【文档说明】江西省“三新”协同教研共同体2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷 （解析版）.docx，共(27)页，1.707 MB，由小赞的店铺上传

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2023年“三新”协同教研共同体高二联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号深黑．如需改动、

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第五章计数原理中的排列组合（

不考二项式定理）．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线320xy++=的倾斜角为（）A.150B.120C.60D.30【答案】A【解析】【分析】有直线倾斜角和斜率的关键即可得解.【详解】

由题意直线320xy++=的斜率为1333k=−=−，所以直线320xy++=的倾斜角为150.故选：A.2.已知()2,1,3PA=−，()1,2,3PB=−，(),6,9PC=−，若P，A，B，C四点共面，则=（）A.3B.3−C.7D.

7−【答案】C【解析】【分析】利用空间向量四点共面性质求解即可.【详解】由P，A，B，C四点共面，可得PA，PB，PC共面，设()()2,2,33,6,9PCxPAyPBxyxyxy=+=−+−+=−，则226339xyxyxy−=+=−+=−，解得417xy==

=．故选：C.3.已知O为坐标原点，F为抛物线C：22yx=的焦点，P为抛物线C上一点，若4PF=，则POF的面积为（）A.6B.62C.72D.74【答案】D【解析】【分析】由4PF=，利用抛物线的定义求得点P的横坐标，进而求得纵坐标，然后由12

PSOFy=求解.【详解】因为抛物线C：22yx=，故由142PPFx=+=，解得72Px=，所以72PPyx==，所以POF的面积为1724PSOFy==．故选：D4.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，点P是平面ABCD内的动点，若点P到直线1AA的距离与到直线CD的距离相

等，则点P的轨迹为（）A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.圆【答案】A【解析】【分析】分析可知，点P到直线CD的距离等于点P到点A的距离，结合抛物线的定义可得出结论.【详解】过点P在平面ABCD内作PMCD⊥，垂足

为点M，连接PA，在正方体1111ABCDABCD−中，1AA⊥平面ABCD，PA平面ABCD，则1PAAA⊥，因为点P到直线1AA的距离与到直线CD的距离相等，即PAPM=，即点P到直线CD的距离等于点P到点A的距离，由抛物线的定义可知，点P的轨迹为抛物线.故选：A.5.手工课可以提

高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，1122AFBF==，14ABAAAD===，P、Q、M、N分别是棱AB、1C

E、1BB、1AF的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是（）A.42121B.22121C.21515D.41515【答案】B【解析】【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，求出PQ、MN，利用空间向量法可求得异面直线PQ与MN所成角的余弦值

.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，以D为原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，因为1122AFBF==，14ABAAAD===，则()4,2,0P、()0,3,5Q、()4,4,2M、()4,1,5N，所以()4,1,5PQ=−，()0,3,

3MN=−，所以12221cos,214232PQMNPQMNPQMN===，所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是22121.故选：B.6.某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所

学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（）A.18种B.24种C.36种D.48种【答案】C【解析】【分析】先按要求将五个人分为三组，要求将教师夫妇放在一组，确定分组方法种数，然后将所分的三组分配给三所不同的学校，利用分步乘法原理

可求得结果.【详解】先将五个人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，若三组的人数分别为3、1、1，则教师夫妇必在三人的一组，则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽1人，此时，不同的分组方法数为13C3=种；若三组人数分别为2、2、1，则两

人一组的有一组是教师夫妇，只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为2、1，此时，不同的分组方法种数为23C3=种.接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，因此，不同的安排方案种数为()3333A6636+==种.故选：C.7.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点

,EF分别是,ABBC的中点，过点1,,DEF的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为（）A.3172B.4173C.172D.7176【答案】D【解析】【分析】作出辅助线，得到五边形1DPEFH即为截面，根据三角形全等或相似得到各边

长度，求出截面面积.【详解】延长,DADC，与直线EF相交于,MQ，连接11,DMDQ与11,AACC分别交于点,PH，连接,PEHF，则五边形1DPEFH即为截面，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点,E

F分别是,ABBC的中点，由RtBEF△≌RtCQF≌RtAEM△得，1AMCQBEBF====，2EFMEFQ===，故213DMDQ==+=，因为1DD⊥平面DMQ，,DMDQ平面DMQ，所以1DD⊥

DM，1DD⊥DQ，由勾股定理得22112313DMDQ==+=，取EF的中点W，连接1DW，则1DW⊥EF，且322MWQW==，由勾股定理22119341322DWDMMW=−=−=，其中111DEFDMEDFQSSS==，由相似关系可知

11112MPAMDPAD==，11112HQCQHDDC==，故11771734329971762182DMQSSMQDW====.故选：D8.曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该

点处的弯曲程度越小，已知椭圆()2222:10xyCabab+=上任意一点()00,Pxy处的曲率半径公式为3222220044xyRabab=+．若椭圆C上任意一点相应的曲率半径的最大值为22，最小值为1，则椭圆C的标准

方程为（）A.2212xy+=B.22142xy+=C.2214xy+=D.221164xy+=【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，将R表示为20x的函数，结合椭圆的范围求出R的最大值、最小值的表达式即可计算作答.【详解】依题意，2200221xyab+=，即22200

21xyba=−，则20222222222000000444222224221111xxyxxxabaxababaabbabb−−+=+=−+=−+，因2200xa，则当00x=时，2200442max1xyabb+=

，32222max21aRabbb==，当220xa=时，2200442min1xyaba+=，32222min21bRabaa==，因此，222ab=且21ba=，解得2a=，2b=，所以椭圆C的

标准方程为22142xy+=.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列排列组合数中，正确的是（）A.12344444AAAA84+

++=B.33333456CCCC35+++=C.CCmnmnn−=（m，Nn+，nm）D.11CCmmnnmn−−=（m，Nn+，nm，2n）【答案】BCD【解析】【分析】根据排列数与组合数的计算公式与性质逐项判断即可.【详解】A选项，1234

4444AAAA443432432164+++=+++=，故A错误；B选项，33333456CCCC14102035+++=+++=，故B正确；C选项，由于()()()()!!CC!!!!m

nmnnnnmnmnmnnm−===−−−−，故C正确；D选项，左边()()()()()!!!!!1!!1!!nmnnmmnmmmnmmnm===−−−−−，右边()()()()()()()()()1!1!!1!!1!!1!11!nnnnnmnmmnmmnm−

−===−−−−−−−−，即左边＝右边，所以11CCmmnnmn−−=（m，Nnnm+，，2n），故D正确．故选：BCD.10.已知圆22:21Cxy+=，直线()():12320laxayaa+−+−=R，下列说法正确的是（）A.无论a取何值

，直线l与圆C相交B.直线l被圆C截得的最短弦长为4C.若1a=，则圆C关于直线l对称的圆的方程为()()221121xy++−=D.直线l的方程能表示过点()1,2的所有直线的方程【答案】AC【解析】【分析】求出直线l所过定点的坐标，判断定点与圆C的位置关系，可判断A选项；

求出圆心到直线l距离的最大值，结合勾股定理可判断B选项；当1a=时，求出圆C关于直线l的对称圆的方程，可判断C选项；【详解】对于A选项，直线l的方程可变形为()2320axyy−++−=，由23020xyy−+=−=可得12xy==，所以，直线l过定点()1,2

P，因为221221+，所以，点P在圆C内，故无论a取何值，直线l与圆C相交，A对；对于B选项，圆心C为坐标原点，半径为21r=，当PCl⊥时，点C到直线l的距离取最大值，且其最大值为22125PC=+=，此时，直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为2

2158−=，B错；对于C选项，当1a=时，直线l的方程为10xy−+=，设圆心()0,0C关于直线l的对称点为(),Mmn，则线段MC的中点,22mn在直线l上，则1022mn−+=①，直线MCl⊥，且直线l的斜率为1，则1MCnkm==−②，联立①②可得1m=−，1n

=，故若1a=，则圆C关于直线l对称的圆的方程为()()221121xy++−=，C对；对于D选项，若直线l表示直线230xy−+=，则1232123aaa−−==−，无解，且直线230xy−+=过点()1,2，故直线l不能表示直线230xy−+=，D错.故选：AC.11.在

棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M、N两点在线段11AC上运动，且1MN=，Q在线段1BC上运动，则下列结论正确的是（）A.三棱锥1BMNB−的体积为定值223B.在平面11CDDC内存在点P，使得//PC平面BMNC.点E在正方形1111DCBA（包

括边界）内运动，且直线DE与直线1AA成30角，则线段EM长度的最小值为21−D.1CQ与平面11ACD所成角的正弦值的取值范围为36,33【答案】BD【解析】【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项；当点P与点1D重合时，利用线面平行的判定定理可

判断B选项；求出点E的轨迹，结合圆的几何性质可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，连接11BD交11AC于点1O，因为四边形1111DCBA为正方形，则1111BOAC⊥，且11111122222BOBD===，因为M、N两点在线段11AC上运动

，且1MN=，则11111212222BMNSMNBO===△，又因为1BB⊥平面1111DCBA，所以，1111112223323BMNBBBMNBMNVVSBB−−====，A错；对于B选项，当点P与点1D重合时，因为1//APBC且1APBC=，所以，四边

形1ABCP平行四边形，则1//PCAB，因为PC平面11ABC，1AB平面11ABC，所以，//PC平面11ABC，即//PC平面BMN，所以，在平面11CDDC内存在点P，使得//PC平面BMN，B对；对于C选项，因为11//AADD，则异面直线DE与1AA所成角

等于1EDD或其补角，因为1DD⊥平面1111DCBA，DE平面1111DCBA，则1DDDE⊥，所以，130EDD=，且113tan23DEDEEDDDD===，可得2323DE=，为所以点E的轨迹是以点1D

为圆心，半径为233，且圆心角为π2的圆弧，当111DMAC⊥时，即当M为11AC的中点且E为线段1DM与圆弧的交点时，此时，线段EM长度取最小值2323−，C错；对于D选项，因为11//ABCD且11ABCD=，则四边形11AB

CD为平行四边形，则11//BCAD，因为1BC平面11ACD，1AD平面11ACD，所以，1//BC平面11ACD，因为1QBC，点Q到平面11ACD的距离等于点1B到平面11ACD的距离，设点1B到平面11ACD的距离为d，11121111112

222ABCSABBC===△，则111111111422333DABCABCVSDD−===△，易知11ACD是边长为22的等边三角形，则()112322234ACDS==△，由1111111423333BACDACDV

Sdd−===△，解得233d=，因为Q在线段1BC上运动，则当点Q为线段1BC的中点时，1CQ取最小值2，当点Q与点1B或点C重合时，1CQ取最大值2，即122CQ，设直线1CQ与平面11ACD所成角，则1123363sin,33dCQCQ==，D对.为故选

：BD.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概

念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sincos,ABnABnABn==（其中AB为平面的斜线，n为平面的法向量，为斜线AB与平面所成的角）.12.已知抛物线()220xpyp=上任意一点()00,xy处的切线方程可以表示为00xxpyp

y=+．直线1l、2l、3l分别与该抛物线相切于点()11,Axy、()22,Bxy、()33,Cxy，1l、2l相交于点D，3l与1l、2l分别相交于点P、Q，则下列说法正确的是（）A.点D落在一条定直线上B.若直线AB过该抛物线的焦点0,2pF

，则12ll⊥C.2AFBFDF=D.APPCPDCQ=【答案】BCD【解析】【分析】求出点D、P、Q的坐标，可判断A选项；设直线AB的方程为2pykx=+，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理结合直线斜率的关系可判断B选项

；利用两点间的距离公式可判断CD选项.【详解】对于A选项，由题意可知，直线1l的方程为11xxpypy=+，即2112xxxpy=+①，同理可知，直线2l的方程为2222xxxpy=+②，联立①②可得122xxx+=

，122xxyp=，即点1212,22xxxxDp+，同理可得1313,22xxxxPp+、2323,22xxxxQp+，无法确定点D横坐标与纵坐标之间的关系，A错；对于B选项，若直线AB过该抛物线的焦点0,2pF，

若直线AB的斜率不存在，则直线AB与抛物线22(0)xpyp=只有一个交点，不合乎题意，所以，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为2pykx=+，联立222pykxxpy=+=可得2220

xkpxp−−=，222440kpp=+，由韦达定理可得212xxp=−，直线1l的斜率为11xkp=，直线2l的斜率为22xkp=，因为121221xxkkp==−，则12ll⊥，B对；对于C选

项，由抛物线的定义可得12pAFy=+，22pBFy=+，由A选项可知点1212,22xxxxDp+，易知点0,2pF，所以，()22222222121211221212224224424xxxxxxxxxxxxppDFpp+++=+−=+−+()22

222221212121212122224444424xxxxpypyppppyyyyyyp++=++=++=+++1222ppyyAFBF=++=，C对；对于D选项，13113131223222xxxAPxxxxxxPDx

x+−−==++−−，133132323322xxxPCxxxxCQxxx+−−==+−−，所以，APPCPDCQ=，D对.故选：BCD.【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与

点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.圆221:40Cxyx++=与圆222:2810Cxyxy

+−−+=的位置关系是_____．【答案】相交【解析】【分析】首先将两圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解.【详解】由题意圆221

:40Cxyx++=与圆222:2810Cxyxy+−−+=的标准方程分别为()()()222224,1416xyxy++=−+−=，所以圆1C与圆2C的圆心坐标、半径分别为()()11222,0,2,1,4,4CrCr−==，所以211212291656rrCCrr−==+=+=，

所以圆221:40Cxyx++=与圆222:2810Cxyxy+−−+=的位置关系是相交.故答案为：相交.14.已知空间向量PA、PB、PC的模长分别为2、2、3，且两两夹角均为π3，点G为ABC的重心，则PG=_____．【答案】333##1333【解析】【分析】利用重心的几何性质结合

空间向量的减法可得出3PGPAPBPC=++，再利用空间向量数量积的运算性质可求得PG的值.【详解】如下图所示：因为G为ABC的重心，则0GAGBGC++=，可得0PAPGPBPGPCPG−+−+−=，则3PGPAPBPC=++，所以，()()222229

2PGPAPBPCPAPBPCPAPBPBPCPCPA=++=+++++2πππ44922cos23cos32cos33333=+++++=，故333PG=.故答案为：333.15.2023年10月11日，习近平

总书记在江西省上饶市考察，他来到婺源县秋口镇王村石门自然村了解推进乡村振兴等情况．其中婺源“晒秋”展开的是一幅乡村振兴新图景．当地百姓不仅要晾晒农产品使其得到更好的保存和售卖，更要考虑晒出独一无二的“中国

最美的符号”．当地百姓现将“金色南瓜”“白色扁豆”“红色辣椒”“黄色皇菊”四种农产品全部晒入如图所示的5个小区域中，规定每个区域只能晒一种农产品，且相邻区域的农产品不能相同，则不同的晾晒方案种数为____．（用数字作答）【答案】48【解析】【分析】按照分步计数原理，结合排列组合

知识进行求解.【详解】中间区域可从四种农产品中选一种，有14C4=种选择，剩余的4个区域只能选择剩余的3种农产品，故会有1种农产品重复，将重复的农产品选出，有13C3=种选择，且将重复的农产品放入相对的两个

区域内晾晒，有2种选择，剩余的农产品放入剩余的两个区域，有22A2=种选择，故有432248=种方案.故答案为：4816.已知直线2yx=−与双曲线C：22221xyab−=()0,0ab的两条渐近线分别交于点A，B（不重合

）线段AB的垂直平分线过点()4,0，则双曲线C的离心率为_________．【答案】233【解析】【分析】由已知结合直线垂直的斜率关系和直线过的点根据直线的点斜式方程得出线段AB的垂直平分线的方程，即可联立两直线得出AB的中点坐标为()3,1，设()11,Axy，

()22,Bxy，分别代入双曲线方程后作差整理得出2121221212yyyybxxxxa+−=+−，再根据线段中点与端点坐标关系与两点的斜率公式得出122xx+=，126yy+=，12121yyxx−=−，即可得出22ba，在根据双曲线离心率公式变形后代入22ba即可得出答

案.【详解】直线2yx=−与线段AB的垂直平分线垂直，则线段AB的垂直平分线的斜率为1−，线段AB的垂直平分线过点()4,0线段AB的垂直平分线为：()4yx=−−，即40xy+−=，联立240yxxy=−+−=，解得：31xy==

即AB的中点坐标为()3,1，设()11,Axy，()22,Bxy，则22112222222200xyabxyab−=−=，两式作差可得2121221212yyyybxxxxa+−=+−，AB的中点坐标为()3,1，AB的

斜率为1，122xx+=，126yy+=，12121yyxx−=−，则2221163ba==，所以双曲线C的离心率22423133bea=+==．故答案为：233.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出

文字说明，证明过程或演算步骤．17.用数字1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数．（1）偶数不能相邻，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）（2）若数字1和2之间恰有一个奇数，没有偶数，则不同的六位数

有多少个？（结果用数字表示）【答案】（1）144（2）96【解析】【分析】（1）先将三个奇数进行排序，然后从三个奇数形成的4个空位中选出3个空位插入三个偶数，利用插空法可求得结果；（2）在数字1和2之间恰有一个奇数，然后将这个整体与其余三个数字

进行排列，结合分步乘法计数原理可得结果.【小问1详解】解：若六位数中，偶数不能相邻，则先将三个奇数进行排序，然后从三个奇数形成的4个空位中选出3个空位插入三个偶数，所以，不同的六位数个数为3334AA624144==.【小问2详解】解：在数字1和2之间恰有一个奇数，有2种，将这

个整体与其余三个数字进行排列，满足条件的六位数的个数为24242AA222496==.18.已知圆C的圆心在直线10xy−−=上，且与直线23150xy+−=相切于点()3,3P．（1）求圆C的标准方程；（2）若过点

()3,4Q的直线l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．【答案】（1）()22113xy−+=（2）3x=或3470xy−+=【解析】【分析】（1）设圆心(),1Caa−，根据直线PC与直线23150xy+

−=垂直，根据直线的斜率关系可求出a的值，可得出圆心C的坐标，进而可求得圆C的半径，由此可得出圆C的标准方程；（2）利用勾股定理求出圆心C到直线l的距离，对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l的斜率不存在时，直接验证即可；在直线l斜率存在时，设直线l的方程为()43ykx−=−，利用点到

直线的距离公式可得出关于k的方程，解出k的值，综合可得出直线l的方程.【小问1详解】解：因为圆心C在直线10xy−−=上，设圆心(),1Caa−，则PC与直线23150xy+−=垂直，且直线23150xy+−=的斜率为23−，则213PCk−=−，可得134333

2PCaakaa−−−===−−，解得1a=，所以，圆心C的坐标为()1,0，则圆C的半径为()2231313rPC==−+=，所以，圆C的标准方程为()22113xy−+=.【小问2详解】解：由题意可知，圆心C到直线l的距离为261322d

=−=，若直线lx⊥轴，则直线l的方程为3x=，此时，圆心C到直线l的距离为2，合乎题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为()43ykx−=−，即430kxyk−+−=，则圆心C到直线l的距离为24321k

kdk+−==+，可得221kk−=+，解得34k=，此时，直线l的方程为()3434yx−=−，即3470xy−+=.综上所述，直线l的方程为3x=或3470xy−+=.19.如图，在四棱锥PABCD−中，AB⊥平面PAD，//ABDC，E为线段PD的中点，已知4P

AAD==，2ABCD==，120PAD=．（1）证明：//PB平面ACE；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点H，连接EH，分析可知，H为BD的中点，利用中位线的性质可得

出//EHPB，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A为坐标原点，AP、AB所在直线分别为y、z轴，平面APD内过点A且与AP垂直的直线为x轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线PB与平面PCD所成角正弦值.【小问1详解】

证明：连接BD交AC于点H，连接EH，因为//ABDC，ABCD=，则四边形ABCD是平行四边形，因为ACBDH=，则H为BD的中点，所以，//EHPB，又因为EH平面ACE，PB平面ACE，故//PB平面ACE.【小问2详

解】解：因为AB⊥平面PAD，以点A为坐标原点，AP、AB所在直线分别为y、z轴，平面APD内过点A且与AP垂直的直线为x轴建立如下图所示的空间直角坐标系，的因为4PAAD==，2ABCD==，120PAD=，则()0,0,2B、()23,2

,0D−、()23,2,2C−、()0,4,0P，所以，()0,4,2PB=−，()23,6,0PD=−，()0,0,2DC=，设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，则202360nDCznPDxy==

=−=，取3x=，则()310,,n=，所以，45cos,5252PBnnPBPBn==−=−，因此，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为55.20.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的渐近线方程为

5yx=，实轴长为2．（1）求双曲线C的标准方程；（2）直线l与双曲线C相切，且与双曲线C的两条渐近线相交于,PQ两点，求POQ△（O为坐标原点）的面积．【答案】（1）2215yx−=（2）5【解析】【分析

】（1）由题意结合渐近线方程以及实轴长即可求出,ab，进一步可得双曲线方程.（2）设出直线方程为:lxmyt=+，联立直线方程与双曲线方程，结合直线与双曲线相切即Δ0=可得2251tm+=，进一步联立直线:lxmyt=+与渐近线方程，求出PQ，由点到直线距离公式求出原点到直线PQ

的距离，结合三角形面积公式、2251tm+=即可得解.【小问1详解】因为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的渐近线方程为5yx=，实轴长为2，所以22,5baa==，解得1,5ab==，所以双曲线C标准方程为2215yx−=.【小问2详解】如图所示：不妨设直线l与双曲

线C相切于点M，由题意直线l的斜率不为0，故设直线l方程为xmyt=+，将其与双曲线方程2215yx−=联立，消去x并整理得()2225110550mymtyt−++−=，从而()()()2222221

002015120150mttmtm=−−−=−−=，即2251tm+=，不妨设()()1122,,,PxyQxy，而双曲线的渐近线方程可统一写成2205yx−=，将其与直线l方程xmyt=+联立，消去x并整理得()222511050

mymtyt−++=，的由韦达定理得，2121222105,5151mttyyyymm−+==−−，由()2222211002051200mttmt=−−=得0t，所以()()()22222121212121211

4PQxxyymyymyyyy=−+−=+−=++−()222222225110514515151mtmttmmmm+−=+−=−−−，原点()0,0O到直线:lxmyt=+的距离为21tdm=+，所以POQ△（O为坐标原点）的面积为

()222222511152251511POQmtttSPQdmmm+===−−+△，结合2251tm+=以及0t得222255551POQttStm===−△，即POQ△（O为坐标原点）的面积为5.21.如图，在四棱台1111ABCDABCD−中

，底面ABCD是菱形，111222===ABAAAB，60ABC=，1AA⊥平面ABCD．（1）证明：1BDCC⊥．（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角1EADD−−的余弦值为14？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．【答

案】（1）证明见解析（2）棱BC上存在点E，且1015CE=−满足题意【解析】【分析】（1）连接11,ACAC，根据题意证得BDAC⊥和1AABD⊥，利用线面垂直的判定定理，证得BD⊥平面11ACCA，进而证得1BDCC⊥；（2）建立适当的空间直角坐标系，分别求出两平

面的法向量，由平面夹角公式、二面角的定义即可列出方程求解.【小问1详解】如图所示：连接11,ACAC，因为1111ABCDABCD−为棱台，所以11,,,AACC四点共面，又因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC⊥，因为1AA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以1AABD⊥，又因

为1AAACA=，且1,AAAC平面11ACCA，所以BD⊥平面11ACCA，因为1CC平面11ACCA，所以1BDCC⊥.【小问2详解】取BC中点Q，连接AQ，因为底面ABCD是菱形，且60ABC=，所以A

BC是正三角形，所以AQBC⊥，即AQAD⊥，由于1AA⊥平面ABCD，以A为原点，分别以1,,AQADAA为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为111222===ABAAAB，60ABC=，

则()()()()110,0,0,0,0,1,0,1,1,3,0,0AADQ，假设点E存在，设点E的坐标为()3,,0，其中11−，可得()()13,,0,0,1,1AEAD==，设平面1ADE的法向量(),,nxyz=，则1300nAExy

nADyz=+==+=，取xλ=，可得3,3yz=−=，所以(),3,3n=−.又由平面1ADD的法向量为()3,0,0AQ=，所以231cos,436AQn==+，解得105=，由于二面角1EADD−−为锐角，则点E在线段上QC，所以1

05=，即1015CE=−，故棱BC上存在一点E，当1015CE=−时，二面角1EADD−−的余弦值为14.22.已知,AB分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右顶点和上顶点，||5AB=，直线AB的斜率为12−．（1）求椭圆C的方程．

（2）已知,PQ是椭圆C上的两点，直线AP的斜率为1k，直线AQ的斜率为2k，且满足1212kk=．过点A作AHPQ⊥，垂足为H，试问平面上是否存在定点T，使得线段TH的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214xy+=；（2

）存在点()4,0T，使得线段TH的长度为2.【解析】【分析】（1）由椭圆的右顶点和上顶点的关系列方程组得,ab的值，进而得椭圆的方程；（2）先根据题意设点()11,Pxy，点()22,Qxy，由1212kk=得()121212242

yyxxxx=−++，再由椭圆方程和直线PQ的方程列方程组可得1212,yyyy+得值，进而得1212,xxxx+值，进而化简整理得到直线PQ恒过的点，最后结合AHPQ⊥确定H的位置，从而得到答案.【小问1详解】设椭圆

的右顶点(),0Aa，上顶点()0,Bb，则225ab+=，12ba−=−，0ab，解得2a=，1b=.所以椭圆C的方程为2214xy+=．【小问2详解】由（1）知()2,0A，上顶点()0,1B，设点()11,Pxy，点()22,Qxy，则(

)12121212222,,yykkxxxx==−−，因为1212kk=，所以12121222yyxx=−−，即()()1212222yyxx−−=，()121212242yyxxxx=−++①.由题意可知，设直线PQ的方程为x

myn=+，且直线PQ不能经过点A，即2n，联立方程组2214xmynxy=++=，得()2224240mymnyn+++−=，因为P，Q是椭圆C上的两点，所以()()()()22222222224444444160mnmnm

nmnmn=−+−=−−+−，即2240mn−+②，所以由韦达定理可得12224mnyym−+=+③，212244nyym−=+④．由③④可得()2121222222224224448()2nxmnnmmnnmxmymy

nm−++−++=++==+++=，即12248nxxm+=+⑤，()()()()()()222221212122212222424444mnnxxmynmynmyymnyymmnmmmn−=++=+++−+

+=++++()222222222222442444mnmmmnmnnmmn−−++−=+−=+，即()2212244mnxxm−−=+⑥.把④⑤⑥代入①得()()222222241644444mnnmmnm−−=−+−+++，化简得28120nn−+=，即()(

)260nn−−=，解得2n=（舍去）或6n=.故直线PQ过定点()6,0M.又AHPQ⊥，垂足为H，易知H落在以AM为直径的圆上，圆心为()4,0，半径为2．所以存在点()4,0T，使得线段TH的长度为2．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交

问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或1

2yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com