【文档说明】重庆市万州第二高级中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.040 MB，由小赞的店铺上传

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万州二中高2023届高二下期期末考试数学试题一､单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.如果不等式1−xa成立的充分不必要条件是1322x；则实数a的取值范围是（）A.13,22B.13,22C.13,,22−+D

.13,,22−+【答案】B【解析】【分析】解绝对值不等式，得到11axa−+，结合题干条件得到13<<22xx是1<<1+xaxa−的真子集，从而得到不等式组，求出实数a的取值范围.【详解】1

−xa，解得：11axa−+，所以11axa−+成立的充分不必要条件是1322x，故13<<22xx是1<<1+xaxa−的真子集，所以1123+1>2aa−或11<23+12aa−，解得：1322a，故实数a的取值范围是

13,22.故选：B2.命题p：xR，210axax++，若p是真命题，则实数a的取值范围是A.(0,4]B.[0,4]C.(,0][4)−+D.(,0)(4)−+【答案】D【解析】【详解】试题分析：若p是真命题，即2,1

0xRaxax++，当a<0时显然满足题意，当0a=时，不满足题意，当0a时，240aa=−，解得04aa或，综上有04aa或，故选D．考点：二次函数的性质，一元二次不等式问题．3.某人射击一次命中目标的概率为12，则此人射击6次，3次命中且

恰有2次连续命中的概率为（）A.3661()2CB.2641()2AC.2641()2CD.1641()2C【答案】B【解析】【分析】根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，可得这名射手射击命中3次的概率，再根据相互独立事件的概率乘法运算求

得结果.【详解】根据射手每次射击击中目标的概率是12，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为6361C2，恰有两次连续击中目标的概率为2436AC，故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为6623246436A11CA2C2

=.故选B【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率问题，熟记概念和公式即可，属于常考题型.4.设函数()()41lg121fxxx=+−+，则使得()()324fxfx−−成立的x的取值范

围是A.1,13B.31,2−C.3,2−D.()3,1,2−−+【答案】D【解析】【详解】显然函数是偶函数，且()fx在()0,+单调递增，因此要使()()324fxfx−−成立，只需32

4xx−−，只需()()22324xx−−.解得1x−或32x.故选D.点睛：本题考查了函数的相关性质，涉及函数的值求法，奇偶性、单调性的证明，不等式的求解，属于难题.解决此类型问题，关键体会对定义域内任意自变量存在的性

质，特别是特值的求解，即要善于发现，又要敢于试验，奇偶性在把握定义得前提下，通过赋值向定义靠拢，单调性就是要结合单调性证明格式，正用、逆用，变形使用性质，解不等式就是奇偶性及单调性的应用，注意定义域问题.5.已知随机变量()2~1,XN，且()()0PXPXa=，

则()43221axxx++的展开式中2x的系数为（）A.40B.120C.240D.280【答案】D【解析】【分析】先利用正态分布的性质可求2a=，再利用二项展开式的通项公式可求2x的系数.【详解】根据正态曲线的

性质可知，012a+=，解得2a=，()312x+的展开式的通项公式为132rrrrTCx+=，0,1,2,3r，422xx+的展开式的通项公式为()243814422ssssssssTCxcx−+−−++==，0,1,2,3,4s，令两式展开

通项之积x的指数为382rs−+=，可得33rs==或02rs==，∴()432212xxx++的展开式中2x的系数为333300223434222225624280CCCC+=+=，故选：D.【点睛】方法点睛：利用二

项展开式计算指定项的系数时，注意利用通项公式和多项式的乘法判断出指定项的系数是有哪些项的系数相乘所得到的.6.已知函数()()exfxaemax=−−+，（m，a为实数），若存在实数a，使得()0fx对任意Rx恒成立，则实

数m的取值范围是（）A.1,e−+B.[-e，+∞）C.1,eeD.1e,e−−【答案】A【解析】【分析】先判断出ea时，不合题意.对ea时，利用分离参数法得到111ln

emaaa−+−，记()()111ln,eeFaaaaa=−+−，利用导数判断单调性，求出最小值，即可得到实数m的取值范围.【详解】函数()()exfxaemax=−−+的导函数()()e1xfxae=−+.若e0a−≥，可得()0fx

，函数()fx为增函数.当,(),xfx→+→+不满足()0fx对任意xR恒成立，不合题意.若e0a−，可得()0fx=，解得：1lnexa=−.所以当1lnexa−时，()0fx，函数()fx为增函数；当1lnex

a−时，()0fx，函数()fx为减函数.所以1lnemax111()(ln)(e)eln1lneeeafxfamamaaaa−==−−+=−−+−−−.若()0fx对任意xR恒成立，只需11ln0emaa−−+−（ea）.即111lnemaaa−+−，（ea

）.记()()111ln,eeFaaaaa=−+−，因为存在实数a，使得()0fx对任意xR恒成立，所以记()minmFa.由()()111ln,eeFaaaaa=−+−，可得：2(e)ln(e)e()(e)aaFaaa−−−

=−所以当a<2e时,()0Fa,()Fa单调递减；当a>2e时()0Fa,()Fa单调递增；则()()min12eeFaF==−.所以1em−，即实数m的取值范围是1,e−+.故选：A.7

.用五种不同颜色给三棱柱111ABCABC-的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A.840种B.1200种C.1800种D.1920种【答案】D【解析】【分析】对所选

颜色的种数进行分类讨论，先涂A、B、C三点，再确定1A、1B、1C三点颜色的选择方法种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下几种情况讨论：①若5种颜色全用上，先涂A、B、C三点，有

35P种，然后在1A、1B、1C三点中选择两点涂另外两种颜色，有23P种，最后一个点有2种选择，此时共有32532720PP=种；②若用4种颜色染色，由45C种选择方法，先涂A、B、C三点，有34P种，然后在1A、1B、1C三点中需

选择一点涂最后一种颜色，有3种，不妨设涂最后一种颜色的为点1A，若点1B与点A同色，则点1C只有一种颜色可选，若点1B与点C同色，则点1C有两种颜色可选，此时共有4354331080CP=种；③若用3种颜色染色，则有3

5C种选择方法，先涂A、B、C三点，有33P种，点1A有2种颜色可选，则1B、1C的颜色只有一种选择，此时共有33532120CP=.由分类加法计数原理可知，共有72010801201920++=种涂色方法.故选：D.8.已知函数()()ln11fxmxnxm

=−+，()'fx是其导函数，若曲线()yfx=的一条切线为直线l：210xy−+=，且()0,1a，1,2b，不等式()ln'maafb+恒成立，则实数m的取值范围为（）A.()2,+B.)2,+

C.(),e+D.),e+【答案】C【解析】【分析】通过切线方程求出切点横坐标0exm=，令()lngxmxx=−并讨论它的单调性得出()min1lngxm=+；讨论()'fx单调性并得()max'31lnmfxme=−+，令()ln2mhmme=+−并讨论其单

调性得出()0hm，解出m的取值范围.【详解】设切点为()00,xy，故0021yx=+，而()1'fxnx=−，()001'fxnx=−，故()001'2fxnx=−=，故012xn=+，故0012nxx=−，因为000ln121mxnxx−+=+，故0ln1mx=，故

0mxe=，故0exm=，故2mne=+；令()lngxmxx=−，故对任意()0,1a，1,2b，()ln'maafb+，只需()()miaxmngxfx，而()1'1mxmxgxx−==−，令()

'0gx=，解得1xm=，故当10,xm时，()'0gx，当1,1xm时，()'0gx，故()11lngxgmm=+≥，即()min1lngxm=+；因为()1'fxnx=−在1,2上为减函数，故()()max'113mfxfne==−=−，则

1ln3mme+−，即ln20mme+−；设()ln2mhmme=+−，易知()hm在()1,+上单调递增，所以()0he=，所以()0hm，故实数m的取值范围为(),e+，故选：C.【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法(1)分离参数法求范围：若()fxa或()g

xa恒成立，只需满足min()fxa或max()gxa即可，利用导数方法求出()fx的最小值或()gx的最大值，从而解决问题；(2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究

单调性、最值，从而得出参数范围.二､多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设集合61,MxxkkZ==+，64,NxxkkZ==+，32,PxxkkZ==−，则下列说法中正确的是（）A.MN=ÜPB.()MNÜPC.MN=D.PMN=ð【答

案】CD【解析】分析】求出集合MNP=以及MN¹，可判断出各选项的正误.【详解】()61,3212,MxxkkZxxkkZ==+==+−，()64,3222,NxxkkZxxkkZ==+==+−，当Zk时，21k+为奇

数，22k+为偶数，则MN¹，MNP=，MN=，PMN=ð.故选：CD.【点睛】关键点点睛：解本题关键在于将集合M、N分别变形为()3212,MxxkkZ==+−，()3222,NxxkkZ==+−，结合两个集合中元

素的表示形式来进行判断.10.已知函数()()2fxxmxnmnR=++，，关于x的不等式()xfx的解集为()()11−+，，，则（）A.11mn=−=，B.设()()fxgxx=，则()gx的最小值一定为11g=（）C.不等式()()

()fxffx的解集为()()()0011−+，，，D.若()()314212xhxfxx=，，，且()()22hxhx+，则x的取值范围是34−+，【答案】ACD【解析】【分析】由已知不等式的解集求出.mn，再求解各选项中的问题

，作出判断．【详解】由题意2()(1)fxxx−=−，即2()1fxxx=−+，∴1,1mn=−=，A正确；()1()1fxgxxxx==+−，但当0x时，()3gx−，B错；【的(())()ffxfx，由已知()1fx，即211xx−+，0

x且1x，C正确；由题意知()hx在1,2+上是增函数，在1,2−上是常函数，因此由()(22)hxhx+得1222xx+或121222xx+，解得12x或3142x−，综上，34x−．D

正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：本题考查求二次函数的解析式，考查二次函数的性质，二次函数在对称轴的两边单调性相反，顶点处取得最大值或最小值．二次函数的图象与一元二次不等式的解集、一元二次方程的解之间的关系必须能熟练掌握，灵活运用．11.已知定义在R上的连续奇函数f（x）满足()(

)4fxfx−=−，且在区间[0，2]上单调递增，下列说法正确的是（）A.函数f（x）的图像关于直线46()xkkZ=−对称B.函数f（x）的单调递增区间为[86,82]()kkkZ−−C.函数f（x）在区间（-2019，2019）上恰有1010个最值点D.若关于x的方程()0fxm−=在

区间[-8，8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8【答案】ACD【解析】【分析】分析()fx的单调性，周期性和对称性，然后逐项分析可以求解.【详解】有()()4fxfx−=−得()()()444fxfxfx−−=−

−=，所以函数()fx的周期为8，()fx是奇函数，()()()()()44,4fxfxfxfxfx−=−−=−−=，对称轴x=2，根据()fx在[0,2]上单调递增，在[-2,0]上也是单调递增的，得函数图像大致如下：为对于A，对称轴为()24xkkZ=+，()46422xkk=−=−+，

故A正确；对于B，单调增区间为82,82kk−+()kZ，()()86,82812,816kkkk−−=−+−+是减区间，故B错误；对于C，()20192019503850486−−==+，共有504个周期

多6，函数()fx在每个周期有2个最值点，在504个完整的周期上有5042108=个最值点，在()2019,2016−−有1个最值点，在()2016,2019上有1个最值点，共有504221010+=个，故C正确；对于D，若1m

m==最大值，如图中所示，则所有根之和=624−+=−，若20mm=最大值，则所有根之和62228=−+=−，若m=0，则所有根之和=0，若最小值30mm=，如图中所示，，则所有根之和()22268=−+

=，若4mm==最小值，如图中所示，则所有根之和=264−+=，故D正确；故选：ACD.12.设函数()lnfxxx=，()212gxx=，给定下列命题，其中正确的是（）A.若方程()fxk=有两个不同的实数根，则1,0ke−；B.若方程()2kfxx=恰好只有一个实数根，则0k

；C.若120xx，总有()()()()1212mgxgxfxfx−−恒成立，则m1；D.若函数()()()2Fxfxagx=−有两个极值点，则实数10,2a．【答案】ACD【解析】【分析】利用导数研究函数的单

调性和极值，且将题意转化为()yfx=与yk=有两个不同的交点，即可判断A选项；易知1x=不是该方程的根，当1x时，将条件等价于yk=和lnxyx=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B选项；当120xx时，将条件等价于11

22()()()()mgxfxmgxfx−−恒成立，即函数()()ymgxfx=−在(0,)+上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m的范围，即可判断C选项；2()ln(0)Fxxxaxx=−有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并

求解，即可判断D选项.【详解】解：对于A，()fx的定义域(0,)+，()ln1fxx=+，令()0fx，有ln1x−，即1xe，可知()fx在1(0,)e单调递减，在1+e（，）单调递增，所以极小值等于最小值，min11()()fxfee==−，且当0x→时()0f

x→，又(1)0f=，从而要使得方程()fxk=有两个不同的实根，即()yfx=与yk=有两个不同的交点，所以1(,0)ke−，故A正确；对于B，易知1x=不是该方程的根，当1x时，()0fx，方程2()kfxx=有且只有一个实数根，等价于yk=和lnxyx

=只有一个交点，2ln1(ln)−=xyx，又0x且1x，令0y，即ln1x，有xe，知lnxyx=在0,1（）和1e（，）单减，在+e（，）上单增，1x=是一条渐近线，极小值为e,由lnxyx=大致图像可知0k或=ke

，故B错误；对于C，当120xx时，1212()()()()mgxgxfxfx−−恒成立，等价于1122()()()()mgxfxmgxfx−−恒成立，即函数()()ymgxfx=−在(0,)+上为增函数，即()()ln10ymgxfxmx

x=−−−=恒成立，即ln1+xmx在(0,)+上恒成立，令ln1()xrxx+=，则2ln()xrxx−=，令()0rx得ln0x，有01x，从而()rx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调

递减，则max()(1)1rxr==，于是m1，故C正确；对于D，2()ln(0)Fxxxaxx=−有两个不同极值点，等价于()ln120Fxxax+−==有两个不同的正根，即方程ln12xax+=有两个不同的正根，由C可知，021a，即102a，则D正确故

选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结

合，考查转化思想和运算能力．三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.湖北省2021年的新高考按照“3+1+2”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科

目.则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均选择物理的概率为.______.【答案】25【解析】【分析】根据题中条件，分别求出总的基本事件，以及满足题意的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】若甲乙两名考生对物理和历史的选择相同，则甲，乙两

名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同所包含的基本事件个数为11224348CCA=；若甲乙两名考生对物理和历史的选择不同，则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同所包含的基本事件个数为2242

12CA=；因此，甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同所包含的基本事件个数为481260+=，甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均选择物理所包含的基本事件个数为：124324CA=因此，所求的概率为242

605=.故答案为：25.14.将A，B，C，D，E五个字母排成一排，A，B均在C的同侧，记A，B之间所含其它字母个数为，则方差D（）=___________【答案】920##0.45【解析】【分析】由题意先求分布列，套公式求出方差.【详解】由题意知,

的可能取值为0,1,2.又因为将A、B、C、D、E五个字母排成一排A、B均在C的同侧,所以:i.当=0,即A、B之间没有其它字母时.先将A、B全排,有22A种排法,再把A、B的全排看作一个大元素,参加剩下的3个元素全排,

有44A种排法因此共有2424AA22448==种排法；ii.当=1,即A、B之间只有D、E之一时.先将A、B全排,有22A种排法,再在D、E中选1个放入A、B之间,有12C种选法,再把这三个元素的排

列看作一个大元素,参加剩下的2个元素全排,有33A种排法,因此共有213223ACA22624==种排法;iii.当=2,即D、E都在A、B之间时,先将A、B全排,有22A种排法,把D、E全排,有22A种排法,再把D、E全排作为一个大元素放入A、B之

间有1种放法,再把这4个元素的排列看作一个大元素与C全排,有22A种排法,因此共有222222AAA2228==种排法.所以基本事件共有48+24+8=80种.其中()48608010P===;()24318010P===;()8128010P===.所以()631

10121010102E=++=.()222161311901221021021020D=−+−+−=.故答案为：92015.下列说法中，正确的有______.①回归直线ybxa=+$$$恒过点(),xy，且至少过一个样本点；②

根据22列列联表中的数据计算得出26.635，而()26.6350.01P，则有99%的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；③2是用来判断两个分类变量是否相关的随机

变量，当2的值很小时可以推断两类变量不相关；④某项测量结果服从正态分布()21,Na，则()50.81P=，则()30.19P−=.【答案】②④【解析】【分析】①根据回归直线ybxa=+$$$恒过点(),xy，可以不过

样本点判断②根据独立性检验方法判断.③根据2的意义判断.④根据正态分布()21,Na的对称性判断.【详解】①回归直线ybxa=+$$$恒过点(),xy，不一定过样本点，故错误.②独立性检验是选取一个假设0H条件下的小概率事件，故正确.③当2的值很

小时推断两类变量相关的把握小，但不能说无关，故错误.④因为服从正态分布()21,Na，且5312−=，所以5与3−关于1=对称，故正确.故答案为：②④【点睛】本题主要考查命题的判断，还考查了回归分析，独立性检验，正态分布等知识，属于基础题.16.已知()222

01221nnnxaaxaxax+=++++，1n.则12431111aaaa−+−+L2017201811aa+−值为___________.【答案】10091010−【解析】【分析】先利用组合数公式得到122221211

12111()CC22CCkkkknnnnnn+++++−=−+，即可求和.【详解】()22201221nnnxaaxaxax+=++++.所以2C,1,2,3,2kknakn==.因为1212111!(21)!(1)!(2)!CC(21)!(21)!kknnknkknknn+++

+−+−+=+++2!(2)!(211)(21)!!(2)!(22)(21)!22(21).Cknknknkknknknnnn−+−++=+−+=++=+所以12222121112111()CC22CCkkkknnnnnn+++++−=−+，所以1243111

1aaaa−+−+L21211nnaa−+−133521212121212121212111111122nnnnnnnnnnCCCCCC−++++++++=−+−++−+1212121211122nnnnnCC++++=−

+211122211nnn+=−++1nn=−+.所以12431111aaaa−+−+L201720181110091010aa+−=−.故答案为：10091010−四､解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设22,43

0,0,1,4xURAxxxBxCxaxaaRx−==−+==+−（1）分别求(),UABABð（2）若BCC=，求实数a的取值范围【答案】（1）23ABxx=；{|3UABxx=ð或4x（2）()2,3

a【解析】【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.【小问1详解】解：解不等式可得243013Axxxxx=−+=，20244xBxxxx−==

−，所以23ABxx=，2UBxx=ð或4x，3UABxx=ð或4x；【小问2详解】解：由BCC=可得CB，且C，所以214aa+，解得23a，即()2,3a

.18.在61(2)xx−的展开式中,求：(1)第3项的二项式系数(2)奇数项的二项式系数和；(3)求系数绝对值最大的项.【答案】(1)240；(2)32；(3)240x.【解析】【分析】写出二项式的通项公式.(1)根据二项式的通项公式可以求出此问；(2)根据奇数项二项式系

数和公式可以直接求出此问题；(3)设出系数绝对值最大的项为第（r+1）项,根据二项式的通项公式,列出不等式组,解这个不等式组即可求出此问题.【详解】二项式61(2)xx−的通项公式为：6631661(2)()2(1)rrrrrrrrTCxCxx−−−+=−=−.(1

)第3项的二项式系数为2615C=,第三项的系数为24262(1)240C−=；(2)奇数项的二项式系数和024656666232CCCC+++==；(3)设系数绝对值最大的项为第（r+1）项,则6176

661566122247721332261rrrrrrrrCCrrrCCrr−−−−+−−−+,又rN,所以r=2.∴系数绝对值最大的项为24362240TCxx==．【点睛】本题考查了二项式

通项公式的应用,考查了奇数项的二项式系数和公式,考查了数学运算能力.19.已知函数()ln2fxxx=−−．（1）证明：()fx在区间()3,4内存在唯一的零点；（2）若对于任意的()1,x+，都有()ln1xxxkx+−，求整数k的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2

）3．【解析】【分析】（1）先利用导数证明()fx在()3,4上单调递增，再结合零点存在定理，得证；（2）参变分离得ln1xxxkx+−，令ln()1xxxgxx+=−，原问题转化为求()gx在()1,+上的最小值，结合（1）中结论和隐零点的思维，即可得解．【详解】（

1）证明：∵()ln2fxxx=−−，∴1'()1fxx=−，当()3,4x时，1'()10fxx=−，的∴()fx在()3,4上单调递增，∵(3)3ln321ln30f=−−=−，(4)4ln42

2ln40f=−−=−，∴()fx在区间()3,4内存在唯一的零点．（2）解：∵ln(1)xxxkx+−，且()1,x+，∴ln1xxxkx+−，令ln()1xxxgxx+=−，则2ln2'()(1)xxgxx−−=−，1x，由（1）知，()ln2fxxx=

−−在()1,+上单调递增，且在区间()3,4内存在唯一的零点，设该零点为()03,4x，则()000ln20fxxx=−−=，故当()01,xx时，()0fx，即)'(0gx，()gx在()01,x上单调递减，当()0,xx+时，()0fx，即'()0

gx，()gx在()0,x+上单调递增，∴()()000000min00002()(3,4)1ln1xxxxxxgxgxxxx−++====−−，∴min0()(3,4)kgxx=，故整数k的最大值为3．【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思

想，逻辑推理能力和运算能力，属于较难题．20.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲，乙二人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有

白球的个数：（2）求取球次数X的分布列和数学期望.【答案】（1）袋中原有3个白球;（2）见解析【解析】【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，设出袋中原有n个白球，写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到关于n的方程，解方程即可．（2）ξ的所

有可能值为：1，2，3，4，5，求出ξ取每一个值时对应的概率，即得分布列，再根据分布列，依据求数学期望的公式求得期望Eξ．【详解】（1）设袋中原有n个白球，由题意知()()2271112=767672nnnn

nCC−−==，所以()1=6nn−.解得3n=(2n=−，舍去).即袋中原有3个白球.（2）由题意，X的可能取值为1,2,3,4,5.()317PX==；()4322767PX===；()4336376535PX===；()432334765435PX===

；()43213157654335PX===.所以，取球次数X的分布列为.X12345P3727635335135所以()3263112345277353535Ex=++++=.21.随着国内疫情得到有效控制，各商家经营活动逐步恢复正常，部分商家还积极推出新产

品，吸引更多的消费者前来消费．某商店推出了一种新产品，并选择对某一天来消费这种新产品的100名顾客进行满意度调查，为此相关人员制作了如下的22列联表．满意不满意总计男顾客20女顾客10总计已知从这100名顾客

中随机抽取1人为满意的概率为35．（1）请完成如上的22列联表；（2）依据0.001=的独立性检验，能否认为满意度与性别有关联？（3）为了进一步改良这种新产品，商家在当天不满意的顾客中，按照性别利用分层抽样抽取了8人进行回访，并从这8人中再随机

抽取2人送出奖品，求获奖者恰好是1男1女的概率．附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++．()2PKk0.050.010.0050.001k3.8416.6357.87910.828【答案】（1）填表见解析；（2）认为满意度与性别有关联；（3）37．【解析】【分析】

（1）依题意求得女顾客满意的人数，进而可完成列联表；（2）根据题中所给的公式和数表进行求解判断即可；（3）根据分层抽样的抽样比公式、用排列组合结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】（1）设女顾客满意的有x人，根据题

意知，2031005xP+==，解得40x=，由此填写22列联表如下：满意不满意总计男顾客203050女顾客401050总计6040100（2）零假设为0H：满意度与性别之间没有关联根据列联表中的数据得()2216.667101002010304050505060.842380K

−==，根据小概率值0.001=的独立性检验，推断0H不成立，即认为满意度与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．（3）因为不满意的男性顾客有30人，女性顾客有10人，所以抽取的8人中，男性为308640

=（人），女性有108240=（人），则获奖者恰好是1男1女的概率为：116228CC3C7P==．故所求事件的概率为37P=．22.已知函数()esin1xfxax=−−，其中aR，e是自然对数的底数．（1）当1

a=时，证明：对)0,x+，()0fx；（2）若函数()fx在0,2上存在极值，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）()0,1【解析】【分析】()1当1a=时，()esin1xfxx=−−，求导，求出函数的最小值，

进而即可证明；()2若函数()fx在0,2上存在极值，则()ecosxfxax=−在0,2上存在零点．法一：通过讨论a的范围，对函数的零点分析求解即可；法二：令()cos0e2xxgxx=

，方程()0fx=在0,2上有实根，即函数ya=与函数()cosexxgx=在0,2上有交点，讨论()gx在0,2上的交点情况即可求解．【小问1详解】证明：当1a=时，()

esin1xfxx=−−，()ecosxfxx=−，当)0,x+时，e1x，且cos1x，所以当)0,x+时，()ecos0xfxx=−，且0x=时，()0fx=，函数()esin1xfxx=

−−在)0,+上单调递增，()()00fxf=，所以，对)()0,0xfx+，．【小问2详解】()2解：法一：若函数()fx在0,2上存在极值，则()ecosxfxax=−在0,2上存在零点．①当()0,1a时，()ecosxfxax

=−为0,2上的增函数，()010fa−=，2e02fa=，则存在唯一实数002x，，使得()00fx=成立，当()00,xx时，()0fx，()fx为

()00,x上的减函数；当0,2xx时，()0fx¢>，()fx为0,2x上的增函数，所以00,2x为函数()fx的极小值点；②当1a时，()ecosec

os0xxfxaxx=−−在0,2上恒成立，函数()fx在0,2上单调递增，()fx在0,2上无极值；③当0a时，()ecos0xfxax=−在0,2上恒成立，函数()fx在0,2

上单调递减，()fx在0,2上无极值．综上知，使()fx在0,2上存在极值的a的取值范围是()0,1．法二：若函数()fx在0,2上存在极值，则()ecosxfxax

=−在0,2上存在零点，令()0fx=，则cosexxa=，令()cos0e2xxgxx=，方程()0fx=在0,2上有实根，即函数ya=与函数()co

sexxgx=在0,2上有交点．由()cosexxgx=，得()2sinsincos4eexxxxxgx−+−−==，显然，()0gx，()gx在0,2上单调递减，则()()00

12ggxg==，所以，当0,2x时，ya=与()gx有交点，a的取值范围是()0,1．即当()0,1a时，存在唯一实数00,2x，使得()00fx=成立，当()00,xx时，()0fx

，()fx为()00,x上的减函数；当0,2xx时，()0fx¢>，()fx为0,2x上的增函数，所以00,2x为函数()fx的极小值点．综上知，函数()fx在0,

2上存在极值，a的取值范围是()0,1．【点睛】方法点睛：本题考查函数在给定区间上存在极值，求参数问题，可将问题转化为导函数在给定区间上存在零点问题，通常可用讨论参数研究导函数的单调性通过零点存在性定理判断，或者是分离参数，转化为求函数的值域问题来解决.