【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第三章 函数、导数及其应用 考点测试12 对数与对数函数 含解析【高考】.doc，共(12)页，148.000 KB，由管理员店铺上传

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1考点测试12对数与对数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2．理解对数函数的概

念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3．体会对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数一、基础小题1．计算log29×log34＋2l

og510＋log50.25＝()A．0B．2C．4D．6答案D解析由对数的运算公式和换底公式可得log29×log34＋2log510＋log50.25＝2log23×log24log23＋log5(102×0.25)＝4＋2＝6.故选D.2．

已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg2)＋flg12＝()A．－1B．0C．1D．2答案D解析设lg2＝a，则lg12＝－lg2＝－a，f(a)＋f(－a)＝ln(1＋9a2－3a)＋1＋ln(1＋9（－a）2＋3a)＋1＝ln(1＋9a2－9a2)＋

2＝ln1＋2＝2，所以f(lg2)＋flg12＝2.故选D.3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)单调递增，则()2A．f(log94)>f(1)>f(log34)B．f(log94)<f(1)<f(log34)C．f(1)>f(log

94)>f(log34)D．f(1)<f(log94)<f(log34)答案B解析因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)单调递增，所以f(x)在R上单调递增，因为log94<log99＝1，1＝log33<log34，所以lo

g94<1<log34，所以f(log94)<f(1)<f(log34).故选B.4．若lg2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值为()A．1B．0或18C．18D．log23答案D解析由题意

知lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝log23.故选D.5．已知方程2－x－|log2x|＝0的两根分别为x1，x2，则()A．1<x1x2<2B．x1x2>2C．x1x2＝1D．0<x1x2<1答案D解析不

妨设x1<x2，作出y＝2－x与y＝|log2x|的图象，如图．由图可知0<x1<1<x2，则2－x1＝－log2x1，2－x2＝log2x2，那么log2x1＋log2x2＝log2(x1x2)＝2－x2－2－x1<0，则0<x1x2<1.故选D.6．设a＝log0.12，b＝log302，则

()A.3ab<2(a＋b)<4abB．4ab<2(a＋b)<3ab3C．2ab<3(a＋b)<4abD．4ab<3(a＋b)<2ab答案B解析因为a＝log0.12，b＝log302，所以ab<0，1a＋1b＝log20.1＋log230＝log23∈

32，2，所以32<1a＋1b<2，所以4ab<2(a＋b)<3ab.故选B.7．若a>b>1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则()A．R<P<QB．P<Q<RC．Q<P<RD．P<R<Q答案B解

析∵函数y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，a>b>1，∴lga>lgb>0，由基本不等式可得P＝lga·lgb<12(lga＋lgb)＝Q，Q＝12(lga＋lgb)＝12lg(ab)＝lgab<lga＋b2＝R，∴P<Q<R.故选B.

8．已知函数f(x)＝ex－1，x＜2，log3（x2－1），x≥2，若f(a)≥1，则a的取值范围是()A．[1，2)B．[1，＋∞)C．[2，＋∞)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案B解析函数f(x)＝ex－1，x＜2，log3

（x2－1），x≥2，若f(a)≥1，可得a＜2，ea－1≥1或a≥2，log3（a2－1）≥1，解得1≤a＜2或a≥2.所以a≥1.故选B.9．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么()A．ab＋bc＝2acB．ab

＋bc＝acC．2c＝2a＋1bD．1c＝2b－1a4答案AD解析由于a，b，c都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M，∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，则1a＝logM4，1b＝logM6，1c＝logM9.∵logM4＋

logM9＝2logM6，∴1a＋1c＝2b，即1c＝2b－1a，去分母整理得，ab＋bc＝2ac.故选AD.10．(多选)设函数y＝ln(x2－x＋1)，则下列命题中正确的是()A．函数的定义域为RB．函数是增函数

C．函数的值域为RD．函数的图象关于直线x＝12对称答案AD解析∵x2－x＋1＝x－122＋34＞0恒成立，∴函数的定义域为R，A正确；函数y＝ln(x2－x＋1)在x＞12时是增函数，在x＜12时是减函数，B错误；由x2－x＋1＝

x－122＋34≥34可得y＝ln(x2－x＋1)≥ln34，∴函数的值域为ln34，＋∞，C错误；函数的图象关于直线x＝12对称，D正确．11．已知2x＝72y＝A，且1x＋1y＝2，则A的值是________．答案7

2解析由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝12log7A，则1x＋1y＝1log2A＋2log7A＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.又A>0，故A＝98＝72.12．已知函数f(x)＝|l

og3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则nm＝________．答案9解析因为f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，所以－log3m5＝log3n，所以mn＝1.因为f(x)在区间[m2，n]上的最

大值为2，函数f(x)在[m2，1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，所以－log3m2＝2或log3n＝2.若－log3m2＝2，得m＝13，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意．那么nm＝3÷13＝9.同理．若log3n＝2，得n＝9，则m＝19.此时－log3m2＝4>

2，不满足题意．综上可得，nm＝9.二、高考小题13．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝12，则下列判断正确的是()A．c<b<aB．b<a<cC．a<c<bD．a<b<c答案C解析a＝log52<log55＝12＝log822<lo

g83＝b，即a<c<b.故选C.14．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的

小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6答案C解析将L＝4.9代入L＝5＋lgV，得lgV＝－0.1＝－110，所以V＝10－110＝11010≈11.259≈0.8.故选C.15．(2021·天津高考)若2a＝5b＝10，则1a＋1b＝()A

．－1B．lg7C．1D．log710答案C解析∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴1a＋1b＝1log210＋1log510＝lg26＋lg5＝lg10＝1.故选C.16．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A

．a＞2bB．a＜2bC．a＞b2D．a＜b2答案B解析设f(x)＝2x＋log2x，则f(x)为增函数．因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b，所以f(a)－f(2b)＝2a＋log2a－(22b＋log22

b)＝22b＋log2b－(22b＋log22b)＝log212＝－1＜0，所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b，所以A错误，B正确；f(a)－f(b2)＝2a＋log2a－(2b2＋log2b2)＝22b＋lo

g2b－(2b2＋log2b2)＝22b－2b2－log2b，当b＝1时，f(a)－f(b2)＝2＞0，此时f(a)＞f(b2)，有a＞b2，当b＝2时，f(a)－f(b2)＝－1＜0，此时f(a)＜f(b2)，有a＜b2，所以C，D错误．故选B.17．(2020

·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则()A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b答案A解析∵a，b，c∈(0，1)，ab＝log53log85＝lg3lg5×lg8lg5＜

1（lg5）2×lg3＋lg822＝lg3＋lg82lg52＝lg24lg252＜1，∴a＜b.由b＝log85，得8b＝5，由55＜84，得85b＜84，∴5b＜4，可得b＜45.由c＝log138，得13c＝8，由134＜85

，得134＜135c，∴5c＞4，可得c＞45.综上所述，a＜b＜c.故选A.三、模拟小题18．(2022·重庆模拟)已知a＝log43，b＝log53，c＝log45，则()A．b<a<cB．a<b<cC．a<c<bD．c<a<

b答案A7解析因为0<a<1，0<b<1，又a＝lg3lg4，b＝lg3lg5，所以a－b＝lg3lg4－lg3lg5＝lg3（lg5－lg4）lg4·lg5>0，所以0<b<a<1，因为c＝log45

>1，所以b<a<c.故选A.19．(2022·湖南湘潭高三阶段测试)如果2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ，那么PQ的值为()A．14B．4C．6D．4或1答案B解析由题意知P>0，Q>0，P>

2Q.由2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ可得loga(P－2Q)2＝loga(PQ)，所以(P－2Q)2＝PQ，可化为P2－5PQ＋4Q2＝0，又因为Q>0，所以PQ2－5PQ＋4＝0，解得PQ＝4或PQ＝1(舍去).故选B.2

0．(2022·大庆模拟)设函数f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)，则对任意实数a，b，若a＋b≥0，则()A．f(a)＋f(b)≤0B．f(a)＋f(b)≥0C．f(a)－f(b)≤0D．f(a)－f(b)≥0答案B解析设f(x)＝x3＋log2(x

＋x2＋1)，其定义域为R，f(－x)＝－x3＋log2(－x＋x2＋1)＝－x3－log2(x＋x2＋1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，故f(x)在R上单调递增，那么a＋

b≥0，即a≥－b时，f(a)≥f(－b)，得f(a)≥－f(b)，可得f(a)＋f(b)≥0.故选B.21．(多选)(2021·广东佛山模拟)函数f(x)＝ln(ex＋1)－ln(ex－1)，下列说法正确的是()A．f(x)的定义域为(0，＋∞)B．f(x)在定义

域内单调递增C．不等式f(m－1)>f(2m)的解集为(－1，＋∞)D．函数f(x)的图象关于直线y＝x对称8答案AD解析要使函数有意义，则ex＋1>0ex－1>0⇒x∈(0，＋∞)，故A正确；f(x)＝ln(ex＋1)－ln(ex－1)＝ln

ex＋1ex－1＝ln1＋2ex－1，令y＝1＋2ex－1，易知其在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故B不正确；由于f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以对于f(m－1)>f(2m)，有m－1>0，2m>0，m－1<2

m⇒m∈(1，＋∞)，故C不正确；令y＝f(x)＝ln1＋2ex－1，解得ex＝ey＋1ey－1⇒x＝lney＋1ey－1，所以函数f(x)的图象关于直线y＝x对称，故D正确．故选AD

.22．(多选)(2021·湖北省宜昌市高三月考)定义“正对数”：ln＋x＝0，0＜x＜1，lnx，x≥1.若a＞0，b＞0，则下列结论中正确的是()A．ln＋(ab)＝bln＋aB．ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋bC．ln＋(a＋b)≥ln＋a＋ln＋bD．ln＋(a＋b)≤l

n＋a＋ln＋b＋ln2答案AD解析对于A，当0＜a＜1，b＞0时，有0＜ab＜1，从而ln＋(ab)＝0，bln＋a＝b×0＝0，所以ln＋(ab)＝bln＋a；当a≥1，b＞0时，有ab≥1，从而ln＋(ab)＝l

nab＝blna，bln＋a＝blna，所以ln＋(ab)＝bln＋a.所以当a＞0，b＞0时，ln＋(ab)＝bln＋a，故A正确；对于B，当a＝14，b＝2时满足a＞0，b＞0，而ln＋(ab)＝ln＋12＝0，ln＋a＋ln＋

b＝ln＋14＋ln＋2＝ln2，所以ln＋(ab)≠ln＋a＋ln＋b，故B错误；对于C，令a＝2，b＝4，则ln＋(2＋4)＝ln6，ln＋2＋ln＋4＝ln2＋ln4＝ln8，显然ln6<ln8，故C错误；对于D，由“正对数”的定义知，当x1≤x2时，有ln＋x1≤ln＋x

2，当0＜a＜1，0＜b＜1时，有0＜a＋b＜2，从而ln＋(a＋b)＜ln＋2＝ln2，ln9＋a＋ln＋b＋ln2＝0＋0＋ln2＝ln2，所以ln＋(a＋b)＜ln＋a＋ln＋b＋ln2；当a≥1，0＜b＜1时，有a＋b＞1，从而

ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)＜ln(a＋a)＝ln(2a)，ln＋a＋ln＋b＋ln2＝lna＋0＋ln2＝ln(2a)，所以ln＋(a＋b)＜ln＋a＋ln＋b＋ln2；同理当0＜a＜1，b≥1时，也成立；当a≥1，b≥1时，ln＋(

a＋b)＝ln(a＋b)，ln＋a＋ln＋b＋ln2＝lna＋lnb＋ln2＝ln(2ab)，因为2ab－(a＋b)＝ab－a＋ab－b＝a(b－1)＋b(a－1)≥0，所以2ab≥a＋b，所以ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.综上所述，当a＞0，b＞0时，ln＋(a＋b)≤ln

＋a＋ln＋b＋ln2，故D正确．故选AD.23．(2022·陕西安康模拟)已知a>b>1.若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________．答案42解析令logab＝t，∵a>b>1，∴0<t<1，由logab＋logba＝

52得，t＋1t＝52，解得t＝12或t＝2(舍去)，即logab＝12，∴b＝a，又ab＝ba，∴aa＝(a)a，即aa＝aa2，亦即a＝a2，解得a＝4，∴b＝2.24．(2021·甘肃武威十八中高三模拟)已知函数f(x)＝|log2x－1|，0＜x≤4，3－x，x＞4.设a

，b，c是三个不相等的实数，且满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围为________．答案(16，36)解析作出函数f(x)的图象如图所示．当x＞4时，由f(x)＝3－x＝0，得x＝3，得x＝9，若a，b，c互不

相等，不妨设a＜b＜c，因为f(a)＝f(b)＝f(c)，所以由图象可知0＜a＜2＜b＜4＜c＜9，由f(a)＝f(b)，得1－log2a＝log2b－1，即log2a＋log2b＝2，即log2(ab)＝2，则ab

＝4，所以abc＝4c，因为4＜c＜9，所以16＜4c＜36，即16＜abc＜36，所以abc的取值范围是(16，36).10一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2021·河南安阳高三模拟)已知函数f(x)＝lg(ax－3)的图象经过

定点(2，0).(1)求a的值；(2)设f(3)＝m，f(5)＝n，求log2163(用m，n表示).解(1)由已知，得2a－3＝1，解得a＝2.(2)由(1)得f(x)＝lg(2x－3)，则f(3)＝lg3＝m，f(5)＝lg7＝n，∴log2163＝lg6

3lg21＝2lg3＋lg7lg3＋lg7＝2m＋nm＋n.2．(2022·江西九江模拟)已知a>2，函数f(x)＝log4(x－2)－log4(a－x).(1)求f(x)的定义域；(2)当a＝4时，求不等式f(2x－5)≤f(3)的解集.解(1)由题意，得x－2>0

，a－x>0，解得x>2，x<a，因为a>2，所以2<x<a，故f(x)的定义域为(2，a).(2)因为a＝4，所以f(2x－5)＝log4(2x－7)－log4(9－2x)，f(3)＝log41－log41＝0，因为f(2x－5)≤f(3)，所以log4(2x－7

)－log4(9－2x)≤0，即log4(2x－7)≤log4(9－2x)，11从而2x－7>0，9－2x>0，2x－7≤9－2x，解得72<x≤4，故不等式f(2x－5)≤f(3)的解集为72，4.3．(2022·广东珠海模拟)已知函数f(x)

＝lnx＋1x－1.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝lnx＋1x－1>lnm（x－1）（7－x）恒成立，求实数m的取值范围．解(1)由x＋1x－1>0，解得x<－1或x>1，∴函数f(x)的定义域为(－

∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln－x＋1－x－1＝lnx－1x＋1＝lnx＋1x－1－1＝－lnx＋1x－1＝－f(x).∴f(x)＝lnx＋1x－1是奇函数．(2)由于x∈[

2，6]时，f(x)＝lnx＋1x－1>lnm（x－1）（7－x）恒成立，∴x＋1x－1>m（x－1）（7－x）>0恒成立，∵x∈[2，6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立．令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(

x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知，当x∈[2，3]时，函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时，函数g(x)单调递减，∴当x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.故实数m的取值范围为(0，7).124

．(2021·湖北荆州模拟)已知函数f(x)＝lgx＋ax－2，其中a是大于0的常数.(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．解(1)∵x＋ax－2＝（x－1）2

＋a－1x，∴当a>1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，函数f(x)的定义域为{x|x>0且x≠1}，当0<a<1时，函数f(x)的定义域为{x|0<x<1－1－a或x>1＋1－a}．(2)设g(x)＝x＋ax－2，当a∈(1，4)，

x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－ax2＝x2－ax2>0恒成立，∴g(x)＝x＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝lgx＋ax－2在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lga2.(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x

)>0，即x＋ax－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，∴a>3x－x2，令h(x)＝3x－x2，则h(x)＝3x－x2＝－x－322＋94，又h(x)在x∈[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2，∴a的取值范围为(2，＋∞).