【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第三章 函数、导数及其应用 考点测试9 函数的奇偶性与周期性 含解析【高考】.doc，共(14)页，185.000 KB，由小赞的店铺上传

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1考点测试9函数的奇偶性与周期性高考概览本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判

断、应用简单函数的周期性一、基础小题1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(－x)＝f(3＋x)，f(2021)＝2，则f(1)的值是()A．－1B．－2C．1D．2答案B解析奇函数f(x)满足f(－x)＝f(3＋x)＝－f(x)，－f(x＋

3)＝f(x＋6)＝f(x)，则f(2021)＝f(－1)＝－f(1)＝2，则f(1)＝－2.故选B.2．设函数f(x)＝log2（1－x）（x<0），g（x）＋1（x>0），若f(x)是奇函数，则g

(3)的值是()A．1B．3C．－3D．－1答案C解析因为函数f(x)＝log2（1－x）（x<0），g（x）＋1（x>0），且f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)，所以log2(1＋3)＝－[g(3)＋1]，

则g(3)＝－3.故选C.3．已知f(x)不是常数函数，∀x∈R有f(8＋x)＝f(8－x)且f(4＋x)＝f(4－x)，则f(x)满足()A．是奇函数不是偶函数2B．是奇函数也是偶函数C．是偶函数不是奇函数D．既不是奇函数也不是偶函数答案C解析f(8＋x)＝f(8

－x)，则f(x)的图象关于直线x＝8对称，f(4＋x)＝f(4－x)，则f(x)的图象关于直线x＝4对称，则f(x)的图象关于直线x＝0对称，是偶函数，又f(x)不是常数函数，则f(x)不能恒等于0，不是奇函数．故选C.4．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时

，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，fx＋12＝fx－12，则f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．2答案D解析当x>0时，x＋12>12，所以fx＋12＋12＝fx＋12－1

2，即f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5)＝f(4)＝…＝f(1)＝－f(－1)＝2.故选D.5．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB．12(ex＋e－x)C．ex＋e－xD．12(ex－e－x)答案

D解析因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝12(ex－e－x).故选D.6．已知偶函数fx＋π2，当x∈－π2，π2时，f(x)＝x13＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则()

A．a<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．c<a<b答案D3解析∵当x∈－π2，π2时，y＝sinx为增函数，y＝x13也为增函数，∴函数f(x)＝x13＋sinx在－π2，π2上也为增函数．∵函数fx＋π2为偶函数，∴f－x＋π2＝

fx＋π2，f(x)的图象关于直线x＝π2对称，∴f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，∵0<π－3<1<π－2<π2，∴f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即c<a<b.故选D.7．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数

，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．[－1，1]C．(－∞，2]D．[－2，2]答案B解析因为函数f(x)为偶函数

，且在(－∞，0]上是增函数，所以函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1，2]恒成立等价于f(a)≥f(x)max＝f(1)，所以|a|≤1，解得－1≤a≤1，即实数a的取值范围为[－1，1].故选B.8．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x

)＝f(x＋2)，当x∈[3，4]时，f(x)＝2x，则下列不等式中正确的是()A．fsin12<fcos12B．fsinπ3>fcosπ3C．f(sin1)<f

(cos1)D．fcos32<fsin32答案C解析x∈[3，4]时，f(x)＝2x，故偶函数f(x)在[3，4]上是增函数，T＝2，∴偶函数f(x)在[－1，0]上是增函数，∴f(x)在[0，1]上是

减函数．对于A，0<sin12<cos12<1，∴fsin12>fcos12；对于B，1>sinπ3>cosπ3>0，∴fsinπ3<fcosπ3；对于C，41>sin1>cos1>0，∴f(sin1)<f(cos1)；对于D，0<cos32<si

n32<1，∴fcos32>fsin32.故选C.9．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)为周期函数C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋4)为偶函数答案ABC解析∵f(x

＋1)与f(x＋2)都为奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)①，f(－x＋2)＝－f(x＋2)②，∴由①可得f[－(x＋1)＋1]＝－f(x＋1＋1)，即f(－x)＝－f(x＋2)③，∴由②③得f

(－x)＝f(－x＋2)，∴f(x)的周期为2，∴f(x)＝f(x＋2)＝－f(－x)，则f(x)为奇函数，∴f(x＋1)＝f(x＋3)，则f(x＋3)为奇函数．故选ABC.10．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－

f(x)，且在[－2，0]上是增函数，下列关于f(x)的判断正确的是()A．f(x)的图象关于点P(1，0)对称B．f(0)是函数f(x)的最大值C．f(x)在[2，3]上是减函数D．f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z答案ABD

解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1，0)对称，所以A正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(

x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k∈Z)，所以D正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2，0]上是增函数，所以f(x)在[2，4]上也是增函数，因此C不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(

x)在[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以B正确．故选ABD.11．若f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则实数a＝________．答案1解析因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝

0恒成立，所以－xln(－x＋5a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，所以xlna＝0恒成立，所以lna＝0，即实数a＝1.12．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x

的不等式f(x)·g(x)<0的解集是________．答案(－4，－2)∪(0，2)解析当x∈(－4，0)时，f(x)·g(x)<0，又g(x)<0，则f(x)>0，所以－4<x<－2；当x＝0时，g(

x)＝0，则f(x)·g(x)＝0，不符合题意，舍去；当x∈(0，4)时，f(x)·g(x)<0，又g(x)>0，则f(x)<0，所以0<x<2，所以解集为(－4，－2)∪(0，2).二、高考小题13．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝1－x1＋x，则下列函数中为奇

函数的是()A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1答案B解析解法一：因为f(x)＝1－x1＋x＝－1＋2x＋1，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称

，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B.解法二：因为f(x)＝1－x1＋x，所以f(x－1)＝1－（x－1）1＋（x－1）＝2－xx，f(x＋1)＝1－（x＋1）1＋（x＋1）＝－xx＋2.对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝2－xx－1＝2－2xx，定义域关

于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝2－xx＋1＝2x，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；对于C，f(x＋1)－1＝－xx＋2－1＝－62x＋2

x＋2，定义域不关于原点对称；对于D，f(x＋1)＋1＝－xx＋2＋1＝2x＋2，定义域不关于原点对称．故选B.14．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则()A．f－12＝0B．f(－1)＝0C．f(2)＝0D．f(4

)＝0答案B解析因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所

以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(2x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，

故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知．故选B.15．(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f92＝()A．－94B．－32C．74D．52答案D

解析因为f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(1)＝0，即a＋b＝0，所以b＝－a，所以f(0)＝f(－1＋1)＝－f(1＋1)＝－f(2)＝－4a－b＝－3a，又f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(3)＝f

(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝0，由f(0)＋f(3)＝6，得a＝－2.所以f92＝f2＋52＝f2－52＝f－12＝f－32＋1＝－f32＋1＝－f12＋2＝－f－12＋2

＝－f32＝－94a－b＝－54a＝52.故选D.16．(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．答案17解析设g(x)＝a·2x

－2－x，h(x)＝x3.因为函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是R上的偶函数，函数h(x)＝x3是R上的奇函数，所以函数g(x)＝a·2x－2－x是R上的奇函数，故g(0)＝a·20－2－0＝a－1＝0，因此a＝1.17

．(2020·江苏高考)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x23，则f(－8)的值是______．答案－4解析f(8)＝823＝4，因为f(x)为奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－4.三、模拟小题18．(2022·湖北新高考联考协作体高三上

新起点考试)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a2x－a－2x＋1(a>0，a≠1)，则f(1)＝()A．－1B．0C．1D．2答案C解析由已知可得f(1)＋g(1)＝a2－a－2＋1，f(－1)＋g(－1)＝a－2－a2＋1

，因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(1)－g(1)＝a－2－a2＋1，联立f（1）＋g（1）＝a2－a－2＋1，f（1）－g（1）＝a－2－a2＋1，解得f(1)＝1.故选C.19．(2022·河北衡水深州长江中学高三上开学考试)已知函数y＝f(x＋1

)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(－∞，1)上单调递减，f(2)＝0，则f(x)f(x＋1)<0的解集为()A.(－2，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，2)C．(－1，2)D．(－2，1)答案B解析因为函

数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．由f(x)在(－∞，1)上单调递减，得f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且f(0)＝f(2)＝0，所以当x<0或x>2时，f(x)>0，当0<x<2时，f(x)<0.函数f(x)的图象

如图所示，f(x)f(x8＋1)<0等价于f（x）>0，f（x＋1）<0或f（x）<0，f（x＋1）>0，即x<0或x>2，0<x＋1<2或0<x<2，x＋1<0或x＋1>2，解得－1<x<0或1<x

<2.故选B.20．(2021·陕西咸阳一模)设f(x)为R上的奇函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且当0≤x≤2时，f(x)＝xex，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝()A．2

e＋2e2B．50e＋50e2C．100e＋100e2D．－2e－2e2答案A解析由f(2－x)＝f(2＋x)得f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)为R上的奇函数，∴f(x)是以8为周期的周期函数．∵f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4

)＋f(－1)＋f(－2)＋f(－3)＋f(－4)＝0，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2e＋2e2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝12×[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝2e＋2e2.故选A.21．(多选)(2021·福建省永

安市第三中学高三月考)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，若y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1，x2∈(0，2)，x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，则下列结论正

确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)的周期T＝4C．f(2022)＝0D．f(x)在(－4，－2)上单调递减答案ABC解析由y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(1＋x－1)＝f(1－x－1)，9即f(－x)＝f(x)，故f(x)

是偶函数，A正确；由f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，令x＝－2，可得f(2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)，则f(x)的周期T＝4，B正确；f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0，故C正确；又f(x)在(0，2)上单调递增，周期T＝4，则f(x)在(－4，－2)上单调递增，

故D错误．故选ABC.22．(多选)(2021·三湘名校教育联盟高三联考)已知奇函数f(x)的定义域为R，且满足：对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x＋1).当0≤x≤12时，f(x)＝log2(1＋x)，则下列说法正确的是()A．f(x)的周期为2B．若i∈N*，则∑ni＝1

f(i)＝0C．点(－1，0)为f(x)的一个对称中心D．∑2021i＝1fi2＝log2321011答案ABC解析因为f(x)为奇函数，f(－x)＝f(x＋1)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝12对称，所以f(x)＝

－f(x＋1)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2)，故f(x)的周期T＝2，A正确；当0≤x≤12时，f(x)＝log2(1＋x)，所以f(1)＝f(0)＝f(2)＝0，所以若i∈N*，则∑ni＝1f(i)＝0，B正确；因为f(－2－x)＝f(－x)＝－f(x)，点(－1，0)为f(x)的一个

对称中心，C正确；当i＝2k时，fi2＝f(k)＝0，当i＝4k＋1时，fi2＝f2k＋12＝f12，当i＝4k＋3时，fi2＝f2k＋32＝f

1＋12＝f－12＝－f12，所以∑2021i＝1fi2＝log232，D错误．故选ABC.23.(多选)(2021·山东省兖州市高三质量检测)在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚

动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是()A.函数y＝f(x)是奇函数10B．对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C．函数y＝f(x)的值域为[0，22]D．函数y＝f(x)在区间[6，8

]上单调递增答案BCD解析由题意，当－4≤x＜－2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(－2，0)为圆心，2为半径的14圆；当－2≤x＜2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点D(0，0)为圆心，22为半径的14圆

；当2≤x＜4时，顶点B(x，y)的轨迹是以点C(2，0)为圆心，2为半径的14圆；当4≤x＜6时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(6，0)为圆心，2为半径的14圆，与－4≤x＜－2的形状相同，因此函数y＝f

(x)在[－4，4]上的图象恰好为一个周期的图象，所以函数y＝f(x)的周期是8，其图象如下：由图象及题意可得，该函数为偶函数，故A错误；因为函数的周期为8，所以f(x＋8)＝f(x)，因此f(x＋4)＝f(x－4)，故B正

确；由图象可得，该函数的值域为[0，22]，故C正确；因为该函数是以8为周期的函数，因此函数y＝f(x)在区间[6，8]上的图象与在区间[－2，0]上的图象形状相同，因此单调递增，故D正确．故选BCD.24．(2021

·新高考八省联考)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________．答案sinπx(答案不唯一)解析由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)＝Asin11ωx(A≠0，ω>0)，满足f(－x)＝－sinωx＝－f(x)，即是奇函数；根据最小正周期T＝2πω＝2，可得ω＝π.

故函数可以是f(x)＝Asinπx(A≠0)中的任一个，可取f(x)＝sinπx.25．(2022·河北邯郸高三上开学摸底考试)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－1f（x），当x∈(0，2]时，f(x)＝2x，则f(0)＝________，flog4364＝______

__．答案－1423解析函数f(x)满足f(x＋2)＝－1f（x），可得f(x＋4)＝－1f（x＋2）＝f(x)，所以函数的周期T＝4，所以f(0)＝－1f（2）＝－14，flog4364＝f(log43－3)＝f(log43＋1)＝2log43＋1＝2×2

12log23＝2×2log2312＝23.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·上海徐汇区模拟)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝lg（1－x2）|x－2|－2；(3)f(x)＝x2＋x，x<0，－

x2＋x，x>0.解(1)由3－x2≥0，x2－3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．12(2)由1－x2>0，|x－2|

≠2，得f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg（1－x2）－x.又f(－x)＝lg[1－（－x）2]x＝－lg（1－x2）－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)显然

函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x).综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴f(x

)为奇函数．2．(2022·安徽省巢湖市第四中学模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2x，x>0，0，x＝0，x2＋mx，x<0是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解(

1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)由(1)可画出f(x)的图象如图所

示，知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．13结合f(x)的图象知a－2>－1，a－2≤1，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3].3．(2021·山东临沂高三阶段考试)设f(x)是(－∞，＋∞)上的

奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．解(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为

周期的周期函数．所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x).从而可知函数f(x)的图象关于直

线x＝1对称.又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×12×2×1＝4.4．(2021·青海模拟)设f(x)是定义在R上不恒为0

的奇函数，对任意实数x都有f32＋x＝－f32－x恒成立.14(1)证明f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；(3)若g(x)＝x2＋ax＋

3，且y＝|f(x)|g(x)是偶函数，求实数a的值．解(1)由f32＋x＝－f32－x，且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f32＋32＋x＝－f32－32＋x＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)是

周期函数，且T＝3是其一个周期．(2)因为f(x)为定义在R上不恒为0的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，又因为T＝3是f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y＝|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(

－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数.故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以实数a＝0.