+=+.（1）计算1234,,,aaaa，根据计算结果猜想na的表

达式；（2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】（1）12a=，24a=，36a=，48a=，猜想2nan=.（2）证明见解析【解析】【分析】(1)把1,2,3,4n=分别代入()242nnnSaanN+=+依次计算

1234,,,aaaa，根据结果容易猜想na的表达式；(2)按照用数学归纳法证明命题的两个步骤，用上()2211111224kkkkkkkaSSaaaa++++=−=+−−，对该式子朝着目标化简整理即可.【详解】（1）解：当1n=

时，211142aaa=+，12a=，当2n=时，12222442aaaa+=+，24a=，当3n=时，1223334244aaaaa++=+，36a=，当4n=时，212344444442aaaaaa+

++=+，48a=，故猜想2nan=.（2）证明：①当1n=时，显然成立②假设当nk=时2kak=，则当1nk=+时，()2211111224kkkkkkkaSSaaaa++++=−=+−−()221112444kkaakk++=

+−−∴221114244kkkaaakk+++=+−−∴()2112410kkaakk++−−+=即：()()112210kkakak+++−+=∵0na，∴()121kak+=+，即当1nk=+时，结论成立.综上所述，由①②可知2nan=.【

点睛】（1）在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的()1nkk=时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.（2）看到n()Sfn=或()nfa，要注意联想到()12,nnnassnnN−+=−

解题；中档题.19.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券.例如：消费218元，可转动

转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元），求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）12；（2）40【解析】【详解】设指

针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.则111(),(),()632PAPBPC===.（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.111()()632PPAPB=+=+=即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12.（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动

转盘2次.随机变量X的可能值为0，30，60，90，120.111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636PXPXPXPXPX========+=======所以，随机变量X的分布列为：P

0306090120X141351819136其数学期望115110306090120404318936EX=++++=.20.在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性65人，男性55人，女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外25人主要的休闲方式是

运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外35人主要的休闲方式是运动.（1）根据以上数据建立一个22的列联表；（2）能够以多大的把握认为性别与休闲方式有关系？【答案】（1）列联表见解析；（2）有0099的把握认为性别与休

闲方式有关系.【解析】试题分析：（1）根据题意分别求出休闲方式为“看电视”和“运动”的男性和女性，即可得到22的列联表；（2）根据22的列联表求得相关系数2K的值，通过其范围得到认为性别与休闲方式有

关系的把握性大小.试题解析：（1）根据所给的数据得到列联表男女合计看电视204060运动352560合计5565120（2）()22120202535407.5526.63555656060K−==，故有0099的把握认为性别与休闲方式有关系.考点：相关性检验.【方法点晴】本题主

要考查了22列联表及相关性检验，属于基础题.关于22的列联表关键是在理解题意的基础上分别按照喜欢看电视与运动的男性和女性人数；研究两个事件相关性把握的大小通过求相关系数2K的值，并与临界值进行比较得到两个事件的把握性，当23.841K时，认为两个事件

没有相关性，当26.635K时，有95%的把握认为两个事件具有相关性，当当26.635K时，有99%的把握认为两个事件具有相关性.21.已知函数()241xgxx=+，()lnfxaxx=−，当0a时，若对任意的11,22x，总存在2211,xee，使得()(

)12gxfx=，求实数a的取值范围.【答案】30,5e【解析】【分析】先确定()241xgxx=+在1,22上的值域A和()lnfxaxx=−在211,ee上的值域B，根据AB讨论可求得实数a的取值范围.【详解】解：设()241xgxx=+在1,

22上的值域为A，()lnfxaxx=−在211,ee上的值域为B.依题意得：AB.当11,22x时，令()112111448,2115xtgxxxx===++，则8,25A=.()lnfxaxx=−,()11axfx

axx−=−=.因为0a，令()0fx¢=，则1xa=，当10,xa时，()0fx¢<，()fx单调递减，当1,xa+时，()0fx¢>，()fx单调递增，所以()fx在1xa=时取得极小值，由于只有一个极小值也就是最小值.由题设知()f

x的定义域为211,ee，所以（1）当211ae，即2ae时，()fx在211,xee上单调递增，且此22,1aaBee=++，所以需要满足2825{21aeae++，此方程组无解，故舍去.（2）当11ae，即0ae

时，()fx在211,xee上单调递减，且此时21,2aaBee=++，所以需要满足22{815aaeae++，解得：305ae.（3）当2111eae，即2eae

时，()min11ln2fxfaa==+，故AB=，不符合题意.综上所述，a的取值范围为30,5e.【点睛】本题考查双变量任意存在性问题，关键是转化为子集关系求解，属于中等偏上难度.