【文档说明】2023届高考人教A版数学一轮复习试题（适用于老高考旧教材）课时规范练36　直接证明与间接证明含解析【高考】.docx，共(3)页，37.996 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-46081d90d14e4b75daa80b891e6d0872.html

以下为本文档部分文字说明：

1课时规范练36直接证明与间接证明1.用合适的方法证明:(1)已知a,b都是正数,求证:a5+b5≥a2b3+a3b2.(2)已知a是整数,a2是偶数,求证:a也是偶数.2.(2021上海松江实验高级中学月考)(1)证明:

|x-3|-|x-5|≥-2,对所有实数x均成立,并求等号成立时x的取值范围.(2)求证:√6是无理数.3.(2021青海海东模拟)(1)用分析法证明:若x>1,则3x2+1𝑥2>3x+1𝑥>3√𝑥+1√𝑥.(2)用反证法

证明:若a<e2,则函数f(x)=ax2-4ex(x>0)无零点.4.(2021安徽黄山模拟)列三角形数表假设第n行的第二个数为an(n≥2,n∈N*).(1)归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式;(2)求证:数列{an}(n

≥2,n∈N*)中任意的连续三项不可能构成等差数列.答案：课时规范练1.证明(1)综合法:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)(a2+ab+b2)(a-b

)(a+b)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),因为a,b都是正数,所以上式非负,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)≥0,所以a5+b5≥a2b3+a3b2.(2)反证法:假设a不是偶数,即a是奇数,不妨设a=

2n+1(n∈Z),则a2=4n2+4n+1.2因为4(n2+n)是偶数,所以4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾,由上述矛盾可知,a一定是偶数.2.证明(1)对于不等式|x-3|-|x-5

|≥-2,当x≤3时,左边=3-x+(x-5)=-2,不等式成立.当3<x<5时,左边=x-3+(x-5)=2x-8>-2,不等式成立.当x≥5时,左边=x-3-(x-5)=2>-2.所以|x-3|-|x-5|≥-2,对所有实数x均成立,等号成立时x∈(-∞,3].(2)假设√6是有理数,则√6=

𝑚𝑛,其中m,n是互质的整数,则m=√6n,两边平方得m2=6n,所以m为偶数,设m=2k,k∈Z,则4k2=6n,2k2=3n,所以n为偶数,与“m,n是互质的整数”矛盾,所以假设不成立.所以√6是无理数.3.证明(

1)因为x>1,所以要证3x2+1𝑥2>3x+1𝑥,只需证3x4+1>3x3+x,即证3x3(x-1)>x-1,所以只需证3x3>1.因为x>1,所以3x3>3>1,故3x2+1𝑥2>3x+1𝑥得证.令t=√𝑥>1,则3x+1𝑥>3√𝑥+1√𝑥等价于3t2+1𝑡2

>3t+1𝑡,又因为已证明3x2+1𝑥2>3x+1𝑥,所以3t2+1𝑡2>3t+1𝑡.故3x2+1𝑥2>3x+1𝑥>3√𝑥+1√𝑥.(2)假设函数f(x)=ax2-4ex(x>0)有零点,则方程f(x)=0在(0,+∞)上

有解,即a=4e𝑥𝑥2在(0,+∞)上有解.设g(x)=4e𝑥𝑥2(x>0),g'(x)=4e𝑥(𝑥-2)𝑥3(x>0),当0<x<2时,g'(x)<0;当x>2时,g'(x)>0.所以g(x)min=g(2)=e2,又因为a<e2,所以a=4e𝑥𝑥2在(0,+∞

)上无解,显然矛盾,故假设不成立,即原命题得证.4.(1)解:由三角形数表可知a2=2,an+1=an+n(n≥2,n∈N*),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a23=(n-1)+(n-2)+…+2+2=(𝑛-2)(𝑛-1+2)2+

2=𝑛2-𝑛+22(n≥3).又a2=2也满足上式,∴an=𝑛2-𝑛+22(n≥2,n∈N*).(2)证明(反证法)假设{an}中存在连续三项构成等差数列,可设an-1,an,an+1(n≥3,n∈N*)成等差数列,则2an=an-1+an+1,即2×𝑛2-𝑛+22=(𝑛-1

)2-(𝑛-1)+22+(𝑛+1)2-(𝑛+1)+22=n2-n+3,得0=1,显然矛盾,即假设不成立.故数列{an}(n≥2,n∈N*)中任意的连续三项不可能构成等差数列.