【文档说明】《数学北师大版必修4教学教案》1.7.2正切函数的图像与性质 （8）含答案【高考】.doc，共(5)页，162.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-1.7.2正切函数的图像与性质一、教学内容分析1、教材内容北师大版，数学必修4，第一章，第七节《正切函数》。2、教材分析本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质后，又一具体的三角函数。本节课的内容是对前面学习正弦函数、余弦函数的延展，也为后续学习斜率做铺垫。本节课先从代数角度

探究正弦函数的性质，再通过平移正切线作出正切函数的图像，再观察图像得到新性质。从局部到整体，又从整体到局部，既给学生提供更多研究数学问题的视角，又使数形结合相得益彰。二、学习者特征分析：学生已经学习了正切的定义、单位圆中的正切线、诱导公式、正弦函数的图象和性质等，

具备了学习本节课的知识基础，并且在学习基本初等函数时，已然形成了稳定的函数研究模式，即先画图、再性质。选择恰当的方法和过程来研究正切函数的性质，对学生来说也是一种考验。三、教学策略选择与设计我们知道研究函数常见两种方式，第一种方式是先根据函数解析式作出整体的函数图象.通过观察图

象获得对函数性质的直观感性的认识，然后再把直观想象的内容用代数的语言加以抽象概括，进一步加以推理证明。这种研究过程体现的思维模式是由“直观想象”到“抽象概括”，研究方法是由“整体”到“局部”；第二种方式是先用代数的语言抽象概括出函数的

局部性质，再根据性质画出函数的整体图象，这种研究过程体现的思维模式是由“抽象概括”到“直观想象”，研究方法是由“局部”到“整体”；前面主要研究了正余弦函数的图象和性质，我们的研究方法是先画出函数的图象，观察图象得到函数的性质。这节课研究正

切函数过程中要体会另一种思维模式，先研究函数的一些局部的抽象的性质，再通过性质画出函数的整体的直观的图象。使学生的研究函数的思维模式从“直观到抽象、整体到局部”突破到“抽象到直观、局部到整体”，研究过程也从“先图象后性质”突破到“先性质后图象”，这也是今后研究一个不熟

悉的函数时的常用方法。教学手段：多媒体和几何画板辅助教学。课时安排：1课时。四、教学目标1、知识与技能：能画出正切函数的图像，掌握正切函数的主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性）；2、过

程与方法：体会先根据已有知识研究性质，借助单位圆，平移正切线作出图像，再由图像反思性质的函数研究方法；3、情感态度与价值观：在探究性质的过程中体验自身发现与探索的乐趣，由性质做出图像发挥直观想象力。数形结合的思想贯穿始终。五、教学重难点重点：正切函数的图像，正切函数的主要性质（包括周期性、奇

偶性、单调性、对称性）；难点：1、从“代数抽象到几何直观”、“从局部性质到整体图象”-2-的函数研究方法；2、在教学过程中，培养学生数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养。六、教学过程环节一：复习导入首先来回忆一下有关正切的定义（1）任

意角的正切值的定义（教师活动：用几何画板演示）在平面直角坐标系中，作以原点也圆心的单位圆。对于任意角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。当角的终边不在y轴上时，角的终边与单位圆交于点()yxp,，角的正切值()0tan=xxy。（2）正切线（教师活动：用几何画板，画

正切线。并让学生感受角逆时针旋转的过程中，正切线的变化，正切值的变化，为我们下面研究单调性和值域奠定基础）如何作正切线：过点()0,1A作单位圆的切线，当角的终边不在y轴上时，它与角的终边（当为第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于

点T，,则有向线段AT叫做角的正切线。对正切函数下定义：对于任意角，只要角的终边不在y轴上都有唯一确定的正切值与之对应，同时在弧度制下角的集合与实数一一对应。所以对于任意实数x),2,(ZkkxRx+,都存在

唯一确定的xtan与之对应，这就是我们今天要学习的正切函数xtany=。()0tan==xATxy我们可以发现T的纵坐标就是正切值环节二:合作交流探索性质我们前面学习了正弦函数和余弦函数，研究过程是先画出图像，再通过观察图像得到性质。当然我们可以通过类比正弦函数的研究方

法来研究正切函数。但是我们希望在研究方法上有所突破，换一种思维模式，先通过代数运算得到性质，再作出图像。所以我们共同探究正切函数的性质与图像。问题1：根据你已有的知识储备，从能否从代数角度探究正切函数的性质？定义域周期奇偶性单调

区间值域学生很容易得出定义域、周期和奇函数的结论。通过几何画板给学生演示单调性的变化。角x从2−到2增大的过程中，T顺着切-3-线从x轴逐渐上升，T的纵坐标逐渐增大也就是正切值逐渐增大，所以在开区间22-，内是增函数，由周期性在开区间Zkkk

++，，22-内是增函数。通过几何画板动画演示正切值的变化规律：观察正切值发现当x大于2-，且接近于2-时，正切值趋近于负无穷大。当x小于2，且接近2时，正切值趋近于正无穷大。在角变化的过程中，T点的纵坐标也就是正切值可以去到全体实数集的任何一个值，所以值域是全体实数集R。从代

数角度入手得到的基本性质暂时只有这些，如果能从图像入手，也许可以得到正切函数的其他性质。环节三：动手操作，学生展示大家是否记得利用正弦线画出正弦函数的图像的方法。用一个微课演示利用正弦线画出正弦函数的图像的过程。（1）等分；（2）作正弦线；（3）平移；（4）连

线；（5）根据周期性得到整个定义域内的图像。问题2：同学们能否类比这种方法，利用正切线画出正切函数的图像？找个同学在黑板上演示作图的过程，并讲述自己作图的思路。教师利用多媒体演示作图过程：把单位圆右半圆8等分，作正切线，平移正切线，

用一条光滑的曲线把正切线的端点连起来，就得到了一个周期内的图像，再根据周期性左右拓展就得到了整个定义域内的图像即正切曲线。正切曲线是由被相互平行的直线Zkkx+=,2隔开的无穷多条曲线组成的，这些直线叫做正切曲线的渐近线。再

利用几何画板演示平移无数条正切线得到的正切函数在开区间22-，内的图像，发现与平移7条正切线得到的正切函数在开区间22-，内的图像基本一致。因此在精度要求不高的情况下，能否类比正弦函数“

五点法”作图，得到作正切函数一个周期内简图的方法？学生发现“三点两线法”:−−1,4，()0,0，1,4，直线2−=x和直线2=x。问题3：观察正切函数的图像能否清晰反映出刚才得到的抽象性

质？能否发现对称中心？学生通过观察图像很容易看出定义域、周期、奇函数、单调区间和值域。−22，内对称中心是原点，又因为周期是，所以发现对称中心是()0,k。02，也是对称中心，图像绕着02，这个点旋转180度，能与原来的图像重合，-4-所以对称中心是

+0,2k。环节四:例题讲解，提升巩固例6：求函数+=32tanxy的定义域、周期和单调区间。解：232++kx，即312+kx所以函数的定义域是+Zkkxx,312.()()()2322tan32tan32tan+=

++=++=+=xfxxxxf所以函数的周期是2由于Zkkxk+++−，2322解得Zkkxk++−，231235所以函数的单调递增区间是Zkkk++−，，231235环节五：课时小结，课

后作业课时小结：1、正切函数的定义；2、正切函数的性质；3、正切函数的图像；4、思想方法：类比、迁移。（学生总结与教师总结相合的方式）结束语：“数缺形时难直观，形缺数时难入微”，形与数，数与形密不可分，希望大家在平时学习中在注重注意数与形的结合应用。要在研究函数的图象和性质的

过程中着重培养自己的数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象的素养。课后作业：（1）必做题：A组第1，2，10题.（2）选做题：B组第1题.板书设计：板书设计-5-正切函数1.正切函数的定义2.正切函数的性质定义域：周期：奇偶性：值域：单调性3.正切曲线渐近线：对称中心：4

.例题课后反思1、推理与直观并重，提升核心素养：通过代数方法推导正切函数的性质培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养，根据性质画图像培养学生直观想象的核心素养。2、关注学生发展培养探究精神：在探究性质以及

发现新性质的过程中，采取开放性回答的方式，培养学生的探究精神。3、教学是门“遗憾的艺术”:本节课主要放在对性质的探究、图像的生成以及发现新性质上，对性质的应用还不够，需要在后续的学习中巩固加强。本节课内容厚实，如果教师大胆的放手，让学生探索

和多角度的观察图像，学生的思维会碰撞出更多的火花，课堂生成会更精彩！