【文档说明】湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，981.564 KB，由小赞的店铺上传

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宜昌市协作体高二期中考试数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目

的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章~第二章第3节．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线:230lxy−+=和直线:230mxy+−=的位置关系为（）A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直【答案】A【解析】【分析】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系

.【详解】直线:230lxy−+=和直线:230mxy+−=的斜率分别为12，2−，因为1(2)12−=−，所以lm⊥.故选：A2.已知向量(2,1,1)x=a，(1,4,2)b=−，且ab⊥，则x=（）A.3−B.1−C.1D.0

【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直列方程，由此求得x的值.【详解】因为ab⊥，故2420x=−+=ab，即1x=.故选：C3.已知直线l的一个方向向量为(1,3)，则直线l的倾斜角为（）A.0B.π6C.π4D.π3【答案】D【解析】【分析】利用方向向量求出直线斜率

即可求出倾斜角.【详解】因为直线l的一个方向向量为(1,3)，所以l的斜率3k=，又tank=，所以tan3=，因为[0,π)，所以π3=.故选：D.4.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为

0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（）A.0.64B.0.72C.0.76D.0.82【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解.【详解】设摸出红球的概率为()PA，摸出白球的概

率为()PB，摸出黑球的概率为()PC，所以()()0.56PAPB+=，()()0.68PAPC+=，且()()()1PAPBPC++=，所以()()()10.44PCPAPB=−−=，()()()10.32PBPAPC=−−=，所以()()0.76PB

PC+=，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76．故选C．5.如图，已知,,ABC是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且,,120APABAPAC==，||3AP=，若AOABAC=+，则||OP=（）A.210B.37

C.6D.35【答案】B【解析】【分析】由向量的线性运算用,,ABACAP表示出OP，再用模长公式计算可得结果.【详解】因为AOABAC=+，所以OPOAAPABACAP=+=−−+，则22222||()222OPABACAPABACAPABACABAPAPAC=

−−+=+++−−2221123302232333722=+++−−−−=，所以||37OP=.故选：B.6.已知向量(2,3,0)a=−，(0,3,4)b=，则向量a在向量b上的投影向量的

坐标为（）A.1827,,01313−B.1827,,01313−C.27360,,2525D.27360,,2525−−【答案】D【解析】【分析】根据投影向量的定义

求解即可.【详解】因为(2,3,0)a=−，(0,3,4)b=，所以2033049ab=−+=−，09165b=++=，则向量a在向量b上的投影向量为：99(0,3,4)52736055,,25252abbbbb−

==−−−=.故选：D.7.若平面内两条平行线1l：()120xay+−+=与2l：210axy++=间的距离为355，则实数a=（）A.-1B.2C.-l或2D.-2或l【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论思想，

结合平行直线的性质以及距离公式，可得答案.【详解】①当1a=时，可得1:20lx+=，2:210lxy++=，由1012，则此时不符合题意；②当1a时，可得直线1l的斜率111ka=−，直线2l的斜率22ak=−，由112aa=−−，整理可得220aa−−=，则()()2

10aa−+=，解得2a=或1−，当2a=时，可得1:20lxy++=，2:2210lxy++=，整理2l方程可得102xy++=，由两平行直线之间的距离12323524511−=+，所以此时不符合题意；当1a=−时，可得1:220lxy−+=，2:210lx

y−++=，整理2l的方程可得210xy−−=，由两平行直线之间的距离2135514+=+，所以此时符合题意.综上可得1a=−.故选：A.8.在正三棱锥P-ABC中，22ABPA==，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m

，到平面ABC的距离为n，则mn=（）A.33B.3C.233D.3【答案】B【解析】【分析】根据长度关系先证明出,,PAPBPC两两垂直，然后通过补形法求解出m的值，再通过向量法求解出n的值，则结果可知.【详解】在正三棱锥PABC−中，PAPBPC==，又1PA=

，2AB=，所以222PAPBAB+=，所以PAPB⊥，同理可得PAPC⊥，PCPB⊥，即,,PAPBPC两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得12m=，如图，建立空间直角坐标系，则

𝐴(1,0,0)，()0,1,0B，()0,0,1C，111,,222O，所以()1,1,0AB=−，()1,0,1AC=−，111,,222AO=−，设平面ABC的法向量为(),,sxyz=，的则00sABxysACxz=−+==−+=，

令1x=，则1yz==，所以()1,1,1s=，则点O到平面ABC的距离||36||sAOns==，所以3mn=，故选B.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是能通过给定的长度关系确定出位置关系，同时能利用补形法完成计算，另一方面是

能利用向量方法求解出点到面的距离.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线:2310lxy−+=，则（）A.l不过

原点B.l在x轴上的截距为12C.l的斜率为23D.l与坐标轴围成的三角形的面积为112【答案】ACD【解析】【分析】将(0,0)代入直线方程不成立，可判断A，根据截距定义可判断B，将直线化为斜截式方程，可判断C，化为截距式可得D.【详解】因为203010−+

，所以l不过原点，所以A正确；令0y=，得12x=−，所以l在x轴上的截距为12−，所以B错误；把2310xy−+=化为2133yx=+，所以l的斜率为23，所以C正确；把2310xy−+=化为11123xy+=−，所以直线l与坐标轴围成的三角

形的面积为111122312−=，所以D正确.故选：ACD.10.甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签.现

从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（）A

.()2()PAPB=B.1()6PC=C.事件C与D互斥D.事件A与事件D相互独立【答案】ABD【解析】【分析】根据古典概型可判断A，B选项.，利用互斥事件的定义，相互独立事件的定义及概率乘法公式判断C，D选项，【详解】对于A，样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,

5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18种可能的结果，则61()183PA==，31()186PB==，A正确；对于B，事件C包

含的样本点有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3种可能的结果，则31()186PC==，故B正确；对于C，事件D包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(

3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15种可能的结果，故事件C与D不互斥，C错误：对于D，155()186PD==，由515()()()1836PADPAPD===，得A，D相互独立，D正确.故选：ABD.11.如图，在棱长

为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F，G，H分别是1DD，11AB，CD，BC的中点，则下列说法正确的有（）A.E，F，G，H四点共面B.BD与EF所成角的大小为3C.在线段BD上存在点M，使得MC1⊥平

面EFGD.在线段1AB上任取一点N，三棱锥NEFG−的体积为定值【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段BD上存在点M，设BMBD=，01≤≤，利用坐标法验证

线面垂直，可判断C选项；分别证明EFG与1AB上的所有点到平面EFG的距离为定值，即可判断D选项.【详解】以A为原点，以AB，AD，1AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A

，()2,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D，()12,0,2B，()10,2,2D，()0,2,1E，()1,0,2F，()2,1,0H，()1,2,0G，设AHxAEyAFzAG=++，则

()()()()2,1,00,2,11,0,21,2,0xyz=++，所以222120yzxzxy+=+=+=，解得11232xyz=−==，故1xyz++=，即E，F，G，H四点共面，故A正确

；因为()2,2,0BD=−uuur，()1,2,1EF=−，所以63cos,286BDEFBDEFBDEF===，所以BD与EF所成角的大小为6，故B错误；假设在线段BD上存在点M，符合题意，设BMBD=（01≤≤

），则()1112,22,2MCBCBMBCBD=−=−=−，若MC1⊥平面EFG，则10MCEF=，10MCEG=,因为()1,2,1EF=−，()1,0,1EG=−，所以24420220−++=−=，此方程组无解，所以在线段BD上

不存在点M，使得MC1⊥平面EFG，故C错误；因为()12,0,22ABEG=−=，所以1//ABEG，又1AB平面EFG，EG平面EFG，所以1//AB平面EFG，故1AB上的所有点到平面EFG的距离即为B到平面EFG的距离，是定值，又EFG的面积是定值，所以在线段1AB

上任取一点N，三棱锥NEFG−的体积为定值，故D正确；故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线l的方程为143xy−=，则坐标原点到直线l的距离为______.【答案】125##2.4【解析】【分析】利用点到直线距离公式代入计算即可得出结果.【详

解】将直线143xy−=化为一般方程可得34120xy−−=，由点到直线距离公式可得坐标原点()0,0到直线l的距离为221212534d−==+.故答案为：12513.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若122ABAABC===，

则直线BD1与CD之间的距离为________.【答案】255【解析】【分析】求得与1BD，CD都垂直的一个向量n，利用||||BCnn可求直线1BD与CD之间的距离.【详解】以AB为x轴，AD为y轴，1AA为z轴建立空

间直线坐标系Axyz，则1(2,1,2)BD=−，(2,0,0)CD=−，(0,1,0)BC=，设与1BD，CD都垂直的一个向量(,,)nxyz=，则122020BDnxyzCDnx=−++==−=，取1z=，则

0x=，2y=−，所以与BD1，CD都垂直的一个向量(0,2,1)n=−，所以直线1BD与CD之间的距离为||2255||5BCnn==.故答案为：25514.九宫格数独游戏是一种训练推理能力数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小

九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，的b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则8cd+的概率为________.9

a7bcd4e6【答案】12##0.5【解析】【分析】将试验结果表示出来，然后用符合要求的试验数除以试验总数可求得结果.【详解】这个试验的等可能结果用下表表示：a113355113355b222222888888c355113355113d8888882

22222e531531531531共有12种等可能的结果，其中8cd+的结果有6种，所以8cd+的概率为61122P==，故答案为：12.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平面直角坐标系xOy中

，ABCV的顶点(3,3)A，(2,1)B，B，C关于原点O对称.（1）求BC边上的高所在直线的一般式方程；（2）已知过点B的直线l平分△ABC的面积，求直线l的方程.【答案】（1）290xy+−=（2）1y=【解析】的【分析】（1）先求得BC的斜率，从而得到BC边上高所在直线的斜率

，进而求得BC边上的高所在直线的方程.（2）先判断出直线l经过边AC的中点，进而求得直线l的方程.【小问1详解】因为B，C关于原点O对称，所以(2,1)C−−，1(1)12(2)2BCk−−==−−，所以BC边上高所在直线的斜率为2−，因为(3,3

)A，所以BC边上高所在直线的方程为32(3)yx−=−−，所以BC边上高所在直线的一般式方程为290xy+−=.【小问2详解】因为过点B的直线l平分ABCV的面积，所以直线l经过边AC的中点(12,1)，又(2,1)B，所以直线l的方程1y=

16.如图，在三棱柱111ABCABC−中，ABa=，ACb=，1AAc=，点D满足12CDDC=.（1）用,,abc表示1BD；（2）若三棱锥1AABC−的所有棱长均为2，求1BD及11ACBD.【答案】（1）23a

bc−+−（2）2133，103【解析】【分析】（1）根据1123CDCC=，1111BDBCCD=+可表示出1BD；（2）先确定,,abc的模长以及两两之间的夹角，然后根据2123BDabc=−+−计算出1BD，再根据()1123ACBDbcabc=−−+−展

开计算求得结果.【小问1详解】因为12CDDC=，所以1123CDCC=，所以1111123BDBCCDBCCC=+=+12233ABACAAabc=−+−=−+−【小问2详解】因为三棱锥1AABC−的所有棱长均为2，所以2abc===，所以π,,,3abbcac===，所以12

222abbcac====，所以22221244423933BDabcabcabbcac=−+−=++−−+16882134449333=++−−+=，所以()2211225333ACBDbcabcbcabbcac=−−+−=+−

−+81010422333=+−−+=.17.在荾形ABCD中，π3BAD=，2AB=，将菱形ABCD沿着BD翻折，得到三棱锥ABCD−如图所示，此时6AC=．.（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）若点E是CD的中点，求直线

BE与平面ABC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取BD的中点O，由已知得到OA和OC的长，由勾股定理的逆定理得到OAOC⊥，再结合OABD⊥证明OA⊥平面BCD，由此证明平面

ABD⊥平面BCD；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，分别写出直线BE的方向向量和平面ABC的法向量，利用空间坐标求出角的正弦值.【小问1详解】证明：因为四边形ABCD是菱形，π3BAD=，所以BAD与BCD△均为正三角形，取BD的中点O，连

结OA，OC，则OABD⊥，OCBD⊥因为2AB=，所以3OAOC==，因为2226OAOCAC+==，所以OAOC⊥，又BDOCO=，,BDOC平面BCD，所以OA⊥平面BCD，因为OA平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD；【小问

2详解】由（1）可知，OA，OB，OC两两垂直，以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()003A,,，()1,0,0B，()0,3,0C，()1,0,0D−，因为

E是CD的中点，所以13,,022E−，所以()1,0,3BA=−，()1,3,0BC=−，33,,022BE=−，设(),,mxyz=为平面ABC的一个法向量，则30,30,BAmxzBCmxy=−+==−+=令1y=，得3x=，1z=，所以()

3,1,1m=，设直线BE与平面ABC所成角为，所以333225sincos,535BEmBEmBEm−+====，所以直线BE与平面ABC所成角的正弦值为55.18.为培养学生的核心素养，

协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是23和12．假设两人是否回答

出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．（1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；（2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；（3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求

甲恰好回答5次被退出比赛的概率．【答案】（1）1516（2）16（3）16243【解析】【分析】（1）由事件的相互独立性的乘法公式和对立事件可求出答案。（2）记“甲答对i个问题”为事件()1,2,3iAi=，“乙答对i个问题”为事

件()1,2,3iBi=，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件123123123123123123123123123123123123AAABBBAAABBBAAABBBAAABBBAAABBBAAABBB+++++由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。（3）记“甲答

对第i个问题”为事件()1,2,3,4,5iCi=，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件123451234512345CCCCCCCCCCCCCCC++，由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。【小问1

详解】记“乙至少有1个回答正确”为事件M，所以()()111115111111222216PMPM=−=−−−−−=，即乙至少有1个回答正确的概率是1516．【小问2详解】记“甲答对i个问题”

为事件()1,2,3iAi=，“乙答对i个问题”为事件()1,2,3iBi=，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件123123123123123123123123123123123123AAABBBAAABBBAAABBB

AAABBBAAABBBAAABBB+++++所以()123123123123123123123123123123123123PAAABBBAAABBBAAABBBAAABBBAAABBBAAABBB+++++323232112112111111132

23223222=−+−+−−2332322122212211111113323332332+−−+−−+−−

16=，即甲回答正确个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是16．【小问3详解】记“甲答对第i个问题”为事件()1,2,3,4,5iCi=，则甲恰好回

答5次被退出比赛为事件123451234512345CCCCCCCCCCCCCCC++，所以()()()()123451234512345123451234512345PCCCCCCCCCCCCCCCPCCCCCPCCCCCPCCCCC

++=++3222222222222211111333333333−+−−+−−16243=，的即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是16243．19.在

空间直角坐标系Oxyz中，定义：过点()000,,Axyz，且方向向量为()(),,0mabcabc=的直线的点方向式方程为000xxyyzzabc−−−==；过点()000,,Axyz，且法向量为()()222,,0mabcabc=++的平面的点法向式方程为()()()

0000axxbyyczz−+−+−=，将其整理为一般式方程为0axbyczd++−=，其中000daxbycz=++．（1）求经过()()1,2,4,2,0,1AB−的直线的点方向式方程；（2）已知平面1:

2310xyz−+−=，平面1:240xyz+−+=，平面()()()1:123250mxmymz+−+++−=，若111,ll=，证明：1l∥；（3）已知斜三棱柱111ABCABC−中，侧面11ABBA所在平面2经过三点()4,0,0P−，

()()3,1,1,1,5,2QH−−−−，侧面11BCCB所在平面2的一般式方程为40yz++=，侧面11ACCA所在平面2的一般式方程为()22110xmymz−+++=，求平面11ABBA与平面11ACCA的夹角大小．【答案】

（1）124323xyz+−−==−−（2）证明见解析（3）π6【解析】【分析】（1）先求直线AB的方向向量，结合题意即可得直线方程；（2）根据题意可得平面1、1、1的法向量，进而可求交线l的方

向向量，利用空间向量判断线面关系；（3）根据题意可得平面2、2的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得1m=−，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】由()()1,2,4,2,0,1AB−得，直线AB的方向向量为()3,2,3

mAB==−−，故直线AB的点方向式方程为124323xyz+−−==−−．【小问2详解】由平面1:2310xyz−+−=可知，平面1的法向量为()12,3,1m=−uur，由平面1:240xyz+−+=可知，平面1的法向量为()21,1,2m=−

uur，设交线l的方向向量为()000,,nxyz=，则1000200023020mnxyzmnxyz=−+==+−=，令01z=，则001,1xy==，可得()1,1,1n=，由平面()()()1:123250mxmymz+−+++−=可

知，平面1的法向量为()31,23,2mmmm=+−−+uur，因为()()()311231210mnmmm=+−+++=uurr，即3mn⊥uurr，且1l，所以1l∥．【小问3详解】因平面2经过三点()()()4,0,0,3,

1,1,1,5,2PQH−−−−−，可得()()1,1,1,5,5,2PQPH=−=−−，设侧面11ABBA所在平面2的法向量()1111,,nxyz=，则1111111105520PQnxyzPHnxyz

=−+==−−=，令11x=，解得111,0yz==，可得()1110,,n=，由平面2:40yz++=可知，平面2法向量为()20,1,1n=，设平面2与平面2的交线的方向向量为()2422,,mxyz

=uur，则4122422200mnxymnyz=+==+=，令21x=，则221,1yz=−=，可得()41,1,1m=−，由平面()2:22110xmymz−+++=可知，平面2的法向量为()52,,21mmm=−+uur，因为452210mmmm=+++=u

uruur，解得1m=−，即()52,1,1m=−uur，则15151533cos,226nmnmnm===uruururuururuur，故平面11ABBA与平面11ACCA夹角的大小为π6．