【文档说明】（课时练习）2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一4.1 一元二次函数 含解析【高考】.docx，共(15)页，748.693 KB，由小赞的店铺上传

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14.1一元二次函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题

目的一项）1.二次函数2241yxx=−++的对称轴和顶点坐标分别是()A.1x=−，(1,3)B.1x=−，(1,3)−C.1x=，(1,3)−D.1x=，(1,3)2.二次函数2yxmxn=++的图像与x轴没有交点的充要条件是()A.240mn−B.240mn−

C.240mn−=D.1m=，2n=3.若二次函数223yaxax=−−的函数值恒小于0，则实数a的取值范围是()A.(3,0)−B.(3,0]−C.(,3)−−D.(,0]−4.已知二次函数223yxx=−++，当2x…时，y的取值范围是()

A.3x…B.3y„C.3yD.3y5.如果二次函数21yaxbx=++图象的对称轴是1x=，并且通过点(1,7)A−，则a，b的值分别是()A.2，4B.2，4−C.2−，4D.2−，4−6.已知二次函数2yaxbxc=++的对称轴为1x=，一元二次方程20axbxc++

=有一根为3，则另一根为()A.3−B.1−C.0D.17.将二次函数22yx=−的图像平行移动，顶点移到下列各点．请判断得到的对应解析式不正确的有几个()①平移后的顶点：(4,0)，平移后的解析式：2(4)yx=−−²；②平移后的顶点：(0,2)−，平移后的解析式：2y

x=²2−；③平移后的顶点：(3,2)−，平移后的解析式：2(3)yx=−−²2+；④平移后的顶点：(3,1)−，平移后的解析式：2(3)yx=−−²1−；A.1B.2C.3D.48.设二次函数2yxaxb=++，当2x=时2y=，且对任意实数x都有yx…恒成立

，实数a、b的值为()A.3a=−，4b=−B.3a=−，4b=C.3a=，4b=D.3a=，4b=−29.如图二次函数23(0)yaxxca=++的图象过点(,4)Ct，且与x轴相交于A，B两点，若ACBC⊥，则a的取值为()A.1−B.14−C.12

−D.4−二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）10.已知二次函数2(0)yaxbxca=++的图象过点(3,0)A−，对称轴为1x=−，则下列结论正确的是()A.24

bacB.20ab−=C.0abc−+D.51ab+11.已知二次函数2(0)yaxbxca=++的图象经过点(1,1)和(1,0)−，则下列结论正确的是()A.0abc−+=B.24bacC.当0a时，二次函数的图象与x轴必有一个交点在点(1,0

)的右侧D.二次函数的图象的对称轴为14xa=−12.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数2yaxbxc=++的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线2x=对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是()A.在x轴上截得

的线段的长度是2B.与y轴交于点(0,3)C.顶点是(2,2)−−D.过点(3,0)三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）13.已知二次函数21yaxax=++图象永远在横轴上方，则实数a的取值范围为______.14.方程2(2)10xm

xm+−+−=的两个不等实根都在(1,1)−上，则m______.四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(本小题12.0分)3如图，已知二次函数2yxbxc=++过点(1,0)A，(0,3).C−(1)求此二次函

数的解析式；(2)在抛物线上存在一点P使ABP的面积为10，求点P的坐标．16.(本小题12.0分)已知关于x的二次函数22(21)1yxkxk=−−++的图象与x轴有2个交点.(1)求k的取值范围;(2)若图象与x轴交点的横坐标为1x，2x，且它们的倒数之和是

32−，求k的值.17.(本小题12.0分)已知二次函数2yaxbxc=++的最大值为2，图象的顶点在直线1yx=+上，并且图象经过点(3,2).−(1)求二次函数的解析式；(2)当03x剟时，求二次函数

的最大值与最小值，并求此时x的值．18.(本小题12.0分)已知二次函数243yxx=−+，非空集合{|0}.Axxa=剟(1)当xA时，二次函数的最小值为1−，求实数a的取值范围；(2)是否存在整数a的值，使得“xA”是“二次

函数的最大值为3”的充分条件，如果存在，求出一个整数a的值，如果不存在，请说明理由．19.(本小题12.0分)已知二次函数2(,,yaxbxcabc=++为常数，且0)a的图象过(0,1)A，(1,5)B两点，且它的对称轴的方程为1.2x=

−(1)求该二次函数的表达式；(2)当26x剟时，函数2(2)yaxbmxc=+−+的最大值为()Gm，最小值为()Hm，令()()()hmGmHm=−，求()hm的表达式．20.(本小题12.0分)已知二次函数223yxax=++，[4,6].x−4(1)若1a=−，写出函数的最大值

与最小值;(2)若函数在区间[4,6]−上满足函数值y随自变量x的增大而增大，求实数a的取值范围;(3)求函数的最小值.5答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，属于基础题.根据题意配方求解即可.【解答】解：二次函数2241yxx=−++的对称轴方程为1x=，顶点

坐标为(1,3)，故选.D2.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的图像与x轴交点个数问题，以及充要条件的应用，属于基础题.由二次函数2yxmxn=++的图像与x轴没有交点，故240mn=−，由

此即可得到答案.【解答】解：由二次函数2yxmxn=++的图像与x轴没有交点，故240mn=−，故选.B3.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的性质和一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题.由题意0a，结合二次函数图象可得，从而求得a的范围.【解答】解：因为223yaxax=−

−是二次函数，所以0a，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且其图像与x轴没有交点，6所以，解得30.a−故选.A4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质的应用，能理解二次函数的性质是解此题的关键，属于基础题.先求出2x=时y的值，再求顶点坐标，根据

函数的增减性得出即可．【解答】解：2223(1)4yxxx=−++=−−+，当1x时，y随x的增大而减小，当2x=时，4433y=−++=，当2x…时，y的取值范围是3y„，故选.B5.【答案】B【解析】【分

析】根据图象的对称轴可得12ba−=，根据图象过点(1,7)−可得17ab−+=，联立两方程可求得a，.b本题考查二次函数的性质，属于基础题，准确理解二次函数的相关性质是解决问题的关键．【解答】解：21yaxbx=++图象的对称轴是1x

=，12ba−=①，又图象过点(1,7)A−，17ab−+=即6ab−=②，联立①②解得2a=，4b=−，故选.B6.【答案】B【解析】【分析】7本题考查了二次函数的图象关于对称轴对称以及运用，属于基础题．利用二次函数的图象特征，图象关于对称轴对称，所以两根也关于对称轴对称．【解答】解

：因为二次函数2yaxbxc=++的对称轴为1x=，一元二次方程20axbxc++=有一根为3，设另一根为m，所以312bma+=−=，解得1m=−；故选.B7.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的平移，属于基础题.对于二次函数yax=²，平移后顶点为(,)hk，则平移后二次函数的解

析式为()yaxh=−²k+，即可作答.【解答】解：①二次函数22yx=−的图像平行移动，顶点移到点(4,0)，此时函数的解析式为2(4)yx=−−²，故①正确.②二次函数22yx=−的图像平行移动，顶点移到点(0,2)−，此时函数的解析式为2yx=−

²2−，故②错误.③二次函数22yx=−的图像平行移动，顶点移到点(3,2)−，此时函数的解析式为2(3)yx=−+²2+，故③错误.④二次函数22yx=−的图像平行移动，顶点移到点(3,1)−，此时函数的解析式为2(3

)yx=−−²1−；故④正确.故不正确的个数有2个.故选.B8.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，属于中档题.首先根据当2x=时2y=，得到22ab+=−，再根据不等式的恒成立问题可得2(

1)40ab−−„，即可求得a，b。【解答】8解：因为二次函数2yxaxb=++，当2x=时2y=，所以422ab++=，所以22ab+=−①因为对任意实数x都有yx…恒成立，即二次函数恒成立，可得2(1)40ab−−„，代入①可得2(3)0a+„，所以3,4ab=−=，故选.B9.【答案】B

【解析】【分析】通过根与系数的关系得12xx+，12xx，再由射影定理得出等式，解出即可．本题考查了韦达定理，是一道难题．【解答】解：当240bac−时，抛物线与x轴交于1(,0)Ax，2(,0)Bx，且12bxxa+=−，12cxxa=，过C作CDx⊥

轴于D，ACBC⊥，所以2CDADBD=，1ADtx=−，2BDxt=−，所以22212124()().cbxxxxttttaa=−++−=−−−即216()aatbtc=−++①，因为(,4)Ct是抛物线上的点，所以24atbtc++=

②，所以联立①②得1.4a=−故选：.B10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数2yaxbxc=++系数符号.由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用.【解答

】解：二次函数的图象与x轴交于两点，240bac−，即24bac，A项正确；9对称轴为1x=−，即12ba−=−，20ab−=，B项正确；当1x=−时，0y，即0abc−+，C项正确；

0a，570aba+=，D项错误．故选.ABC11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，属于中档题.将点(1,0)−代入2yaxbxc=++，即可判断A正确；将点(1,1)代入2ya

xbxc=++，得1abc++=，又由①得0abc−+=，两式相加，相减，从而可判断B选项；根据一元二次方程根与系数的关系即可判断C；根据抛物线的对称轴公式为124bxaa=−=−，即可判断D选项.【解答】解：.A抛物线2(0)yaxb

xca=++经过点(1,0)−，所以0abc−+=，故A正确；B.抛物线2(0)yaxbxca=++经过点(1,1)，所以1abc++=，又0abc−+=，两式相加，得2()1ac+=，12ac+=，两式相减，得21b=，1.2b=因为，当1202a−=，即14a=时，2

40bac−=，故B错误；C.当0a时，因为，所以抛物线2yaxbxc=++与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，则1112cxaa−==−，即112xa=−，因为0a，所以102a−，10所以1112xa=−，即抛物线与x轴必有一个交点在点(1,0

)的右侧，故C正确；D.抛物线的对称轴为124bxaa=−=−，故D正确．故选.ACD12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了二次函数，属于基础题.根据二次函数的图像和性质逐一判定即可得出结论.【解答】解：因为函数图象过点(1,0)，且对称轴是直

线2x=，所以函数与x轴另一个交点为(3,0)故D正确；因为函数图像与x轴交于(1,0)、(3,0)所以函数在x轴上截得的线段长度为2故A正确；因为函数对称轴为2x=，故二次函数顶点横坐标为2，故C错误；由题知得4,3baca=−=当1a=时，3c=，此时函数图像与y轴交于点(0,3)故B

正确故选.ABD13.【答案】(0,4)【解析】【分析】本题考查实数的取值范围的求法，考查二次函数、一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．推导出210yaxax=++恒成立，由此能求出实数a的取值范围．

【解答】11解：二次函数21yaxax=++图象永远在横轴上方，210yaxax=++恒成立，且0a，，解得04.a实数a的取值范围是(0,4).故答案为：(0,4).14.【答案】(1,422)−【解析】【分析】本题主要考查一元

二次方程的根与判别式的关系与方程系数的关系，属于中档题.由已知条件得：判别式0，令2()(2)1fxxmxm=+−+−，根据函数的零点在(1,1)−内，列出不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围.【解答】解：令2()(2)1f

xxmxm=+−+−，由条件得：，解得1422.m−m的取值范围为(1,422).−故答案为(1,422).−15.【答案】解：(1)二次函数2yxbxc=++过点(1,0)A，(0,3)C−，，解得23bc==−，二次函数的解析式为223yxx

=+−；(2)当0y=时，2230xx+−=，解得：13x=−，21x=；(1,0)A，(3,0)B−，4AB=，设(,)Pmn，ABP的面积为10，1||102ABn=，解得：5n=，当5n=时，2235mm+−=，解得：4m=−或2，(4,5)(2,5)

P−；当5n=−时，2235mm+−=−，方程无解，12故(4,5)(2,5).P−【解析】本题考查一元二次函数解析式，待定系数法，属于中档题.(1)利用待定系数法把(1,0)A，(0,3)C−代入二次函数2yxbxc=+

+中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是223yxx=+−；(2)首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设(,)Pmn，根据ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标.16.【答案】解：(1)二次函数22(21)

1yxkxk=−−++的图象与x轴有两交点，当0y=时，22(21)10xkxk−−++=有两个不相等的实数根.2224[(21)]41(1)0.backk=−=−−−+解得3;4k−(2)当0y=时，22(21)1

0xkxk−−++=，则1221xxk+=−，2121xxk=+，12212121121312xxkxxxxk+−+===−+，解得：1k=−或1(3k=−舍去)，1.k=−【解析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，考查

一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.(1)根据二次函数22(21)1yxkxk=−−++的图象与有两交点，得出22(21)10xkxk−−++=时，有两个不相等的实数根，从而可知0，解不等式即可得出答案;(

2)由根与系数关系得出方程，解方程即可得出答案.17.【答案】解：(1)因为二次函数2yaxbxc=++的最大值为2，图象的顶点在直线1yx=+上，所以顶点坐标为(1,2)且0a，因此设二次函数为2(1)2yax=−+，由二次函数的图象经过点(

3,2)−得242a−=+，解得1a=−，所以二次函数为2(1)2.yx=−−+(2)因为2(1)2yx=−−+，03x剟，13所以由2(1)2yx=−−+的图象知：当1x=时，y的最大值为2，当3x=时，y的最小值为2.−【解析】本题考查了二次函数，函数的解析式和函数的

最值，属于中档题.(1)利用待定系数法求函数的解析式，计算得结论；(2)利用二次函数在闭区间上的最值，计算得结论．18.【答案】解：22(1)43(2)1yxxx=−+=−−，当且仅当2x=时，二次函数有最小值为1−，由已知xA时，二次函

数的最小值为1−，则2A，所以2.a…(2)二次函数2(2)1yx=−−，开口向上，对称轴为2x=，作出二次函数图象如图所示，由“xA”是“二次函数的大值为3”的充分条件，即xA时，二次函数的最大值为3，xA，即为0xa剟，令2433xx−+=，解

得0x=或4x=，由图像可知，当4x或0x时，二次函数的最大值不等于3，不符合充分条件，则04a剟，即a可取的整数值为0，1，2，3，4任意一个．【解析】本题考查二次函数的图象与性质及充分条件，属于拔高题

.(1)先求出二次函数当2x=时取得最小值1−，得出a的取值范围即可；(2)根据二次函数的图象与性质由“xA”是“二次函数的最大值为3”的充分条件得出a的取值范围即可得出答案.19.【答案】解：(1)二次函数2yaxbx

c=++的图像经过两点，则，因为它的对称轴的方程为12x=−，则122ba−=−，14解得所以该二次函数的表达式2221yxx=++；(2)当26x剟时，函数，，其图象对称轴的方程为1.2mx−=①当122m−

，即5m时，()8512Gmm=−，()134Hmm=−，()728hmm=−；②当1242m−剟，即59m剟时，()8512Gmm=−，221()2mmHm−++=，21169()1322hmmm=−+，③当1462m−„，即913m„时，()134Gmm=−，221()2mmH

m−++=，2125()522hmmm=−+；④当162m−，即13m时，()134Gmm=−，()8512Hmm=−，()872.hmm=−综上：【解析】本题考查二次函数性质及二次函数最值，考查分类讨论数学思想，属于中档题.(1)根据二次函数

过A，B点可得，再由对称轴的方程为122ba−=−，即可解得a，b，c，进而求得解析式.(2)当26x剟时，函数，分122m−，1242m−剟，1462m−„，和162m−四种情况讨论求解最大值与最小值即可．20.【答案】解：(1)当1a

=−时，2223(1)2yxxx=−+=−+，因为，所以，所以，所以函数的最大值27，最小值为2；(2)由题可知，函数的对称轴为直线xa=−，因为函数在区间[4,6]−上满足函数值y随自变量x的增大而增大，15所以4a−−„，解得4a…，即实数a的取值范围4a…；(3)由(2)知，函数的对称轴为

直线xa=−，当4a−−即4a时，函数在4x=−处取得最小值为；当46a−−剟即64a−剟时，函数在xa=−处取得最小值为；当6a−即6a−时，函数在6x=处取得最小值为，综上，当4a时，函数的最小值为198a−；当64a−剟时，函数的最小值为23a−；当6a−时

，函数的最小值为3912.a+【解析】本题考查了二次函数的性质，属于中档题.(1)当1a=时，2223(1)2yxxx=−+=−+，根据函数的图象即可求出函数的最大值与最小值；(2)由二次函数的性质可得4a−−„，解出a即可；(3)

由(2)知，函数的对称轴为直线xa=−，对a−的范围进行讨论即可求出答案.