【文档说明】山西省太原市第五中学2022届高三下学期5月阶段性检测 数学(理) 教师用卷.pdf,共(18)页,1.273 MB,由管理员店铺上传
转载请保留链接:https://www.doc5u.com/view-0bf495196de986798dc56e27ec61ec98.html
以下为本文档部分文字说明:
第1页,共17页2022年太原五中高三年级数学模拟试题(理科)命题:凌河审校:王志军桑小燕一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)1.设集合���={���∈���||���|<5},���={���|���=ln(���2+2��
�−3),���∈���},则∁������=()A.[−3,1]B.{−3,−1}C.{−2,−1,0,1,2}D.{−3,−2,−1,0,1}【答案】D【解析】解:���={���∈���||���|<5}={−4,−3,−2,−1,0,1
,2,3,4},���={���|���=ln(���2+2���−3)={−4,2,3,4},故∁������={−3,−2,−1,0,1},故选:���.分别化简集合���、���,再求补集即可.本题考查集合的基本运算,是基本知识的考查,属于基础题.2.若复数���满足�
��(1+���)=|2−5���|+2���,则���的共轭复数���−对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】解:∵|2−5���|=22+(−5)2=3,∴���(1+���)=|2−5���|+2���=3+2���,∴���=3+2���1+���
=(3+2���)(1−���)(1+���)(1−���)=52−12���,∴���−=52+12���,∴���−对应的点(52,12)在第一象限.故选:���.根据已知条件,结合复数模公式,以及复数的四则运算对���化简,再结合共
轭复数的定义和复数的几何意义,即可求解.本题主要考查复数的四则运算,以及复数的性质,属于基础题.3.已知向量�����=(3,1),�����=(1,3),且(�����+�����)⊥(�����−��������),则���的值为()A.−2B.−1C.1D.2【答案】C
第2页,共17页【解析】解:∵向量�����=(3,1),�����=(1,3),且(�����+�����)⊥(�����−��������),∴(�����+�����)⋅(�����−��������)=�����2+(1−���)�����⋅�����−��������2=10+(
1−���)(3+3)−10���=0,∴���=1,故选:���.由题意,利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式,求得���的值.本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式,属于基础题.4.某中学高三
(1)班有50名学生,在一次高三模拟考试中,经统计得:数学成绩���∽���(110,100),则估计该班数学得分大于120分的学生人数为()(参考数据:���(|���−���|<���)≈0.68,���(|���−���|<2���)≈0.95)A
.16B.10C.8D.2【答案】C【解析】【分析】本题考查正态分布的概率计算,属于基础题.由正态分布的概率计算即可求解.【解答】解:���(���>120)=���(���>���+���)=1−��
�(|���−���|<���)2=0.16,50×0.16=8,故选:���.5.函数���=���������2���⋅������+1������−1的部分图象大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解:函数���=���(���)
=���������2���⋅������+1������−1(���≠0),���(−���)=sin(−2���)⋅���−���+1���−���−1=−���������2���⋅1+������1−������=���(���),可得���(���)为偶函数
,其图象关于���轴对称,第3页,共17页可排除选项A、���;由���=0,可得���������2���=0,可得2���=������,���∈���,即���=12������,���∈���,���=1时,���=���2;当���=12<���2,���=���������1⋅
���12+1���12−1>0,可排除选项D.故选:���.首先判断函数的奇偶性,可得图象的对称性,计算���=12时���的符号,可得结论.本题考查函数的图象的判断,考查数形结合思想和推理能力,属于基础题.6
.如图为陕西博物馆收藏的国宝--唐金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线���:���2���2−���2���2=1(���>0,���>0)的右支与直线���=0,���=4,���=−2围成的曲边四边
形������������绕���旋转一周得到的几何体,若该金杯主体部分的上口外直径为1033,下底外直径为2393,则下列曲线中与双曲线���共渐近线的是()A.���23−���2=1B.���29−���23=1C.���24−���2=1
D.���23−���26=1【答案】A【解析】解:根据题意,双曲线���经过点(533,4),(393,−2),则有253���2−16���2=1133���2−4���2=1,解可得���2=3,���2=9,则双曲线���的方程为���23−���
29=1,其渐近线方程为���=±3���,由此依次分析选项:对于���,���23−���2=1,其渐近线方程为���=±3���,符合题意,对于���,���29−���23=1,其渐近线方程为���=±33���,不符合题意,对于���,���24−���2=1
,其渐近线方程为���=±2���,不符合题意,对于���,���23−���26=1,其渐近线方程为���=±2���,不符合题意,故选:���.第4页,共17页根据题意,分析可得双曲线���经过点(533,
4),(393,−2),由待定系数法求出���的方程,即可得其渐近线方程,依次求出选项中双曲线的渐近线方程,即可得答案.本题考查双曲线的几何性质,涉及双曲线的标准方程的求法,属于基础题.7.“烂漫的山花中,我们发现你.自然击你以风雪,你报之以
歌唱.命运置你于危崖,你馈人间以芬芳.不惧碾作尘,无意苦争春,以怒放的生命,向世界表达倔强.你是岸畔的桂,雪中的梅.”这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词,她用实际行动奉献社会,不求回报,只愿孩子们走出大山.受张桂梅老
师的影响,有大量志愿者到乡村学校支教,现有8名志愿者要到4个学校参加支教活动,要求甲、乙两个学校各安排一个人,剩下两个学校各安排3个人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有()A.156种B.1000种C.880种D.1120种
【答案】C【解析】解:不考虑小李和小王是否在一起,要求甲、乙两个学校各安排一个人,剩下两个学校各安排3个人,其方法共有:���82⋅���63⋅���33=1120种;考虑小李和小王在一起,要求甲、乙两个学校各安排一个人,剩下两个学校各安排
3个人,其方法共有:���62⋅���22⋅���41⋅���22=240种;因此要求甲、乙两个学校各安排一个人,剩下两个学校各安排3个人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有1120−240=880种
.故选:���.不考虑小李和小王是否在一起,要求甲、乙两个学校各安排一个人,剩下两个学校各安排3个人,其方法共有:���82⋅���63⋅���33种;考虑小李和小王在一起,要求甲、乙两个学校各安排一个人,剩下
两个学校各安排3个人,其方法共有:���62⋅���22⋅���41⋅���22;即可得出结论.本题考查了排列组合的应用、分类讨论方法、转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.已知数列{1(2���−1)(2���+3)}的前
���项和为������,则使“∀���∈���∗,不等式6������<���2−���恒成立”为真命题的一个充分不必要条件是()A.���≤−2或���≥0B.���≤0或���≥1C.���>0D.���≤−2【答案】D【解析】解:∵1(2���−1)(2���+3)=14
(12���−1−12���+3),∴������=14[(1−15)+(13−17)+(15−19)+(17−111)+...+(12���−1−12���+3)]=14[(1+13−12���+1−12���+3)=13−���+1(2���+1)(2���+3),第5页,共17页∵�
�����+1−������=���+1(2���+1)(2���+3)−���+2(2���+3)(2���+5)=2���+3(2���+1)(2���+3)(2���+5)>0,∴{������}为增数列,∴������<13,∵∀���∈���∗
,不等式6������<���2−���恒成立为真命题,∴���2−���≥2,∴���2−���−2≥0,∴���≥2或���≤−1,∵{���|���≤−2}⫋{���|���≥2或���≤−1},故选:���.利用裂项法求出������=13−���+1(2��
�+1)(2���+3),再判断数列单调性,求出������<13,解不等式求出���≥2或���≤−1,再利用充要条件的定义判定即可.本题考查了利用裂项法求数列的和,数列单调性的判断,充要条件的判定,属于中档题.9.已知三棱柱���������−���1���1���1的6个顶点全部在球�
��的表面上,������=������,∠���������=120°,三棱柱���������—���1���1���1的侧面积为8+43,则球���表面积的最小值是()A.4���B.16���
C.16���3D.32���3【答案】B【解析】【分析】本题考查简单几何体及其外接球,考查空间想象能力,是中档题.由已知先求得球体半径的最小值,再计算表面积即可.【解答】解:设三棱柱���������−���1�
��1���1的高为ℎ,������=������=���,因为∠���������=120∘,所以������=3���,则该三棱柱的侧面积为(2+3)���ℎ=8+43,故���ℎ=4,���=4ℎ,设△���������的外接圆半径为���,则���=������2si
n∠���������=���,设球���的半径为���,则���2=���2+(ℎ2)2=���2+ℎ24=16ℎ2+ℎ24≥4(当且仅当ℎ=22时,等号成立),故球���的表面积为,故选B.10.正实数���,���,���满足���+2−���=2,���+3���=3,���+log4��
�=4,则实数���,���,���之间的大小关系为A.���<���<���B.���<���<���C.���<���<���D.���<���<���【答案】A【解析】【分析】本题考查比较大小,考查函数的零点与方程根的关系,考查指数函数的图象及其性质、对数函数图象
及其第6页,共17页性质,属于中档题.利用指数函数图象及其性质、对数函数图象及其性质,结合函数的零点与方程根的关系,可得1<���<2,12<���<1,3<���<4,即可求解.【解答】解:∵���+2−
���=2,即���+2−���−2=0,即2−���=2−���,���=2−���与���=2−���的图象在0,+∞只有一个交点,则���+2−���−2=0在0,+∞只有一个根���,令������=���+2−���
−2,���2=2+2−2−2=14>0,���1=1+2−1−2=−12<0,���(1)���(2)<0,则1<���<2;∵���+3���=3,即���+3���−3=0,即3���=3−���,由���=
3���与���=3−���的图象在0,+∞只有一个交点,则���+3���−3=0在0,+∞只有一个根���,令������=���+3���−3,���1=1+3−3=1>0,���12=12+312−3=3−52<0
,���1���12<0,故12<���<1;∵���+log4���=4,即log4���=4−���,即���+log4���−4=0,由���=log4���与���=4−���的图象在0,+∞只有一个交点,则���+log4�
��−4=0在0,+∞只有一个根���,令ℎ���=���+log4���−4,ℎ4=4+log44−4=1>0,ℎ3=3+log43−4=log43−1<0,ℎ(3)ℎ(4)<0,则3<���<4;∴���<���<���故选A.11.已知函数���(���)=2����
�����(������+���6)(���>0),若方程|���(���)|=1在区间(0,2���)上恰有5个实根,则���的取值范围是()A.(76,53]B.(53,136]C.(1,43]D.
(43,32]【答案】D第7页,共17页【解析】解:方程|���(���)|=1在区间(0,2���)上恰有5个实根,即|sin(������+���6)|=12在区间(0,2���)上恰有5个实根,因为���∈(0,2���),所以������+���6∈(���6,
2������+���6),作出���=|������������|和���=12的图象,如图:由图象可得17���6<2������+���6≤19���6,解得43<���≤32,即���的取值范围是(43,32].故选:���.根据正弦函数
的图象即可求解.本题主要考查正弦函数的图象与性质,考查数形结合思想与运算求解能力,属于中档题.12.已知函数���(���)=������|���|−2−12���2−ln(���+1)+���������,若���(���)≥3恒成立,则���的取值范围为()A.
[���,+∞)B.[2���,+∞)C.[���2,+∞)D.[2���2,+∞)【答案】C【解析】解:∵���(���)≥3恒成立,���∈(−1,+∞),���∈(0,+∞),取���=0,则���(0)=
������2+���������=���(���)在���∈(0,+∞)上单调递增,取���=���2时,���(���2)=1+2=3,因此���≥���2.取���=���2时,���(���)=���−���−12���2−ln(���+1)+2,−1<���<0�
�����−12���2−ln(���+1)+2,���≥0,−1<���<0时,���′(���)=−���−���−���−1���+1=���(���),���′(���)=���−���−1+1(���+1)2>���′(0)=1>0,∴���(���)在(−1,0)上单调递增,∴���
′(���)<���′(0)=−2<0,此时函数���(���)单调递减.同理可得:���≥0时,���′(���)=������−���−1���+1>���′(0)=12>0,此时函数���(���)单调递增,���(0)=3,因此���(���
)≥3恒成立,∴���的取值范围为[���2,+∞),故选:���.第8页,共17页由���(���)≥3恒成立,���∈(−1,+∞),���∈(0,+∞),取���=0,可得���(0)=������2+���������=���(���)在���∈(
0,+∞)上单调递增,取���=���2时,���(���2)=3,于是���≥���2.取���=���2时,���(���)=���−���−12���2−ln(���+1)+2,−1<���<0������−12���2−ln(���+1)+2,���≥0,利用导数研究其
单调性即可得出结论.本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、取特殊值法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.若实数���,���满足条件���+���−1≥0���−���+1≥02���+���−2≤
0,则3���−2���的最小值为______.【答案】−2【解析】【分析】本题考查简单的线性规划,考查数形结合思想,是基础题.由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,由图可
得���(0,1),令���=3���−2���,得���=32���−���2,由图可知,当直线���=32���−���2过���时,直线在���轴上的截距最大,���有最小值为−2,故答案为:−2.14.2022年
北京冬奥会、谷爱凌在女子自由式滑雪大跳台比赛中夺得冠军.而2021年12月5日美国站女子自由式滑雪大跳台的比赛当时却充满悬念.中国选手谷爱凌的竞争对手主要是来自法国的������������������������������和挪威的������ℎ����������������
��������������.比赛分三轮,取最好的两个成绩的总分决出胜负,首轮比赛谷爱第9页,共17页凌正常发挥,跳出了88.25分的成绩,而法国的������������������������������和挪威的������ℎ
������������������������������则分别跳出了93分和91.5分的成绩,位居前2名,谷爱凌是否夺冠就看接下来的两轮比赛了.根据以往的比赛资料和本站参加此项目的选手情况,可以认定这个项目的前三名就锁定在这三位选手中.这时候有四位体育评论员对最终的比赛结果做出了预测:①谷爱
凌是第二名或第三名,������������������������������不是第三名;②������������������������������是第一名或第二名,谷爱凌不是第一名;③������������������������������是第一名;④����������
��������������������不是第一名;其中只有一位评论员预测对了,则正确的是______(填序号).【答案】④【解析】解:由题意,假设①正确,则②③④错误,因为③和④错误,相互矛盾,所以假设错误,即①不正确;同理可得②不正确;假设③正确,则①②④错误,因为①错误,所以������
������������������������是第三名,这与③������������������������������是第一名矛盾,所以假设错误,即③不正确;假设④正确,则①②③错误,即谷爱凌不是第二名且不是第三名,���������
���������������������是第三名;������������������������������不是第一名且不是第二名,谷爱凌是第一名;�����������������������������
�不是第一名,符合题意.综上,正确的是④.故答案为:④.由题意,分别假设①正确,②正确,③正确和④正确,进行逻辑推理即可得答案.本题考查合情推理,考查学生的推理能力,属于中档题.15.设函数���(���)=���������2(−���2),���≤−1−1
3���2+43���+23,���>−1,若���(���)在区间[���,4]上的值域为[−1,2],则实数���的取值范围为______.【答案】[−8,−1]【解析】解:函数���(���)的图象如图所示,结合图象易得当���
∈[−8,−1]时,���(���)∈[−1,2].故答案为:[−8,−1].函数���(���)的图象如图所示,结合图象易得答案第10页,共17页本题考查了函数的值域和定义域的关系,关键是画图,属于基础题.16.过抛物线��
�:���2=4���的准线���上一点���作���的切线������,������,切点分别为���,���,设弦������的中点为���,则|������|的最小值为______.【答案】2【解析】解:设点���(���1,���124),���(���2,���224)
,由���2=4���,知���=14���2,则���′=12���,所以过点���的切线方程为���=���12(���−���1)+���124,将点(���,−1)代入,化简得���12−2������1−4=0,同理
可得���22−2������2−4=0,所以���1,���2是关于���的方程���2−2������−4=0的两个根,由根与系数的关系知���1+���2=2���,���1���2=−4,所以���1+���22=���,即������中点���的横坐标为���,而点���的横坐标也为�
��,所以直线������与���轴平行.点���(���,���12+���228),则|������|=���12+���228+1=(���1+���2)2−2���1���28+1=4���2+88+1=12���2+2≥2,当�
��=0时,|������|���������=2.故答案为:2.设点���(���1,���124),���(���2,���224),由���2=4���,知���=14���2,则���′=12�
��,然后求解切线方程,通过���1,���2是关于���的方程���2−2������−4=0的两个根,可得直线������与���轴平行.点���(���,���12+���228),|������|=���12+���228+1,求解可得|������|的最
小值.本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力,是难题.三、解答题(本大题共7小题,共80.0分)17.已知△���������的内角���,���,���的对边分别为���,���,���,且���=7,
���=3,______.(1)求△���������的面积���;(2)求角���的平分线������的长.在①����������⋅�����������=−332;②1−2������������2������������−1=73
;③������������=23cos2���2.这三个条件中任选一个,补充在上面问题的横线中,并作答.【答案】解:(1)选①:因为����������⋅�����������=−332,所以���������������(���−���)=−332,又
���=7,���=3,所以������������=1114,所以������������=5314所以���△���������=12������������������=1534.第11页,共17页选②:因为���=7,���=3,所以由正弦定理可得1−2���������
���2������������−1=73=������=������������������������,所以������������−2������������������������=2������������������������−������������,������������+�
�����������=2������������������������+2������������������������=2������������,由正弦定理可得���+���=2���,所以���=5,由余弦定理可得,����������
��=���2+���2−���22������=−12,由���∈(0,���),所以���=2���3,所以���△���������=12������������������=1534.选③:因为������������=23cos2���2,所以2������
������2cos���2=23cos2���2,由���∈(0,���),cos���2>0,所以tan���2=3,���=2���3,由余弦定理可得,������������=���2+���2−���22����
��=−12,所以���=5,所以���△���������=12������������������=1534.(2)选①:由余弦定理可得,���2=���2+���2−2������������������=25,所以���=5.所以������������=���2+���2−�
��22������=−12,由���∈(0,���),所以���=2���3,因为���△���������=12���⋅������⋅sin���2+12���⋅������⋅sin���2=1534,所以可解得������=158.选②:因为���△���������=12��
�⋅������⋅sin���2+12���⋅������⋅sin���2=1534,所以可解得������=158.选③:因为���△���������=12���⋅������⋅sin���2+12���⋅������⋅sin���2=1534,所
以可解得������=158.【解析】(1)选①:由平面向量数量积的定义化简已知等式可求得������������,再求������������,即可由三角形面积公式求得面积;选②:由正弦定理得1−2�������
�����2������������−1=73=������=������������������������化简即可求得���,再由余弦定理求得������������,再求������������,即可由三角形面积公式求得面积:选③
:由倍角公式化简已知等式可得tan���2,即可求得���,再由余弦定理求得������������,再求������������,即可由三角形面积公式求得面积.(2)选①:由余弦定理���2=���2+���2−2������������������求得�
��,再由余弦定理求得������������,即可求得���,最后由���△���������=12���⋅������⋅sin���2+12���⋅������⋅sin���2=1534可解得������.选②:由���△���������=12���⋅������⋅sin���2+12��
�⋅������⋅sin���2=1534即可解得������;选③:由���△���������=12���⋅������⋅sin���2+12���⋅������⋅sin���2=1534即可解得������.本题考查了平面向量数量积的定义,三角形
面积公式,正弦定理,余弦定理在解三角形中的综合应用,考第12页,共17页查了计算能力和转化思想,属于中档题.18.如图,△���������是边长为3的等边三角形,���,���分别在边������,������上,且������=������=
2,���为������边的中点,������交������于点���,沿������将△���������折到���������的位置,使������=152.(1)证明:������⊥平面������������;(2)若平面������������
内的直线������//平面���������,且与边������交于点���,问在线段������上是否存在点���,使二面角���−������−���的大小为60°?若存在,则求出点���;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)证明:在△���������中,由题意������=3,�
�����=32,������=152,∵������2=������2+������2,∴������⊥������,∵������=������=2,������=������=3,∴������
//������,∵���为������中点,∴������⊥������,∴������⊥������,∵������∩������=���,������,������⊂平面������������,∴������⊥平面������������.(2)连接������,过�
��作������//������,交������于���,������⊂平面���������,������⊄平面���������,∴������//平面���������,∵������//������,∴四边形������������是平行四边形,∴������
=������=1,如图,建立空间直角坐标系���−���������,设�����������=���������������,(0≤���≤1)���(0,0,3),���(0,32,0),���(1,0,0),���(−12,32,
0),∴������������=(0,32,−3),�����������=(−32,32,0),�����������=(0,32���,−3���),�����������=�����������+�����������=(−1,32���,3−3���)
,平面���������的法向量�����=(0,0,1),设平面���������的法向量������=(���,���,���),则������⋅�����������=−32���+32���=0������⋅�����������
=−���+32������+(3−3���)���=0,取���=1,得������=(1,3,1−32���3−3���),∵在线段������上存在点���,使二面角���−������−���的大小为60°,∴
���������60°=|�����⋅������||�����|⋅|������|=|1−32���3−3|1+3+(1−32���3−3���)2,解得���=2(舍)或���=67,此时,�����������=67������������=(0,3
37,−637),∴在线段������上存在点���,使二面角���−������−���的大小为60°,���点坐标为(0,337,37).第13页,共17页【解析】(1)先由勾股定理证明������⊥������,再推
导出������⊥������,能证明������⊥平面������������.(2)连接������,过���作������//������,交������于���,建立空间直角坐标系���−���������,利用向量法求
解.本题考查线面垂直的证明,考查满足二面角的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.为积极响应国家强化稳就业号召,我国某世界500强企业加大招聘力度,在秋季招聘结束后,又面向应届大学毕业生全面启动了202
2年春季校园招聘活动.招聘方式分笔试、面试这两环节进行,笔试合格后才能参加面试,面试合格后便被该企业正式录取,且这几个环节能否过关相互独立.现���大学有甲、乙、丙三名应届硕士研究生报名参加了该企业的春季校园招聘,并已通过该企业的资料初审.笔试环节设置���,��
�两个科目,其中甲通过���,���科目测试的概率分别为23,34,乙通过���,���科目测试的概率分别为34,45,丙通过���,���科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为23.(1)求甲、乙、丙三人中恰
有一人通过笔试的概率;(2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案:只参加了笔试的同学奖励60元,参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说,奖金越高难度越大,故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为18
0元的概率,试通过计算判断丁同学的说法是否正确;(3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为���,求���的分布列和数学期望.【答案】解:设事件���表示甲通过笔试,事件���表示乙通过笔试,事件���表示丙通过笔试,则���(���)=23×
34=12,���(���)=���(���)=34×45=35,(1)甲、乙、丙三人中恰有一人笔试合格的概率为���=���(������−���−+���−������−+���−���−���)=���(���)���(���
−)���(���−)+���(���−)���(���)���(���−)+���(���−)���(���−)���(���)=12×(1−35)2+(1−12)×35×(1−35)×2=825.(2)若这三名同学获得180元的总奖金
,则表明他们三人都末进人面试,故所求的概率为���1=���(���−���−���−)=���(���−)���(���−)���(���−)=(1−12)×(1−35)2=225,若这三名同学获得总奖金为480元,则表明他们三人都进入了面试,故所
求的概率为���2=���(���������)=���(���)���(���)���(���)=12×35×35=950.因为���1<���2,所以丁同学的说法错误.(3)甲被录取的概率为���3=23×34×23=13,乙被录取的概率为���4=34×45×23=25,丙被录取的概率
为���5=���4=25.由题意可知,���的取值范围为{0,1,2,3},���(���=0)=(1−13)(1−25)2=625,���(���=1)=13×(1−25)2+(1−13)×25×(1−25)×2=1125,第1
4页,共17页���(���=2)=13×25×(1−25)×2+(1−13)×25×25=415,���(���=3)=13×25×25=475,所以���的分布列如下表:���0123���6251125415475所以
数学期望���(���)=0×625+1×1125+2×415+3×475=1715.【解析】(1)利用相互独立事件求出概率即可,(2)求出三名同学获得奖金数,求出概率,再判断即可,(3)求出三人被录取的概率,再求���可能的取值,再求概率与分布列即可.本题考查离散型随机变量
的分布列与期望,考查学生的运算能力,属于中档题.20.已知���1,���2为椭圆���:���2���2+���2���2=1(���>���>0)的左、右焦点,点���(1,233)在椭圆上,且过点���2的直线���交椭圆于���,���两点,△��
����1���的周长为43.(1)求椭圆���的方程;(2)已知抛物线有性质:“过抛物线���2=2px(���>0)的焦点为���的弦������满足|AF|+|BF|=2���|AF|⋅|BF|.”那么对于椭圆���,问否存在实数���,使得|������2|+|������2|=���|
������2|⋅|������2|成立,若存在求出���的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)根据椭圆的定义,可得|������1|+|������2|=2���,|������1|+|������2|=2���,△������
1���的周长为4���=43,得���=3,所以,椭圆���的方程为:���23+���2���2=1,将点���(1,233)代入椭圆���的方程可得���=2,所以椭圆���的方程为���23+���22=1.(2)由(1)可知���=���2−���2=1,得���2(1,
0),依题意可知直线���的斜率不为0,故可设直线���的方程为���=������+1,由���23+���22=1���=������+1消去���,整理得(2���2+3)���2+4������−4=0,设�
��(���1,���1),���(���2,���2),则���1+���2=−4���2���2+3,���1���2=−42���2+3,不妨设���1>0,���2<0,|������2|=(
���1−1)2+���12=(������1+1−1)2+���12=���2+1���1,同理|������2|=−���2+1⋅���2,所以1|������2|+1|������2|=1���2+1⋅���1−1���2+1⋅���2=1���2+1⋅���2−���1��
�1���2=1���2+1⋅−(−4���2���2+3)2−4×−42���2+3−42���2+3第15页,共17页1���2+1·43���2+14=3,即|������2|+|������2|=3|������2|⋅|������2|,所以存在实数���=3,使
得|������2|+|������2|=���|������2|⋅|������2|成立.【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆方程的求法,考查转化思想以及计算能力,是难题.(1)利用椭圆的定义,结合三角形的周长,求出���,设出椭圆方程,代入点的坐标求解即可点
的椭圆方程.(2)求出���2(1,0),设直线���的方程为���=������+1,与椭圆方程联立,消去���,整理得(2���2+3)���2+4������−4=0,设���(���1,���1),���(���2,���2),利用韦达定理,不妨设���1>0
,���2<0,求出|������2|,|������2|,通过1|������2|+1|������2|,转化求解,推出|������2|+|������2|=3|������2|⋅|������2|,即可求解.21.已知函数���(���)=���������−2������,���
∈���.(1)讨论函数���(���)的单调性;(2)若关于���的不等式���(���)−���������≤������������������−������������在区间(0,+∞)上恒成立,求���的取值范围.【答案】解:(1
)函数���(���)=���������−2������的定义域是(0,+∞),且���′(���)=1���−2���,当���≤0时,���′(���)>0,此时���(���)的单调递增区间是(0,+∞),无单调减区间;当���>0时,令���′(���)>0,解得0<��
�<12���,此时���(���)的单调递增区间为(0,12���),令���′(���)<0,解得���>12���,此时���(���)的单调递减区间为(12���,+∞).(2)不等式���(���)−���������≤������������������−
������������在区间(0,+∞)上恒成立,即������������≤2������+������������������在区间(0,+∞)上恒成立,即������������2+����������
��−������≤0在区间(0,+∞)上恒成立;设���(���)=������������2+������������−������,���∈(0,+∞),则���′(���)=2������������+1(2+������������)2−
���,且���′(0)=13−���,因为2������������+1(2+������������)2=2������������+4−3(2+������������)2=22+������������−3(2+������������)2
,令���=2+������������,���∈[1,3],则1���∈[13,1],则2������������+1(2+������������)2=2���−3���2=−3(1���−13)2+13∈[−1,13],当���≥13时,���′(���)=2������������+1(2
+������������)2−���≤0(不恒为0),所以���(���)在(0,+∞)上单调递减;所以当���∈(0,+∞)时,���(���)<���(0)=0,符合题意;当���<13时,���′
(0)=13−���>0,因为���′(���)的图象是不间断的,所以存在���0∈(0,+∞),使得对任意的���∈(0,���0),总有���′(���)>0,所以���(���)在区间(0,���0)上单调递增,第16页,共17页所以对任意的���∈(0,���0),
总有���(���)>���(0)=0,这与题设矛盾,综上知,实数���的取值范围是[13,+∞).【解析】(1)求出函数���(���)的定义域和导数,讨论���的取值范围,利用导数判断函数���(���)的单调性;(2)问题转化为������������2+���
���������−������≤0在区间(0,+∞)上恒成立,设���(���)=������������2+������������−������,���∈(0,+∞),求���(���)的导数,利用导数判断函数的单调性,讨论���的取值情况
,从而求出不等式恒成立时实数���的取值范围.本题考查了利用导数研究函数的单调性与求函数极值、最值的应用问题,也考查了推理与运算能力,是难题.22.在数学中,有多种方程都可以表示心型曲线,其中著名的有笛卡尔心
型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点���为极点,���轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为���=1−������������(0≤���<2���,���≥0)���为该曲线上一动点
.(1)当|������|=12时,求���的直角坐标;(2)若射线������逆时针旋转���2后与该曲线交于点���,求△���������面积的最大值.【答案】解:(1)因为|������|=12
,所以12=1−������������,������������=12,因为0≤���<2���,所以���=���6或���=5���6,所以���的极坐标为(12,���6)或(12,5���6),故���的直角坐标为(34,14)或(−34,1
4).(2)设���(���1,���),���∈[0,2���),则���(���2,���+���2).因为���1=1−������������,���2=1−sin(���+���2)=1−����
��������,所以���△���������=12|������||������|=12(1−������������)(1−������������)=12[1−(������������+������������)+������������������������].令���=�����
�������+������������=2sin(���+���4)∈[−2,2],则������������������������=���2−12.所以���△���������=12(1−���+���2−12)=14���2−
12���+14=14(���−1)2,当���=−2时,���△���������有最大值3+224,此时sin(���+���4)=−1,���=5���4,故���△���������的最大值为3+224.【解析】(1)直接利
用转换关系,在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换;(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于
基础题.第17页,共17页23.已知函数���(���)=|���+���|−|���+���2|.(1)若���=2,求不等式���(���)<���的解集;(2)若∃���∈���,∃���∈[0,2]使得���(2���)>�
��能成立,求实数���的取值范围.【答案】解:(1)当���=2,���(���)=|���+2|−|���+4|<���,①当���<−4时,可得−���−2+���+4<���⇒���>2,∴���∈⌀,②当−4≤���<−2时,可
得−���−2−���−4<���⇒���>−2,∴���∈⌀,③当���≥−2时,可得���+2−���−4<���⇒���>−2,∴���>−2,综上,不等式���(���)<���的解集为{���|���>−
2}.(2)依题意,���(2���)>���⇔|2���+���|−|2���+���2|>���,又∵|2���+���|−|2���+���2|≤|2���+���−2���−���2|=|���−�
��2|,故|���−���2|>���,令���(���)=|���−���2|,���∈[0,2],画出函数���(���)的图象如下,结合���(���)的图象知,���(���)���������=���(2)=2,∴���<2,∴
���的取值范围为(−∞,2).【解析】(1)利用零点分段法求出不等式解集即可.(2)由绝对值的定义化为|���−���2|>���,再画出函数���(���)=|���−���2|的图象,从而求得实数���的取值范围.本题
考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题,也考查了使不等式成立问题,是中档题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com