【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第26讲 正弦定理和余弦定理（达标检测） Word版含解析.docx，共(17)页，1.678 MB，由小赞的店铺上传

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第26讲正弦定理和余弦定理（达标检测）[A组]—应知应会1．（2020春•南京期末）在ABC中，3a=，2b=，3sin3B=，则角A等于()A．6B．3C．23D．3或23【分析】根据正弦定理建立方程关系进行求解即可

．【解答】解：3a=，2b=，3sin3B=，由正弦定理sinsinabAB=，可得：32sin33A=，得3sin2A=，则3A=或23，故选：D．2．（2020春•宜宾期末）在ABC中，若37AB=，4BC=，23C=，则ABC的面积(S=)A．33B．32C．6

D．4【分析】由已知利用余弦定理可得24210ACAC+−=，解方程可得AC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：37AB=，4BC=，23C=，由余弦定理2222cosABACBCACBCC=+−，可得

：21371624()2ACAC=+−−，整理可得：24210ACAC+−=，解得3AC=，或7−（舍去），113sin3433222ABCSACBCC===．故选：A．3．（2020春•凉山州期末）ABC

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3a=，3b=，30A=，则角B等于()A．30B．30或150C．60D．60或120【分析】由ab=，利用正弦定理可得BA=，即可得解．【解答】解：3a=

，3b=，30A=，30BA==．故选：A．4．（2020春•禅城区期末）ABC中，3c=，1b=，6B=，则ABC的形状一定为()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角

形【分析】由已知利用正弦定理可求sinC，进而可得3C=或23，分类讨论，分别求出A的值即可判断得解．【解答】解：ABC中，因为3,1,6cbB===，由正弦定理sinsinbcBC=，可得3sin2C=，故3

C=或23，当3C=时，2A=，ABC为直角三角形；当23C=时，6A=，ABC为等腰三角形；综上，ABC的形状一定为等腰三角形或直角三角形．故选：D．5．（2020春•九龙坡区期末）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b．c．根据下列条

件解三角形，其中有两解的是()A．7a=，2b=，8c=B．10a=，45B=，75C=C．7a=，5b=，80A=D．7a=，8b=，45A=【分析】A，根据三边关系判断ABC只有一解；B，根据三角形内角和定理与正弦定理，判断ABC只有一解；C，利用正

弦定理与大边对大角，得出ABC只有一解；D，根据正弦定理和三角形的边角关系，得出ABC有两解．【解答】解：对于A，7a=，2b=，8c=，三边关系确定，所以ABC只有一解；对于B，10a=，45B=，75C=，所以180457560A=−−=，由正弦定理求得b、c的值

，所以ABC只有一解；对于C，7a=，5b=，80A=，由正弦定理得sin5sin80sin7bABa==，且ba，所以B唯一确定，所以ABC只有一解；对于D，7a=，8b=，45A=，由正弦定理得sin8sin4542sin77bAB

a===，且ba，(45,180)B，所以B的值有两个，ABC有两解．故选：D．6．（2020春•徐州期末）在ABC中，已知60B=，边4AB=，且ABC的面积为23，则边AC的长为()A．2B．22C．23D．4【分析】先由1sin2ABCSABBCB=可求出BC的长

，再由余弦定理2222cosACABBCABBCB=+−，代入数据进行运算即可得解．【解答】解：由1sin2ABCSABBCB=得，1323422BC=，2BC=，由余弦定理知，22212cos164242122ACABBCABBCB=+−=+−=，23AC=．

故选：C．7．（2020春•黔南州期末）设a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边．巳知4cos5C=，sin5sinbCcA=，则(ca=)A．5B．17C．32D．34【分析】由正弦定理化简已知等式可得5ba=，进而由余弦定理即可求解ca的值．【解答】解：sin5sinbCcA=，

由正弦定理可得5bcca=，即5ba=，4cos5C=，由余弦定理可得：222242525185caaaaa=+−=，解得32ca=．故选：C．8．（2020•沙坪坝区校级模拟）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代

表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作《数书九章》中叙述了已知三角形的三条边长a，b，c，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积

．”若把以上这段文字写成公式，即为2222221[()]42acbSac+−=−．已知ABC的三条边长为a，b，c，其面积为12，且22214acb+−=，则ABC周长的最小值为()A．12B．14C．16D．18【分析】结合

面积公式，以及代数运算的方法，容易求出ac的值，然后结合基本不等式，即可求出周长的最小值．【解答】解：由已知：2222221[()]42acbSac+−=−①，且22214acb+−=②，12S=．由将②式代入①式得：22211412

[()]2542acac=−=，ABC周长2214221416lacbacacacac=++=+++−+−=…．取等条件5ac==，6b=，故周长的最小值为16．故选：C．9．（2020春•沙坪坝区校级期末）在锐角ABC中，若coscossinsin3sinACBCacA

+=，且3sincos2CC+=，则ab+的取值范围是()A．(6，23]B．(0，43]C．(23，43]D．(6，43]【分析】由3sincos2sin()26CCC+=+=，可得3C=；再结合正弦定理sinsinBbAa=和余弦定理222cos2b

caAbc+−=，将coscossinsin3sinACBCacA+=中的角化边，化简整理后可求得23c=；根据锐角ABC和3C=，可推出(6A，)2，由于4sinsinsinabcABC===，故4s

inaA=，4sinbB=，于是24(sinsin)4[sinsin()]3abABAA+=+=+−，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．【解答】解：由3sincos2sin()26C

CC+=+=，得262Ck+=+，kZ，(0,)2C，3C=．由正弦定理知，sinsinBbAa=，由余弦定理知，222cos2bcaAbc+−=，coscossinsin3sinACBCacA+=，2221132232bcabbcaca+−+=，化简整理得，(23)0b

c−=，0b，23c=，由正弦定理，有234sinsinsin32abcABC====，4sinaA=，4sinbB=，锐角ABC，且3C=，(0,)2A，2(0,)32BA=−，解得(6A，)2，2314(sinsin)4[sinsin()]4(sincoss

in)43sin()3226abABAAAAAA+=+=+−=++=+，(6A，)2，(63A+，2)3，3sin()(62A+，1]，ab+的取值范围为(6，43]．故选：D．10．（多选）（2020春•梅州期末）在ABC中，角

A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有()A．::sin:sin:sinabcABC=B．若sin2sin2AB=，则ab=C．若sinsinAB，则ABD．sinsinsinabcABC+=+【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐

一分析各个选项即可求解．【解答】解：对于A，由正弦定理2sinsinsinabcRABC===，可得：::2sin:2sin:2sinsin:sin:sinabcRARBRCABC==，故正确；对于B，由sin2sin2AB=，可得AB=，或22AB

+=，即AB=，或2AB+=，ab=，或222abc+=，故B错误；对于C，在ABC中，由正弦定理可得sinsinABabAB，因此AB是sinsinAB的充要条件，正确；对于D，由正弦定理2s

insinsinabcRABC===，可得右边2sin2sin2sinsinsinsinbcRBRCRBCBC++====++左边，故正确．故选：ACD．11．（多选）（2020春•鼓楼区校级期末）对于ABC，下列说法中正确的是()A．若sin2sin2AB=，则ABC为等腰三

角形B．若sincosAB=，则ABC为直角三角形C．若222sinsinsinABC+，则ABC为钝角三角形D．若3AB=，1AC=，30B=，则ABC的面积为34或32【分析】A，由题可知，22AB=或22AB+=，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，即A错误；B

，角A与角B互余，所以ABC为直角三角形，即B正确；C，利用正弦定理将角化边，有222abc+，由余弦定理知，222cos02abcCab+−=，可推出ABC为钝角三角形，即C正确；D，由正弦定理知，3sin60sinsin2ABAC

CCCB===或120，然后分两类讨论：当60C=时，ABC为直角三角形，可求得32ABCS；当120C=时，ABC为等腰三角形，可求得34ABCS=．【解答】解：对于选项A，若sin2sin2AB=，则22AB=或22AB+=，所以AB=或2AB+=，

即ABC为等腰三角形或直角三角形，所以A错误；对于选项B，若sincosAB=，则A与B互余，所以ABC为直角三角形，所以B正确；对于选项C，由正弦定理知，sinsinsinabcABC==，若222sinsinsinABC+，则222abc+，由

余弦定理知，222cos02abcCab+−=，所以C为钝角，ABC为钝角三角形，即C正确；对于选项D，由正弦定理知，sinsinABACCB=，即31sinsin30C=，所以3sin2C=，因为(0,180)C，所以60C

=或120，当60C=时，ABC为直角三角形，且90A=，所以1322ABCSABAC==；当120C=时，ABC为等腰三角形，1BCAC==，所以1133sin112224ABCSBCACC===．综上所述，ABC的面积为34或32，所以D正确．

故选：BCD．12．（2020春•马鞍山期末）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b=，1c=，45B=，则C=．【分析】由已知利用正弦定理可得sin1sin2cBCb==，结合大边对大角可求45C，根据特殊角的三角函数值即可求解C的值

．【解答】解：2b=，1c=，45B=，由正弦定理sinsinbcBC=，可得21sin12sin22cBCb===，cb，可得45CB=，30C=．故答案为：30．13．（2020春•重庆期末）已知ABC中，角A，B，C的对

边分别为a，b，c，12,,cos43aBA===，则b=．【分析】由已知利用特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式可求sinB，sinA的值，进而由正弦定理可求得b的值．【解答】解：12,,cos43aBA===，2sin2B=，222sin13AcosA=−=，

由正弦定理sinsinabAB=，可得：22sin32sin2223aBbA===．故答案为：32．14．（2019秋•密云区期末）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且5a=，10c=，3B=，则b=，A=．【分析】由已知结合余弦

定理可求b，然后结合正弦定理可求A．【解答】解：由余弦定理可得，2125100cos32510b+−=，解可得，53b=，由正弦定理可得，553sin32A=，故1sin2A=，因为A为三角形的内角且13B=，所以6A=．故答

案为：53，6．15．（2020春•金华期末）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若13a=，3b=，60A=，则ABC的面积为．【分析】由已知利用余弦定理可得2340cc−−=，解得c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：ABC中，

13a=，3b=，60A=，由余弦定理2222cosabcbcA=+−，可得21393cc=+−，即2340cc−−=，解得4c=，或1−（舍去），113sin3433222ABCSbcA===．故答案为：33．16．（2020春•

渝中区校级期末）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2a=，3b=，2CA=，则cos2C=．【分析】根据条件得到3BA=−，由正弦定理得到2sinsin1sinsin334aAAb

BAsinA===−，解出sinA，利用二倍角公式即可求解cos2C．【解答】解：因为2CA=，所以3BACA=−−=−，由正弦定理可得sinsinsinsinsin(3)sin3aAAAbBAA===−，因为sin3sin(2)sincos2cossin2AAAAAA

A=+=+22sin(12sin)2cossinAAAA=−+22sin(12sin)2(1sin)sinAAAA=−+−33sin4sinAA=−，则32sin123sin4343aAbAsinAsinA===−−，因为2(0,)CA=，所以(0,)2A解得6sin4A

=，故2261cos212sin12()44AA=−=−=，则217cos2cos42cos2121168CAA==−=−=−，故答案为：78−．17．（2020•新课标Ⅱ）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知25c

os()cos24AA++=．（1）求A；（2）若33bca−=，证明：ABC是直角三角形．【分析】（1）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得21sincos04AA−+=，

解方程得1cos2A=，结合范围(0,)A，可求A的值；（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求1sin()32B−=，结合范围(33B−−，)3，可求2B=，即可得证．【解答】解：（1）2225cos()cossincos1

coscos24AAAAAA++=+=−+==，21coscos04AA−+=，解得1cos2A=，(0,)A，3A=；（2）证明：33bca−=，3A=，由正弦定理可得31sinsinsin32BCA−==，

231131sinsin()sincossinsincossin()3222232BBBBBBBB−−=−−=−=−=，2(0,)3B，(33B−−，)3，36B−=，可得2B=，可得ABC是直角三角形，得证．18．（202

0•江苏）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知3a=，2c=，45B=．（1）求sinC的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADC=−，求tanDAC的值．【分析】（1）由题意及余弦定理求出b边，再由正弦定理求出sinC的值；（2）三角形的内角和

为180，4cos5ADC=−，可得ADC为钝角，可得DAC与ADCC+互为补角，所以sinsin()DACADCC=+展开可得sinDAC及cosDAC，进而求出tanDAC的值．【解答】解：（1）因为3a=，2c=，45B=．

由余弦定理可得：2222cos9223252bacacB=+−=+−=，由正弦定理可得sinsincbCB=，所以225sinsin45255cCb===，所以5sin5C=；（2）因为4cos5

ADC=−，所以23sin15ADCcosADC=−=，在三角形ADC中，易知C为锐角，由（1）可得225cos15CsinC=−=，所以在三角形ADC中，25sinsin()sincoscossin25DACADCCADCCADCC=+=+=，因为(0,)2DAC，所

以2115cos125DACsinDAC=−=，所以sin2tancos11DACDACDAC==．19．（2020•新课标Ⅱ）ABC中，222sinsinsinsinsinABCBC−−=．（1）求A；（2）若3BC=，求ABC周长的最大值．【分析】（1）运用余弦定理和特殊

角的三角函数值，可得所求角；（2）方法一、运用正弦定理和三角函数的和差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值．方法二、运用余弦定理和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为222sinsinsinsinsi

nABCBC−−=，由正弦定理可得222abcbc−−=，即为222bcabc+−=−，由余弦定理可得2221cos222bcabcAbcbc+−==−=−，由0A，可得23A=；（2）由题意可得3a=，又3BC+=，可设6Bd=−

，6Cd=+，66d−，由正弦定理可得3232sinsinsin3bcBC===，可得23sin()6bd=−，23sin()6cd=+，则ABC周长为1313323[sin()sin()]323(cossincossin)6622

22abcdddddd++=+−++=+−++，323cosd=+，当0d=，即6BC==时，ABC的周长取得最大值323+．另解：3a=，23A=，又2222cosabcbcA=+−，2222219()()()4bcbcbcbcbcbc=++=+−

+−+…，由3bc+，则23bc+„（当且仅当bc=时，“=”成立），则ABC周长的最大值为323+．20．（2020春•广东期末）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin()sinbACaC

+=，且2ac=．（1）求sinB；（2）若ABC的面积为47，求ABC的周长．【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得2bac=，结合2ac=，利用余弦定理可求3cos4B=，结合范围利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可

求c的值，结合2ac=，可求a的值，由（1）可求b的值，即可得解三角形的周长．【解答】解：（1）因为sin()sinbACa+=C，可得sinsinbBaC=，所以2bac=因为2ac=，所以cos22222222242

32244acbacaccccBacacc+−+−+−====，因为0B，所以sin29711164BcosB=−=−=（2）因为ABC的面积为1sin2ac27474Bc==，所以4c=因为2ac=，所以8a=因为232bac=

=，所以42b=故ABC的周长为84421242abc++=++=+21．（2020春•日照期末）在①3sin4cosaCcA=；②2sin5sin2BCbaB+=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．

在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____，32a=．（1）求sinA；（2）如图，M为边AC上一点，MCMB=，2ABM=，求边c．【分析】若选①，（1）由正弦定理可得A的正切值，再由A的范围及正弦的定义求出A的正弦值；（2）设BMCM

m==，由2ABM=，可得4coscossin5BMCBMAA=−=−=−，在BMC中由余弦定理可得m的值，在RtABM中，可得c的值；若选②（1）由三角形内角和和正弦定理及2倍角的正弦公式可得2A的正弦值，进而求出其

余弦值，求出A的正弦值；（2）同选①的答案．【解答】解：若选①，则答案为：（1）在①3sin4cosaCcA=，由正弦定理可得3sinsin4sincosACCA=，因为sin0C，所以可得4tan3A=，在ABC中，所以(0,)2A，所以2

244sin543A==+；（2）因为2ABM=，设BMCMm==，由图可得4coscossin5BMCBMAA=−=−=−，在BMC中，由余弦定理可得2222cosBCBMCMBMCMBMC=+−，而32BCa==，所以2241822()5mm=−−，解

得5m=，在RtABM中，5354tan43BMcABA====．若选②，则答案为：（1）因为2sin5sin2BCbaB+=，所以2sin5sin2AbaB−=，由正弦定理可得2sincos5sinsin25sincossin22

2AAABABB==，因为sin0B，cos02A，所以1sin25A=，2cos25A=，所以124sin2sincos222555AAA===，（2）答案同选①．22．（2020春•潍坊期末）从①4B=，②32sinaB=这两个条件中选一个，补充到

下面问题中，并完成解答．已知ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且222sinsinsinsinsinABCBC=++．（1）求角A；（2）已知6b=，且____，求sinC的值及ABC的面积．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得222abcb

c=++，根据余弦定理可求1cos2A=−，结合范围0A，可求A的值．（2）选择①时，由23A=，4B=，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，根据正弦定理sinsinabAB=，可得3a=，利用三角形的面积公式即可计算得解；选择②时，32sina

B=，根据正弦定理解得2sin2B=，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，根据正弦定理可得3a=，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）因为222sinsinsinsinsinABCBC=++，由正弦定理可得222abcbc=++，可

得2221cos222bcabcAbcbc+−−===−，因为0A，所以23A=．（2）选择①时，23A=，4B=，故62sinsin()sincoscossin4CABABAB−=+=+=，根据正弦定理sinsinabAB=，可得3a=，可得1933sin24SabC−=

=．选择②时，32sinaB=，根据正弦定理sinsinabAB=，可得32sin6sin32BB=，解得2sin2B=，62sinsin()sincoscossin4CABABAB−=+=+=，根据正弦定理sinsinabAB=，可得3a=，可得19

33sin24SabC−==．[B组]—强基必备1．（2020春•渝中区校级期末）已知非等腰ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且444222222abcabcab+++=+，若c为最大边，则2abc+的取值范围是()A．1(2，3)3B．1(

2，3)C．1(2，3]3D．1(2，3]【分析】由444222222abcabcab+++=+，化简得到cosC的值，根据余弦定理和基本不等式求出即可．【解答】解：由444222222abcabcab+++=+，得222422222()2abcabcab++−=

+，即422222222cababccab−++=++，则422222222cababccab−+−=−+，22222222222()cabcababcab+−++−=+，通分得2222222222()()0abccababab+−−−+=+，故222222()ab

cab+−=，故22221()24abcab+−=，因为C为最大角，所以1cos2C=−，由余弦定理22222223()()()()24abcabababababab+=++=+−+−=+…，当且仅当ab=时，取等号，故3()2cab+…，则33ab

c+„，由abc+，得1abc+，所以2abc+的取值范围是1(2，3]3，故选：A．2．（2020春•静海区校级期中）在锐角三角形ABC中，若3sincos2BB+=，且满足关系式coscossinsin3sinBCABbcC+=，则ac

+的取值范围是()A．(3,23]B．(23,43]C．(6,43]D．(3,23]【分析】由3sincos2BB+=，推导出3B=，由coscossinsin3sinBCABbcC+=，推导出23b=，再由正弦定理

可得4sinaA=，24sin4sin()3cCA==−，由此能求出ac+的取值范围【解答】解：3sincos2BB+=，31sincos122BB+=，sin()16B+=，262Bk+=+，2B，3B=，coscossinsin3sin

BCABbcC+=，22222232223aacbabcabcabcc+−+−+=，23aabcc=，23b=，由正弦定理可得234sinsinsin32acbACB====，4sinaA=，24sin4sin()3cCA==−，231134sin4s

in()4(sincos4sin)43(cossin)43sin()322226acAAAAAAAA+=+−=++=+=+，三角形ABC为锐角三角形，62A，2363A+，3sin()126A+„643sin()436A+

„即643ac+„故选：C．3．（2020•郑州三模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，sin2,32sinsin2bCCabAC=−−，2a=，则15sin4B=，则b=．【分析】由正弦定理化简已知等式，结合sin0A，可得sinsin2B

C=，可得2BC=，或2BC+=，由于若2BC=，可得BC+推出矛盾，可得2BC+=，根据三角形内角和定理可得AC=，可求范围03B，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，进而根据余弦定理可求b的值．【解答】解：s

in2sinsin2bCabAC=−−，sinsin2sin2sin2bAbCaCbC−=−，sinsin2bAaC=，由正弦定理可得：sinsinsinsin2BAAC=，sin0A，sinsin2BC=，可

得2BC=，或2BC+=，若2BC=，由于32C，可得23B，可得BC+（舍去），2BC+=，可得AC=，可得：2ac==，32C，23AC+，03B，由

15sin4B=，可得1cos4B=，由余弦定理可得2212cos4422264bacacB=+−=+−=．故答案为：6．