【文档说明】江西省赣县第三中学2021-2022学年高二上学期入学考试数学（理）试题含答案.doc，共(7)页，880.000 KB，由小赞的店铺上传

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赣县三中2021-2022学年上学期高二入学考试卷一、单选题1．已知集合A={(x，y)|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．42．已知函数1123fxx+=+．则()2f的值为（）A．6

B．5C．4D．33．若变量,xy满足约束条件10,280,0,xyxyx−++−，则3zxy=+的最小值为（）A．1B．3C．4D．94．在递增的正项等比数列na中，1a和5a是

方程217160xx−+=的两个根，则3a=（）.A．4B．4−C．4D．25．函数()3sincosfxxx=+的单调递增区间是（）A．π4π2π,2π(Z)33kkk++B．π2π2π,2π(Z)33kkk++C．2ππ2π

,2π(Z)33kkk−+D．2π4π2π,2π(Z)33kkk−+6．已知函数2,0()12,0xxfxxx−=+，则不等式2(2)(2)fxxfx−的解集为（）A．()(),04,−+

B．()(),02,−+C．(),2−D．()2,47．若,2，且3cos22sin4=−，则sin2=（）A．23B．23C．79−D．59−8．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2,||||BOBABCBOBC=+=，则向量AB在向量

AC上的投影向量为（）A．34ACB．34ACC．34AC−D．34AC−9．已知函数()sin()0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示，则()()()()1232021ffff

++++=（）A．2B．22+2C．2+2D．22−10．已知函数()()311fxx=−+，利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得()5f−+()()()()4067ffff−+++++为（

）.A．25B．26C．13D．25211．已知函数22,0()(2),0xxxfxfxx−−=−，以下结论正确的是（）A．函数()fx在区间[2,4]上是减函数B．(2020)(2021)1ff+=−

C．若方程()10()fxmxmR−−=恰有5个不相等的实根，则11,46m−−D．若函数()yfxk=−在区间(,6)−上有8个零点()8,ixiiN，则8114iix==12．如图，太极图是由黑白两

个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则（）A．函数3()1fxx=+是圆O：22(1)1yx+−=的一个太极函数B．函数3()fxx=不是圆O

：221xy+=的太极函数C．函数()2fxx=不是圆O：221xy+=的太极函数D．函数22(0),()(0)xxxfxxxx−=−−…不是圆O：221xy+=的太极函数二、填空题13．已知函数222xya−=

−（a>0且a≠1）过定点P，且点P在角的终边上，则cos=___________.14．已知函数()12xfxax=−−．若存在02,1x−−，使得()0fx=，则实数a的取值范围是_____________．15．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，

C依次成等差数列，且1a=，3b=，则ABCS=__________．16．如图，在ABC中，90BAC=，4AB=，6AC=，D是BC的中点，点E满足2AEEC→→=，BE与AD交于点G.则DGE的余弦值为__________.三、解答题17．已知数列na的前n项

和12nnSa=+，*nN，在等差数列nb中，120b=，359bbb=+.（1）求na的通项公式；（2）求数列nnba的最大值.18．在ABC中，2sinsinsinABC=.（1）若π3A=，求BÐ的大小；（2）若1bc=，求ABC的面积的最

大值.19．已知圆心C在直线yx=上且过点()2,5A−，()5,4B()1求圆C的方程；()2若D在直线10yx=+上，过D作圆C的切线，求切线长的取值范围．20．在数列na中，()111,01nnnaaacca+==

+，且125,,aaa成等比数列．（1）证明数列1na是等差数列，并求na的通项公式；（2）设数列nb满足()2141nnnbnaa+=+，其前n项和为nS，证明：1nSn+．21．如图，GH是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方

向的点A处建一仓库，设ABy=千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在公路GH上).若从点A向公路和中转站分别修两条道路,ABAC，已知1ABAC=+，且60ABC=.（1）求y关于x的函数解

析式，并求出定义域；（2）如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x取何值时，修建中转站和道路的总造价M最低？22．已知函数()2()log21xfxkx=++（k为常数，kR），

且()fx是偶函数.（1）求k的值；（2）设函数211()log2()22xhxaaxaR=−+，若方程)(()fxhx=只有一个解，求a的取值范围.高二入学考参考答案1．A2．B3．A4．A5．C6．A7．C8．A

9．C10．C11．C12．A13.22314．13,4215．3216．2626.17解：（1）当2n时，12nnSa=+，1112nnSa−−=+，111212nnnnnSSaaa−−+−−==−，即12nnaa−=，12nnaa−

=，当1n=时，11112Saa=+=，解得11a=−，则数列na是首项为1−、公比为2的等比数列，12nna−=−.（2）设等差数列nb的公差为d，则359bbb=+即112212bdbd+=+，1100bd+=，因为120b=，所以2d=−，()2021222nb

nn=--=-，12222nnnbna−−=−，则111202222242222nnnnnnnbbnnnaa+−+−−−−=−+=，当112n时，1124202nnnnnbbnaa++−−=，1

1nnnnbbaa++；当12n=时，1124202nnnnnbbnaa++−−==，13121312bbaa=；当12n时，1124202nnnnnbbnaa++−−=，11nnnnbbaa++，故当12n=

或13时，nnba最大，131210121312bbaa==.18．解：（Ⅰ）方法一：因为2sinsinsin,ABC=且，所以2abc=．又因为π3A=，所以22222122abcbcbcbc=+−=+−．所以2()0bc−

=．所以bc=．因为π3A=，所以为等边三角形．所以π3B=．方法二：因为πABC++=，所以sinsin()CAB=+．因为2sinsinsinBCA=，π3A=，所以2ππsinsin()sin33BB+=．所以313sin(cossin)224BBB+=．所以311cos23s

in24224BB−+=．所以31sin2cos2122BB−=．所以πsin(2)16B−=．因为(0,π)B，所以ππ112(,π)666B−−．所以ππ262B−=，即π3B=．（Ⅱ）因为2sinsinsin,A

BC=1bc=，且，所以21abc==．所以222221cos22bcabcAbc+−+−==21122bc−=（当且仅当时，等号成立）．因为(0,π)A，所以π(0,]3A．所以3sin(0,]2A．所以113sinsin224A

BCSbcAA==．所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值．19．解：()1由题意可设圆的圆心(),Caa，半径为r，ACBCr==，()()()()22222554aaaa++−=−+−，1a=，圆心()1,

1C，半径=5r，圆C的方程为()()221125xy−+−=.()2过点D向圆C作切线DM，如下图：则22222DMDCMCDCr=−=−，要使得切线长最短，即使得DC最短，DC的最小值为点C到直线10yx=+的距离.则点C到直线10yx=+的距

离为()2211105211d−+==+−()22225255DMDCMC=−=−=.所以切线长的取值范围为)5,+.20．证明：（1）由11nnnaaca+=+，得111nncaa+=+，即111nncaa

+−=，所以数列1na是等差数列，其公差为c，首项为1，因此，()111nnca=+−，()111nanc=+−，由125,,aaa成等比数列，得2215aaa=，即2111141cc=

++，解得2c=或0c=（舍去），故121nan=−．（2）因为()()2241211114121212121nnbnnnnn+==+=+−−−+−+，所以1211111111335212121nnS

bbbnnnnn=+++=+−+−++−=+−−++因为1021n+，所以1nSn+．21．解：（1）由题意，在直角三角形BCF中，CFx=，60ABC=，30CBF=，所以2BCx=，又,1AByACy==−，在ABC中，由余弦定理得，2

22(1)422cos60yyxyx−=+−，所以2412(1)xyx−=−，由21xyy+−得12x，∵0y且12x，∴1x，∴241(1)2(1)xyxx−=−.（2）21203030(21)4030401xMyxxx−=−+=−+

−，其中1x，设1tx=−，则0t，所以2120(1)3090903040(1)1602502160250490tMtttttt+−=−++=+++=.当且仅当3t4=时等号成立，此时74x=，所以当74x=时，修建中转站和

道路的总造价M最低.22．解（1）因为函数()2()log21()xfxkgx=++（k为常数，kR）.，()2()log21xfxkx=++，xR因为()()()22()log21()log

211xxfxkxkx−−=++−=+−+，当12k=−时，()21()log21()2xfxxfx−=+−=，故()fx是偶函数；12k=−；（2）若方程)(()fxhx=只有一个解，即()21log212xx+−=211log222xaax−+只有一个

解，整理得：()21(1)10222xxaa−+−=，令2xt=得21(1)102atat−+−=，因为1(2)02xa−，所以a与122x−同号，当0a时，1202x−，则122xt=，所以方程21(1)102atat−+−=在区间1(,)2

+上只有一个解，因为方程对应的二次函数21()(1)12mtatat=−+−图像是开口向上的，且(0)10m=−，13()022m=−，136()02maa+=，所以当0a时方程21(1)102atat−+−=在区间1(,)2+上只有一个解；当0a时，2102x−，则

1(0,)22xt=，所以方程21(1)102atat−+−=在区间1(0,)2上只有一个解，因为方程对应的二次函数21()(1)12mtatat=−+−图像是开口向下的，且(0)10m=−，13()022m=−，则21=14021112022aaaa++

=+解得10462aa=−−，所以当1046a=−−时，方程21(1)102atat−+−=在区间1(0,)2上只有一个解；综上：当0a或1046a=−−时，方程)(()fxhx=只有一个实根.