【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第26讲 正弦定理和余弦定理（讲） Word版含解析.docx，共(15)页，1.240 MB，由小赞的店铺上传

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第26讲正弦定理和余弦定理（讲）思维导图知识梳理1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋

b2－2abcosC.3．三角形的面积公式(1)S△ABC＝12aha(ha为边a上的高)；(2)S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切

圆半径)．题型归纳题型1利用正、余弦定理解三角形【例1-1】（2020春•广东期末）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若23A=，4B=，6a=，则(b=)A．32B．26C．62D．6【分析】由已知利用正弦定理即可计算求解．【解答

】解：因为23A=，4B=，6a=，则由正弦定理sinsinabAB=，可得26sin226sin32aBbA===．故选：B．【例1-2】（2020春•安徽期末）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知3b==，22c=，4A=，则(a=)A．5B．5C．29D．29【分

析】直接利用余弦定理求出结果．【解答】解：已知3b==，22c=，4A=，利用余弦定理：22222cos98232252abcbcA=+−=+−=，解得5a=．故选：B．【例1-3】（2020春•云南期末）在ABC中，内角A，

B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin3cos23bAaBbc−=−，则(A=)A．3B．4C．6D．23【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin0B，可得2sin()23A+=，根据题意可求范围(0,)A，根据正弦函数

的图象和性质即可求解A的值．【解答】解：sin3cos23bAaBbc−=−，由正弦定理可得：sinsin3sincos2sin3sinBAABBC−=−，sinsin3sincos2sin3sin2sin3(sincoscossin)BAABBCBABAB−

=−=−+，sinsin2sin3cossinBABAB=−，又sin0B，sin3cos2AA+=，2sin()23A+=，可得232Ak+=+，kZ，又(0,)A，6A=．故选：C．【例1-4】（2020春•五华区校级

期末）已知ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，2b=，2242cac+−=−．（1）求A的值；（2）从①23sinaB=，②4B=两个条件中选一个作为已知条件，求sinC的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cosA的值，结合范围0A，可求A的值．

（2）选择①作为已知条件，由正弦定理可求sinB的值，结合23A=，得B为锐角，可求4B=，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值；选择②作为已知条件，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值．【解答】解：（1）由2b=，224

2cac+−=−，得：22222421cos22242bcacacAbccc+−+−−====−，又因为0A，所以23A=．（2）选择①作为已知条件．在ABC中，由23sinaB=，以及正弦定理sinsinabAB=，得

23sin22sinsin3BB=，解得21sin2B=，由23A=，得B为锐角，所以4B=，因为在ABC中，ABC++=，所以22sinsin()sincoscossinsincoscossin3434CABABAB=

+=+=+，所以62sin4C−=．选择②作为已知条件，因为在ABC中，ABC++=，所以22sinsin()sincoscossinsincoscossin3434CABABAB=+=+=+，所以62sin4C−=．【跟

踪训练1-1】（2020春•宁德期末）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中2a=，23b=，3B=，则边c的长为．【分析】利用余弦定理可得2280cc−−=，解方程即可得解c的值．【解答】解：在三

角形ABC中，2a=，23b=，3B=，由余弦定理可得：2222cosbacacB=+−，可得21124222cc=+−，可得：2280cc−−=，解得4c=，或2−．故答案为：4．【跟踪训练1-2】（2020春•湖北期末）在ABC中，A，B，C对应边分别

为a，b，c，且5a=，4b=，31cos()32AB−=，则ABC的边c=．【分析】由ab可知AB，然后由cos()AB−可求sin()AB−，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cosB，由coscos[()]cos()cossin()sinAABBABBABB=−+=−−−可求co

sA，结合同角平方关系可求sinA，代入cos()coscossinsinABABAB+=−，进而可求cosC，进而根据余弦定理可求c的值．【解答】解：ab，AB，31cos()32AB−=，可知(0,)2AB−，23137sin()1()323

2AB−=−=，由正弦定理，sin5sin4AaBb==，于是可得5sin3731sinsin[()]sin()cossincos()cossin43232BAABBABBBABBB==−+=−+−=+，3sin7cosBB=，22sincos1BB+=，又BA

，可得3cos4B=，3133779coscos[()]cos()cossin()sin32432416AABBABBABB=−+=−−−−=，可得257sin116AcosA=−=，935771coscos()coscossinsin1641648CABABAB=−+=−+=

+=，由余弦定理可得222212cos5425468cababC=+−=+−=．故答案为：6．【跟踪训练1-3】（2020春•威宁县期末）在ABC中，4A=，32BC=，3AC=，则(B=)A．6B．3

C．6或56D．3或23【分析】由已知利用正弦定理求出sinB的值，利用大边对大角可得B为锐角，即可得解B的值．【解答】解：在ABC中，4A=，3AC=，32BC=，由正弦定理sinsinACBCBA=，得23sin12sin232ACABBC===，BCAC，可得B为锐角，6

B=．故选：A．【跟踪训练1-4】（2020春•威宁县期末）ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2222bacac+−=，3sin3B=，则C=．【分析】由已知条件及余弦定理可得cosbCc=

，再由正弦定理及B的正弦值可得C的正切值，再由在三角形中可得C的值．【解答】解：因为2222bacac+−=，而2222cosbacabC+−=，所以cosbCc=，由正弦定理可得sincossinBCC=，而3sin3B=，所以3tan3C=，而(0,)C，所以6C

=故答案为6．【跟踪训练1-5】（2020春•成都期末）在ABC中，若角60C=，2AC=，3AB=，则角B=．【分析】利用正弦定理、三角形边角大小关系即可得出．【解答】解：60C=，2AC=，3AB=，由正弦定理sinsinACABBC=，可

得32sin22sin23ACCBAB===，ABAC，CB，B为锐角，45B=．故答案为：45．【跟踪训练1-6】（2020春•运城期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3abc+=，22sin3s

insinCAB=．（1）求角C的大小；（2）求sin2sin2AB+的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理将22sin3sinsinCAB=中的角化为边，得223cab=，再结合余弦定理222cos2abcCab

+−=，可求出1cos2C=，从而得角C的大小；（2）易知4223BA=−，将其代入sin2sin2AB+，并结合正弦的两角差公式和辅助角公式可化简为3sin(2)6A−，然后由锐角ABC，可求得(6A，)2，最后根据正弦函数的图象与性质即可得解．

【解答】解：（1）由正弦定理知，sinsinsinabcABC==，22sin3sinsinCAB=，223cab=，即232abc=，又3abc+=，由余弦定理知，2222222()232321cos22222abcababccabcaba

bCabababab+−+−−−−−=====，(0,)2C，3C=．（2）由（1）知，3C=，4223BA=−，431sin2sin2sin2sin(2)sin2cos2sin23sin(2)

3226ABAAAAAA+=+−=−+=−，锐角ABC，且3C=，(0,)2A，2(0,)32BA=−，解得(6A，)2，2(66A−，5)6，1sin(2)(62A−，1]，故

sin2sin2AB+的取值范围为3(2，3]．【名师指导】1．已知△ABC中的某些条件(a，b，c和A，B，C中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a＝bsinAsinB，b＝asinBsinA，c＝asinCsinA，a2＝b2＋

c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.2．已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.题型2判断三角形的形状【例2-1】（2020春•聊城期末）在ABC中，角A

，B，C所对的边分别为a，b，c，已知coscosaAbB=，且222cabab=+−，则ABC的形状为()A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】利用正弦定理将已知条件中的等式进行边化角的代换，得

sincossincosAABB=，再由二倍角公式知sin2sin2AB=，从而得出AB=或2AB+=；再由余弦定理可推出2221cos22abcCab+−==，即3C=，故ABC为等边三角形．【解答】解：由正弦定理知，sinsinabAB=，coscosaAbB=，sincos

sincosAABB=，即sin2sin2AB=，22AB=或22AB+=，即AB=或2AB+=．222cabab=+−，由余弦定理知，2221cos222abcabCabab+−===，(0,)C，3C=．2AB

+=不成立，AB=符合题意，ABC为等边三角形．故选：D．【例2-2】（2020•广西二模）在ABC中，若cos1cos2cos1cos2bCCcBB+=+，则ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【

分析】运用二倍角的余弦公式和正弦定理，以及二倍角的正弦公式，化简整理即可判断三角形的形状．【解答】解：由已知22221cos22cos1cos22cosCcosCcosCbCBcosBcosBcB+===+，所以cosc

osCbBc=或cos0cosCB=即90C=或coscosCbBc=，由正弦定理，得sincossincosCCBB=，即sin2sin2CB=，因为B、C均为ABC的内角，所以22CB=或22180CB+=，所以BC=或90BC+=，所以ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【跟

踪训练2-1】（2020春•成都期末）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若::4:5:7abc=，则ABC为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】易判断最大角为C，直接由余弦定理可求cosC，结合c

osC的取值来判断该三角形的形状．【解答】解：由::4:5:7abc=，知最大角为C，2221625491cos2405abcCab+−+−===−，由于1cos05C=−，0C，2C，ABC为钝角三角形．故选：C．【跟踪训练2-2】（2020•浙江模拟）在ABC

中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为ABC的面积，若2coscaB=，221124Sac=−，则ABC的形状为，C的大小为．【分析】由正弦定理可得sin()2sincosABAB+=，由两角和的正弦公式可求得sin

()0AB−=，根据AB−−，故0AB−=，从而得到ABC的形状为等腰三角形．由已知利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tan1C=，结合C的范围即可得解C的值．【解答】解：由2coscaB=，利用正弦定理可得：sin()2sincosA

BAB+=，由两角和的正弦公式可得：sincoscossin2sincosABABAB+=，sin()0AB−=，又AB−−，0AB−=，故ABC的形状为等腰三角形，S为ABC的面积，221124Sac=−，2222221111111sin2444444abCaacabc=

+−=+−，222sin2abcCab+−=，又由余弦定理可得222cos2abcCab+−=，sincosCC=，即tan1C=，(0,)C，4C=．故答案为：等腰三角形，4．【跟踪训练2-3】（2019春•蓟州区期中）已知ABC中，角A，B，C所对

的边分别是a，b，c，且coscosaAbB=，则该三角形的形状是．【分析】利用正弦定理化简coscosaAbB=，通过两角差的正弦函数，求出A与B的关系，得到三角形的形状．【解答】解：在ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，若acos

Ab=cosB，所以sincossincosAABB=，所以22AB=或22AB=−，所以AB=或90AB+=．所以三角形是等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形．【名师指导】1．判定三角形形

状的2种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．题型3三角形的面积问题【例3-1】（2020•北京）在ABC中

，11ab+=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）sinC和ABC的面积．条件①：7c=，1cos7A=−；条件②：1cos8A=，9cos16B=．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【分析】选择条件①（Ⅰ）由余弦定理求出()()49

2ababb+−=+，再结合11ab+=，即可求出a的值，（Ⅱ）由正弦定理可得sinC，再根据三角形的面积公式即可求出，选择条件②（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得sin6sin5aAbB==，再结合11ab+=，即可求出a的值，（Ⅱ）由两角和的正弦公式求出sinC，再根据三角形的

面积公式即可求出．【解答】解：选择条件①（Ⅰ）由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，即2214914()4927abbb−=−−=+，()()492ababb+−=+，11ab+=，1111492abb−=+，即111349ab−=，联立11111349abab+=−=

，解得8a=，3b=，故8a=．（Ⅱ）在ABC中，sin0A，243sin17AcosA=−=，由正弦定理可得sinsinacAC=，437sin37sin82cACa===，113sin8363222ABCSabC===．选择条件②（Ⅰ）在A

BC中，sin0A，sin0B，()CAB=−+，1cos8A=，9cos16B=，237sin18AcosA=−=，257sin116BcosB=−=，由正弦定理可得sinsinabAB=，sin

6sin5aAbB==，11ab+=，6a=，5b=，故6a=；（Ⅱ）在ABC中，()CAB=−+，3795717sinsin()sincoscossin8161684CABABAB=+=+=+=，117157s

in652244ABCSabC===【例3-2】（2020春•辽宁期末）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(3)coscosbcAaC−=．（1）求cosA；（2）若3a=，求ABC的面积S的最大值．【分析】（1）利用余弦定理将条件转化为变得关系即可求

出A的余弦值．（2）由余弦定理得到22233bcbc+=+，结合基本不等式得到bc的范围，进而可得面积的最大值【解答】解：（1）由余弦定理可得222222(3)22bcaabcbcabcab+−+−−=，整理得22223bcabc+

−=，则222213cos223bcbcaAbcbc+−===；（2）由余弦定理2222231cos223bcabcAbcbc+−+−===，即22233bcbc+=+，因为222323bcbcbc+=+…，所以94bc„，当且仅当bc=时取“=”因为1co

s3A=，则22sin3A=则119223sin222434SbcA==„．【跟踪训练3-1】（2020春•道里区校级期末）ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，(cos2cos)(2)cosbACcaB−=−．（Ⅰ）求ca的值；（Ⅱ）若1cos4B=，4b=，求AB

C的面积．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinsinAC=，由正弦定理即可求解．（Ⅱ）由cosB利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用余弦定理可求a，c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）在ABC中

，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2)cos(cos2cos)caBbAC−=−，由正弦定理得：(2sinsin)cossin(cos2cos)CABBAC−=−，化简，得2sin()sin()CBAB+=+，ABC++=，2sinsinAC=，2ac

=，2ca=．（Ⅱ）1cos4B=，4b=，2ac=，215sin14BcosB=−=由余弦定理得：221416422aaaa+−=，解得2a=，解得4c=，1115sin2415224ABC

SacB===．【跟踪训练3-2】（2020春•广州期末）已知ABC的外接圆半径为R，a，b，c分别是角A，B，C的对边，2b=且sinsin2(sinsin)sinbBaARBCC−=−．（1）求

角A；（2）若AD是BC边上的中线72AD=，求ABC的面积．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得222bcabc+−=，由余弦定理可得1cos2A=，结合范围(0,)A，可求A的值．（2）由题意可得1()2ADABAC=+，两边平方可得：2221(2)4ADABACABAC=++

，利用平面向量数量积的运算可得：2230cc+−=，解方程可得c的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）由正弦定理2sinsinbcRBC==，可得2sinbRB=，2sincRC=

，由已知可得：sinsin()sinbBaAbcC−=−，222()bacbcbcc−=−=−，即222bcabc+−=，由余弦定理可得2221cos222bcabcAbcbc+−===，(0,)A，3A=．（2）BC边上的中线72AD=，2b=，又

1()2ADABAC=+，两边平方，可得：2221(2)4ADABACABAC=++，2271(222cos)443cc=++，整理可得：2230cc+−=，解得1c=，或3−（舍去），1133sin212222ABCSbcA===．【跟踪训练3-3】（2020春

•徐州期末）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3A=，___且2b=，请从①2222bacac+=+，②cossinaBbA=，③sincos2BB+=这三个条件中任选一个补充在横线

上，求出此时ABC的面积．【分析】依次代入条件①②③，均可求出4B=，再利用正弦定理可求得3a=，进而可求得sinC，再利用面积公式求解即可．【解答】解：情形一：若选择①2222bacac+=+，由余弦定理22222cos222acbacBacac+−

===，因为(0,)B，所以4B=；情形二：若选择②cossinaBbA=，则sincossinsinABBA=，因为sin0A，所以sincosBB=，因为(0,)B，所以4B=；情形三：若选择③sincos

2BB+=，则2sin()24B+=，所以sin()14B+=，因为(0,)B，所以5(,)444B+，所以42B+=，所以4B=；由正弦定理sinsinabAB=，得2sinsin33sin2

2bAaB===，因为3A=，4B=，所以53412C=−−=，所以562sinsinsin()sincoscossin124646464C+==+=+=，所以116233sin322

244ABCSabC++===．故答案为：334S+=．【名师指导】1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代

入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用

面积公式列方程求解．