【文档说明】2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题考后仿真系列卷八（解析版）.doc，共(16)页，2.385 MB，由小赞的店铺上传

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12021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题考后仿真系列卷八注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．1.已知集合{|ln(1)}Mxyx==+.|xNyye==，则MN=（）A.(1,0)−B.(1,)−+C.(0,)+D.R【答案】C【解析】{|ln(1)}(1,)Mxyx==+=−+，|(0,)xNyye==

=+，(0,)MN=+,故选：C.【点睛】本题考查了集合的运算，涉及到函数的定义域与值域，属于基础题.2.已知是i虚数单位，z是z的共轭复数，若1i(1i)1iz−+=+，则z的虚部为（）A.12B.12−C.1i2D.1i2−【答案】A【解析】由题意可得：()2111111

222221iiziiii−−===−=−−+，则1122zi=−+，据此可得，z的虚部为12.故选：A.【点睛】本题考查了复数的概念及其运算，属于基础题.3.已知0.42x=，2lg5y=，0.425z=，则下列结

论正确的是（）A.xyzB.yzxC.zyxD.zxy【答案】B【解析】0.40221x==，2lglg105y==，0.4021525z==，又0z，即01z.2因此，yzx,故选：B.【点睛】本题考查了利用指数函数、

对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.4.设na为等比数列，nb为等差数列，且nS为数列nb的前n项和，若21a=，1016a=，且66ab=，则11S=（）A.20B.30C.44D.88【答案】C【解析】na为等比数

列，2621016aaa==又4620aaq=，664ba==，又nb为等差数列，1111161111442aaSa+===.故选：C.【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.5.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布2(100,)(0)

，若在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（）A.0.05B.0.1C.0.15D.0.2【答案】B【解析】1(80120)(80)(120)0.12PXPXPX−===,故选:B.【点睛】本题考查了正态分布,属于基础

题.6.在矩形ABCD中，1AB=，2AD=，AC与BD相交于点O，过点A作AEBD⊥，则AEEC=（）A.1225B.2425C.125D.45【答案】D【解析】建立如图所示直角坐标系：3则(0,1),(0,0),(2,0),(2,1)ABCD，设(,)Exy所以()(,1),(,),2,

1AExyBExyBD=−==AEBD⊥且//BEBD21020xyxy+−=−=，解得2515xy==,481(,),,5212(,),55555AEECE=−=−，8414+552555

AEEC=−−=.故选：D【点睛】本题考查了向量平行、垂直以及向量数量积的坐标表示，对于规则图形的向量运算可以通过建系进行坐标运算比较简便，属于基础题.7.已知()1fx+是偶函数且在)

0,+上是单调递增，且满足()20f=，则不等式()210fx−的解集是（）A.(),01,−+B.13,,22−+C.3,2+D.33,,22

−−+【答案】B【解析】由()1yfx=+向右平移1个单位得()yfx=，则由已知可得：()yfx=关于直线1x=对称，且在)1,+上递增，在(),1−上递减.所以()()020ff==当211x−≥时()()2102fxf−=，212x−

，由此可得32x；当211x−时()()2100fxf−=，210x−，由此可得12x.4综上：x的取值范围是13,,22x−+.故选：B【点睛】本题考查了抽象函数不

等式，要根据区间单调性不同分情况求解，考查了分类讨论思想，属于中档题.8.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为3，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A.776B.19196

C.7D.19【答案】C【解析】根据题意可知三棱锥BACD−的三条侧棱,BDADDCDA⊥⊥，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面BDC，1,3BDCDBC==

=,120BDC=，BDC的外接圆的半径为1312sin120=，由题意可得：球心到底面的距离为32.球的半径为37142r=+=.外接球的表面积为：274474Sr===.故选：C.【点晴】本题考查了考查空间几何体外接球的表面积,考查了空间想象能力与运算能力

,属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A．“pq”是真命题是“pq”为真命题的必要不充分条件B．命题“xR，cos1x”的否定

是“0xR，0cos1x”C．若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真D．在ABC中，coscosBA是AB的充要条件【答案】BCD【解析】对于A，由“pq”是真命题，则“pq”一定为真命题，“pq

”是真命题，则“pq”不一定为真命题，所以不正确；对于B，由命题“xR，cos1x”的否定是“0xR，0cos1x”，所以正确；对于C，由一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，同真假，所以正确；对于D，因为(),

0,πAB，5函数cosyx=在()0,πx时单调递减，所以coscosBABA，所以正确，故选:BCD。【点睛】本题考查了判断命题的真假，涉及了特称命题的否定、否命题、判断充分不必要条件以及解三角形，属于基础题.10.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关

”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（）附表：()20PKk0.0500.0100k3.8416.635附：()()()()()22nadb

cKabcdacbd−=++++A．25B．45C．60D．40【答案】BC【解析】设男生的人数为()5nnN，根据题意列出22列联表如下表所示：男生女生合计喜欢抖音4n3n7n不喜欢抖音n2n3n合计5n5n10n则()22104231055732

1nnnnnnKnnnn−==，由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.8416.632K，即103.8416.63221n，得8.066113.9272n，nN，则n的

可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60.故选:BC.【点睛】本题考查了2K的应用，考查统计表的应用，属于基础题.11.已知()sin2fxx=，()cos2gxx=，下列四个结论正确的是（）A.()fx的图象向左平移2个单位长度，即可

得到()gx的图象B.当8x=时，函数()()fxgx−取得最大值26C.()()yfxgx=+图象的对称中心是,028k−，kZD.()()yfxgx=在区间3,82上单调递增

【答案】CD【解析】对于选项A，()fx的图象向左平移2个单位长度可得()sin2sin2sin22yxxx=+=+=−，而()cos2gxx=，故A错误.对于选项B，令()()()hxfxgx=−，则()sin2cos2

2sin24hxxxx=−=−，当8x=时，2sin20884h=−=，故B错误.对于选项C，sin2cos22sin24yxxx=+=+.令2,4xkkZ+=，,2

8kxkZ=−.函数()()yfxgx=+图象的对称中心是8,0,2kkZ−，故C正确.对于选项D，1sin2cos2sin42yxxx==.当3,82x时，34,

22x，此时函数1sin42yx=单调递增，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查三角函数图象的变换和性质，属于中档题.12.已知函数()fx的定义域为()0,+，导函数为()'fx，()()'lnxfx

fxxx−=，且11fee=，则（）A．1'0fe=B．()fx在1=xe处取得极大值C．()011fD．()fx在()0,+单调递增【答案】ACD【解析】∵函数()fx的定义域为()0,+，导函数为()'fx，()()'lnxf

xfxxx−=即满足()()2'lnxfxfxxxx−=7∵()()()2'fxxfxfxxx−=∴()lnfxxxx=∴可设()21ln2fxxbx=+（b为常数）∴()21ln2fxxxbx=+∵211111ln2bfeeeee=+=，解得12b=∴(

)211ln22fxxxx=+∴()112f=，满足()011f∴C正确∵()()22111lnln=ln10222fxxxx=+++，且仅有1'0fe=∴B错误，A、D正确故选：ACD

【点睛】本题考查了函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.二项式61()xx−的展开式中4x项的系数为__________．【答案】6−；【解析】根据二项定理展开

式的通项1CrnrrrnTab−+=则二项式61xx−的展开通项为()66216611rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−所以当1r=时,4x的系数为()11616C−=−,故答

案为:6−【点睛】本题考查了二项式定理及通项式的应用,属于基础题.14.若,2，7cos225=，则sin3sin2=+___________【答案】34【解析】根据题

意可得22222222cossin1tan7cos2cossincossin1tan25−−=−===++，解得3tan4=.,2，3tan4=−，因此，si

nsin3tan3cos4sin2==−=−+.故选：B.【点睛】本题考查了利用弦化切求值、二倍角的余弦公式以及诱导公式的应用，考查运算能力，属于基础题.815.已知点1F、2F分别为双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点，点()()

000,0Mxxy为C的渐近线与圆222xya+=的一个交点，O为坐标原点，若直线1FM与C的右支交于点N，且22MNNFOF=+，则双曲线C的离心率为______．【答案】54【解析】如图所示，直线1FM与圆222:Oxya+=相切于点M，可得1MFb=，由双

曲线的定义可知，12122aNFNFMNMFNF=−=+−，22MNNFOF=+，且2OFc=，所以2abc=+，即2bac=−，可得()2222244baccaca=−=−+，又由222bca=−，联立解得45ca=，即54cea==．故答案

为：54．【点睛】本题考查了求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得,ac得值，进而求离心率e；②齐次式法：由已知条件得出关于,ac的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率;属于中档题.16.已知ABC

的三边分别为,,abc所对的角分别为,,ABC，且三边满足1caabbc+=++，已知ABC的外接圆的面积为3，设()cos24()sin1fxxacx=+++.则ac+的取值范围为______，函数()fx的最大值的取值范围为_______．【答案】(1).(3,6](2).(12

,24]【解析】由1caabbc+=++，可知c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),化简得222acacb=+−,由余弦定理可得cosB=12,又B∈(0,π),B=3,9因为23R=,解得R=3,由223si

n32bbRB===,解得b=3,由余弦定理得()2229=29acacacac=+−+−−，由基本不等式可得()()2239=34acacac+−+，解得a+c≤6,根据两边之和大于第三边可得a+c>3,即a+c得取值范围是(3,6；()(

)cos24sin1fxxacx=+++=-22sinx+4（a+c）sinx+2=-2()22sin()22xacac−++++又-1≤sinx≤1,可知sinx=1时，函数f(x)的最大值为4（a+c）,函数()fx的最大值的取值范围为(12,24

故答案为:(1)(3,6(2)(12,24【点睛】本题考查了余弦定理的应用以及利用基本不等式求最值，考查分析与推理和计算能力,属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在数列{}na中，11a=，2ab=，前n项之和为nS.（

1）若{}na是等差数列，且822a=，求b的值；（2）对任意的*nN有：24nnaa+=，且101021Sa=−.试证明：数列{}na是等比数列.【答案】（1）4b=（2）见证明【解析】（1）设

na的公差为d，则由已知可得：111722aad=+=解得3d=∴4b=（2）由24nnaa+=得：数列na的奇数项和偶数项依次均构成等比数列，由已知101021Sa=−，得()554414124133bb−−+=−.解得2b=∴()2111212

42,?nnnnaa−−−−==121242nn−−==∴12nna−=即na是首项为1，公比为2的等比数列.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的通项公式以及等比数列前n项和公式的应用，属于基础题.1018.如图，

ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，8c=，1cos7ACB=−且14cosbB=．（1）求B（2）点D在BC边的延长线上，且221AD=，求CD的长．【答案】（1）3B=；（2）7CD

=.【解析】（1）因为1cos7ACB=−，(0,)ACB，所以2143sin177ACB=−−=，在ABC中，由正弦定理得：sinsinbcBACB=，所以sin143sin

sin3cBbBACB==，又14cosbB=，所以143sin14cos3BB=，所以tan3B=，因为(0,)B，所以3B=.（2）由（1）可得11472b==，在ACD△中，1coscos7ACDACB=−=，由余弦定理可得：2222cosADACCDACCDA

CD=+−，即2221(221)7277CDCD=+−，即22350CDCD−−=，解得：7CD=或5−（舍去），所以7CD=.【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，通过正弦定理求出si

n143sinsin3cBbBACB==，结合14cosbB=，即可求出角B，再由1cos7ACB=−可得1cos7ACD=，从而最终求解，属于基础题.19.某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘

制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：11空气质量指数(0,50(50,100(100,150(150,200(200,300300以上空气质量等级一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）六级（严重污染）（1）根据频率分

布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.①从这30天中随机选取2天，记乙不

宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动

，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.【答案】（1）28天；（2）①分布列见解析，25；②56750000.【解析】（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90,110的天数为2天，所以估计空气质量指数在(90,100的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或

良的天数为28天.（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，∴()224230920145CPXC===，()11624230481145CCPXC===，()262301229CPXC===，∴X的分布列为X01212P9214

548145129∴924812()012145145295EX=++=.②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，∴2213219375671010101050000PCC==.【点睛】此题考查了离散型随机

变量的分布列及期望的求法，频率分布表的应用，属于中档题.20.如图，四棱锥SABCD−中，二面角SABD−−为直二面角，E为线段SB的中点，3390DABCBAASBABS====，1tan2ASD=，4AB=.（1）求证：平面DA

E⊥平面SBC；（2）求二面角CAED−−的大小.【答案】（1）证明见解析（2）60【解析】（1）证明二面角SABD−−为直二面角，所以平面SAB⊥平面ABCD，因为90DAB=，ADAB⊥，平面

ABCD平面SAB=AB，AD平面ABCD，AD⊥平面SAB，又BS平面SAB，ADBS⊥，ASBABS=，ASAB=，又E为BS的中点，AEBS⊥，又ADAEA=，BS⊥平面DAE，BS平面SBC，平面DAE⊥平面SBC.（2）如图，连接,CAC

E，在平面ABS内作AB的垂线，建立空间直角坐标系Axyz−，1tan2ASD=，2AD=，13(0,0,0)A，(0,4,0)B，(0,4,2)C，(23,2,0)S−，(3,1,0)E，(0,4,2)AC=，(3,1,0)AE=uuur，设平面CAE

的法向量为(,,)nxyz=，0,0,nACnAE==即420,30,yzxy+=+=令1x=，则3y=−，23z=，(1,3,23)n=−是平面CAE的一个法向量，SB⊥平面DAE，平面DAE的一个法向量

为(23,6,0)SB=−，23631cos,2||||443nSBnSBnSB−−===−，由图可知二面角CAED−−的平面角为锐角，故二面角CAED−−的大小为60.【点睛】本题考查了线面垂直、面面

垂直的判定与性质和空间向量法求二面角的平面角,考查逻辑推理能力和运算求解能力,属于中档题.21.已知椭圆22221xyab+=(0)ab的离心率为32，且经过点3(1,)2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别

为,AB，点P是椭圆上异于,AB的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线:1ly=−于点C，N为线段BC的中点，若四边形MOBN的面积为2，求直线AM的方程．【答案】（Ⅰ）2214x

y+=；（Ⅱ）112yx=+．14【解析】（Ⅰ）由题意22222321314caababc=+==+，解得213abc===，所以椭圆的标准方程为2214xy+=．（Ⅱ）设

()00,Pxy0(0)x，则()00,Qy，且220014xy+=．因为M为线段PQ中点，所以00,2xMy．又()0,1A，所以直线AM的方程为()00211yyxx−=+．因为000,1,xy令

1y=−，得001xxy=−即00,11xCy−−．又()0,1B−，N为线段BC的中点，有()00,121xNy−−．设直线MN与x轴交于(,0)RRx，由MNMRkk=得：000000122(1)2Ryyxxxxy+=−−−，∴0202(1)R

xxy=−，∴0002001111(1)24(1)21MONMNxySORyyyyy+=−=+=−−．又0000111124(1)21BONNxySxyy+===−−，∴00121MOBNySy+==−四边形，解得：035y=，代入椭圆方程得：08

5x=，∵(0,1)A，∴12AMk=，15∴直线AM的方程为112yx=+．【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系．考查分析问题与运算求解能力，属于中档题.22.已知函数()()lnxfxxea

xx=−+.（1）当0a时，求()fx的最小值；（2）若对任意0x恒有不等式()1fx成立.①求实数a的值；②证明：()22ln2sinxxexxx++.【答案】（1）lnaaa−；（2）①1；②证明见解析.【解析】（1）法一：()fx的定义域为()0,

+，由题意()()()11xxaxeafxxexxx−=+−=+，令0xxea−=，得xaxe=，令()xgxxe=，()()10xxxgxexexe=+=+，所以()gx在()0,x+上为增函数，且()00g=，所以xa

xe=有唯一实根，即()0fx=有唯一实根，设为0x，即00xaxe=，所以()fx在()00,x上为减函数，在()0,x+上为增函数，所以()()()00000minlnlnxfxfxxeaxxaaa==−+=−.法二：()()()()lnlnln0xexxf

xxaxxeaxxx+=−+=−+.设lntxx=+，则tR.记()()tteattR=−.故()fx最小值即为()t最小值.()()0tteaa=−，当(),lnta=−时，()0t

，()t单调递减，当()ln,ta+时，()0t，()t单调递增，所以()()lnminlnlnlnafxaeaaaaa==−=−，16所以()fx的最小值为lnaaa−.（2）①当0a时，()fx单调递增，()fx值域为R，不适合题意，当0a时，由（1）可知()mi

nlnfxaaa=−，设()()ln0aaaaa=−，所以()lnaa=−，当()0,1a时，()0a，()a单调递增，当()1,a+时，()0a，()a单调递减，所以()()max11a==，即ln1aaa−.

由已知，()1fx恒成立，所以ln1aaa−，所以ln1aaa−=，所以1a=.②由①可知ln1xxexx−−，因此只需证：22ln2sinxxxx++，又因为ln1−xx，只需证2222sinxxxx+−+，即222sinx

xx−+，当1x时，2222sinxxx−+结论成立，当(0,1x时，设()222singxxxx=−+−，()212cosgxxx=−−，当(0,1x时，()gx显然单调递增.()()112cos10gxg=−，故()gx单调递减

，()()122sin10gxg=−，即222sinxxx−+.综上结论成立.【点睛】本题考查了导数研究函数的最值，导数解决恒成立问题以及导数证明不等式，常常通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于偏难题.