【文档说明】福建省泉州一中、莆田二中、仙游一中2020-2021学年高二下学期期中联考数学(参考答案和评分细则).pdf,共(10)页,339.127 KB,由管理员店铺上传
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泉州一中、莆田二中、仙游一中2020-2021学年第二学期期中联考数学试卷(参考答案和评分细则)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C2.D3
.C4.D5.A6.B7.D8.B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。9.AD10.BD11.ACD12.A
BD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共计20分。13.4814.二15.1,216.840四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解析(1)由已知第3项与倒数第2项的
二项式系数之和为55,得21211552nnnnnnnCCCCn,…………………………………………………………1分即21100nn,………………………………………………………………………………………2分解得10n或
11n(舍去),………………………………………………………………………3分所以1032xx展开式的通项是10151536211010220,1,2,3,,10rrrrrrrTCxxCxr,要为有理项,则
r必须为6的倍数,于是0r或6r,……………………………………………4分所以有理项是00551102TCxx,或66071022106413440TCx,故而展开式中的有理项为5x和13440.………………………………………………………………5分(2)假设
展开式中系数最大的项1rT,于是1110101110102222rrrrrrrrCCCC,………………………………7分即110101101022rrrrCCCC,亦即21!10!1!11!12!10!1!9!
rrrrrrrr,故223193rr,解得192233r且rN,……………………………………………………………………………8分所以取7r,……………………………………………………………………
………………………9分因此展开式中系数最大的项588381035115202TCxx.……………………………………………10分18.解析(I)记“()()ijfxfx是奇函数”为事件A,……………………………………………………1分又6张卡片中是奇函数都有2()2fxx,33
()2fxx,4()sinfxx共3张,……………………2分取到两张“奇函数+奇函数”共有323C种,…………………………………………………………3分总的基本事件数是1526C种,……………………………………………………………
……………4分于是51153)(nAnAP………………………………………………………………………………5分(II)X可能的所有取值为l,2,3,4.……………………………………………………………6分X的分布列为………………………………………………
……………………………………………7分X1234P1231032012021)1(1613CCXP,103)2(15131613CCCCXP,203)3(141315121613CCCCCCXP,201)4(1
313141115121613CCCCCCCCXP,…………………………………………………………………11分X的数学期望47201420331032211XE…………
……………………………12分19.解析:(1)2211()()cos1cos22fxgxxaxxxxaxx,则()()1sinfxgxxax,…………………………………………………………………1分又()()fxgx在0,)上是增函数
,则1sin0xax在0,)上恒成立,故maxsin1axx,…………………………………………………………………………………3分构造函数()sin1xxx,…………………………
………………………………………………4分则()cos10xx,即()sin1xxx在0,)上单调递减,……………………………5分则max()01xh,于是1a,故a的取值范围为1,)a.………………………………6分(
2)由已知,得cossin1()xxhxx,则2sin1sincoscos()xxxxxxhxx,………………………………………………………………………………………………………………7分构造函数()sin1sincoscosFxxxxxxx
,…………………………………………………8分则()cossinsincosFxxxxxxxx,………………………………………………………9分因为3,,24x所以sincos0xx,于是()0Fx,故()Fx在3,24单调递增,…
…………………………………………………………………………………………………………10分所以()2022FxF,所以()0hx,故()hx在3,24上单调递增,…………11分因
此min4()2hxh.…………………………………………………………………………12分20.解析:(1)售出一台D品牌手机的概率0.1p,售出一台非D品牌手机的概率10.9p
,……………………………………………………………1分由题意可得10.90.10.05n,即10.90.5n,……………………………………………………2分所以0.910.51log0.56.5210.9gng,……………………………………………………
……………3分故7.52n,………………………………………………………………………………………………4分即n的最小值为8.…………………………………………………………………………………………5分(2)依题意,可知A品牌手机售
出的概率134p,D品牌手机售出的概率214p,………………………………………………………………………………………………………………6分X的所有可能取值为0,1,2,3,则可得33,4XB
,………………………………………………7分故X的分布列为………………………………………………………………………………………………………………8分所以030331104464PXC,121331914464PXC,2
123312724464PXC,3033312734464PXC,……………………………10分数学期望39344EXnp,……………………………………………………………………11分已知该专柜某天售出品牌A手机X台,则售
出品牌D手机3X台,所以此专卖店当天所获利润的期望值为1001000310010003EXEXEXEXX0123P164964276427649300090030009004EX975元.……………………………………………………12分
21.解析:(1)依题意,得222264211223acbbcccaa,………………………………………………………2分即232213acba,解得2291
ab………………………………………………………………………4分所以E的方程2219xy.………………………………………………………………………………5分(2)选择①联立方程221932
xyxty,化简整理,得224912270tyty,……………6分假设1122,,,CxyDxy,由韦达定理,得122122392749tyytyyt,……………………………………7分得1212
94tyyyy……………………………………………………………………………………8分直线AC的方程:1133yyxx;直线BD的方程:2233yyxx;……………………9分联立方程,得11223333yyx
xyyxx,两式相除,得1212212121219333233332tyyxyyxxxxyxytyy12212212122121121121219293633294392332323
4yyyyyyyytyyytyyyyyyyyyyy,……………………11分即333xx,解得6x,所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线6x.…………………12分选择②联立方程221932xyxty,化简整理,得2249122
70tyty,…………………………6分假设1122,,,CxyDxy,由韦达定理,得122122392749tyytyyt,……………………………………8分得
121294tyyyy……………………………………………………………………………………9分于是2112121112121212121221221239233323249933292942
tyyyyyxykyxtyyykxyxytyyyyyytyy……………………………………………………………………………………………………………10分1212121239331222927933222yyyyyyyy,
…………………………………………………………………11分故存在实数13,使得12kk恒成立.……………………………………………………………12分选择③解法1设11(,)Cxy,22(,)Dxy,11(,)Cxy,联立方程,得221932xyxty,化简
整理,得221227049tyty,…………………………6分由韦达定理,得122122392749tyytyyt,………………………………………………………
……………8分直线CD与x轴交于点M,说明,,CDM三点共线,于是CMDMkk,…………………………9分假设(,0)Mm,即1212yymxxm,亦即1212yyxmxm,则1221
yxmyxm,…………………………………………………………………………10分所以12211221121221123322yxmyxmxyxymyytyytyymyy,
1212223273322022949ttyymyytmtt,………………………………11分即9320tmt,解得6m,所以直线CD恒过定点6,0M.…………………12分解法211(,)Cxy,22(,)
Dxy,11(,)Cxy,联立方程,得221932xyxty,化简整理,得221227049tyty,…………………………6分由韦达定理,得122122392749
tyytyyt,……………………………………………………………………8分直线CD与x轴交于点M,由对称性可知,0CMDMkk,………………………………………9分假设(,0)Mm,即12120yyxmxm,则
12210yxmyxm,……………………10分所以12211221121221123322yxmyxmxyxymyytyytyymyy,1212223273322022949
ttyymyytmtt,………………………………11分即9320tmt,解得6m,所以直线CD恒过定点6,0M.…………………12分解法311(,)Cxy,22(
,)Dxy,11(,)Cxy,联立方程,得221932xyxty,化简整理,得221227049tyty,…………………………6分由韦达定理,得122122392749tyytyyt,…………
…………………………………………………………8分直线CD的方程为:211121yyyyxxxx,由对称性可知,直线CD恒过定点(,0)Mm,………………………………………………………………………………………………………………9分令0
y,则2121111211211211212121xxxyxyxyxyxyxyxyxyyyyyy21122122212133232793222623249
tyytyytyyttyyyytt,……………………11分所以直线CD恒过定点6,0M.……………………………………………………………………12分22.解析:(1)解法1()(),'()(1)xxfxxmefxxme
,当(1)xm,'()0fx,()fx递减;当(1)xm,'()0fx,()fx递增;所以1min()(1)0mfxfme,又(0)fm,故()fxm必有一个零点0,当x时,(
)0xxmfxe……………………………………………………………………2分1°当m0时,由()0fm知,方程()fxm有且只有一个根;2°当10m时,即10m,取2()1(0)xgxexx由2'()(2)xgxexx知,当2x时
,()gx递增,当20x时,()gx递减,所以max24()1gxe,即存在0(,1)xm使得0201xex,……………………………………………………………3分由于10m,0(,1)xm知2000mxxm
恒成立,所以000201()()xxmexmmx,又(1)0fm,由单调性及零点存在性定理知方程在区间(,1)m有且只有一根,因此方程()fxm有两个根;…………………………………………………………………………4分3°当m
=1,此时()(1),(0)1xfxxef,所以()fxm有且只有一个根;4°当1m时,由(1)0fm,且()0fm及单调性知方程在(1,)m有1个根,故此时有两个根.………………………………………………………………………………
…………5分综上所述:0m或1m时有且只有一个根;10m或1m时有且只有两个根……………………………………………………………………………………………………………6分解法2先证明切线不等式1xex,构造函数()1xxex,求
导得()1xxe,令()0x,解得0x,当0x时,()0x;当0x时,()0x;所以()x在,0单调递减,在0,单调递增,故()(0)0x,即1xex;………………………………2分(Ⅰ)当0x时,0(0)0
fmem,说明不论m取什么值,0x必定是方程()fxm的1个解;…………………………………………………………………………………………………3分(Ⅱ)当0x时,下面讨论方程()fxm解的个数;()xfxxmem,即1xxxeme,构造函数1xx
xehxe,则222222111xxxxxxxxxxxexeexeexeexexehxee2221011xxxxxxxexeexeeee,说明hx在,0和0,上都是减函数;又因为
0001limlimlim111xxxxxxxxxeexexee;1limlimlim011xxxxxxxxexeee;limlimlim111
xxxxxxxxexxeee;……………………………………………………4分故而hx函数值是从0逐渐减小到的,其中在1y处要挖掉一点,作出如下图象:由于是单调的函数,所以()yhx与ym的交点个数情况如下:当0m时,()yhx与ym没有交点;当10m时,(
)yhx与ym有1个交点;当1m时,()yhx与ym没有交点;当1m时,()yhx与ym有1个交点;………………………………………………………………………………………………………………5分综上所述,当0
m或1m时,()fxm有1个解;当10m或1m时,()fxm有2个解;………………………………………………………………………………………………………6分(2)解法1当0m时,由ln2xxfx,
得22lnxxexx,因为0,0x,所以22lnln0xex对于任意的0,x恒成立,设22()lnlnxehxx,0,0x,则241()xhxex.因为函数2xye和1
yx在0,上均为单调递增函数,所以函数()hx在0,上单调递增函数,…………………………………………………………………………………………………………7分当0x时,()0hx;当x时,()0hx;故存在00
,x,使得020041()0xhxex,即020212xex.…………………………………………………………………………………………8分当00,xx时,()0hx;当0,xx时,()0hx;所以()hx在00,x上单调递减,在0
,x上单调递增,故02min000021()()lnlnlnln02xehxhxxxx恒成立.………………………………………………………………………………………………………………9分又由020410
xex,得0204xxe.所以00001()22ln2ln202hxxxx恒成立.…10分因为函数122yxx和2lnyx在0,上单调递减,所以函数0()hx在0,上单调递减,因为1()02h,所以01(0,]2x.………………………………
……………………………………11分因为函数4yx和2xye在0,上单调递增,且240,0xxe.所以函数0204xxe在1(0,]2上单调递增,所以02e,即实数的取值范围为(0,2]e,所以的最大值为2e.………………………………
…………………………………………………12分解法2当0m时,xxexf)(,………………………………………………………………………7分因为),0(,x,)ln()ln(lnxexxx,所以)2()ln(xfxx,即)2()
(lnxfxf,………………………………………………………………………………………………………………8分因为xexxf)1()(',所以当),0(x时,0)('xf,所以)(xf在),0(
上单调递增,………………………………………………………………………………………………………………9分所以xx2)ln(,即xex2恒成立,…………………………………………………………………10分记xexhx2
)(,),0(x,22)12()('xxexhx,)(xh在)21,0(上递减,在),21(上递增,……………………………………………………………………………………………………………11分min)(xh2e,所以2e,所以正实数的最大值为2e.……………
………………………………12分