山西省太原市第五中学2022届高三下学期5月阶段性检测 数学(文)教师用卷

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【文档说明】山西省太原市第五中学2022届高三下学期5月阶段性检测 数学(文)教师用卷.pdf,共(16)页,1.264 MB,由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

第1页,共15页2022年太原五中高三年级数学模拟试题(文科)命题:凌河审校:王玥一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合���={���||���−14|<14},���={���|�

��<���<12},若���⊆���,则实数���的取值范围是()A.(0,12)B.(0,12]C.[0,+∞)D.[1,+∞)【答案】C【解析】解:���={���||���−14|<14}={���|0<���<12},���=

{���|���<���<12},①当���=⌀,即���≥12时,���⊆���成立;②当���≠⌀,即���<12时,0≤���<12,综上所述,实数���的取值范围是[0,+∞),故选:���.化简

集合���,再分类讨论确定实数���的取值范围.本题考查了集合的化简与运算,属于基础题.2.复数���满足���·���+3=2−���5,则���的虚部是()A.12B.−12C.−12���D.12���【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的共轭复数,复数的运算以及复数的概念,属于基础题.

由复数的运算先求出���的共轭复数,再得出���即可.【解答】解:由题意可得���=2−���53+���=(2−���)(3−���)(3+���)(3−���)=5−5���10=12−12���,∴���=12+12���,故���的虚部为12.故选A.3.已知sin(���+���6)

=55,则sin(2���+5���6)=()A.−35B.−15C.25D.35【答案】第2页,共15页D【解析】【分析】本题考查了三角函数辅助角公式,二倍角公式以及诱导公式的应用,属于中档题.根据二倍角公式与诱导公

式可知sin(2���+5���6)=sin[2(���+���6)+���2]=cos2(���+���6)=1−2sin2(���+���6)即可求解.【解答】sin(2���+5���6)=sin[2(���+���6)+

���2]=cos2(���+���6)=1−2sin2(���+���6)=1−25=35.4.第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京举行,中国代表团取得了9枚金牌,4枚银牌,2枚铜牌的历史最好成绩.2月8日,在自由式滑雪女子大跳台坡面障碍技巧比赛中

,中国运动员谷爱凌在最后一跳中完美地完成了超高难度动作1620,得分反超对手,获得了金牌.已知六个裁判为谷爱凌这一跳的打分分别为95,95,95,93,94,94,评分规则为去掉六个原始分中的一个最高分和一个最低分,剩下四个有效分的平均数即为该选手的本轮得分.设这

六个原始分的中位数为���,方差为���2;四个有效分的中位数为���1,方差为���12.则下列结论正确的是()A.���≠���1,���12<���2B.���≠���1,���2<���12C.���=���1,���2<���12D.���=���1,���12<

���2【答案】D【解析】解:容易求出这六个原始分95,95,95,93,94,94的中位数为���=94.5,方差为���2;四个有效分95,95,94,94的中位数为���1=94.5,方差为���12;根据方差的定义知四个有效分的

波动性变小,所以���12<���2.故选:���.可求出六个原始分和四个有效分的中位数,再根据方差的定义判断方差的大小.本题考查了中位数和方差的定义与应用问题,是基础题.5.已知直线���:���=2���+���和圆���:���2+���2=1,则“���=

5”是“直线���与圆���相切”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】本题考查了充分必要条件的判断和,直线与圆的位置关系,是一道基础题.求出

直线与圆相切时满足的条件,再利用必要条件、充分条件与充要条件的判断方法判断即可.【解答】解:若直线���:���=2���+���与圆���2+���2=1相切,则���−22+12=1,解得���=±5,第3页,共15页所以“���=5”是直线���与圆���相切”的

充分不必要条件.故选B.6.已知向量�����=(���−���,1),�����=(1,������+2),且�����⊥�����.若点(���,���)的轨迹过定点,则这个定点的坐标是()A.(−2

,1)B.(1,−2)C.(−1,2)D.(2,−1)【答案】A【解析】解:因为�����⊥�����,故���−���+������+2=0,整理得到:���+2+���(���−1)=0,故定点为:(−2,1).故选:��

�.先求出点(���,���)的轨迹为动直线,从而可求定点.本题主要考查轨迹方程的求解,直线恒过定点问题等知识,属于中等题.7.函数���=���������2���⋅������+1������−1的部分图象大致为()A.B

.C.D.【答案】B【解析】解:函数���=���(���)=���������2���⋅������+1������−1(���≠0),���(−���)=sin(−2���)⋅���−���+1���−���−1=−���������2���⋅1+�����

�1−������=���(���),可得���(���)为偶函数,其图象关于���轴对称,可排除选项A、���;由���=0,可得���������2���=0,可得2���=������,���∈���,即���

=12������,���∈���,���=1时,���=���2;当���=12<���2,���=���������1⋅���12+1���12−1>0,可排除选项D.故选:���.首先判断函数的奇偶性,可得图象的对称性,计算���=12时���的符号,可得结论.本题考查函数的图象的判断

,考查数形结合思想和推理能力,属于基础题.第4页,共15页8.已知函数���(���)的定义域为���,其图象关于原点及(2,1)对称.当���∈[0,2]时���(���)=log3(���+1),则下列叙述正确的是()A.���(���)是周期函数B.���(���)的

图象关于���=−2对称C.���(���)在(−∞,+∞)单调递增D.���(���)的值域为[−1,1]【答案】C【解析】解:根据题意,���(���)的定义域为���,其图象关于原点及(2,1)对称,则有���(−���)=−���(���)且���(−���)+

���(4+���)=2,综合可得:���(���+4)−���(���)=2,依次分析选项:对于���,���(���+4)−���(���)=2,即���(���+4)=���(���)+4,���(���)不是周期函数,A错误

;对于���,���(���)的定义域为���,其图象关于原点及(2,1)对称,则���(���)的图象也关于点(−2,−1)对称,B错误;对于���,当���∈[0,2]时���(���)=log3(���+1),此时���(���)在[0,2]上

为增函数,而���(���)为奇函数,则���(���)在[−2,2]上也是增函数,又由���(���+4)−���(���)=2,则���(���)在(−∞,+∞)单调递增,C正确;对于���,当���∈[0,2]时���(���)=log3(

���+1),此时���(���)∈[0,1],而���(���)为奇函数,则���(���)在[−2,2]有−1≤���(���)≤1,又由���(���+4)−���(���)=2,故���(���)的值域为���;故选:���.根据题意,由函数的对称性可得���(���+4)−���(��

�)=2,由此发现选项,即可得答案.本题考查抽象函数的性质,涉及函数的对称性,属于中档题.9.如图,某款酒杯的容器部分为圆锥,且该圆锥的轴截面为面积是163������2的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块,要求冰块高度不超过酒杯口高度,则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为()A.

33���������3B.83���������3C.256327���������3D.93���������3【答案】C【解析】解:设圆锥底面圆的半径为���������,圆柱形冰块的底面圆半径为���������

,高为ℎ������,由题意得34×(2���)2=163,解得���=4,第5页,共15页ℎ≤tan���3⋅(���−���)=3(4−���),(0<���<4),设圆柱形冰块的体积为���������3,则���≤3��

����2(4−���)(0<���<4),设���(���)=3������2(4−���),则���′(���)=3������(8−3���),当0<���<83时,���′(���)>0,当83<���<4时,���′(��

�)<0,∴���(���)=3������2(4−���)在���=83处取得极大值,也是最大值,∴���(���)���������=���(83)=2563���27.∴酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为2563���27.故选:���.先求出圆锥的底面圆半径,设冰方法能为的底面圆半径

为���������,用���表达出冰块的体积,利用导函数求出冰块体积的最大值.本题考查酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积的求法,考查圆锥、圆柱的性质、导数性质、函数极值等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.

10.���=���−���,���=���������−1,���=������−������,其中���,���分别是圆周率、自然对数的底数,则()A.���<���<���B.���<���<���

C.���<���<���D.���<���<���【答案】D【解析】解:由于���=���−���>0,���=���������−1>0,���=������−������>0;设函数���=���������,则������=���������−������

������−���,表示点(���,���������)和点(���,���������)的割线的斜率;而���′(���)=1���,当���>1时,曲线的斜率满足0<���<1;故0<������=���������−�����

�������−���<1;故���<���;设���(���)=������,则������=������−���������−���,表示点(���,������)和点(���,������)的割线的斜率,而���′(���)=��

����,当���>1时,曲线的斜线的斜率���>1,故������=������−���������−���>1,故���>���,故���>���>���;故选:���.直接利用构造函数和函数的求导的应用及数的比较的应用求出结果.本题考查的知识要点

:构造函数,函数的导数,数的大小比较,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于中档题.第6页,共15页11.已知函数���(���)=2���������(������+���6)(���>0),若方程|���(���)|=1在区间(0,2���)上

恰有5个实根,则���的取值范围是()A.(76,53]B.(53,136]C.(1,43]D.(43,32]【答案】D【解析】解:方程|���(���)|=1在区间(0,2���)上恰有5个实根,即|sin(������+���6)

|=12在区间(0,2���)上恰有5个实根,因为���∈(0,2���),所以������+���6∈(���6,2������+���6),作出���=|������������|和���=12的图象,如图:由图象可得17���6<2������+���6≤19���6,解得

43<���≤32,即���的取值范围是(43,32].故选:���.根据正弦函数的图象即可求解.本题主要考查正弦函数的图象与性质,考查数形结合思想与运算求解能力,属于中档题.12.已知函数���(���)=���������−2−���������+2

1������,若���(���)≥3,恒成立,则���的取值范围为()A.[1,+∞)B.[���,+∞)C.[���,+∞)D.[2���,+∞)【答案】C【解析】解:���(���)=���������−2−���������+21������,���,���∈(0,+∞

),���′(���)=���������−2−1���在���∈(0,+∞)(���>0)上单调递增,又���→0时,���′(���)→−∞;���→+∞时,���′(���)→+∞.∴存在唯一零点���0>0,

使得���������0−2=1���0,���������+���0−2=−���������0.且���0为函数���(���)的极小值点即最小值点.���(���0)=���������0−2−���������0+2���������=1���0+3�����

����+���0−2≥3���������≥3,∴���≥���.第7页,共15页故选:���.���(���)=���������−2−���������+21������,���,���∈(0,+∞),���′(���)=���������−2

−1���在���∈(0,+∞)(���>0)上单调递增,可得存在唯一零点���0>0,使得���������0−2=1���0,且���0为函数���(���)的极小值点即最小值点.利用���(���0)≥3,即可得出结论.本题考查了利用导数研究

函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.若实数���,���满足约束条件3���−2���+2≥0���+���≤2���≥0,���≥0,则���=���+2���的最大值为______.

【答案】185【解析】解:约束条件表示的平面区域如图所示,是由原点���,���(0,1),���(25,85),���(2,0)围成的四边形区域(包括边界),由线性规划可得当直线���=���+2���平移到���点时,目标函数���=���+2��

�有最大值,且最大值为:185.,故答案为:185.作出不等式组对应的平面区域,通过平行直线���=���+2���,利用数形结合即可的得到结论.本题主要考查线性规划的应用,利用���的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.14.如图,图形中的圆是正方形������������的内切圆

,点���,���,���,���为对角线������,������与圆的交点,若向正方形内随机投入一点,则该点落在阴影部分区域内的概率为______.【答案】4−���8【解析】解:设圆的半径为1,则将圆和正方形分成四个部分,则其中一个阴影部

分的面积为1−���4=4−���4,则题中四个阴影部分的面积等价为2个完整的阴影部分,则对应的面积为2×4−���4=4−���2,第8页,共15页则若向正方形内随机投入一点,则该点落在阴影部分区域内

的概率���=4−���22×2=4−���8,故答案为:4−���8.根据几何概型的概率公式,求出对应区域的面积即可.本题主要考查几何概型的概率的计算,根据定义求出对应区域面积是解决本题的关键,是中档题.15.已知数列{������

}的前���项和为������=12���2+12���,���∈���∗,且数列������=(−1)���2���+1������⋅������+1,���∈���∗,且数列{������}的前���项和为������,则���2022=______.

【答案】−20222023【解析】解:对于数列{������},∵������=12���2+12���,∴���1=���1=1,当���⩾2时,������=������−������−1=12���2+12���−12(���−1)2−12(���

−1)=���,���1=1也满足上式,∴������=���.∴������=(−1)���2���+1���(���+1)=(−1)���(1���+1���+1),则���2022=−(1+12)+(12+

13)−(13+14)+⋯−(12021+12022)+(12022+12023)=−1+12023=−20222023.故答案为:−20222023.根据通项公式和前���项和公式的关系求������,从而求得������,再利用裂项相消法求其前���项和即

可.本题考查了由������求������和裂项相消求和,属于中档题.16.已知双曲线���1:���29−���2���=1(���>0)的左、右焦点分别为���1,���2渐近线方程为7���±3���=0点���在圆���2:���2+���2=16

上,若���1���������=�����������且点���是双曲线���1右支上的点,则∠������2���1的正切值为______.【答案】−71517【解析】解:依题意双曲线���1:���29−���2���=1(���>0)的左

、右焦点分别为���1,���2渐近线方程为7���±3���=0,���=7,故F1(−4,0),���2(4,0),而���1���������=�����������,故点���为线段���1��

�的中点,而点���1,���2,���在圆上且���1���2为圆的直径,故F1���⊥���2���,故|������2|=2���=8,而|������1|−|������2|=6,故F1���=7,故在直角三角

形���1������2中,tan∠������1���2=157,tan∠������2���1=−���������2∠������2���2=−71517.故答案为:−71517.第9页,共15页求出��

�,得到���1(−4,0),���2(4,0),通过���1���������=�����������,说明点���为线段���1���的中点,说明���在圆上且���1���2为圆的直径,故F1���⊥���2���,通

过双曲线的定义,结合三角形求解即可.本题考查双曲线的定义、方程、性质,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象,是中档题.三、解答题(本大题共7小题,共80.0分)17.在△���������中,角���,���

,���的对边分别为���,���,���,且________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中,并给出解答.①2���−���=2���������������,②sin(���+���6)=������������+12,③������=(���−���,���−��

�),�����=(���+���,���),������⊥�����.(1)求角���;(2)若���=3,求△���������周长的取值范围.【答案】解:(1)选①由正弦定理及2���−���=2������

���������,2������������−������������=2������������������������,又������������=sin(���+���)=����������

��������������+������������������������,∴2������������������������=������������,∵������������≠0,∴������������=12,又���∈(0,���),∴���=���3;选

②由sin(���+���6)=������������+12,32������������+12������������=������������+12,即32������������−12������������=12,∴sin(���−���6)=12.∵���∈(0,�

��),∴���−���6∈(−���6,5���6),∴���−���6=���6,∴���=���3;选③∵���=(���−���,���−���),�����=(���+���,���),∵������⊥��

���∴(���−���)⋅(���+���)+(���−���)⋅���=0.化简得���2+���2−���2=������,������������=���2+���2−���22������=12,又∵���∈(0,���),∴���=���3;(2)由余弦

定理得���2=���2+���2−2������������������=���2+���2−������=(���+���)2−3������,又∵���+���2≥������,∴������≤(���+���)24当且仅当���=���时等号成立,∴3������=(���+���

)2−3≤34(���+���)2,∴0<���+���≤23,当且仅当���=���=3时等号成立.∴���+���+���≤23+3=33.又���+���>���,∴���+���+���>2���=23.∴△���������

周长的取值范围为(23,33].【解析】(1)选①由正弦定理结合和角公式得出角���;选②由和角公式结合辅助角公式得出角���;由数量积公式结合余弦定理得出角���;(2)由余弦定理结合基本不等式得出△�

��������周长的取值范围.第10页,共15页本题考查了正弦定理和余弦定理的应用,属于中档题.18.如图,△���������是边长为3的等边三角形,���,���分别在边������,������上,且������=������=2,���为������边的中点,������交������

于点���,沿������将△���������折到���������的位置,使������=152.(1)证明:������⊥平面������������;(2)若平面������������内的直线������//平面���������,且与边������交于点���,���是线段���

���的中点,求三棱锥���−���������的体积.【答案】解:(1)证明:在△���������中,������=3,������=32,������=152,所以������2=������2+������2,即������⊥������,又

������⊥������,������∩������=���,所以������⊥平面������������.(2)连接������,过���在平面������������上作������//������,交������于点���,则由�

�����⊂平面���������,������⊄平面���������,得������//面���������,即存在点���,且������������=23,使得������//平面���������.则������−���������=12������−���������=12×

13×���△���������×������=12×13×12×1×32×3=18,所以三棱锥���−���������的体积为18.【解析】(1)推导出������⊥������,������⊥������,由此能证明������⊥平面������������.(2)连接������,过

���在平面������������上作������//������,交������于点���,推导出������//面���������,从而存在点���,且������������=23,使得������//平面���������,由此能求出三棱锥���−

���������的体积.本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力,是中档题.19.为了解“朗读记忆”和“默读记忆”两种记忆方法的效率(记忆的平均时间)是否有差异

,将40名学生平均分成两组分别采用两种记忆方法记忆同一篇文章.由于事先没有约定用什么图表记录记忆所用时间(单位:���������),其结果是“朗读记忆”用茎叶图表示(如图①),“默读记忆”用频率分布直方图表示(分组区间为[24,28),[28,32),…,[48,52])(如图②

).第11页,共15页(Ⅰ)分别计算“朗读记忆”和估算“默读记忆”(估算时,用各组的中点值代替该组的平均值)记忆这篇文的平均时间(单位:���������);(Ⅱ)依据(Ⅰ),用���表示40位学生记忆的平均时间,完成下列

2×2列联表,判断“朗读记忆”和“默读记忆”两种记忆方法与其效率记忆的平均时间���是否有关联,并说明理由.参考公式和数据:小于���不小于���合计朗读记忆(人数)默读记忆(人数)合计���2=���(������−�

�����)2(���+���)(���+���)(���+���)(���+���).���(���2≥���)0.1000.0500.0100.001���2.7063.8416.63510.828【答案】解:(Ⅰ)“朗读记忆”的平均时间为120(26+28+30+31+

35+36+36+37+39+39+41+42+47+48+48+49+49+50+54+55)=41(���������),“默读记忆”的平均时间为(26×0.0125+30×0.0125+34×0.05+38×0.075+42×0.0375+46×0.05+5

0×0.0125)×4=39(���������).(Ⅱ)由(Ⅰ)可知���=140(41×20+39×20)=40,由频率分布直方图可得“默读记忆”中小于40���������的有(0.0125+0.0125+0.05+0.075)×4

×20=12人,所以2×2列联表如下:小于���不小于���合计朗读记忆(人数)101020默读记忆(人数)12820合计221840∴���2=40×(10×8−12×10)220×20×22×18≈0.404<2.70

6,∴“朗读记忆”和“默读记忆”两种记忆方法与其效率记忆的平均时间���无关.【解析】(Ⅰ)根据茎叶图求出“朗读记忆”的平均时间,根据频率分布直方图中各区间的中点值求“默读记忆”的平均时间.(Ⅱ)由(Ⅰ)求出���的值,计算“默读记忆”中小于4���的人数,得

到2×2列联表,计算���2,对照题目中的表格,得出统计结论.本题主要考查了茎叶图和频率分布直方图的应用,考查了平均数的求解,同时考查了独立性检验的实际应用,属于基础题.第12页,共15页20.已知函数���(���)=���−������������,其中���∈���.(1)讨论���(��

�)的单调性;(2)若������−1−������2≥−���������������对任意的���∈(0,+∞)恒成立,求实数���的取值范围.【答案】解:(1)因为���′(���)=1−������=���−������,���>0,当���≤0,���′(���)>0恒成立,所

以该函数在(0,+∞)上单调递增;当���>0,令���′(���)>0,解得���>���,令���′(���)<0,解得0<���<���,所以该函数的单调增区间为(���,+∞),单调减区间为(0,���).综上,当���≤0

,���(���)的单调递增区间为(0,+∞);当���>0,���(���)的单调增区间为(���,+∞),单调减区间为(0,���).(2)要������−1−������2≥−���������������对任意的���∈(0,+∞)恒成立,只要�����

�−1≥������2−���������������=���(���2−������������),因为���2−������������=���(���−���������)>0,所以只要������−1���2

−������������≥���,令���(���)=������−1���2−������������,���>0,则���′(���)=������−1(���−1−���������)(���−1)(���2−������������)2,因为��

�−1≥���������,所以当���∈(0,1)时,���′(���)<0,���(���)单调递减;当���∈(1,+∞)时,���′(���)>0,���(���)单调递增,所以������������(���)=���(1)=1,所以���≤���������

���(���)=1,即���的取值范围是(−∞,1].【解析】(1)先求导,再分类讨论导数正负,确定单调区间;(2)先分离参数���,再利用导数求函数最小值,从而确定���的取值范围.本题考查了利用导数研究函数的单调性质,利用导数研究函数最值问题,属于中档题.21.己知椭圆�

��的中心在原点,左焦点���1、右焦点���2都在���轴上,点���是椭圆���上的动点,△���1������2的面积的最大值为3,在���轴上方使������1�������.������2�������=2,成立的点���只有一个.(���)求椭圆���的方程:(2)过

点(−1,0)的两直线���1,���2分别与椭圆���交于点���,���和点���,���.且,���1⊥���2,比较12������+������与7������������的大小.【答案】(1)解:根据已知设椭圆���的方程为���2���2+���2���2=1(���>���>

0),���=���2−���2,∵在���轴上方使������1�������.������2�������=2成立的点���只有一个,∴在���轴上方使������1�������.������2�������=

2成立的点���是椭圆���的短轴的端点,当点���是短轴的端点时,由已知得第13页,共15页{������=3,������1�������·������⇀2=���2−���2=2,���=���2−���2,解得���=2,���=3.∴椭圆���的方程为���24+���23=1

;(2)12(|������|+|������|)=7|������||������|,若直线������的斜率为0或不存在时,或|������|=2���=4且|������|=2���2���=3,由12(

|������|+|������|)=12×(3+4)=84,7|������||������|=7×3×4=84得12(|������|+|������|)=7|������||������|,若������的斜率存在且不为0时,设������

:���=���(���+1)(���≠0),由{���=���(���+1)���24+���23=1得(4���2+3)���2+8���2���+4���2−12=0,设���(���1,���1),���(

���2,���2),则���1+���2=−8���24���2+3,���1���2=4���2−124���2+3,于是|������|=1+���2|���2−���1|=(1+���2)[(���1+���2)2−4���1���2]=12(���2+1)4���2+3,同理

可得|������|=12[(−1���)2+1]4(−1���)2+3=12(���2+1)3���2+4.∴1|������|+1|������|=3���2+4+4���2+312(���2+1)=712.

∴12(|������|+|������|)=7|������||������|.综上述,12(|������|+|������|)=7|������||������|.【解析】本题考查椭圆的标注方程,以及直线与椭圆的位置关系,以及椭圆中的最值问题,属于综合题,属于较难题.(1)解:

首先设椭圆���的方程,在���轴上方使������1�������.������2�������=2成立的点���是椭圆���的短轴的端点,代入求得椭圆方程;(2)分类讨论,当直线������的斜率为0或不存在时,求出������、和������,再由条

件得12(|������|+|������|)=7|������||������|,若������的斜率存在且不为0时,设出������的方程,再和椭圆联立方程组,消掉未知数���的到关于���的一元二次方程,设出���,���

的坐标,再由根与系数的关系表示出两根和与积,代入弦长公式,求得|������|,同理可求得1|������|+1|������|=3���2+4+4���2+312(���2+1)=712,所以可得12(|������|+

|������|)=7|������||������|,从而得到结论.22.在数学中,有多种方程都可以表示心型曲线,其中著名的有笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点���为极点,���轴正半轴为极

轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为���=1−������������(0≤���<2���,���≥0)第14页,共15页���为该曲线上一动点.(1)当|������|=

12时,求���的直角坐标;(2)若射线������逆时针旋转���2后与该曲线交于点���,求△���������面积的最大值.【答案】解:(1)因为|������|=12,所以12=1−������������,������������=12,因为

0≤���<2���,所以���=���6或���=5���6,所以���的极坐标为(12,���6)或(12,5���6),故���的直角坐标为(34,14)或(−34,14).(2)设���(���1,���),���∈[0,2���),则

���(���2,���+���2).因为���1=1−������������,���2=1−sin(���+���2)=1−������������,所以���△���������=12|������||

������|=12(1−������������)(1−������������)=12[1−(������������+������������)+������������������������].令���=������������+������������=2sin(���

+���4)∈[−2,2],则������������������������=���2−12.所以���△���������=12(1−���+���2−12)=14���2−12���+14=14(���−1)2,当���=−2

时,���△���������有最大值3+224,此时sin(���+���4)=−1,���=5���4,故���△���������的最大值为3+224.【解析】(1)直接利用转换关系,在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换;(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.

本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.23.已知函数���(���)=|���+���|−|���+���2|.(1)若���=2,求不等式���(���)<���

的解集;(2)若∃���∈���,∃���∈[0,2]使得���(2���)>���能成立,求实数���的取值范围.【答案】解:(1)当���=2,���(���)=|���+2|−|���+4|<���,①当���<−4时,可得−���−2+���+4<���⇒��

�>2,∴���∈⌀,②当−4≤���<−2时,可得−���−2−���−4<���⇒���>−2,∴���∈⌀,③当���≥−2时,可得���+2−���−4<���⇒���>−2,∴���>−2,综上,不等式���(���)<���的解集为{���|���>−2

}.(2)依题意,���(2���)>���⇔|2���+���|−|2���+���2|>���,又∵|2���+���|−|2���+���2|≤|2���+���−2���−���2|=|���−���2|,故|���−���2|>���,第15

页,共15页令���(���)=|���−���2|,���∈[0,2],画出函数���(���)的图象如下,结合���(���)的图象知,���(���)���������=���(2)=2,∴���<2

,∴���的取值范围为(−∞,2).【解析】(1)利用零点分段法求出不等式解集即可.(2)由绝对值的定义化为|���−���2|>���,再画出函数���(���)=|���−���2|的图象,从而求得实数���的取值范围.本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题,也考查了使不等式成立问

题,是中档题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com

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