【文档说明】北京市顺义区牛栏山一中2022-2023学年高三上学期期中考试数学答案.docx，共(23)页，961.627 KB，由小赞的店铺上传

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牛栏山一中2022-2023学年度第一学期期中考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合21Sxx=−，02Txx=，则ST（）A.()0,1B.()1,2C.()2,2−D.()1,0

−【答案】C【解析】【分析】由并集的定义直接求解.【详解】21Sxx=−，02Txx=，∴22STxx=−.故选：C2.设()1,2a=−，()3,4b=−，()3,2c=，则()abc+=（）A.()6,4-B.2−C.5

D.()1,4【答案】B【解析】【详解】根据平面向量数量积坐标运算求解即可.【点睛】因为()1,2a=−，()3,4b=−，()3,2c=，所以()()34982+=+=−+−+=−abcacbc.故选：B3.下列每

组双曲线中渐近线都为33yx=是（）A.2213xy−=，2213xy−=B.22162xy−=，2213yx−=C.22139yx−=，22139xy−=D.22162xy−=，223yx−=【答案

】A【解析】【分析】依次求出各双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线2213xy−=的焦点在x轴上，3a=，1b=，其渐近线方程为33yx=，且双曲线2213xy−=的焦点在y轴上，1a=，3b=，其渐近线方程为33yx=，所以选项A正确；因为双曲线22162xy−=的

焦点在x轴上，6a=，2b=，其渐近线方程为33yx=，但双曲线2213yx−=的焦点在y轴上，3a=，1b=，其渐近线方程为3yx=，所以选项B错误；因为双曲线22139yx−=的焦点在y轴上，3a=，3b=，其渐近线方程为33yx=，但双曲线22139xy−=的焦点在x轴

上，3a=，3b=，其渐近线方程为3yx=，所以选项C错误；因为双曲线22162xy−=的焦点在x轴上，6a=，2b=，其渐近线方程为33yx=，但双曲线223yx−=的焦点在y轴上，1ab==，其渐近线方程为yx=，

所以选项D错误.故选：A.4.抛物线28yx=的准线过双曲线()22210yxbb−=的左焦点，则双曲线的虚轴长为（）A.8B.23C.2D.43【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的c，根据,,abc的关系可得答案.【详

解】因为抛物线28yx=的准线为2x=−，所以由题意可知双曲线的左焦点为()2,0−，因为214b+=，所以3b=，所以双曲线的虚轴长为23.故选：B5.给出三个等式：()()()1212fxxfxfx=+，()()()1212fxxfxfx+=，()()π0fxfx++=．下列函数中不．满足任

何一个等式的是（）A.()lgfxx=B.()exfx=C.()sinfxx=D.()tan=fxx【答案】D【解析】【分析】对于A，利用对数的运算法则检验()()()1212fxxfxfx=+即可；

对于B，利用指数的运算法则检验()()()1212fxxfxfx+=即可；对于C，利用三角函数诱导公式检验()()π0fxfx++=即可；对于D，举反例逐一判断三个等式即可.【详解】对于A，因为()lgfxx=，所以()()()12121212lglglgfxxxxxxfxfx==+=+，故

A不满足题意；对于B，因为()exfx=，所以()()()12121212eeexxxxfxxfxfx++===，故B不满足题意；对于C，因为()sinfxx=，所以()()()πsinsinπsinsin0fxfxxxxx++=++=−=，故C不满足题意；对于D，因为()tan=fxx，.

所以令12π,04xx==，则()()()1212πtan00,tantan014fxxfxfx==+=+=，故()()()1212fxxfxfx+；令12π,04xx==，则()()()1212ππtan1,tantan0044f

xxfxfx+====，故()()()1212fxxfxfx+；令π4x=，则()()2ππtanπtanπ1441fxfx++=+=+=+，故()()π0fxfx++；综上：()tan=fxx不．满足任何一个等式，故D满

足题意.故选：D.6.已知a和b是两个互相垂直的单位向量，()cabR=+，则1=是c和a夹角为4的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量公式,cosacacac=

表示出c和a夹角的余弦值，再讨论夹角为4时的取值，最后根据充分条件和必要条件定义选出答案.【详解】()21acaabaab=+=+=，1a=，()221cab=+=+21os,1cacacac+==，当1

=时，,2cos2ac=，即c和a夹角为4,故1=是c和a夹角为4的充分不必要条件故选：A7.圆22:1Cxy+=上的点P到直线()cossin4Rxy+=的距离为d，点P和在变化过程中，d的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析

】设出P点坐标，并利用点在圆上得出22001xy+=，根据点到直线距离公式表达出距离d，利用辅.助角公式化简d，进而得出d的最小值.【详解】解：由题意，在圆22:1Cxy+=中，圆心()0,0C，半径r1=，点P到直线()cossin4xyR+=的距离为d设()

00,Pxy，22001xy+=，0022cossin4cossinxyd+−=+，解得：00cossin4dxy=+−在00cossin4dxy=+−中，()220000cossin4sin4dxyxy=

+−=++−，其中sintantancos==，∴()()2200sin24sin24dxy=+−=−当()sin21=时，d最小，min143d=−=.故选：C.8.在平行四边形ABCD中，E是边

CD的中点，AE与BD交于点F．若ABa=，ADb=，则AF=（）A.1344ab+B.2133ab+rrC.3144ab+D.1233ab+【答案】D【解析】【分析】设AFAE=()01，根

据,,BFD三点共线，即,BFBD共线，可设BFBD=，用,ABAD表示出关系，即可解出结果.【详解】12AEADDEADAB=+=+.设AFAE=()01，则1122BFAFABADABABADAB=−=+−=+−,又BD

ADAB=−，且,,BFD三点共线，则,BFBD共线，即R，使得BFBD=，即12ADABADAB+−=−，又,ABAD不共线，则有12=−=−，解得2323==，所以，2211212332333

3AFAEADABABADab==+=+=+.故选：D.9.函数()sin2fxx=图象上存在两点(),Pst，()(),0Qrtt满足6rs−=，则下列结论成立的是（）A.162fs+=B.362fs+=C.162fs−=−D.362f

s−=−【答案】B【解析】【分析】根据(),Pst,()(),0Qrtt在()sin2fxx=上,可得出222,rskkZ+=+,再根联立6rs−=,得到s的值,根据0t缩小s的取值范围,进而代入,66fsfs+−

求值即可.【详解】解:由题知()sin2fxx=,T=,()(),,,PstQrt均在()sin2fxx=上,sin2sin20srt==,644Trs−==,0222Trs−,故有:222,Zrskk+=+

,两等式联立有2226rskrs+=+−=,解得2,Z3skk=+,sin20st=,1122,Z3skk=+,3sin2sin2sin2663332fsssk

+=+=+=++=,sin2sin2sin2066333fsssk−=−=−=+−=,综上选项B正确.故选:B10.已知曲线()32222:4Cxyx

y+=，则下列说法正确的有几个（）（1）C关于原点对称；（2）C只有两条对称轴；（3）曲线C上点到原点最大距离是1；（4）曲线C所围成图形的总面积小于π；A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】对于（1）（2），代入(),,xy−−()()(),,,,,xyxyyx

−−即可判断曲线C的对称情况；对于（3），利用基本不等式与两点距离公式的几何意义即可判断；对于（4），利用（3）中的结论容易判断.【详解】对于（1），不妨设点(),xy在曲线()32222:4Cxyxy+=上，则

(),xy−−也在该曲线上，所以曲线C关于原点对称，故（1）正确；对于（2），易知()()(),,,,,xyxyyx−−也都在该曲线上，所以曲线C关于x轴、y轴、yx=对称，故（2）错误；对于（3），因

为()()322222224xyxyxy+=+，所以221xy+，即221xy+，所以曲线C上点到原点最大距离是1，故（3）正确；对于（4），由（3）得，曲线C所围成的图形落在圆22:1Oxy+=内，且显然是圆内的部分图形，而圆O的面积为2ππr=，所以曲线C

所围成图形的总面积小于π，故（4）正确；综上：（1）（3）（4）正确，（2）错误，故说法正确的有3个.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.()cos,sina=，()1,1b=，若//ab，则tan=

______．【答案】1【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式进行求解.【详解】由题意，得cossin=，则sintan1cos==.故答案为：1.12.如图，正六边

形ABCDEF的边长为1，()ABBCCDDE++=______．【答案】-1【解析】【分析】由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积运算即可【详解】由正六边形性质，60,2ADEADDE==，()cos21cos,601ABBCCDDEADDE

DADEDADE++==−=−−=.故答案为：-1.13.若()()sinsin044fxaxbxab=++−是奇函数，则有序实数对(),ab可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．【答案】()1,1（答案不唯一）

【解析】【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数a，b应该满足的条件，按等式关系选取答案即可.【详解】已知0ab，()2222sinsinsincossincos442222fxaxbxaxxbxx=++−=++−

()()22sincos22abxabx=++−，若()fx是奇函数，则0ab−=即可，可以取1a=，1b=.故答案为：()1,1（答案不唯一）14.若函数()2,,,.xxafxxxa=满足存在tR使()fxt=有两个不同的零点

，则a的取值范围是______．【答案】()(),00,1−【解析】【分析】画出函数()2,,xxafxxxa=的图象，观察图象即可得到答案.【详解】如图所示，画出函数()2,,xxafxxxa

=的图象.结合图象可知，()(),00,1a−故答案为：()(),00,1−.15.已知圆2216xy+=和定点()2,0P，动点M在圆上，Q为PM中点，O为坐标原点．则下面说法正确的是______．①点Q到原点的最大距离是4；②若OMP是等腰三角形，则

其周长为10；③点Q的轨迹是一个圆；④OMP的最大值是π6．【答案】②③④【解析】【分析】利用求轨迹方程的方法求出点Q的轨迹，再根据点和圆的位置关系确定点Q到原点的最大距离，再根据几何关系确定OMP的周长，利用余弦定理结合基本不等式得到3cos2O

MP即可求出OMP的最大值.【详解】设00(,),(,),MxyQxy由中点坐标公式得00222xxyy+==,所以00222xxyy=−=,因为00(,)Mxy在圆2216xy+=上,所以220016xy+=,即()()22

22216xy−+=,即()2214xy−+=,所以点Q的轨迹是一个圆,方程为()2214xy−+=,是以(1,0)A为圆心,2r=为半径的圆,所以点Q到原点的最大距离是123AOr+=+=,故①错误；因为()2,0P，所

以2,4OPOM==,若OMP为等腰三角形，若2PMOP==,则(4,0)M,此时,,OPM三点共线，不满足题意，若4PMOM==,则(1,15)M,满足题意，所以OMP的周长等于44210++=，故②正确；由以上过程可知Q的轨迹是一个圆,方程

为()2214xy−+=,所以③正确；设OMP=，当(4,0)M时，0OMP=，不是最大角，M不为(4,0)时，OMP中，26PM2221121123cos22882OMMPOPMPMPOMMPMPMP+−==+=,当且仅当1

2MPMP=,即23MP=时取得等号，所以π6，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()()222coscos3cossin2fxxxxx=−−−

．（1）求函数()fx的单调增区间；（2）若()fx在,33mm−−上的值域为)2,2−，求m值．【答案】（1）()5,1212kkk−++Z（2）512【解析】【分析】（1）由诱导公式、二倍角公式和两角差的正

弦公式，化简函数()fx为一个角的三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；（2）求出23x−的范围，结合正弦函数的性质可求m值．【小问1详解】解：已知()22()2coscos3cossin2cossin3cos2sin23cos22fxxxxxxxxxx=−−−=−=−1

32sin2cos22sin2223xxx=−=−增区间为：222232kxk−+−+522266kxk−++剟51212kxk−++所以，函数()

fx的单调增区间为()5,1212kkk−++Z.【小问2详解】解：已知,33xmm−−，2223xm−剟，即2233xm−−−„，因为，值域为)2,2−，523212mm−=

=.17.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sincossincoscossinBAACAC=+（1）求角A的大小；（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使ABC唯一确定，并求ABC的面积

．条件①：AB边上的高为3；条件②：7a=，3b=；条件③：7a=，sin3sinBC=．【答案】（1）π3（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）注意到已知等式右边为sinB，可得1cos2A=.（2）若选择①，结合（1

）只能求得b.若选择②，结合（1）和正弦定理，可求得sinB.若选择③，结合（1）和正，余弦定理，可求得b，c.【小问1详解】由题2sincossincoscossinsinBAACACB=+=，因sin0B.则1cos2A=，因A为三角形

内角，所以Aπ3=.【小问2详解】若选择①，设AB边上的高为3ABh=，则sinABhbA=，得2b=.因题目条件不足，故ABC无法唯一确定.若选择②，由正弦定理sinsinsinabcABC==及（1）

，有733211432sinsinBB==.因3213142，又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则ABC无法唯一确定.若选择③，由正弦定理sinsinsinabcABC==，及sin3sinBC=，则

3bc=又由余弦定理及（1），.有222221071226cosbcacAbcc+−−===，得1c=，3b=.此时ABC唯一确定，11333sin132224ABCSbcA===△.综上选择③时，ABC唯一确定，此时ABC的面积为33418.椭圆22:14xy

+=．（1）点C是椭圆上任意一点，求点C与点()0,2D两点之间距离d的最大值和最小值；（2）A和B分别为椭圆的右顶点和上顶点．P为椭圆上第三象限点．直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求22PMPNMAN

B+．【答案】（1）max2213d=，min1d=（2）1【解析】【分析】（1）设()00,Cxy，01,1y−，计算得到20228333dy=−++

，根据二次函数的性质得到最值.（2）过点P作PGx⊥轴于G，过点P作PHy⊥轴于H，设()11,Pxy，利用相似计算得到答案.【小问1详解】设()00,Cxy，01,1y−，则220014xy+=，()2002000222282348333dCDxyyyy==+−=−−+=

−++，当023y=−时，max2822133d==，当01y=时，min1d=.【小问2详解】如图所示：过点P作PGx⊥轴于G，过点P作PHy⊥轴于H，设()11,Pxy，222221211

4PGOHOxyOAOBMPNMANB=+=+=+19.已知椭圆()222:104xyCaa+=的焦点在x轴上，且经过点()2,2E，左顶点为D，右焦点为F．（1）求椭圆C的离心率和DEF的面积；（2）已知直线1ykx=+与椭圆

C交于A，B两点．过点B作直线4y=的垂线，垂足为G．判断直线AG是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22e=；22DEFS=+（2）直线AG经过定点50,2，理由见详解.【解析】【分析】（1）由椭圆C经过点()2,2E，代入椭圆方程求得28

a=，结合222cab=−，解得c的值，进而求得离心率和DEF的面积；（2）由直线1ykx=+与椭圆C交于A，B两点，则说明斜率存在，所以分0k=，0k，进行讨论找出直线过得点.【小问1详解】由题意，椭圆()222:1

04xyCaa+=经过点()2,2E，可得24214a+=，解得2822aa==，即椭圆22:184xyC+=，因为222844cab=−=−=，即2c=，所以椭圆C的离心率为22222cea===，又由左顶点为D，右焦点为F，所以(22,0),(

2,0)DF−，所以DEF的面积为()1122222222DEFESDFy==+=+【小问2详解】由直线1ykx=+与椭圆C交于A，B两点所以当0k=时，直线为1y=与椭圆C交于A，B两点由22

1841xyy+==解得：6x=令(6,1),(6,1)AB−，此时(6,4)G所以41646(6)AGk−==−−所以直线6:1(6)4AGlyx−=+即65:42AGlyx=+，令502xy==所以直线AG是经过定点50,2

同理若(6,1),(6,1)AB−，则65:42AGlyx=−+令502xy==所以直线AG是经过定点50,2当0k时，由直线1ykx=+与椭圆C交于A，B两点设1122(,),(,)AxyBxy联立方程组221184ykxx

y=++=，整理得22(21)460++−=kxkx，则12122246,2121−−+==++kxxxxkk，所以()121212122332xxkxxxxxxk+==+设点2(,4)Gx，所以112

4AGykxx−=−AG的方程为11221212444()()4yyyxxyxxxxxx−−−=−=−+−−，令0x=，可得2121211212444xyxxxyyxxxx−+−=+=−−1211212

12124(1)4xxkxxxkxxxxxx−+−−==−−()12121234?2xxkxxkxx−−+=−121212121233554522222xxxxxxxxxx−−−−===−−，所以直线AG经过定点50

,2，综上可得，直线AG经过定点50,2.20.已知1x=是函数()()lnlnln21xfxxaxx=−+++的一个极值点．（1）求a值；（2）判断()fx的单调性；（3）是否存在实数m，使得

关于x的不等式()fxm的解集为()0,+?直接写出m的取值范围．【答案】（1）2a=（2）函数在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减.（3）存在，(,ln2m−【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据()10f=计算得到答

案.（2）求导得到()()2ln1xfxx−=+，根据导数的正负得到单调区间.（3）先证明()ln1xx+，()ln11xx++，计算得到()ln2fx，且()2ln21fxx++，得到答案.【小问1详

解】()()lnlnln21xfxxaxx=−+++，则()()212111lnafxxaxxxx+−=−+++，()()2111l21024n211aafxxaxaxx+−=−+=−+=+++，解得2a=.()()()221n2ln22l1111xfxxxxxx

x−=−+=+−+++，当()0,1x时，()0fx¢>，函数单调递增；当()1,x+时，()0fx，函数单调递减.故1x=是函数的极大值点，满足.【小问2详解】()()2ln1xfxx−=+，当()0,1x时，()

0fx¢>，函数单调递增；当()1,x+时，()0fx，函数单调递减.【小问3详解】()()()()ln1lnln1lnlnln1ln2ln211xxxxxfxxxxx+−++=−+++=+++，当()

0,x+，易知()ln1ln0xx+−，()ln10x+，故()ln2fx.故ln2m，满足条件.当()0,x+时，设()()ln1gxxx=+−，故()11011xgxxx=−=−++，故()()00gxg=，即()

ln1xx+，当()0,x+时，设()()ln11hxxx=+−+，()()112112121xhxxxx−+=−=+++，当()0,3x时，()()21021xhxx−+=+，函数单调递增；当

()3,x+时，()()21021xhxx−+=+，函数单调递减；故()()3ln420hxh=−，故()ln11xx++.()()11ln1ln112ln2ln2ln2111xxxxxxfxxxx+++++=++++++，即()fx可以无限接近ln2.综

上所述：(,ln2m−.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中放缩的思想是解题的关键.21.已知有限数列A：1a，2a，…，Na（3N且*NN）各项均为整数，且满足11

iiaa−−=对任意2i=，3，…，N成立．记()12NSAaaa=+++．（1）若13a=，6N=，求()SA能取到的最大值；（2）若2022N=，求证：()0SA；（3）若()100SAN=（

这里N是数列的项数），求证：数列A中存在()1kakN使得100ka=．【答案】（1）33（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意结合累加法和等差数列求和运算求解；（2）根据（1）中结论

，结合数的奇偶性分析证明；（3）令100iiba=−，根据题意利用反证法证明.【小问1详解】∵11iiaa−−=，则11iiaa−−=或11iiaa−−=−，设1,1,1,2,...,1imiN−−，即11,2iiiaamiN−−−=，

当2i时，则()()()()1211111212......iiiiiiaaaaaaaammma−−−−−−−=+++++=+++，故()()()()121111121121.........NNSAaaaaam

ammammm−=+++=+++++++++++()()112112...NNaNmNmm−=+−+−++，若()SA能取到最大值，则1im=，此时()()()()11112...12NNSANaNNNa−=+−+−++=+，若13a=，6N=，则()SA能取到的最大值为6563332+=.

【小问2详解】若2022N=，则由（1）可得：()1122021202220212020...SAammm=++++，记满足1im=−中的i依次为12,,...,nkkk，则()()()()()(11211202220212020...1220222022...202220221011202122

022202nSAakkkak=++++−−+−++−=+−−+，∵()()()112,2022,2022,...,2022nakkk−−−均为整数，则()()()1122022,220222022...2022nakkk−+−++−为偶数，10112021

为奇数，∴()SA为奇数，故()0SA.小问3详解】记100,1,2,...,iibaiN=−=，则有限数列B：1b，2b，…，Nb满足11iibb−−=对任意2i=，3，…，N成立，则()()()()()1221100100...1001000NNaaa

SSBbbAbN=−+−++−=−+++==，∵11iibb−−=，则对2,3,...,iN，均有1iibb−，即数列nb不是常数列，设数列nb的最大项为M，最小项m，则0,0Mm，反证：假设对

1,2,...,,0iiNb，设满足0ib中的i依次为12,,...,nttt，则必存在,1,2,...,jtjn=，使得10,0jjttbb+或10,0jjttbb−，的【当10,0jjttbb+时，∵11,1jjttbb+−，则12j

jttbb+−，这与11jjttbb+−=相矛盾，当10,0jjttbb−时，∵11,1jjttbb−−，则12jjttbb−−，这与11jjttbb−−=相矛盾，故假设不成立，即数列B中存在()1kbkN使得1000kkba=−=，故数列A中存在(

)1kakN使得100ka=.【点睛】思路点睛：数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知不等式条件，解决数列问题，此类问题一般利用不等式性质研究数列问题；②已知数列条件，解决不等式问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.获得更多资

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