【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第三章 函数、导数及其应用 考点测试14 函数与方程 含解析【高考】.doc，共(18)页，427.000 KB，由小赞的店铺上传

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1考点测试14函数与方程高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、高等难度考点研读结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数一、基础小题1．下列函数图象与x轴均有公

共点，其中能用二分法求零点的是()答案C解析能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)f(b)<0.A，B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．故选C.2．函数f(x)＝2x－6x＋1的零点x0所在的区间为()A．(－1，0)B

．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)答案C解析∵f(x)在区间(－1，＋∞)上是增函数，且f(1)＝－1<0，f(2)＝2>0，∴f(x)的零点x0∈(1，2).故选C.3．已知函数f(x)＝15x－log3

x，若x0是函数f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值()A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于02答案A解析因为函数f(x)＝15x－log3x在(0，＋∞)上是减函数，所以当0<x1<

x0时，有f(x1)>f(x0).又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)>0，即此时f(x1)的值恒为正值．故选A.4．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，

则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A．(0，0.5)，f(0.125)B．(0.5，1)，f(0.875)C．(0.5，1)，f(0.75)D．(0，0.5)，f(0.25)答案D解析∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<

0，f(0.5)>0，∴f(0)f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25).故选D.5．方程x2＝ex的实根个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析令g(x)＝ex－x2，可得g′(x)＝ex－2x，令h(x)＝g

′(x)，则h′(x)＝ex－2，可知g′(x)在x∈(－∞，ln2)上是减函数，在x∈(ln2，＋∞)上是增函数；g′(x)的最小值为g′(ln2)＝2－2ln2>0，所以g(x)＝ex－x2在R上是增函数，g(－1)＝1e－1<0，g(0)＝1>

0，所以函数g(x)＝ex－x2在R上有一个零点．即方程x2＝ex在R上有一个实数根．故选B.6．已知自变量和函数值的对应值如下表：3则方程12x＝lgx的一个根位于区间()A．(1.2，1.

4)B．(1.6，1.8)C．(1.8，2.0)D．(2.2，2.4)答案C解析令f(x)＝12x，g(x)＝lgx，因为f(1.8)≈0.287，g(1.8)≈0.255，f(2.0)＝0.250，g(2.0)≈0.301.令h(x)＝12x－lgx，则h(1.

8)>0，h(2.0)<0.故选C.7．函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lgx，x>0的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析当x≤0时，f(x)＝x2－2，令f(x)＝0，解得x＝－2.当x>0时，f

(x)＝2x－6＋lgx，则f(x)＝0的解等价于函数y＝6－2x与y＝lgx的图象在x>0时的交点的横坐标，作出函数y＝6－2x与y＝lgx的图象如图所示．由图可知，此时两图象有一个交点，故x>0时，f(x)＝0有一个解．综上，f(x)共有两个零点．故选C.8．已知函数f(x)＝0，x≤0

，ex，x>0，则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是()A．[0，1)4B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞)D．(－∞，0]∪(1，＋∞)答案D解析函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x

＝x，x≤0，ex＋x，x>0的大致图象(图略).观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点.9．(多选)已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，则关于x的方程f(x)＝k的根的情况，下列结论正确的是()A．当k＝1时

，方程有一个实根B．当k＞1时，方程有两个实根C．当k＝0时，方程有一个实根D．当k≥1时，方程有实根答案ABD解析方程f(x)＝k化为e|x|＝k－|x|，设y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜

率为1或－1的折线，折线与曲线y1＝e|x|恰好有一个公共点时，k＝1.如图，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞).故选ABD.10．(多选)已知函数f(x)＝－x2－2x，

x≤0，|log2x|，x＞0，若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是()A．x1＋x2＝－15B．x3x4＝1C．1＜x4＜2D．0＜x1x2x3x4＜1答案BCD解析画出函数f(x)的大致图象如右图，得出x1＋x2＝－2，－lo

g2x3＝log2x4，则x3x4＝1，A不正确，B正确；由图可知1＜x4＜2，C正确；因为－2＜x1＜－1，x1x2＝x1(－2－x1)＝－x21－2x1＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)，所以x1

x2x3x4＝x1x2∈(0，1)，D正确．故选BCD.11．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．答案(－2，1)解析函数f(x)的大致图象如图所示，则

f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得－2<a<1.故实数a的取值范围是(－2，1).12．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x)＋f(2－x)＝0，且当x∈(0，1)时，f(x)＝x2，则f(1)＝________；若g(x)＝f(x)－lg

x，则函数g(x)的零点共有________个．答案05解析由f(x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(1)＋f(1)＝0，解得f(1)＝0；由f(x)6＋f(2－x)＝0，得f(2－x)＝－f(x)，因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(－x)

＝－f(x)，则f(2－x)＝f(－x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数，g(x)的零点个数即函数y＝f(x)与y＝lgx图象的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，由图可知两函数的图象有5个交点，即函数g(x)的零点共有5个．二、高考小题13．(2021·天津高考

)设a∈R，函数f(x)＝cos（2πx－2πa），x<a，x2－2（a＋1）x＋a2＋5，x≥a.若f(x)在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则a的取值范围是()A.2，94∪52，114B．74，2∪52，114C．

2，94∪114，3D．74，2∪114，3答案A解析因为x2－2(a＋1)x＋a2＋5＝0最多有2个根，所以cos(2πx－2πa)＝0至少有4个根，由2πx－2πa＝π2＋kπ，k∈Z可得x＝k2＋14＋a，k∈Z，由0<k2＋14＋a<a可得－2a

－12<k<－12.①当x<a时，当－5≤－2a－12<－4时，f(x)有4个零点，即74<a≤94；当－6≤－2a－12<－5，f(x)有5个零点，即94<a≤114；当－7≤－2a－12<－6，f(x)有6个零点，即114<a≤134；②当x≥

a时，f(x)＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5，Δ＝4(a＋1)2－4(a2＋5)＝8(a－2)，当a<2时，Δ<0，f(x)无零点；当a＝2时，Δ＝0，f(x)有1个零点；当a>2时，令f(a)＝a2－2a(a＋1)＋a2＋5＝－2a＋5≥0，则2<a≤52，7此

时f(x)有2个零点；所以当a>52时，f(x)有1个零点．综上，要使f(x)在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则应满足74<a≤94，2<a≤52或94<a≤114，a＝2或a>52或114<a≤134，a<2，则可解得a的取

值范围是2，94∪52，114.14．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝x3，x≥0，－x，x＜0.若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k

的取值范围是()A．－∞，－12∪(22，＋∞)B．－∞，－12∪(0，22)C．(－∞，0)∪(0，22)D．(－∞，0)∪(22，＋∞)答案D解析注意到g(0)＝0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需

方程|kx－2|＝f（x）|x|恰有3个实根即可，令h(x)＝f（x）|x|，即y＝|kx－2|与h(x)＝f（x）|x|的图象有3个不同交点．因为h(x)＝f（x）|x|＝x2，x＞0，1，x＜0，当k＝0时，y＝2，如图1，y＝2与h(x)＝f（x）|x|的图

象有1个交点，不满足题意；当k＜0时，如图2，y＝|kx－2|与h(x)＝f（x）|x|的图象恒有3个不同交点，满足题意；当k＞0时，如图3，当y＝kx－2与y＝x2的图象相切时，联立方程得x2－kx＋2＝0，令Δ＝0得k2－8＝0，解得k＝22(负值舍去)，所以k＞2

2.综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞).故选D.815．(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5答案B解析令f(x

)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函数f

(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B.16．(2019·天津高考)已知函数f(x)＝2x，0≤x≤1，1x，x>1.若关于x的方程f(x)＝－14x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A．54，94B．54，94

C．54，94∪{1}D．54，94∪{1}答案D解析如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－14x＋a的图象．9(1)先研究当0≤x≤1时，直线y＝－14x＋a与y＝2x的图象只有一个交点的情况．当直线y＝－14x＋a过点B(1，2

)时，2＝－14＋a，解得a＝94.所以0≤a≤94.(2)再研究当x>1时，直线y＝－14x＋a与y＝1x的图象只有一个交点的情况：①相切时，由y′＝－1x2＝－14，得x＝2，此时切点为2，12，则a＝1.②相交时

，由图象可知直线y＝－14x＋a从过点A向上移动时与y＝1x的图象只有一个交点．过点A(1，1)时，1＝－14＋a，解得a＝54.所以a≥54.结合图象可得，所求实数a的取值范围为54，94∪{1}．故选D.17．(2

019·浙江高考)设a，b∈R，函数f(x)＝x，x<0，13x3－12（a＋1）x2＋ax，x≥0.若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则()A．a<－1，b<0B．a<－1，b>0C．a>－1，b<0D．a>－1，b>0答案C解析由题意，b＝f(x)－ax＝（1－

a）x，x<0，13x3－12（a＋1）x2，x≥0.设y＝b，g(x)＝（1－a）x，x<0，13x3－12（a＋1）x2，x≥0.即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.10①当a<－1时，1－a>0

，可知g(x)在(－∞，0)上单调递增；由g′(x)＝x2－(a＋1)x＝x[x－(a＋1)](x≥0)，a＋1<0，可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增．此时直线y＝b与g(x)的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A，B.②当a>－1

，即a＋1>0时，因为g′(x)＝x[x－(a＋1)](x≥0)，所以当x≥0时，由g′(x)<0可得0<x<a＋1，由g′(x)>0可得x>a＋1，所以当x≥0时，g(x)在(0，a＋1)上单调递减，g(x)在(a＋1，＋∞)上单调递增．如

图，直线y＝b与y＝g(x)(x≥0)的图象至多有2个交点．当1－a>0，即－1<a<1时，由图象可得，若要y＝g(x)的图象与直线y＝b有3个交点，必有b<0；当1－a＝0时，y＝g(x)的图象与直线y＝b可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1

－a<0，即a>1时，y＝g(x)的图象与直线y＝b可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去．综上，－1<a<1，b<0.故选C.18．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x>0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存

在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1，0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)答案C11解析画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝－x并上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数f(x)的

图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足－a≤1，即a≥－1.故选C.19．(2021·北京高考)已知函数f(x)＝|lgx|－kx－2，给出下列四个结论：①若k

＝0，则f(x)有两个零点；②∃k<0，使得f(x)有一个零点；③∃k<0，使得f(x)有三个零点；④∃k>0，使得f(x)有三个零点．以上正确结论的序号是________．答案①②④解析对于①，当k＝0时，由f(x)＝|lgx|－2＝0，可得x＝1100或x＝100，①正确；对于②，考查直线y＝

kx＋2与曲线y＝－lgx(0<x<1)相切于点P(t，－lgt)，对函数y＝－lgx求导得y′＝－1xln10，由题意可得kt＋2＝－lgt，k＝－1tln10，解得t＝e100，k＝－100elge．所以存在k

＝－100elge<0，使得f(x)只有一个零点，②正确；对于③，当直线y＝kx＋2过点(1，0)时，k＋2＝0，解得k＝－2，所以当－100elge<k<－2时，直线y＝kx＋2与曲线y＝－lgx(0<x<1)有两个交点，若函数f(x

)有三个零点，则直线y＝kx＋2与曲线y＝－lgx(0<x<1)有两个交点，直线y＝12kx＋2与曲线y＝lgx(x>1)有一个交点，所以－100elge<k<－2，k＋2>0.此不等式无解，因此，不存在k<0，使得函数f(x)有三个零点，③错误；对于④，考查直

线y＝kx＋2与曲线y＝lgx(x>1)相切于点P(t，lgt)，对函数y＝lgx求导得y′＝1xln10，由题意可得kt＋2＝lgt，k＝1tln10，解得t＝100e，k＝lge100e．所以当0<k<lge100e时，函数f

(x)有三个零点，④正确．20．(2018·浙江高考)已知λ∈R，函数f(x)＝x－4，x≥λ，x2－4x＋3，x<λ.当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________；若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．答案(1，4)(1，3]∪(4，

＋∞)解析当λ＝2时，不等式f(x)<0等价于x≥2，x－4<0或x<2，x2－4x＋3<0，即2≤x<4或1<x<2，故不等式f(x)<0的解集为(1，4).易知函数y＝x－4(x∈R)有一个零点x1＝4，函数y＝x2－4x

＋3(x∈R)有两个零点x2＝1，x3＝3.在同一坐标系中作出这两个函数的图象如图，要使函数f(x)恰有2个零点，则只能有以下两种情形：①两个零点为1，3，由图可知，此时λ>4.②两个零点为1，4，由图可知，此时1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1，3]∪(4，＋∞).三、模拟

小题21．(2022·辽宁葫芦岛协作校高三第一次考试)已知a是函数f(x)＝lnx＋x2－2的零点，则ea－1＋a－5的值为()13A．正数B．0C．负数D．无法判断答案C解析f(x)＝lnx＋x2－2在(0，＋∞)上单调

递增，f(1)<0，f(2)>0，故a∈(1，2).又因为g(x)＝ex－1＋x－5在(1，2)上单调递增，且g(2)＝e＋2－5<0，故ea－1＋a－5<0.22．(2021·山东济南模拟)根据表格中的数据，可以判定方程e

x－x－2＝0的一个根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为()x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345A.－1B．0C．1D．2答案C解析令f(x)＝ex－x－2，由表格知f(1)<0，f

(2)>0，∴方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是(1，2)，故k＝1.故选C.23．(2022·福建晋江磁灶中学高三阶段测试(一))已知函数f(x)＝－x2－4x＋1，x≤0，2－12x，x

>0，若关于x的方程[f(x)－1][f(x)－m]＝0恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是()A．(1，2)B．(1，5)C．(2，3)D．(2，5)答案A解析由[f(x)－1][f(x)－m]＝0，得f(x

)＝1或f(x)＝m，作出y＝f(x)的图象，如图所示，由图可知，方程f(x)＝1有2个实根，故方程f(x)＝m有3个实根，故实数m的取值范围为(1，2).故选A.1424．(多选)(2022·湖南省长沙市麓山国际实验学校高三第一次

月考)已知函数f(x)＝2x，x≥sinθ，－x，x＜sinθ，若函数f(x)存在零点，则θ的取值可能为()A．2πB．πC．5π6D．π2答案CD解析∵函数f(x)存在零点，∴f(x)＝0有解，∴x＝0，∴sinθ＞0，∴5π6，π2是θ的可能取值．故选CD.25

．(多选)(2021·海口模拟)定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，下列四个结论中正确的是()A．方程f(g(x))＝0有且仅有三个解B．方程g(f(x))＝0有且仅有三个解C．方程f(f(x))＝0有

且仅有九个解D．方程g(g(x))＝0有且仅有一个解答案AD解析根据函数的图象，函数f(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程f(g(x))＝0有且仅有三个解；函数g(x)在区间[－a，a]上单调递减，所以方程g(g(x))＝0

有且仅有一个解．故选AD.26．(多选)(2021·福建省漳州三中高三模拟)已知函数f(x)＝15－x2－3x，x＜0，f（x－3），x≥0，以下结论中正确的是()A．f(x)在区间[4，6]上是增函数B．f(－1)＋f(2021)＝4C

．若方程f(x)＝kx＋1恰有3个实根，则k∈－1，－13∪{1}D．若函数y＝f(x)－b在(－∞，6)上有6个零点xi(i＝1，2，3，4，5，6)，则i＝16xi＝6答案BC解析由

题意可知当x≥－3时，f(x)是以3为周期的函数，故f(x)在[4，6]上的单调性与f(x)在[－2，0]上的单调性相同，而当x＜0时，f(x)＝－x＋322＋94，∴f(x)在[－2，0]上不单调，故A错误；又f(2021)＝f(－1)＝2，

故f(－1)＋f(2021)＝4，故B正确；若直线y＝kx＋1经过点(3，0)，则k＝－13.若直线y＝kx＋1与y＝－x2－3x(x＜0)相切，则消元可得，x2＋(3＋k)x＋1＝0，令Δ＝0可得(3＋k)2－4＝0，解得k＝－1或k＝－5.当k＝－1时，x＝－1，

当k＝－5时，x＝1(舍去)，故k＝－1.若直线y＝kx＋1与y＝f(x)在(0，3)上的图象相切，由对称性可得k＝1.∵方程f(x)＝kx＋1恰有3个实根，故直线y＝kx＋1与y＝f(x)的图象有3个

交点，∴－1＜k＜－13或k＝1，故C正确；作出y＝f(x)的函数图象如图所示：由于y＝f(x)－b在(－∞，6)上有6个零点，故直线y＝b与y＝f(x)的图象在(－∞，6)上有6个交点．不妨设xi＜xi

＋1，i＝1，2，3，4，5.由图象可知x1，x2关于16直线x＝－32对称，x3，x4关于直线x＝32对称，x5，x6关于直线x＝92对称．∴i＝16xi＝－32×2＋32×2＋92×2＝9，故D错误．27．(2022·河北石家庄第一中学高三教学质量检

测(一))函数f(x)＝2－x，x≤0，2sin2x＋π6，0<x<π，若方程f(x)＝a恰有3个不同的实数解，记为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是________．答案π3－1，π3解析作出函数f(x)的图象，如图．根据题意以

及图象可知，要使方程f(x)＝a恰有3个不同的实数解，则1<a<2，不妨设x1<x2<x3，根据对称性可知x2＋x3＝π3，而1<2－x1<2，则－1<x1<0，则π3－1<x1＋x2＋x3<π3，所以x1＋x2＋x3的取值范围是π3－1，π3.一、高考大题本考点在近三年高考中未

涉及此题型．二、模拟大题1．(2021·甘肃兰州高三模拟)已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝x＋14x，x>0，x＋1，x≤0.(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．17解(1)g(f(1))＝g(

－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)的图象与直线y＝a有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象如图所示，由图象

可知，当1≤a<54时，函数y＝g(t)(t<1)的图象与直线y＝a有2个不同的交点，即所求实数a的取值范围是1，54.2．(2021·山东枣庄期末)已知函数f(x)＝x2＋ax＋14，g(x)＝－lnx．(1)若∀x∈R，f(x)≥0，求

实数a的取值范围；(2)用min{m，n}表示m，n中的较小者．设h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，若h(x)有三个零点，求实数a的取值范围．解(1)若∀x∈R，f(x)≥0，即x2＋ax＋14≥0对任意x

∈R成立，则有Δ＝a2－4×1×14≤0，解得－1≤a≤1，即实数a的取值范围是[－1，1].(2)当x>1时，g(x)＝－lnx<0，h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，所以h(x)在(1，＋∞)上无零点，由题意，得h(x)在(0，1]上有

三个零点，f(1)＝a＋54，g(1)＝0，若f(1)≥g(1)，则a≥－54，h(1)＝g(1)＝0，即1是h(x)的一个零点；若f(1)<g(1)，则a<－54，h(1)＝f(1)<0，即1不是h(x)的一个零点；18当x∈(0，1)时，g(x

)＝－lnx>0，由题意，得1是h(x)的一个零点，且f(x)＝x2＋ax＋14在(0，1)上有两个零点，所以a≥－54，且Δ＝a2－4×14>0，0<－a2<1，f（0）＝14>0，f（1）＝a＋54>0，解得－54<a<－1.综上，实数a的取值范围是－54，

－1.