【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第3章 第9讲　函数模型的应用 含解析【高考】.doc，共(25)页，394.000 KB，由小赞的店铺上传

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1第9讲函数模型的应用1．常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数型f(x)＝b

logax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性01单调递增02单

调递增03单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与04y轴平行随x的增大逐渐表现为与05x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax形如f(x)＝x＋ax(a＞0)

的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a，当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a.21．设甲、乙两地的距离为a(a＞0

)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案D解析y为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排

除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D.2．在某个物理实验中，测量出变量x和变量y的几组数据如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最

适合的拟合函数是()A．y＝2xB．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x答案D解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B，C；将各数据代

入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.3．下列函数中，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是()A．y＝0.001exB．y＝1000lnxC．y＝x1000D．y＝1000×2x答案A解析在对数函

数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计．故选A．4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数

关系是y＝3000＋20x－30.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，且销量等于产量，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台B．120台C．150台

D．180台答案C解析设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000(0<x<240，x∈N*)．令f(x)≥0，得x≥150，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C．5．(2021

·广东深圳模拟)核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn＝nlg(1＋p)＋lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的

初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为()(参考数据：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631)A．0.369B．0.415C．0.585D．0.631答案C解析由题

意可知，lg(100X0)＝10lg(1＋p)＋lgX0，即2＋lgX0＝10lg(1＋p)＋lgX0，∴1＋p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585.故选C．6．已知某物体的温度Q(单位：摄氏度

)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21－t(t≥0，且m>0)．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是________.答案12，＋∞解析由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0，且m>0)，又m·2t＋21－t≥22m，∴22

m≥2，∴m≥12.4考向一利用函数图象刻画实际问题例1(1)(2021·遵义模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0<a<12)．不考虑树的粗细，现用16m长的篱笆，借助墙角围成

一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是()答案B解析设AD的长为xm，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为

x(16－x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0<a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8<a<12时，u＝a(16－a)．画出函数图象可得其形状与B选项接近．故选B.(2)(多选)血药浓度(PlasmaConcentration)是指药物吸收

后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是()A．首次服用该药物1单位

约10分钟后，药物发挥治疗作用5B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒答案ABC解析从图象中可以看出，首次服用该药物1单

位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓

度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．故选ABC．用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、

最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消

耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油6D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析从图中可以看出当乙车的行

驶速度大于40km/h时的燃油效率大于5km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误；由图可知甲车消耗汽油最少，所以B错误；甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为10km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8L汽油，所以C错误；当最高限速为80

km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．2．(多选)(2021·淄博模拟)一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水

量如图丙所示，下列四个论断一定正确的是()A．0点到3点只进水不出水B．3点到4点不进水只出水C．3点到4点总蓄水量降低D．4点到6点不进水不出水答案AC解析由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出

水，总蓄水量降低，B错误，C正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误．考向二已知函数模型解决实际问题例2(1)(2021·连云港模拟)高压10kV输电线路电压损失估算口诀：架空铝线十千伏，电压损失百分数；输距电流积六折，再被

导线截面除；输距千米电流安，截面毫方记清楚．其意义为“对于高压10kV的架空铝线，若输电线路的输7距为xkm，电流为yA，导线截面为zmm2，则电压损失百分数U%＝0.6xyz%.”据此可知，对于一条长度为10km，高压为10kV的输电线路，若当导线截

面为50mm2，电流为30A时的电压损失百分数为U1%，当导线截面为40mm2，电流为35A时的电压损失百分数为U2%，则U1U2＝()A．4021B．3524C．2435D．2140答案C解析由题意可知U1%＝0.6×10×30

50%＝185%，U2%＝0.6×10×3540%＝214%，∴U1U2＝2435.故选C．(2)(2021·江西九江模拟)碳-14年代测定法由时任美国芝加哥大学教授威拉得·法兰克·利比(Willard

FrankLibby)发明，威拉得·法兰克·利比因此获得诺贝尔化学奖．碳是有机物的元素之一，生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳-14含量大致不变，生物死去后会停止呼吸，此时体内的碳-14开始减少，人们可通过检测一件古物的碳-14含量，来估计它的大概

年龄，这种方法称之为碳定年法．设Nf是生物样品中的碳-14的含量，N0是活体组织中碳-14的含量，t为生物死亡的时间(单位：年)，已知Nf＝N0·12tT(其中T为碳-14半衰期，且T＝5730)，若2021年测定某生物样

本中Nf＝89N0，则此生物大概生活在()(参考资料：log23≈1.585.西周：公元前1046年～前771年；晋代：公元265年～公元420年；宋代：公元907年～公元1279年；明代：公元1368年～公元1644年)A．西周B．晋代C．宋代D．明代答案C8解析2021年测定某

生物样本中Nf＝89N0，已知Nf＝N012tT，∴89N0＝N012tT，得89＝12tT，则tT＝log1289＝－(log28－log29)＝－(3－2log23)≈－(3－2×1.585)＝0.17，∵T＝5

730，∴t＝0.17×5730＝974.1，∴2021－974.1＝1046.9，故此生物大概生活在宋代．故选C．利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解

时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．3.为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private－KeyCryptosystem)，其加密、解密原

理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y＝kx3，若明文“4”通过加密后得到密文“2”，则接收方接到密文“1256”，解密后得到的明文是()A．12B．14C．2D．18答案A解析由已知，可得当x＝4时，y＝2，所以2＝k·43，解得k＝243＝13

2，故y＝132x3.令y＝132x3＝1256，即x3＝18，解得x＝12.故选A．4．(2021·合肥模拟)声强级(单位：dB)由公式LI＝10lgI10－12给出，其中I为声强(单位：W/m2)．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，

恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB，现已知4位同学课间交流时，每人的声强分别为10－7W/m2，2×10－9W/m2，5×10－10W/m2,9×10－11W/m2，则这4人中达到班级要求的

有()A．1人B．2人9C．3人D．4人答案C解析依题意，当I＝10－7W/m2时，LI＝10lg10－710－12＝10lg105＝50；当I＝2×10－9W/m2时，LI＝10lg2×10－910－12＝10

lg(2×103)＝10(lg2＋3)＝30＋10lg2<30＋10lg10＝40；当I＝5×10－10W/m2时，LI＝10lg5×10－1010－12＝10lg(5×102)＝10(lg5＋2)＝20＋10lg5<20＋10lg10＝30；当I＝9×10－11W/m2时，

LI＝10lg9×10－1110－12＝10lg(9×10)＝10(lg9＋1)＝10＋10lg9<10＋10lg10＝20.所以这4人中达到班级要求的有3人．故选C．多角度探究突破考向三构建函数模型解决实际

问题角度构造一次函数、二次函数、分段函数模型例3某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元

，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后

得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115

＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.10∴y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，－3x2＋68x－115(6＜x≤20，x∈Z).(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x

∈Z)，显然当x＝6时，ymax＝185；对于y＝－3x2＋68x－115＝－3x－3432＋8113(6＜x≤20，x∈Z)，当x＝11时，ymax＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元

时，才能使一日的净收入最多．一次函数、二次函数和分段函数模型的选取及应用策略(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是正相关或负相关或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实

际问题中的面积问题、利润问题、产量问题等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车的计费与路程之间的关系，应构建

分段函数模型求解．5.(2021·山东实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元

．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别

为f(x)＝k1x，g(x)＝k2x.由已知得f(1)＝k1＝18，g(1)＝k2＝12，所以f(x)＝18x(x≥0)，g(x)＝12x(x≥0)．11(2)设投资股票类产品为x万元，则投资债券类产品为(20－x)万元．依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝

20－x8＋12x＝－x＋4x＋208(0≤x≤20)．所以x＝2，即x＝4时，收益最大，ymax＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．角度构造函数f(x)＝ax＋bx(ab>0)模型例4在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小

区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x(m)．(1)求总造价y(元)关于长度x(m)的函数；(2)当x(m

)取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．解(1)由矩形的长为xm，得矩形的宽为200xm，则中间区域的长为(x－4)m，宽为200x－4m，定义域为x∈(4,50)．则y＝100(x－4)200x－4＋200×200－(x－

4)200x－4，整理得y＝18400＋400x＋200x，x∈(4,50)．(2)因为x＋200x≥2x·200x＝202，当且仅当x＝200x，即x＝102∈(4,50)时

取等号．所以当x＝102时，总造价最低为(18400＋80002)元．应用函数f(x)＝ax＋bx(ab>0)模型的关键点12(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝bx叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋bx

(ab>0)的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋bx(ab>0)的形式．(3)利用模型f(x)＝ax＋bx(ab>0)求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．6.(2021·福州月考)某汽车运输公司购买了一批豪

华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为______.答案5解析根据图象求得y＝－(x－6)2

＋11，∴年平均利润yx＝12－x＋25x，∵x＋25x≥10，当且仅当x＝5时等号成立，∴为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为5.角度构造指数函数、对数函数模型例5(1)(2020·新高考Ⅰ卷)基本再生数R0

与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R

0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天

答案B13解析因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝3.28－16＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t

1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln2，所以t1＝ln20.38≈0.690.38≈1.8天．故选B.(2)(2021·益阳模拟)我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，

分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如表：小数记录x0.10.120.150.2…？五分记录y4.04.14.24.3…4.7小数记录x…1.01.21.52.0五分记录y…5.05.15.25.3现有如下函数模型：①y＝5＋lgx，②y＝5

＋110lg1x，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为()(附：10－0.3＝0.5,5－0.22＝0.7,10－0

.1＝0.8)A．0.3B．0.5C．0.7D．0.8答案B解析由数据可知，当x＝1时，y＝5，两个都符合，但当x＝0.1时，由y＝5＋lgx，得y＝5＋lg0.1＝4，与表中的数据符合，而y＝5＋110lg10＝5.1，与表14中的数据不符合，

所以选择模型y＝5＋lgx更合适，此时令y＝4.7，则lgx＝－0.3，所以x＝10－0.3＝0.5.故选B.指数(对数)函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长

速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型．对数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析

式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．7.(2021·聊城一模)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为

20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度(已知lg2≈0.3，结果取整数)()A．23天B．33天C．43天D．50天答案B解析10%＝m·a10，20%＝m·a20⇒a10＝2，m＝120，故a＝2110，

故h＝120·2110t.令h＝12，∴2t10＝10，∴t10lg2＝1，故t＝100.3≈33.故选B.8．(2021·浙江省台州市模拟)5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog21＋SN.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率

C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C大约增加了()15A．10%B．30%C．50

%D．100%答案A解析当SN＝1000时，C＝Wlog2(1＋1000)，当SN＝2000时，C＝Wlog2(1＋2000)，则Wlog2(1＋2000)－Wlog2(1＋1000)Wlog2(1＋1000)＝log2200

1log21001－1≈1＋log21000log21000－1＝13lg2，又14＝lg1014＜lg2＜lg1013＝13，根据选项分析，13lg2≈0.1，所以信噪比SN从1000提升至2000，则C大约增加了10%.故选A．一、单项选

择题1．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据

约为(1010≈1.259)()A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6答案C解析将L＝4.9代入L＝5＋lgV，得lgV＝－0.1＝－110，所以V＝10-110＝11010≈11.259≈0.8.故选C．2．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比

，16而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处答案A解析设仓库建在离车站x千米处，则y1＝k1x，y2

＝k2x，根据给出的初始数据可得k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和为y＝20x＋0.8x≥8，当且仅当x＝5时，等号成立．3．据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝cx，x<A，cA，x≥A(A，c为常数)．已知某工人组装第4件产品用时30

min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16答案D解析由题意可知4<A，则f(4)＝c4＝30，f(A)＝cA＝15，解得c＝60，A＝

16.故选D.4.(2021·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积S最大时，矩形的两边长x，y应分别为()17A．x＝15，y＝12B．x＝

12，y＝15C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14答案A解析由三角形相似得24－y24－8＝x20，得x＝54(24－y)，所以S＝xy＝－54(y－12)2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15，经检验符

合题意．5.(2021·中卫一模)国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在海

面上空绕台巡航．已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强p(单位：mmHg)和高度h(单位：m)之间的关系为p＝760e－hk(e是自然对数的底数，k是常数)，根据实验知500m高空处的大气压强是

700mmHg，则我军战机在1000m高空处的大气压强约是(结果保留整数)()A．645mmHgB．646mmHgC．647mmHgD．648mmHg答案A解析∵500m高空处的大气压强是700mmHg，∴700＝760e－500k，即e－500k＝3538，当h＝1000m时，有p＝760

e－1000k＝760·(e－500k)2＝760×35382≈645.故选A．6．(2021·山东烟台11月期中)如果物体的初始温度(单位：℃)为T0，则经过一定时间t(单位：分)后的温度T将满足T－Ta＝12th(T0－Ta

)，其中Ta是环境温度，h为参数．现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到1855℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要(取lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．12分钟B．14分钟C．16分钟D．18

分钟答案C解析根据题意得55－25＝1210h(85－25)，解得h＝10，所以T－25＝12t10(85－25)，设降温到45℃大约需要t′分钟，则45－25＝12t′10(85－

25)，即12t′10＝13，所以t′＝10×lg3lg2＝10×0.47710.3010≈15.85，故降温到45℃，大约需要16分钟．故选C．7．(2021·新疆模拟)“喊泉”是一种地下水的声学现象．人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声音传入泉洞内的水池进而产生“共鸣”，

激起水波，形成泉涌，声音越大，涌起的泉涌越高．已知听到的声强m与标准声调m0(m0约为10－12W/m2)之比的常用对数称作声强m的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lgmm0.取贝尔的15倍作为响度的常用单位，简称分贝．已知某处喊泉的

声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)满足关系式y＝3x，现知甲同学大喝一声激起的涌泉高度为60m．若甲同学大喝一声声强大约相当于10个乙同学同时大喝一声的声强，则乙同学大喝一声激起的涌泉高度大约为()A．40mB．45mC．50mD．55m答案D解析由题意可知y＝15lgmm0＝3x，∴x

＝5lgmm0，又x甲＝60m，∴lgmm0＝12，而乙的声强为甲的110，∴x乙＝5lgm10m0＝60－5＝55m．故选D.8．(2021·娄底模拟)化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态．根据计算系统的吉布斯自

由能变化(ΔG)的热力学公式Gibbs－Helmholtz方程和Van'tHoff方程，可以得到温度(T)与可逆反应19的平衡常数(K)的关系式：ΔH－TΔS＝ΔG＝－RTlnK，式中ΔH为焓变(在一定温度变化范围内视为定值)，ΔS为熵变，R为气体常数．利用上述公式，我们可以处理不同温

度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算．已知当温度为T1时，可逆反应的平衡常数为K1；当温度为T2时，可逆反应的平衡常数为K2，则lnK1K2＝()A．ΔH(T1－T2)RT1T2B．ΔH(T2－T1)RT1T2C．ΔS(T1－T2)RD．ΔS(T

2－T1)R答案A解析温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式：ΔH－TΔS＝ΔG＝－RTlnK，由题意可得ΔH－T1ΔS＝－RT1lnK1，ΔH－T2ΔS＝－RT2lnK2，则有lnK1＝T1ΔS－ΔHRT1，lnK2＝T2ΔS－

ΔHRT2，则有lnK1K2＝lnK1－lnK2＝T1ΔS－ΔHRT1－T2ΔS－ΔHRT2＝ΔH(T1－T2)RT1T2.故选A．二、多项选择题9.(2021·广东中山模拟)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量

y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的判断正确的是()A．在前3小时内，每小时的产量逐步增加B．在前3小时内，每小时的产量逐步减少20C．最后1小时内的产量与第3小时内的产量相同D．最后2小时内，该车间没有生产该产

品答案BD解析由该车间5个小时某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，得前3小时的年产量逐步减少，故A错误，B正确；后2小时均没有生产，故C错误，D正确．10．(2021·济南模拟

)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是()A．当x

>1时，甲走在最前面B．当x>1时，乙走在最前面C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲答案CD解析甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0

)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1

(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函

数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．11.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制

图象，拟合了记忆保持量f(x)21与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝－720x＋1，0<x≤1，15＋920x-12，1<x≤30.则下列说法正确的是()A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C．9天后，小菲的单词记忆保持量低

于40%D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%答案ABC解析由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x-12，则f(9)＝15＋920×9-12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；f(26

)＝15＋920×26-12>15，故D错误．12．已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是()

A．PA≥1B．PA≤10C．若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10D．假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<PA<5.5(注：lg2≈0.3)答案BD解析当nA＝1时，PA＝0，故A错误；又nA·nB＝1010且nA，nB∈N*

，∴nA≤1010，∴PA≤lg1010＝10，故B正确；若PA＝1，则nA＝10；若PA＝2，则nA＝100，22故C错误；∵B菌的个数为nB＝5×104，∴nA＝10105×104＝2×105，则PA＝lgnA＝5＋lg2

.又lg2≈0.3，∴5<PA<5.5，D正确．三、填空题13．大气温度y(℃)随着距离地面的高度x(km)的增加而降低，当在高度不低于11km的高空时气温几乎不变．设地面气温为22℃，大约每上升1k

m大气温度降低6℃，则y关于x的函数关系式为________.答案y＝22－6x，0≤x<11，－44，x≥11解析由题意，知y关于x的函数为分段函数，x＝11为分界点，易得其解析式为y＝22－6x，0≤x<11，－44，x≥

11.14．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选

择合适方式存满5年，可以多获利息________元．(参考数据：1.02254≈1.093,1.02255≈1.118,1.04015≈1.217)答案99解析将1000元存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的

计算方法，则存满5年后的本息和为1000×(1＋4.01%)5≈1217(元)，故共得利息1217－1000＝217(元)．将1000元存入银行，则存满5年后的本息和为1000×(1＋2.25%)5≈1118(元)，即获利息1118－1000＝1

18(元)．故可以多获利息217－118＝99(元)．15.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93m2，且高度不低于3m．记防洪堤横断面的腰长为xm，外周长(梯形的上

底线段BC与两腰长的和)为ym．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________m.23答案23解析由题意可知93＝12(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·x2＝BC＋x，h＝32x，整理可得BC＝18x－x2，由h≥3

，BC>0，可得2≤x<6，∴y＝BC＋2x＝18x＋3x2≥218x·3x2＝63，当且仅当18x＝3x2(2≤x<6)，即x＝23时等号成立．16.(2021·重庆调研)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y(mg/

m3)与时间t(h)的函数关系式为y＝kt，0<t<12，1kt，t≥12(如图所示)，实验表明，当药物释放量y<0.75(mg/m3)时对人体无害，则k＝________；为了不使人身体受到药物伤害

，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．答案240解析由题图可知，当t＝12时，y＝1，即1k×12＝1⇒k＝2.由题意可得t≥12，12t<0.75，解得t

>23，故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过23×60＝40(分钟)人方可进入房间．四、解答题2417．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费

900元；若每团人数多于30，则给予优惠；每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解设该旅行团的人数为x人，每张飞机票的

价格为y元，旅行社可获得的利润为w元．(1)①当0≤x≤30时，y＝900，②当30<x≤75时，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200，综上，y＝900，0≤x≤30，－10x＋1200，30<x≤75.(2)当0≤x

≤30时，w＝900x－15000，wmax＝900×30－15000＝12000(元)；当30<x≤75时，w＝(－10x＋1200)x－15000＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，当x＝60时，w取得最大值2

1000(元)，∴每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．18．某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组

数据：年份2018201920202021…投资成本x35917…年利润y1234…给出以下三个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)．25(1)选择一个恰当的函数模型来

描述x，y之间的关系；(2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型．解(1)将(3,1)，(5,2)代入y＝kx＋b(k≠0)，得1＝3k＋b，2＝5k＋b，解得k＝12，

b＝－12，∴y＝12x－12.当x＝9时，y＝4，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)，得1＝ab3，2＝ab5，解得a＝24，b＝2，∴y＝24·(2)x＝2x-32.当x＝9时，y＝29-32＝8，不符合题意；将(3,1)，(

5,2)代入y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)，得1＝loga(3＋b)，2＝loga(5＋b)，解得a＝2，b＝－1，∴y＝log2(x－1)．当x＝9时，y＝log28＝3；当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系．(2)令log2(x－

1)＝6，则x＝65.∵年利润665<10%，∴该企业要考虑转型．