【文档说明】四川省乐山市沫若中学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学（文）试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.511 MB，由小赞的店铺上传

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2021级高二下5月月考数学试卷（文）一、单选题（每题5分，总计60分）1.复数31izi+=+(i为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为A.(2,1)−B.(1,1)−C.(1,2)D.()2,2【答案】A【解析】【详解】分析：求出复数z的代数形式，再写出在复平面内表示的点的坐标．详解：复

数3(3)(1)4221(1)(1)2iiiiziiii++−−====−++−，所以复数z在复平面内表示的点的坐标为(2,1)−，选A.点睛：本题主要考查了复数的四则运算，以及复数在复平面内所表示的点的坐标，属于容易题．2.命题“22,30xx−

”的否定是（）A.22,30xx−B.22,30xx−C.22,30xx−D.22,30xx−【答案】C【解析】【分析】由全称命题否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.【详解】由全称命

题的否定为特称命题，所以，原命题的否定为22,30xx−.故选：C3.函数()()3exfxx=−的单调递增区间是（）A.()0,3B.()1,4C.()2,+D.(),2−【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调区间即可.【详解】由()(2)exfx

x=−，故(,2)x−时()0fx，(2,)x+时()0fx，所以(,2)x−时()fx递减，(2,)x+时()fx递增，综上，()fx的递增区间为()2,+.故选：C4.德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式

于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级

数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式计算的近似值（其中P表示的近似值）”.若输入8n=，输出的结果P可以表示为A.11114(1)35711P=−+−+−B.11114(1)35713P=−+−++C.11114(1)35715

P=−+−+−D.11114(1)35717P=−+−++【答案】C【解析】【分析】根据已知程序框图依次代入计算,即可得出输出结果.【详解】第1次循环:1,2Si==;第2次循环:11,33Si=−=；第3次循环:111,435Si=−+=;…第8次循环:1111135715S=−+−

+−,9i=此时满足判定条件,输出结果111144135715PS==−+−+−.故选:C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题5

.我国古代典籍《周易》用“卦”推测自然和社会的变化，如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦、分别象征着天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象.每一卦由三个爻组成，其中“▃”表示一个阳爻，“▃▃”表示一个阴爻）.若从含有两个或两个以上

阴爻的卦中任取两卦，这两卦中恰好含有两个阳爻的概率是（）A.13B.12C.23D.34【答案】B【解析】【分析】首先写出所有情况为6种，再得到其中满足题意的情况，最后即可得到概率.【详解】含有两个或两个以上阴爻的卦有坎、艮

、震、坤卦，若任取两卦则有24C6=种，其中恰好含有两个阳爻的有坎卦与艮卦；坎卦与震卦；艮卦与震卦共3种，故概率为3162=，故选：B.6.已知P：20xx−，那么命题P的一个必要非充分条件是（）A.01xB.11x

−C.1223xD.122x【答案】B【解析】【分析】先解不等式求出01x，然后结合选项根据必要不充分条件的概念即可判断.【详解】因为20xx−，所以01x，然后结合选项根据必要不充分条件的概念可判断，故选：B.7

.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，下列说法正确的是（）A.若甲、乙两组数据的方差分别为21s，22s，则2212ssB.甲成绩比乙成绩更稳定C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差D.若甲、乙两组数据的平均数分别为1x，2x，则12xx【答

案】B【解析】【分析】根据题中折线图的数据信息以及变化趋势，结合平均数、方差和极差的定义逐项分析判断【详解】对A、B：由折线图的变化趋势可知：甲的成绩较为集中，乙成绩波动很大，故甲成绩比乙成绩更稳定，故2212ss，故A错误，B正确；对C：极差为样本的最大值与最

小值之差，甲的极差大约为30，乙的极差远大于30，故甲的极差小于乙的极差，C错误；对D：由图可知：甲的成绩除第二次略低于乙的成绩，其余均高于乙的成绩，故12xx，D错误；故选：B.8.若f′(x0)＝2−，则0limx→00()()fxfxxx−+等于（）A.－1B.

－2C.1D.2【答案】D【解析】【分析】利用导数的定义求解,【详解】解：因为f′(x0)＝2−，所以0limx→00()()fxfxxx−+Δ0limx→=−000()()()2fxxfxfxx+−=−=

，故选：D9.函数()22inlnsxxxfx−+=在区间()()π,00,π−U的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，发现是奇函数，排除C、D；观察

A、B两项，发现图像在1x=处的增减趋势不同，所以对函数进行求导，再把特殊值1x=代入导函数中判断即可.【详解】因为()22ln()2ln(2(sin)sin)xxxxxfxfxx−−−−+−+−==−

=−，所以()fx是奇函数，排除C、D两项；当()0,πx时，()22inlnsxxxfx−+=，则()22sins12ln2cosinxxxxfxxxx−−+=−，所以()2211cos1cois1()011sin1sin1sin1

sn1f−=−=−+，所以()fx在1x=处的切线斜率为负数，故排除A项；故选：B.10.已知m是区间0,4内任取的一个数，那么函数3221()233fxxxmx=−++在xR上是增函数的概率

是（）A.14B.13C.12D.23【答案】C【解析】【分析】首先得到220()4fxxxm=−+恒成立，则解出m的范围，再根据其在[0,4]内取数，利用几何概型公式得到答案.【详解】22()4fxxx

m=−+，3221()233fxxxmx=−++在xR上是增函数22()40fxxxm=−+恒成立21640m=−解得2m或2m−又m是区间[0,4]内任取的一个数24m由几何概型概率公式得函数3221()

233fxxxmx=−++在xR上是增函数的概率42142P−==故选：C．11.已知函数()2lnfxxtx=−存在两个零点，则实数t的取值范围为（）A.e,2+B.()e,+C.()2e,+D.()3e,+【答案

】C【解析】【分析】将问题转化为ln2xxt=有两个不同的实数根，构造函数()lnxgxx，=利用导数求解单调性即可求解最值.【详解】()2lnfxxtx=−存在两个零点，则()2ln0fxxtx=−=有两个不同的实数根，当0=t时，只有一个零点，不符合题意，故0t，即ln2xxt=有两

个不同的实数根，记()()2ln1lnxxgxgxxx，−==，当ex时，()0gx，此时()gx单调递减，当0ex时，()0gx，此时()gx单调递增，故当ex=时，()gx取极大值也是最大值()1eeg=，又当01x时，()0gx，如图为()gx的图象要使()ln2

xgxxt==有两个不同的实数根，则210et<<，所以2et>，故选：C12.已知()fx是偶函数()()Rfxx的导函数，()11f=．若0x时，()()0fxxfx+，则使得不等式()()202320231xfx−−成立的x的取值范围是（）A.

()2023,+B.()(),20232023,−−+C.()2024,+D.()(),20242024,−−+【答案】C【解析】【分析】设()()Fxxfx=，求导得()()()Fxfxxxf=+，进而可得0x时，()Fx单调递增，由于

()fx为偶函数，推出()Fx为奇函数，进而可得()Fx在(),−+上单调递增，由于()11f=，则()11F=，由于()()202320231xfx−−，则()()20231FxF−，推出20231x−，即可得出答案．【详解】设()()Fxxfx=，()()()Fxfxxxf

=+，由题意得0x时，()0Fx，()Fx单调递增，因为()fx为偶函数，所以()()=fxfx−，所以()()()()()FxxfxxfxFx−=−−=−=−，所以()Fx为奇函数，所以()Fx在(),−+上单调递增，因为()11f=，所

以()()()11111Fff===，因为()()202320231xfx−−，所以()()20231FxF−，所以20231x−，所以2024x，故选：C．二、填空题（每题5分，总计20分）13.已知()2123fxxxf=+−，则1()3f

−=_____．【答案】23【解析】【分析】先求出()fx，令13x=-后可得1()3f−的值．【详解】()1223fxxf=+−，令13x=-，则1212333ff−=−+−，故1233f−=．

填23．【点睛】本题考查函数导数的运算，属于容易题，求导时注意13f−为常数．14.为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分

层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人．【答案】2080【解析】【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.【详解

】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人，可得高三年级共有90人，的又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为90720p=，设该校共有n名学生，可得26090720n=，解得2080n=（人），即该校共有2080名学生.故答案

为：2080.15.已知()()e,0,xafxxxx=−+，对()12,0,xx+，且12xx，恒有()()12210fxfxxx−，则实数a的取值范围是__________.【答案】2ea

【解析】【分析】根据对条件()()12210fxfxxx−做出的解释构造函数，利用函数的单调性求解.【详解】对()12,0,xx+，且12xx，恒有()()12210fxfxxx−，即()()1122120xfxxfxxx−，所以函数()xfx是增函数，设()

()()2'e,e2xxgxxfxaxgxax==−=−，则()gx在()0,+上单调递增，故()'e20xgxax=−恒成立，即2exxa，设()()'222,eexxxxFxFx−==，当(

)0,1x时，()'0Fx，函数单调递增；当)1,x+时，()'0Fx，函数单调递减；故()max2()1eFxF==，即2ea；故答案为：2ea.16.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C

为直角，BC=2，EF∥BC，沿EF把面AEF折起，使面AEF⊥面EFBC，当四棱锥A-CBFE的体积最大时，EF的长为__．【答案】233##233【解析】【分析】由题意推出AE⊥平面BCEF，设EF=x，则AE＝x，EC＝2-x，

表示出四棱锥A﹣CBFE的体积，利用导数求其最值，即可得答案.【详解】由题意可知AEC是等腰直角三角形，EF∥BC，沿EF把面AEF折起，使面AEF⊥面EFBC，AEEF⊥,平面AEF平面EFBC=EF，AE平面AEF,故AE⊥平面BCEF，设EF=x，则AE＝x，EC＝2-x，四棱锥

A﹣CBFE的体积：V()()32214326+−−==xxxxx，（02x），22132V=−x，由0V＝，解得x233=，当x∈(0，233)时，0V，当x∈(233，2)时，0V,∴当233x=时，四棱锥A﹣CBFE的体积最大，即EF的长为2

33．故答案为：233．三、解答题（17题10分，其余各题12分，总计70分）17.已知函数32()2fxxaxbxa=+++在=1x−处取得极大值1.（1）求,ab的值；（2）当[1,1]x−时，求()fx的最大值.【答案】

（1）1ab==（2）5【解析】【分析】（1）求导得2()34fxxaxb=++，根据函数极值与导数的关系得到关于,ab方程组，解出并检验即可；（2）直接求导，列出函数与导函数变化的表格，通过表格即可求出最大值.【小问

1详解】2()34fxxaxb=++，且函数()fx在=1x−处有极值1，()()13401121fabfaba−=−+=−=−+−+=，解得11ab==.又当1ab==时，21()3413(1)()3fxxxxx=+=++

+当1x−或13x−时，()0fx¢>，当113x−−时，()0fx，故()fx在=1x−处取得极大值，满足题意.综上，1ab==.【小问2详解】当1a=，1b=时，32()21fxxxx=+++．则2

1()3413(1)()3fxxxxx=+=+++．当x变化时，()fx与()fx的变化情况如下表：x1−1(1,)3−−13−1(,1)3−1()fx−0+()fx1单调递减极小值2327单调递增5所以[1,1]x−时，()fx的最大值为5.18.近几年，在缺“芯”困局之下，

国产替代的呼声愈发高涨，在国家的政策扶持下，国产芯片厂商呈爆发式增长．为估计某地芯片企业的营业收入，随机选取了10家芯片企业，统计了每家企业的研发投入（单位：亿）和营业收入（单位：亿），得到如下数据：样本号i12345678910研发投入ix224681014161820营业收入iy141

6303850607090102130并计算得101100iix==，101600iiy==，10211400iix==，102149200iiy==，1018264iiixy==．（1）求该地芯片企业研发投入与营业收入的样本相关系数

r，并判断这两个变量的相关性强弱（若0.300.75r，则线性相关程度一般，若0.75r，则线性相关程度较高，r精确到0.01）；（2）现统计了该地所有芯片企业的研发投入，并得到所有芯片企业的研发投入总和为268亿，已知芯片企

业的研发投入与营业收入近似成正比．利用以上数据给出该地芯片企业的总营业收入的估计值．附：相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，335.745．【答案】（1）0.99，两个变量线性相关程度较高（2）该地芯片企业的总

营业收入的估计值为1608亿元．【解析】【分析】（1）由条件数据求,xy，利用关系()()11001110iiiiiiyxxxyyyx==−−=−，()10202211110iiiixxxx==−−=，()10202211110iiiiyyyy==−−=求值，代入公

式求相关系数即可；（2）设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m，由条件，列关系式求m即可.【小问1详解】因为101100iix==，101600iiy==，所以10x=，60y=，又1018264

iiixy==，10211400iix==，102149200iiy==，所以()()1010118264101060610224iiiiiixxyxyyxy==−−==−=−，()102102121110400101010400iiiixxxx==−==−=−，()1022

2211011492001060132000iiiiyyyy==−−==−=，的所以()()()()1011022112264226422640.9922984001320040033iiiniiiixxyyrxxyy===−−==

=−−，故两个变量线性相关程度较高．【小问2详解】设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m，则100268600m=，解得1608m=，所以该地芯片企业的总营业收入的估计值为1608亿元．19.某学校有学生1000人，为了解学生对本校

食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为)))))40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100.（1）求频率分布直方

图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；（2）若采用分层抽样的方法，从打分在)40,60的受访学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人至少有一人评分在)40,50的概率.【答案】（1）0.006a=，680人（2）710【解析

】【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，即可求出a，再估计出满意度打分不低于70分的人数；（2）首先求出打分在)40,50和)50,60内人数，再用列举法列出所有可能结果，最后根据古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】的由频率分布直方图可知，()0.0040

.0180.02220.028101a++++=，解得0.006a=.该校学生满意度打分不低于70分的人数为()10000.280.220.18680++=.【小问2详解】由频率分布直方图可知，打分在)40,50和)50,60内的频率分别为0.04和0.06，抽取的5人采用分层抽

样的方法，在)40,50内的人数为2人，在)50,60内的人数为3人.设)40,50内的2人打分分别为1a，2a，)50,60内的3人打分分别为1A，2A，3A，则从)40,60的受访学生中随机抽取2人，2人打分的基本事件有：()()()121112,,,

,,aaaAaA，()()()()13212223,,,,aAaAaAaA,,,，()()()121323,,,,,AAAAAA共10种.其中两人都在)50,60内的可能结果为()()()121323,,,,,AAAAA

A，则这2人至少有一人打分在)40,50的概率3711010P=−=.20.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，90ABC=，D为1CC的中点，E为AB上一点，且2AEBE=．（1）证明：AD∥平面1BCE；（2）若16ABAA==，3BC=，求点D到平面1BCE距离

．【答案】（1）证明见解析；（2）62929.【解析】【分析】（1）如图，连接BD交1BC于点F，连接EF，证明EFAD∥，原题即得证；（2）由题知点D到平面1BCE的距离等于点B到平面1BCE的距离的一半，过B作BGCE⊥，垂足为的G，连接1B

G，过B作1BHBG⊥，垂足为H，先证明BH⊥平面1BCE，即线段BH为点B到平面1BCE的距离，再求出BH即得解.小问1详解】如图，连接BD交1BC于点F，连接EF，因为四边形11BCCB为矩形，且D为1CC的中点，所以12BBBFDFCD==，又因为2BE

AE=，所以2BFBEDFAE==，所以EFAD∥，因为EF平面1BCE，AD平面1BCE，所以//AD平面1BCE．【小问2详解】由题知点D到平面1BCE的距离等于点B到平面1BCE的距离的一半，过B作B

GCE⊥，垂足为G，连接1BG，过B作1BHBG⊥，垂足为H，因为1BB⊥平面ABC，CE平面ABC，所以1BBCE⊥，又因为1BGBBB=，BG平面1BBG，1BB平面1BBG，所以CE⊥平面

1BBG，因为BH平面1BBG，所以CEBH⊥.又1,CEBG平面1BCE，1CEBGG=，所以BH⊥平面1BCE，即线段BH为点B到平面1BCE的距离．因为90ABC=，234BEAB==，3BC=，所以

225CEBEBC=+=，由几何关系可知BGCEBEBC=，所以125BG=，22116295BGBGBB=+=，由几何关系可知11BHBGBGBB=，所以122929BH=，故点D到1BCE的距离为62929．【21.设函数()1ln2fxa

xxx=−+．（1）若1a=，求()fx的单调区间；（2）若对任意(1,ex，都有()102fxxx+，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+（2）1,1e−−【解析】【分析】（1）求导

后，根据()fx正负可得()fx的单调区间；（2）采用分离变量法可得11lnxax−，令()()111elnxgxxx−=，利用导数可求得()mingx，由此可得a的范围.【小问1详解】当1a=

时，()()1ln02fxxxxx=−+，()lnfxx=，则当()0,1x时，()0fx；当()1,x+时，()0fx¢>；()fx\的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+.【小问2详解】

由()102fxxx+得：1ln10axx−+，当(1,ex时，ln0x，11lnxax−，令()()111elnxgxxx−=，则()()()222ln111ln1lnlnxxxxxxgxxxx−

−−+==；令()()ln11ehxxxx=−+，则()1110xhxxx−=−=，()0gx，()gx在(1,e上单调递减，()()1e1egxg=−，11ea−，即实数a的取值范围为1,1e−

−.22.已知函数()21ln2fxaxx=−.（1）讨论()fx的单调性.（2）若()fx存在两个零点12,xx，且曲线()yfx=在()1,0x和()2,0x处的切线交于点()00,xy.①求实数a的取值范围；②证明

：1202xxx+.【答案】（1）答案见解析（2）①()e,+；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分成0a，0a两种情况讨论函数的单调性；（2）①利用导数得出函数()fx的单调性，结合函数图像得出实数a的取值范围；②由曲线()yfx=在()1,0x和()2,0x处的切线方程联立

，得出120121xxxaxx+=+，又()fx存在两个零点12,xx，代入()0fx=得出()22121212lnlnxxaxx−=−，要证1202xxx+，只需证1202xxx+，即证121axx，只要证122112121lnxxxxxx−即可.【小

问1详解】()2axafxxxx−+=−=.当0a时，()()0,fxfx在()0,+上单调递减；当0a时，令()0fx=，得xa=.当()0,xa时，()0fx¢>，当(),xa+时，()0f

x，.所以()fx在()0,a上单调递增，在(),a+上单调递减.【小问2详解】①由（1）知，当0a时，()fx在()0,+上单调递减，不可能有两个零点，当0a时，()fx在()0,a上单调递增，在(),a+上单调递减，所以()max1()ln02fxfaaaa==−

，所以ea，又x→+，()fx→−；0x→+，()fx→−；所以a的取值范围是()e,+.②曲线()yfx=在()1,0x和()2,0x处的切线分别是()()11122212:,:aalyxxxlyxxxxx=−−=−−，联立两条切线方程

得120121xxxaxx+=+，所以120121xxaxxx+=+.因为2112221ln0,21ln0,2axxaxx−=−=所以()22121212lnlnxxaxx−=−.要证1202xxx+，只需证1202x

xx+，即证121axx，只要证122112121.lnxxxxxx−.令()12111,ln(01)2xthttttxt==−−，.则()22(1)02thtt−=−，所以()ht在()0,1上单调递减，所以()()10hth=，所以11ln(01

)2tttt−，所以1202xxx+.【点睛】已知函数零点个数求参数范围问题方法点睛：可以通过构造函数，分情况讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，根据零点个数，考虑图像的交点情况，得出参数

的取值范围.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com