【文档说明】（课时练习）2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一3.2 基本不等式 含解析【高考】.docx，共(19)页，734.877 KB，由小赞的店铺上传

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13.2基本不等式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知0,0xy，且2xyxy+=，则42xy+的最小值为(

)A.8B.12C.16D.202.若a，b都为正实数，21ab+=，则ab的最大值是()A.29B.18C.14D.123.设a，bR，且ab，2ab+=，则下列不等式成立的是()A.2212abab+B.2212

abab+C.2212abab+D.2212abab+4.已知0a，0b，且满足3abab=++，则ab+的最小值是()A.2B.3C.5D.65.已知正数x，y满足1xy+=，则11

112xy+++的最小值是()A.3328B.76C.3225+D.656.某公司租地建仓库，每月土地占用费1y与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站

10km处建仓库，这两项费用1y和2y分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A.5km处B.4km处C.3km处D.2km处7.已知0a，0b，若4ab+=，则()A.22ab+有最小值B.ab有最小值C.11ab+有最大值D.1ab+有最大值8.某商

场对商品进行两次提价，现提出下面四种提价方案()pq，提价幅度最大的一种是()A.先提价%p，后提价%qB.先提价%q，后提价%pC.两次均提价%2pq+D.两次均提价22%2pq+2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要

求）9.下列不等式正确的是()A.若0x，则12xx+−„B.若xR，则22322xx++…C.若xR，则2111x+D.若0x，则10.设1a，1b，且()2abab−+=，那么()A.ab+有最小值2(31)

+B.ab+有最小值2(31)+C.ab有最小值423+D.ab有最大值423+11.设a，b均为正数，且21ab+=，则下列结论正确的是()A.ab有最大值18B.2ab+有最大值2C.22ab+有最小值15D.22ab−有最小值14−12.若0x，0y且

满足xyxy+=，则()A.xy+的最小值为4B.xy+的最小值为2C.2411xyxy+−−的最小值为246+D.2411xyxy+−−的最小值为642+三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设a，0b，5ab+=，则13ab+++的最大值为___

_______.14.不等式：①22(0,0)aababb−…；②222()abab+„；③2222()abab+++…中，一定成立的是__________.15.已知x、y为两个正实数，且12mxyxy++„恒成立，则实数m

的取值范围是__________.316.已知不等式20axbxc++的解集为{|23}xx，则bc=__________；252bca+++的最小值为__________.四、解答题（本大题共5小题，共6

0.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)若正数x，y满足35xyxy+=，求：(1)34xy+的最小值；(2)求xy的最小值．18.(本小题12.0分)为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土

以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为240000m的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．19.(本小题12.0分)已知0a

，0b，且1.ab+=(1)求12ab+的最小值；(2)证明：2225.12abbab+++20.(本小题12.0分)已知x，0y，a，b为正常数，且1.abxy+=(1)若1a=，9b=，求xy+的最小值；(2)若10ab+=，xy+的最小值为18，求a，b的值；(

3)若2a=，1b=，且不等式2(2)(2)xymxy−+…恒成立，求实数m的取值范围．21.(本小题12.0分)如图，长方形ABCD表示一张612(单位：分米)的工艺木板，其四周有边框，中间为薄板．木板上一瑕疵(记为点)P到外边框AB，AD的距离分别为1分米，2分

米．现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上．设AM，AN的长分别为m分米，n分米．4(1)求证：211mn+=；(2)为使剩下木板MBCDN的面积最大，试确定m，n的值；(3)求剩下木板MBCDN的外边框长度(,,,MBBCCDDN

的长度之和)的最大值及取得最大值时m，n的值．5答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.根据由2xyxy+=得211yx+=，则，展开后利用基本不等式求最值即可，注意等号成立条

件.【解答】解：由2xyxy+=得211yx+=，则8244216816xyyx=++++=…，当且仅当82xyyx=，即2x=，4y=时取“=”.故选.C2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．由已知结合基本不等式可得2112(2)()222abab

ab+=„，可得结果．【解答】解：因为a，b都为正实数，21ab+=，则2112111(2)()222248ababab+===„，当且仅当122ab==时取等号．故选：.B3.【答案】B【解析】【分析】6本题考查了基本不等式，属于基础题．根据基本不等式，分别判断大小关系，即可得

解．【解答】解：2ab+=，ab，2()12abab+=；2()0ab−，222abab+，2222()()4abab++=，221.2ab+综上可知：221.2abab+故选.B4.【答案】D【解析】【分析】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基

础题．运用三元基本不等式，结合不等式的解法，可得所求最小值．【解答】解：0a，0b，且满足3abab=++，可得333abab…，即有9ab…，可得6ab+…，当且仅当3ab==取得等号，则ab+的最小值为6.故选：.D5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用基

本不等式求最值，属中档题．根据条件可得22215xy+++=，再由11121(2221)()11252212xyxyxy+=++++++++，利用基本不等式求出11112xy+++的最小值．7【解答】解：正数x，y满足1xy+=，22215xy+++=，1

1112xy+++121(2221)()52212xyxy=++++++12422322(3)522125yxxy+++=++++…，当且仅当24222212yxxy++=++，即5242x=−，5232y=−时取等号，11112xy+++的最小值为322.5+故选：.C6.

【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题.设仓库到车站的距离为xkm，当10x=时，12y=，28y=，则120k=，20.8k=，可求得1220200.820.88yyxxxx+=+=…，即可求解.【解答】解：设仓库到车站的距离为xkm，则11k

yx=，22.ykx=当10x=时，12y=，28y=，120k=，20.8k=，1220200.820.88yyxxxx+=+=…，当且仅当200.8xx=，即5x=时，12yy+取得最小值8，故选.A7.【答案】A【解析】8【分析】本题考查利用

基本不等式求最值，是中档题．根据题意，结合基本不等式，逐项判断即可.【解答】解：0a，0b，且4ab+=，2abab+…，42ab…，4ab„，当且仅当2ab==时取等号，222()216216248abababab+=+−=−

−=…，22ab+有最小值8，故A正确；由上可知2ab„，当且仅当2ab==时取等号，当a逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，ab逐渐接近于0，ab没有最小值，故ab有最大值2，没有最小值，故B错误；同样当a逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，11ab+趋近于

+，11ab+没有最大值，故C错误；，由于ab只有最大值，没有最小值，ab+只有最大值，没有最小值，1ab+没有最大值，故D错误.故选：.A8.【答案】D【解析】【分析】本题以商品提价为背景，考查了基本不等式的应用，属于中档题.逐一得到各选项两次提价后商品

价格，再利用基本不等式比较大小即可.【解答】解：由题意不妨设商品原价为a，A，B选项两次提价后商品价格均为(1%)(1%)apq++，C选项提价后商品价格为2(1%)2pqa++，D选项提价后商品价格为由pq

，9，2222pqpq++，，提价幅度最大的为D选项.故选.D9.【答案】AD【解析】【分析】本题重点考查基本不等式，属于基础题.利用基本不等式和特殊值法逐个判断即可.【解答】解：对于A、若0x，则，当且仅当1x=−时取等号，故正确；对于B、2222223112222222xxx

xxx+=+++=+++…，由于取等条件无法满足，故22322xx++，故错误；对于C、当0x=时，2111x=+，故错误；对于D、若0x，则11(1)(1)24xxxx++=++…，当且仅当1x=时取等号，故正确，故选.AD10

.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是公式的灵活应用．由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为1a，1b，且()2abab−+=，所以22()()2ababab+=++„，当且仅当31ab==+时取等号，10解得232ab++…，

或223(ab+−„舍)，故ab+有最小值223+，A正确，B错误；由22ababab−=+…，当且仅当31ab==+时取等号，解得423ab+…，即ab有最小值423+，C正确，D错误．故选：.AC11.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用和函数的最值，注意

检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题.利用基本不等式分别判断选项AB的对错，对于CD，由12ab=−，且102b，转化为关于b的二次函数，由函数的性质可得最值，可判断对错.【解答】解：正实数a，b满足21ab+=，由基本不等式可得2122abab+=…，18ab

„，当且仅当2ab=，即12a=，14b=时等号成立，故ab有最大值18，故A正确；由于2(2)2221222abababab+=++=+„，22ab+„，当且仅当12a=，14b=时等号成立，故2ab+有最大值为2，故B正确；由a，b均为正数，且21ab+=，则12

ab=−，且102b，则22222(12)541abbbbb+=−+=−+2215()55b=−+，11当21(0,)52b=，15a=时，22ab+有最小值15，故C正确；22222(12)341ab

bbbb−=−−=−+，2213()33b=−−，021b，102b，221(,1)4ab−−，22ab−没有最小值，故D错误.故选.ABC12.【答案】AD【解析】【分析】本题主要考查基本不等式的

应用，还考查了转化化归思想和运算求解的能力.将xyxy+=，变形为111xy+=，然后利用“1”的代换，由11()()xyxyxy+=++利用基本不等式求解；根据2462(2)4211()1xyxyxyxyxyxyxy−++==+−−−++，再用“1”的代换，由1142(4

2)()xyxyxy+=++利用基本不等式求解.【解答】解：因为0x，0y且满足xyxy+=，所以111xy+=，所以11()()2224yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=…，当且仅当yxxy=，即2xy==时取等号，所以xy+的最小值为4，

因为2462(2)4211()1xyxyxyxyxyxyxy−++==+−−−++，所以11242442(42)()662642yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=+…，当且仅当24yxxy

=，即21,122xy=+=+时取等号，12所以2411xyxy+−−的最小值为642+故选：.AD13.【答案】32【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．利用基本不等式，即可求出13ab+++的最大值．【解答】解：由题意，a，0b，5a

b+=，所以2(13)2(13)18abab++++++=„，当且仅当13ab+=+时，等号成立，13ab+++的最大值为32，故答案为32.14.【答案】①③【解析】【分析】本题考查了不等式性质、基本

不等式的相关知识，属于基础题.利用基本不等式以及不等式的性质可解.【解答】解：2212()0abaabbb+−=−…，故①成立；22222(22)(1)(1)0ababab++−+=−+−…，故③成立；取4ab

==，可排除②，故②不成立．故答案为：①③.15.【答案】(,322]−+【解析】【分析】本题考查了不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题.由参变量分离法可得12()()mxyxy++„，利用基本不等式求出12()()xyxy++的最小值，由此可

得出实数m的取值范围.13【解答】解：因为x、y为两个正实数，由12mxyxy++„可得12()()mxyxy++„，因为1222()()332322xyxyxyxyyxyx++=+++=+…，当且仅当2yx=时，等号成立.所以，322m+„，因此，实数m的取值范围是(,322]

−+故答案为：(,322]−+16.【答案】56−8【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解集与相应方程的根与系数的关系和基本不等式，属一般题．根据不等式的解集可得a，b，c之间的关系，可以求出;bc然后将252bca+++用a表示，再用基本不等式求其最小值即可

.【解答】解：20axbxc++的解集为{|23}xx，0a，235ba−=+=，236ca==，则5ba=−，6ca=，所以5566baca−==−，2525(2)222bcaaa++=++−++，252(2)282aa+

−=+…，当且仅当2522aa+=+，即3a=时取等号，故252bca+++的最小值为8.故答案为：5;8.6−1417.【答案】解：(1)0x，0y，35xyxy+=，1312132555xyyx+

=…，当且仅当312xyyx=时，即21xy==时取等号，34xy+的最小值为5；(2)正数x，y满足35xyxy+=，523xyxy…，解得：1225xy…，当且仅当635xy==时取等号．xy的最小值为12.25【解析】本题主要考查基本不等式在求最值的应用.(

1)由0x，0y，35xyxy+=，可得，利用基本不等式的性质即可得出；(2)由正数x，y满足35xyxy+=，利用基本不等式可得523xyxy…，求解即可.18.【答案】解：设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积240000abm=，由所选农田的长为(6)am+，宽为(6)bm+

，农田面积2(6)(6)400366()()ababm++=++，由不等式2400abab+=…，当且仅当ab=时，ab+最小，即农田面积最小，40000ab=，所以200abm==，所以农田的长为206米，宽为206米时，

才能使占有农田的面积最小．【解析】本题考查基本不等式的实际应用，考查利用基本不等式求最值，考查分析与计算能力，属于基础题.设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积240000abm=，由所选农田的长为(6)am+，宽为(6)bm+，得到农田面积2(6)(6)400366()()ababm++=++，结

合基本不等式求得最值即可得解.1519.【答案】解：(1)解法1：因为0a，0b，且1ab+=，所以122()22332322.ababbabaabababab+++=+=+++=+…当且仅当2baab=，即222ba=时，等号成立，由2

20,0,1,2,ababba+==解得，所以12ab+的最小值为322.+解法2：因为0a，0b，且1ab+=，所以121222()()332322babaababababab+=++=+++=

+…，当且仅当2baab=，即222ba=时，等号成立.由220,0,1,2,ababba+==解得，所以12ab+的最小值为322.+证明：(2)证法1：因为0a，0b，所以2222222

222241412215555abbabbabbbbabbbaa+++=++++++„25.22(2)5abbabb+==+当且仅当222,5415bab==时，等号成立，解得12a=，52b=，此时1.ab+所以2225.12abbab+++

证法2：由于0a，0b，1ab+=，得1ab=−，要证明222512abbab+++，只要证明22(1)25(1)12bbbbb−+−++，即证22352222bbbb−−+，只要证2235.1bbbb−−+由于210bb−+，则只要证明2235

55bbbb−−+，16即2(51)(53)50bb+−++，因为2(53)45(51)6250=+−+=−+，所以2(51)(53)50bb+−++成立，所以2225.12abbab+++【解析】本题考查基本不等式，利用基本不等

式求最值，涉及二次不等式恒成立问题，考查逻辑推理能力和变形转化的能力.(1)解法1：由0a，0b，且1ab+=，122()23ababbaababab+++=+=++，再利用基本不等式求最小值；解法2：由0a，0b，且1ab+=，利用乘“1”法，1212

2()()3baabababab+=++=++，再利用基本不等式求最小值；(2)证法1：将2221abbab+++的分母变为2224155bba+++，分母利用基本不等式得2222224412215555b

bbbaa++++…，注意等号成立的条件可得结论；证法2：利用分析法要证明222512abbab+++，通过变形只要证2(51)(53)50bb+−++，利用0恒成立可得结论.20.【答案】解：(1)由题意：191xy+=

，则199()()19xyxyxyxyyx+=++=+++910216xyyx+=…，当且仅当，即4x=，12y=时取等号，所以xy+的最小值为16；(2)因为10ab+=，且x，y，a，0b，则()()abbxayxyxyabxyyx+

=++=+++10bxaybxayabyxyx=+++=++17102102bxayabyx+=+…，当且仅当1bxayyxabxy=+=时取等号，则28ab=，即16ab=，解得：28ab==或82ab==；(3)解法一：由题意，211xy+=，则

21xyxy+=，则2xyxy+=；因为不等式2(2)(2)xymxy−+…恒成立，则2(2)2xymxy−+„，又2222(2)44(2)8222xyxyxyxyxyxyxyxy−+−+−==+++2(2)8(2)(2)82xyxyxyxy+−+==+−+；且2

1(2)8(2)()8xyxyxy+−=++−442284xyxyyxyx=+++−=+−4240xyyx−=…，当且仅当4211xyyxxy=+=，即4x=，2y=时取等号；所以m的取值范围是0m„；法二：因

为不等式2(2)(2)xymxy−+…恒成立，则2(2)2xymxy−+„，则2min(2)()2xymxy−+„；18因为20xy+，2(2)0xy−…，当，即4x=，2y=时，2min(2)()

02xyxy−=+，所以m的取值范围是0.m„【解析】本题考查利用基本不等式求最值，也考查了不等式恒成立问题，属于较难题．(1)由题意，利用基本不等式求得xy+的最小值；(2)由题意，利用基本不等式求得xy+取最小

值时a、b的值；(3)解法一，由题意，利用分离常数法和基本不等式，求得m的取值范围；解法二，利用分离常数法和构造函数求函数的最值，从而求得m的取值范围．21.【答案】解：(1)过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，，则PNF与MPE相似，从而PFN

FEMPE=，所以2121nm−=−，即211.mn+=(2)欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN的面积12Smn=最小．由212112mnmn=+…得，8mn…，当且仅当21mn=，即4m=，2n=时，“=”成立，故当4m=，2n=时，剩下木板MBCDN的

面积最大.(3)欲使剩下木板的外边框长度最大，即要mn+最小．由(1)知，，19当且仅当2nmmn=即22m=+，21n=+时，“=”成立，故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时22m=+，21.n=+【解析】

本题考查了利用基本不等式求解实际问题，属于较难题.(1)先过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，可得到PNF与MPE相似，从而得到211mn+=；(2)由题意利用基本不等式即可得到12Smn=的最小值，从而得到剩下木板的面积最大；(3)由题意知要使mn+最小，再由(1)得到的211mn

+=与mn+相乘，利用基本不等式即可得到mn+的最小值，最后即可得到剩下木板的外边框长度的最大值.