【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第三章 函数、导数及其应用 考点测试10 幂函数与二次函数 含解析【高考】.doc，共(15)页，248.500 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-18123fb80f82383381c8d4bc82835a1b.html

以下为本文档部分文字说明：

1考点测试10幂函数与二次函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解幂函数的概念2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12的图象，了解它们的变化

情况3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、基础小题1．若a＝1223，b＝1523，c＝1213，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．c<a<bC．b<c<aD．b<a

<c答案D解析因为y＝x23在第一象限内是增函数，所以a＝1223>b＝1523，因为y＝12x是减函数，所以a＝1223<c＝1213，所以b<a<c.2．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成

等比数列，且f(0)＝－4，则f(x)()A．有最小值－4B．有最大值－4C．有最小值－3D．有最大值－3答案D解析由a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，得c＝－4，b2＝ac.显然a<0，故f(x)

有2最大值，最大值为4ac－b24a＝4ac－ac4a＝3c4＝－3.故选D.3．已知函数f(x)＝x2－2x＋m，若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则fx1＋x22的值为()A．1B．2C．m－1D．m答案

C解析由题意知，函数图象的对称轴为直线x＝x1＋x22＝1，所以fx1＋x22＝f(1)＝m－1.故选C.4.幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1B．－1<

n<0<1<mC．－1<m<0<1<nD．－1<n<0<m<1答案D解析在第一象限作出幂函数y＝x，y＝x0的图象，在(0，1)内作直线x＝x0与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知－1<n<0<m<1，故选D.5．若函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域都是[1，b]，则实数b＝()

A．3B．2或3C．2D．1或23答案C解析二次函数图象的对称轴为直线x＝1，它在[1，b]上为增函数，所以f（1）＝1，f（b）＝b2－2b＋2＝b，b>1，解得b＝2.故选C.6．若二次函数y＝kx2

－4x＋2在区间[1，2]上单调递增，则实数k的取值范围为()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，2)答案A解析二次函数y＝kx2－4x＋2的图象的对称轴为直线x＝2k，当k>0时，要使y＝kx2－

4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k≤1，解得k≥2.当k<0时，2k<0，此时二次函数图象的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上递减，不符合要求．综上可得，实数k的取

值范围是[2，＋∞).7．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(x)的图象关于y轴对称，则f(－2)的值为()A．16B．8C．－16D．－8答案A解析∵幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)的图象关于y轴对称，∴f(x)为偶函数，又幂函数f(x

)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m2＋2m＋3是偶数，且－m2＋2m＋3>0，∵m∈Z，∴m＝1，∴幂函数f(x)＝x4，f(－2)＝16.故选A.8．已知二次函数f(x)＝x2＋px＋q通过点(α，0)，(β，0).若存

在整数n，使n<α<β<n＋1，则min{f(n)，f(n＋1)}与14的大小关系为()A．min{f(n)，f(n＋1)}>144B．min{f(n)，f(n＋1)}<14C．min{f(n)，f(n＋1

)}＝14D．不能确定，与n的具体取值有关答案B解析由二次函数通过点(α，0)，(β，0)，有恒等式f(x)＝(x－α)(x－β)①.取x＝n，n＋1(n<α<β<n＋1)代入①，有f(n)＝(n－α)(n－β)>0，f(n＋1)＝(n＋1－α)

(n＋1－β)>0.两式相乘得0<f(n)f(n＋1)＝(n－α)(n－β)·(n＋1－α)(n＋1－β)＝(α－n)(n＋1－α)(β－n)(n＋1－β)≤（α－n）＋（n＋1－α）22·（β－n）＋

（n＋1－β）22＝142，当且仅当α－n＝n＋1－α，β－n＝n＋1－β，即α＝2n＋12，β＝2n＋12时取等号，又α≠β，∴0＜f(n)f(n＋1)＜142.令min{f(n)，f(n＋1)}＝k，

则0＜k≤f(n)，0＜k≤f(n＋1)，∴k2≤f(n)f(n＋1)＜142，即k＜14.从而，min{f(n)，f(n＋1)}<14.故选B.9．(多选)已知幂函数f(x)＝m＋95xm，则下列结论正确的有()A．

f(－32)＝116B．f(x)的定义域是RC．f(x)是偶函数D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3]答案ACD解析由幂函数f(x)＝m＋95xm，∴m＋95＝1，∴m＝－45，∴f(x)＝x－45，定义域为(－∞，0)∪

(0，＋∞)，故B错误；f(－32)＝(－32)－45＝116，故A正确；f(x)5＝x－45＝15x4，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f(－x)＝15（－x）4＝15x4＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故C正确；∵f(x)＝x－45，∴f(x)在

(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，不等式f(x－1)≥f(2)等价于f(|x－1|)≥f(2)，∴x－1≠0，|x－1|≤2，解得－1≤x＜1或1＜x≤3，故D正确．故选ACD.10．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则下列结论正确的是

()A.函数f(x)的最小值为－4B．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增C．函数f(|x|)为偶函数D．若方程f(|x－1|)＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝4答案ACD解析二次函数f(x)在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值

f(1)＝－4，故A正确；二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，其在(0，＋∞)上不单调，故B错误；f(|x|)＝|x|2－2|x|－3，显然f(|x|)为偶函数，故C正确；令h(x)＝f(|x－1|)＝|x－1|2－2|x－1|－3，方程f(|x－1|)＝a的零

点转化为y＝h(x)的图象与直线y＝a的交点，作出h(x)的图象如图所示，图象关于x＝1对称，当y＝h(x)的图象与直线y＝a有四个交点时，两两分别关于x＝1对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故D正确．

故选ACD.611．已知幂函数f(x)过定点8，12，且满足f(a2＋1)＋f(－5)>0，则实数a的取值范围为________．答案(－2，2)解析设幂函数y＝f(x)＝xα，其图象过点8，

12，所以8α＝12，即23α＝2－1，解得α＝－13，所以f(x)＝x－13.因为f(－x)＝(－x)－13＝－f(x)，所以f(x)＝x－13为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，所以f(a2＋1)＋f(－5)>0可化为f(a2＋1)>－f(－5

)＝f(5)，可得a2＋1<5，解得－2<a<2，所以实数a的取值范围为(－2，2).12．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝______．答案x2－4x＋3解析因为f

(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．又因为y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3，所以二次函数f(x)的图象与x轴的两交点坐标为(1，0)和(

3，0)，因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.二、高考小题13．(2019·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝x12B．y＝2－x

C．y＝log12xD．y＝1x答案A解析y＝x12＝x，y＝2－x＝12x，y＝log12x，y＝1x的图象如图所示．7由图象知，只有y＝x12在(0，＋∞)上单调递增．故选A.14．(2019·全国Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈

(0，1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－89，则m的取值范围是()A．－∞，94B．－∞，73C．－∞，52D．－∞，83答案B解析∵当x∈(0，1]时，f(x

)＝x(x－1)，∴当x∈(0，1]时，f(x)∈－14，0；∵f(x＋1)＝2f(x)，∴当x∈(－1，0]时，x＋1∈(0，1]，f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)x，f(x)∈－18，0；当x∈(－2，－1]时，x＋1∈(－1

，0]，f(x)＝12f(x＋1)＝14(x＋2)(x＋1)，f(x)∈－116，0；…；当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)，f(x)∈－12，0；当x∈(2，3]时，x－1∈(1，2]，f(x)＝2f(

x－1)＝4(x－2)(x－3)，f(x)∈[－1，0]；….f(x)的图象如图所示．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－89，设f(m)＝－89，则4(m－2)(m－3)＝8－89，∴m＝73或m＝83.结合图象可知，当m≤73时，符合题意．

故选B.15．(2017·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关答案B解析解法一：设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与

最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.解法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函

数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，函数值变化相同，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，函数值变化不同

，则M－m的值在变化，故与a有关．故选B.16．(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b答案A解析因为a＝243＝423，c＝2513＝52

3，函数y＝x23在(0，＋∞)上单调递增，所以423<523，即a<c，又因为函数y＝4x在R上单调递增，所以425<423，即b<a，所以b<a<c.故选A.17．(2018·上海高考)已知α∈－2，－1，－12，1

2，1，2，3.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．9答案－1解析∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.三、模拟小题

18．(2022·四川省宜宾市第四中学模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为()A．－1B．0C．1D．－2答案D解析函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上

单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.19．(2022·河北衡水深州长江中学高三上开学考试)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝f(5－12)，则a，b，

c的大小关系是()A．a>c>bB．a>b>cC．b>a>cD．b>c>a答案C解析由2f(2)＝f(16)可得2·2α＝24α，∴1＋α＝4α，∴α＝13，即f(x)＝x13.由此可知函数f(x)在R上单调递增．而由换底公式可得log42＝log22log24＝12，l

n2＝log22log2e，5－12＝15，∵1<log2e<2，∴log22log24<log22log2e，于是log42<ln2，又15<12，∴5－12<log42，故a，b，c的大小关系是b>a>c.故选C.20．(2022·北京

交通大学附属中学高三上开学考试)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个不可能是()A．f(－1)B．f(1)C

．f(2)D．f(5)答案B10解析∵对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝2，当a>0时，自变量取值离对称轴距离越近，函数值越小，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)

中，最小的一个是f(2).当a<0时，自变量取值离对称轴距离越远，函数值越小，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5).故选B.21．(2021·湖北荆州质量检查)若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是()A．(－

∞，－2]B．(－∞，－1]C．(－∞，0]D．[0，＋∞)答案B解析因为(3x＋a)3≤8x3，y＝x3在R上递增，所以3x＋a≤2x，可得x≤－a，即x∈(－∞，－a]，因为对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，所以[

a，a＋2]是(－∞，－a]的子集，所以a＋2≤－a，所以a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].故选B.22．(多选)(2021·河北省邢台市质量检测)设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出如下命题，其中正确的是()A．c＝0时，y＝f(x)是奇函数B．b＝0，c＞0时，方

程f(x)＝0只有一个实数根C．y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称D．方程f(x)＝0最多有两个实根答案ABC解析由题意，当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，此时f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b＝0，c＞

0时，f(x)＝x·|x|＋c，若x≥0，f(x)＝0无解，若x＜0，f(x)＝0有一解x＝－c，B正确；∵g(x)＝x|x|＋bx为奇函数，图象关于(0，0)对称，11∴f(x)＝x|x|＋bx＋c的图象关于点(0，c)对称，C正

确；f(x)的图象可能如图，方程f(x)＝0有三个实根，D不正确．故选ABC.23．(多选)(2021·江苏扬州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x－1，x≥0，x2－2x－1，x<0，则对任意x1，x2∈R，若0

<|x1|<|x2|，下列结论成立的是()A．f(x)在R上为偶函数B．f(x1)＋f(x2)>0C．f(x)有最小值－1D．f(x1)－f(x2)<0答案ACD解析函数f(x)的图象如图中实线部分所示，且f(－x)＝f(x)，从而

f(x)是偶函数，有最小值－1，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且0<|x1|<|x2|，所以f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.故选ACD.24．(2022·湖南岳阳模拟)设函数f(x)＝

x3，x≤a，－2x，x＞a.若a＝0，则f(x)的最大值为________；若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．答案0(－∞，0)解析若a＝0，则f(x)＝x3，x≤0，－2x，x＞0，当x≤0时，f(x)＝x3，此时函数为增函数

，12当x＞0时，f(x)＝－2x，此时函数为减函数，故当x＝0时，f(x)的最大值为f(0)＝0.当a＞0时，f(x)＝x3，x≤a，－2x，x＞a的图象如图1所示，由图可知存在最大值；图1图2当a＜0时，f(x)＝x3，x≤a，－2x，x＞a的图象如图2所示，由图可知此时

不存在最大值；已证当a＝0时，函数f(x)有最大值．综上所述，若f(x)无最大值，则a＜0.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·四川绵阳高三阶段测试)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R).(1)若函数f

(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝f（x），x>0，－f（x），x<0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范

围．解(1)由已知得c＝1，a－b＋c＝0，－b2a＝－1，13解得a＝1，b＝2，则f(x)＝(x＋1)2.则F(x)＝（x＋1）2，x>0，－（x＋1）2，x<0.故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f(

x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0，1]上恒成立．又当x∈(0，1]时，1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.故b的取值

范围是[－2，0].2．(2021·广东汕头质检)已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为

集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要条件，求实数k的取值范围．解(1)依题意得，(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.(2)由(1)得，f

(x)＝x2，当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，即B＝[2－k，4－k)，由于p是q的必要条件，则B⊆A，则2－k≥1，4－k≤4，即k≤1，k≥0，得0≤k≤1.故实

数k的取值范围为[0，1].3．(2021·辽宁大连模拟)已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.(1)若函数f(x)在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[a，a＋1]上的最大值为3，求a的

值.解(1)由Δ＝16－4(a＋3)≥0，得a≤1.故实数a的取值范围是(－∞，1].14(2)f(x)＝(x－2)2＋a－1.当|a－2|≥|a＋1－2|，即a≤32时，f(x)max＝f(a)＝a2－3a＋3＝3，解得a＝0或a＝3(舍去)；当|a－2

|<|a＋1－2|，即a>32时，f(x)max＝f(a＋1)＝a2－a＝3，解得a＝1＋132或a＝1－132(舍去).综上，a＝0或a＝1＋132.4．(2021·甘肃甘谷第一中学第一次检测)已知函数g(x)＝x2－(m－1)x＋m－7.(1)若函数g(x)在[2，4]上具有单调性，求实数

m的取值范围；(2)若在区间[－1，1]上，函数y＝g(x)的图象恒在y＝2x－9的图象上方，求实数m的取值范围．解(1)g(x)图象的对称轴为直线x＝m－12，因为函数g(x)在[2，4]上具有单调性，所以有m－12≤2或m－12≥4，所以实数m的取值范围为(－∞，5]∪

[9，＋∞).(2)因为在区间[－1，1]上，函数y＝g(x)的图象恒在y＝2x－9的图象上方，则x2－(m－1)x＋m－7>2x－9在[－1，1]上恒成立，即x2－(m＋1)x＋m＋2>0在[－1，1]上恒成立，令f(x)＝x2－(m＋1)x＋m＋2

，x∈[－1，1]，则f(x)min>0，当m＋12≤－1，即m≤－3时，f(x)min＝f(－1)＝2m＋4>0，解得m>－2，无解；当－1<m＋12<1，即－3<m<1时，f(x)min＝fm＋12＝－m24＋12m＋74>0，此时1－22

<m<1；当m＋12≥1，即m≥1时，f(x)min＝f(1)＝2>0，此时m≥1.15综上，实数m的取值范围为(1－22，＋∞).