【文档说明】四川省广安市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1.566 MB，由小赞的店铺上传

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广安二中高2023级2024年秋入学考试数学试题第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z满足()1i2iz−=+，则z的虚部是（

）A.32B.3C.32−D.4【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法的运算和共轭复数及复数虚部的概念即可得到答案.【详解】()1i2iz−=+，则()()()()2i1i2i13i13i1i1i1i222z++++====+−−+，故13i22z=−，虚部为32−，故选：C

．2.已知向量(4,2),(1,2)abx=−=−，若ab⊥，则x=（）A.5B.4C.3D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由向量(4,2),(1,2)abx=−=−，因为ab⊥，可得4(1)(2)20abx=−+

−=，解得2x=.故选：D.3.ABCV的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin:sin:sin3:4:5ABC=，则ABCV的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等

腰三角形【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理三边比值，然后能得到222abc+=，即可得到答案的【详解】由正弦定理可知::sin:sin:sin3:4:5abcABC==，设3,4,5,(0)atbtctt===，所以222225abtc+==，所以ACBC⊥，所以ABCV的

形状是直角三角形，故选：B4.对于两条不同直线m，n和两个不同平面,，以下结论中正确的是（）A.若//,⊥mn，则mn⊥B.若//,//m，则//mC.若,//m⊥，则m⊥D.若,⊥⊥mnn，则//

m【答案】A【解析】【分析】根据空间中线面之间的位置关系及性质逐一判断即可.【详解】对于A，若//,⊥mn，则mn⊥，故A正确；对于B，若//,//m，则//m或m，故B错误；对于C，若,//m⊥，则m或/

/m或,m相交，故C错误；对于D，若,⊥⊥mnn，则//m或m，故D错误.故选：A.5.某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”的对立事件是（）A.至少有一次命中目标B.至多有一次命中目标C.恰好两次都命中目标D.恰好有一次命中目标【答案】A【解析】【分析】根据对

立事件定义直接判断即可.【详解】由对立事件定义知：事件“两次都没有命中目标”的对立事件为“至少有一次命中目标”.故选：A.6.已知6a=，3b=，向量a在b方向上投影向量是4e，则ab为（）A.12B.8C.-8D.2【答案】A【

解析】【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.【详解】a在b方向上投影向量为cos4aee=，cos4a=，cos4312abab===.故选：A7.如图所示，在下列选项中，边长

为1的正三角形ABC利用斜二测画法得到的直观图后不是全等三角形的一组是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用斜二侧法画直观图的方法，平行性不变，平行于x轴的线段长度相等，平行于y轴的线段长度是原来的一

半，可得结论．【详解】根据斜二测画法的规则，A,B,D中正三角形的底边AB都没有改变，而三角形的高都平行于y轴或与y轴重合，因此它们的高相等，故A,B,D中三组三角形的直观图是全等的．而对于C，画成直观图之后，第一个三角形中，C到AB的距离变成原来的12，第二个三角形中，C到AB的距离保持不变，

因此两个三角形的直观图不全等．故选:C．8.如图，在三棱锥SABC−中，SA⊥平面ABC，2ABAC==，120BAC=，若三棱锥外接球表面积为52π，则此三棱锥的体积为（）的A.1B.3C.23D.63【答案】C

【解析】【分析】利用正弦定理求出ABCV外接圆的半径r，根据球的表面积求出球的半径R，再由SA⊥平面ABC，则2222SARr=+求出SA，最后根据锥体的体积公式计算可得.【详解】因为2ABAC==，120BAC=，所以3

0ABCACB==，113sin223222ABCSABACBAC===，设ABCV外接圆的半径为r，圆心为1O，则2241sin2ABrACB===，即2r=，设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，则24π52πR=，解得13R=（负值已舍去）；

因为SA⊥平面ABC，所以22211AOAOOO=+，即2222SARr=+，即21342SA=+，解得6SA=（负值已舍去）；所以11362333ABCSABCVSSA−===.故选：

C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是找到球心位置，求出底面外接圆半径和外接球半径，再根据勾股定理求出棱锥的高.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在钝角ABCV中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2a=，3b=，那么c的值可能为（）A.1B.3C.2D.4【答案】BCD【解析】【分析】考虑B为钝角或C为钝

角两种情况，根据余弦定理得到15c或135c，得到答案.【详解】若B为钝角，则222222cosbacacBac=+−+，且bac+，即15c，BC满足；若C为钝角，则222222coscabab

Cab=+−+，且cab+，即135c，D满足；故选：BCD10.已知一组样本数据()1212,,,nnxxxxxx，现有一组新的231112,,,,2222nnnxxxxxxxx−++++，则与原样本数据相比，新的样本数据（）A.平均数不变B.中位数不变C.极

差变小D.方差变小【答案】ACD【解析】【分析】利用平均数、极差的定义计算判断AC；利用中位数的定义举例判断B；利用方差的意义分析判断D作答.【详解】对于A，新数据的总和为：2311212222nnxxxxxxxxx++++++=+++，与原数据总和相等，且数据个数都是n，因此平均数不变，

A正确；对于B，不妨设原数据为：1253,.,，中位数为2.5，则新数据为：1752752.,.,，中位数为2，B错误；对于C，原数据极差为：1nxx−，新数据极差为：11222nnxxxx−++−，而()11121210222nnnnnxxxxxxxxxx−−+−+−+−−

−=，即极差变小了，C正确；对于D，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，D正确.故选：ACD.11.如图所示，正方体ABCDABCD−的棱长为

1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线EF的平面分别与棱BB，DD交于点M，N，以下四个命题中正确的是（）A.四边形EMFN一定为矩形B.平面EMFN⊥平面DBBDC.四棱锥AMENF−体

积为16D.四边形EMFN的周长最小值为25【答案】BC【解析】【分析】对于A，由正方体的性质得平面//BCCB平面ADDA，从而//MFEN，同理得//MENF，再由EFMN⊥，得四边形MENF为菱形；对于B，连接BD，BD，MN，推导出EF

BD⊥，EFBB⊥，从而得到平面EMFN⊥平面DBBD；对于C，求出四棱锥AMENF−的体积进行判断；对于D，四边形MENF是菱形，当点M，N分别为BB，DD的中点时，四边形MENF的周长最小．【详解】连接BD，BD，MN，

AC，BD，显然//AECF，且AECF=，所以ACFE为平行四边形，所以//ACEF，由题意得ACBD⊥，BB⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BBAC⊥，BDBBB=，,BDBB平面BDDB，所以AC

⊥平面BDDB，则⊥EF平面BDDB，EF平面EMFN，所以平面EMFN⊥平面BDDB，故B正确；由正方体的性质得平面//BCCB平面ADDA，平面BCCB平面EMFNMF=，平面ADDA平面EMFNEN=，故//MFEN，同理得//MEN

F，又⊥EF平面BDDB，MN平面BDDB，EFMN⊥，四边形MENF为菱形，故A错误；对于C，四棱锥AMENF−体积为：1112123346MAEFNAEFAEFVVVDBS−−=+===△，故C正确；对于D，四边形MENF是菱形，

四边形MENF的周长222224422442MNEFMNlMN+=+==+，当点M，N分别为BB，DD的中点时，四边形MENF的周长最小，此时2MNEF==，即周长的最小值为4，故D错误．的故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（

14题第一空2分，第二空3分）12.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是______．【答案】3【解析】【分析】求得圆锥的底面半径和母线长，由此求得圆锥的表面积.【详解】解：设圆锥的底面半径为x，则高为3x，

母线长为2x.依题意12332xx=，解得1x=或1x=−（舍去），所以圆锥的底面半径为1，高为3，母线长为2.所以圆锥的表面积为2π1π123π+=.故答案为：3π13.如图，已知正方形ABCD的边长为3，且()12BFBCBD=+，BF

与AC交于点E，则BABE=__________．【答案】3【解析】【分析】先证明F为CD中点，再利用转化法求得213BABABE=，代入数据即可.【详解】因为()12BFBCBD=+，则F为CD中点，则ABEFCE△∽△，则2BEABFECF==，则()222121333233BEBFBCC

FBCBABCBA==+=+=+，则222111333333BABEBABCBABA=+===.故答案为：3.14.已知菱形ABCD的边长为2，且120ABC=，将菱形沿对角线AC翻折成直二面角BACD−−，则异面直线AB

与CD所成角的余弦值是__________；二面角ABDC−−的余弦值是__________．【答案】①.34##0.75②.57−【解析】【分析】空1：作出空间图形，找到异面直线夹角或其补角，结合题意和

余弦定理先求出13cos4BAB=即可；空2：作出二面角ABDC−−的平面角，利用余弦定理即可求解.【详解】如下图，过点B作BOAC⊥，连接1,,DOBDBB，结合题意可知O为AC的中点，且DOAC⊥，所以BOD即为二面角BACD−−的平

面角，由题意可知，BODO⊥.因为2BABC==，120ABC=，所以30BACBCA==，1,3BOAOCO===，所以23AC=，且11BOBO==，进而得到12BB=，因为1//ABCD，则异面直线AB与CD

所成角即为1BAB或其补角，在1ABB中，由余弦定理可得2212223cos2224BAB+−==，则异面直线AB与CD所成角的余弦值是34；取BD的中点F，连接,AFCF，因为ABAD=，CBCD=，所以AFBD⊥，CFBD⊥，则A

FC即为所求二面角ABDC−−的平面角，在RtAFB中，因为2AB=，1222BFBD==，所以22142AFABBF=−=，同理142CF=，在ACF△中，由余弦定理可得2227712522cos271414222AFFCA

CAFCAFFC+−+−===−，故答案为：34；57−.【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是作出二面角所表示的平面角，再结合勾股定理和余弦定理即可.第Ⅱ卷四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果

按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组，制成如下频率分布直方图：（1）求抽取样本老年、中青年、少年的人数；（2）求频率分布直方图中a的值；（3）估计当天游客满意度分值的75%分位数.【答案】（1）50，40，10（2）0.020（3）82.

5【解析】【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数；（2）利用频率之和为1列出方程，求出a的值；（3）利用百分位数的定义进行求解.【小问1详解】老年625人，中青年5

00人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为625:500:1255:4:1=，故抽取100人，样本中老年人数为510050541=++人，中青年人数为410040541=++人，少年人数为110010541=++人；【小问

2详解】由题意可得，()0.0100.0250.0350.010101a++++=，解得：0.020a=；【小问3详解】设当天游客满意度分值的75%分位数为x，因为()0.0100.0250.035100.70.75++=，()0.0100.0250.0350.020100.90.75+++

=，所以x位于区间)80,90内，则()800.0200.750.7x−=−，解得：82.5x=，所以估计当天游客满意度分值的75%分位数为82.5.16.已知向量(2,0)a→=，(1,3)b→=．（1）设Rk，求2akb−的最小值；（2）若向量+tab

与向量atb+的夹角为钝角，求实数t的取值范围.【答案】（1）23（2）(23,1)(1,23)−−−−−+【解析】的【分析】由平面向量的坐标计算即可.【小问1详解】由题意得：22(2,0)(1,3)(4,3)akbkkk−=−=−−，所

以22222(4)(3)48164(1)12akbkkkkk−=−+−=−+=−+所以当1k=时，2akb−取得最小值为23.【小问2详解】由于(2,0)(1,3)(21,3)tabtt+=+=+，(2,0)(1,3)(2,3

)atbttt+=+=+，向量+tab与向量atb+的夹角为钝角，所以()()0tabatb++，且向量+tab与向量atb+不能共线，即1t即2(21)(2)332820ttttt+++=++所以2323t−−−+，故实数t的取值范围为：(23,1)(1,

23)−−−−−+17.在ABCV中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，1sin3B=，且_________．在①2222abc−+=，②1ABBC=−这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题．注

：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（1）求ac；（2）若2sinsin3AC=，求b．【答案】（1）324ac=（2）12【解析】【分析】（1）选①，用余弦定理即可求解，选②，用向量的数量积的运算即可求解；（2）用正弦定理即可解决.【小问1详解】若选①2222abc−+=

，由余弦定理可得2222cosbacacB=+−，∴1cosacB=，又1sin3B=，∴2cos1si23n2BB=−=，∴324ac=．若选②1ABBC=−，则()coscos1ABBCBacB−=−=−，又1sin3B=，∴2

cos1si23n2BB=−=，∴324ac=．【小问2详解】由正弦定理2sinsinsinabcRABC===（R为ABCV外接圆半径），可得22sin2sin4sinsinacRARCRAC==，又∵2sinsin3AC=，324ac=∴232

2443R=，解得34R=．∴3112sin2432bRB===．18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，=45ADC，2ADAC==，O是AC与BD的交点，⊥PO平面ABCD，2PO=，M是PD的中点．（1）求证：//PB平面ACM；（2）求证：平面PB

C⊥平面PAC；（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）255【解析】【分析】（1）利用中位线得//PBMO，再利用线面平行的判定即可；（2）利用线面垂直的性质得BCPO⊥，再证明BCAC⊥，最后根据面

面垂直的判定即可证明；（3）取DO的中点N，连接MN，AN，根据线面角定义转化为求MAN的正切值，最后根据三角函数定义即可得到答案.【小问1详解】连接OM，在平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，O为BD的中点，又M为PD的中点，//

PBMO，又PB平面,ACMMO平面ACM，//PB平面ACM.【小问2详解】PO⊥平面,ABCDBC平面ABCD，BCPO⊥，在ADC△中，ADAC=，ADAC⊥，又//ADBC，BCAC⊥，因为,POACOPO=平

面,PACAC平面PAC，所以⊥BC平面PAC，又BC平面PBC，平面PBC⊥平面PAC.【小问3详解】取DO的中点N，连接MN，AN，M为PD的中点，//MNPO，且112MNPO==由⊥PO平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，MAN是直线AM与平面ABCD所

成的角，45,2,45,90ADCADACACDADCCAD======，在RtDAO中，12,12ADAOAC===，5DO=，从而1522ANDO==，在RtANM中，125tan552MNMANAN===，直线A

M与平面ABCD所成角的正切值为255.19.对于平面向量()(),1,2,kkkaxyk==，定义“F变换”：()()1cossin,sincoskkkkkkaFaxyxy+==−+uuuruur，()0π（1）若向量()12,1a=，π

3=，求2a；（2）求证：1kkaa+=；（3）已知()11,OAxy=，()22,OBxy=，且OA与OB不平行，()OAFOA=，()OBFOB=，求证：OABOABSS=．【答案】（1）2311,32

2a=−+uur（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接代入公式即可得到答案；（2）计算得22kkkaxy=+，从而()()221cossinsincoskkkkkaxyxy+=−++，再展开计算即可证明；（3）方法一：根据“F

变换”和向量数量积的坐标公式得到OAOBOAOB=uuuruuuruuruuur，从而有,,OAOBOAOB=，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为122112OABSxyxy=−，再代入公式证明122112OABSxyxy=−即可.【小

问1详解】因为向量1(2,1),3a==所以22cossin,2sincos3333a=−+所以2311,322a=−+.【小问2详解】因为()()()1,,cossin,sincoskkkkkkkkkax

yaFaxyxy+===−+.所以22kkkaxy=+()()221cossinsincoskkkkkaxyxy+=−++.()()2222221cossinsincoskkkaxy+=+++.221kkkaxy

+=+，所以1kkaa+=.【小问3详解】方法一：()1111()cossin,sincosOAFOAxyxy==−+，()2222()cossin,sincosOBFOBxyxy==

−+，由（2）可得,OAOAOBOB==，又因为()()()()11221122cossincossinsincossincosOAOBxyxyxyxy=−−+++()()2222

1212cossincossinxxyy=+++1212xxyyOAOB=+=uuruuur，即OAOBOAOB=uuuruuuruuruuur，可得cos,cos,OAOBOAOBOAOBOAOBOAOBOAOB

===，且cosyx=在[0,]内单调递减，,,,[0,π]OAOBOAOB，可知,,OAOBOAOB=，所以11sin,sin,22OABOABSOAOBOAOBOA

OBOAOBS===所以OABOABSS=方法二:设()()1122,,,OAxyOBxy==，211||||sin||||1cos22OABSOAOBAOBOAOBAOB==−22122111)()22OAO

BOAOBxyxy=−=−，.因为()1111()cossin,sincosOAFOAxyxy==−+，()2222()cossin,sincosOBFOBxyxy==−+，所以()()221||2OABSOAOBOAOB=−()()()()112222

111cossinsincoscossinsincos2OABSxyxyxyxy=−+−−+()()222212211cossincossin2OABSxyxy=+−+122112OABSxyxy=

−，所以OABOABSS=.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是证明出OAOBOAOB=uuuruuuruuruuur，从而得到两向量夹角相等，最后再利用三角形面积公式即可.