【文档说明】上海市松江区2021届高三下学期4月模拟考质量监控（二模）数学试卷 含解析.doc，共(15)页，1.266 MB，由小赞的店铺上传

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松江区2020学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）2021.4考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2．答题前，务必在答题纸上填写

座位号和姓名。3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知集合{11},{1,2,3},Axx

B=−=‖∣则AB=．2.若复数z满足(1i)2z+=（i为虚数单位),则z=．3.已知向量(4,2),(,2)abk=−=，若ab⊥，则实数k=．4.在6(2)x+的二项展开式中，3x项的系数为．（结果用数值表示）5.如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD−中

，1111ACBDF=，若1AFxAByADzAA=++，则xyz++=．6.若函数()fxxa=−的反函数的图像经过点(2,1)，则a=．7.已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱

的体积之比为．8.因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为．9.已知函数tan6yx=+的图像关于点,03对称，且||1,则实数的

值为．10.如图，已知AB是边长为1的正六边形的一条边，点P在正六边形内(含边界),则APBP的取值范围是．11.已知曲线C:2(12)xyx=,若对于曲线C上的任意一点(,),Pxy都有()(

)120,xycxyc++++则12cc−的最小值为．12.在数列na中，111233,1,nnaaaaaa+==+记nT为数列1na的前n项和，则limnnT→=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案

，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.经过点()1,1，且方向向量为()1,2的直线方程是（）A.210xy−−=B.230xy+−=C.210xy−+

=D.230xy+−=14.设,表示两个不同的平面，l表示一条直线，且,l则//l是//的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知实数a、b满足(2)(1)

8ab++=,有结论:①存在0,0ab，使得ab取到最小值；②存在0,0ab，使得ab+取到最小值.正确的判断是（)A.①成立，②成立B.①不成立，②不成立C.①成立，②不成立D.①不成立，②成立16.已知函数1()|2|.fxxax=+−若

存在相异的实数12,(,0),xx−使得()()12fxfx=成立，则实数a的取值范围为（)A.2,2−−B.(,2)−−C.2,2+D.(2,)+三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须

在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图,S是圆雉的顶点,O是底面圆的圆心,,ABCD是底面圆的两条直径，且ABCD⊥,4,2,SOOBP==为SB的中点.（1）求异面直线SA与PD所成角的大小(结果用反

三角函数值表示);（2）求点S到平面PCD的距离.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数()22(xxfxaa−=+为常数，)aR.（1）讨论函数()fx的奇偶性;（2）当()fx为偶函数时，若方程(2)()3fxkfx−=在[0,1]x上

有实根，求实数k的取值范围。19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花

、郁金香和菊花.已知扇形的半径为100米，圆心角为23,点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且//.PQOA（1）当Q是OB的中点时，求PQ的长;(精确到米)（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元

/平方米、50元/平方米、20元/平方米.要使郁金香种植区OPQ的面积尽可能的大，求OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本.(精确到元)20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，

第3小题满分6分．已知抛物线24yx=的焦点为F，直线l交抛物线于不同的,AB两点.（1）若直线l的方程为1yx=−，求线段AB的长；（2）经过点(1,0)P−，点A关于x轴的对称点为A，求证:,,AFB三点共线;（3）若直线l经过点(

8,4)M−，拋物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点?N若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于至少有三项的实数列na，若对任意的()*,3nnNn，都

存在,st（其中)*,,,,ststNsntn，使得nstaaa=−成立，则称数列na具有性质P.（1）分别判断数列1,2,3,4和数列1,0,1,2−是否具有性质P，请说明理由；（2）已知数列na是公差为(0)dd的等差数

列，若sin,nnba=且数列na和nb都具有性质P，求公差d的最小值；（3）已知数列||ncnab=−−（其中)*,,ababN，试探求数列nc具有性质P的充要条件.松江区2020学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）2021.4考生注意：1

．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸

上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知集合{11},{1,2,3},AxxB=−=‖∣则AB=．【解析】(){11}0,2,{1,2,3}AxxB=−

==∣，所以{1}AB=.2.若复数z满足(1i)2z+=（i为虚数单位),则z=．【解析】因为(1)2iz+=，所以21i1iz==−+.3.已知向量(4,2),(,2)abk=−=，若ab⊥，则

实数k=．【解析】因为ab⊥，所以440abk=−=，所以1k=.4.在6(2)x+的二项展开式中，3x项的系数为．（结果用数值表示）【解析】3x的系数为3362160C=.5.如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD−中，1111ACBDF=，若1AFxAByADz

AA=++，则xyz++=．【解析】11111111()22AFAAAAAAAAABAFCD+=+=+=+，所以1,12xyz===，所以2xyz++=.6.若函数()fxxa=−的反函数的图像经过点(2,1)，则a=．【解析】由题意得()fxxa=−的图像经过点

(1,2)，所以21a=−，所以3a=−.7.已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为．【解析】由题意，设正方体的棱长和圆柱的母线均为a，圆柱的底面半径为r，因为正方体的和圆柱的侧面积

相等，所以242ara=，所以2ar=，则正方体和圆柱的体积之比为23224::4aaraa==.8.因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概

率为．【解析】直接法：所求概率为12213454543974378442CCCCCPC++===；间接法：所求概率为35391037118442CPC=−=−=.9.已知函数tan6yx=+的图像关于点,03对称，且||1,则实数

的值为．【解析】因为tanyx=的对称中心为,0,2kkZ，又tan6yx=+的图像关于点,03对称，所以362k+=，所以31,22kkZ=−，因为||1，所以1,12=−.10.如图，已知AB是边

长为1的正六边形的一条边，点P在正六边形内(含边界),则APBP的取值范围是．【解析】取AB中点C，由极化恒等式得2221144PCAPBBCPAP=−=−，因为点P在正六边形内（含边界），易得130,2PC，所以APBP的取值范围是1,34−

.11.已知曲线C:2(12)xyx=,若对于曲线C上的任意一点(,),Pxy都有()()120,xycxyc++++则12cc−的最小值为．【解析】曲线:2(12)Cxyx=是第一象限的双曲线的

一部分，因为对于曲线C上的任意一点(,)Pxy，都有()()120xycxyc++++，所以曲线C在两条直线10xyc++=和20xyc++=之间，数形结合，当直线10xyc++=和20xyc++=一条经过点(1,2),(2,1)，另一条与双曲线相切时，12cc−最小，不妨设直

线10xyc++=经过点(1,2),(2,1)，此时13c=−，设直线20xyc++=与双曲线相切，此时222c=−，故12cc−的最小值为322−.12.在数列na中，111233,1,nnaa

aaaa+==+记nT为数列1na的前n项和，则limnnT→=．【解析】因为11231nnaaaaa+=+，所以()212111111nnnnaaaaaa++++=+=+−，所以()()211111111111nnnnnaaaaa+++++==−−−−，所以112

11111nnnaaa+++=−−−，所以1231111nnTaaaa=++++2334111111113111111nnaaaaaa+=+−+−++−−−−−−−12131na+=−−，又1na+→，所以2lim3nnT→=.二、选择题（本大题共有

4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.经过点()1,1，且方向向量为()1,2的直线方程是（）A.210xy−−=B.2

30xy+−=C.210xy−+=D.230xy+−=【解析】方向向量为(1,2)，则法向量为(2,1)−，又经过点(1,1)，故所求直线方程为210xy−−=，选A.14.设,表示两个不同的平面，l表示一条直线，且,l则//l是//的（）A.充分非必要条件B.必要非

充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【解析】//l不一定能推出//，要两条相交直线都和平行，反之，//一定能推出//l，故为必要非充分条件，选B.15.已知实数a、b满足(2)(1)8ab++=,有结论:①存在0,0ab，使得ab取到最小值；②存在0,0ab，使得

ab+取到最小值.正确的判断是（)A.①成立，②成立B.①不成立，②不成立C.①成立，②不成立D.①不成立，②成立【解析】因为(2)(1)8ab++=，所以26abab++=，所以2622ababab+=−，即()()2320abab−

+，所以2ab，当且仅当2,1ab==时取等号，故①正确；因为(2)(1)8ab++=，所以821ab=−+，所以8821311abbbbb+=+−=++−++，又0,0ab，显然ab+无最小

值，有最大值，故②错误；故选C.16.已知函数1()|2|.fxxax=+−若存在相异的实数12,(,0),xx−使得()()12fxfx=成立，则实数a的取值范围为（)A.2,2−−B.

(,2)−−C.2,2+D.(2,)+【解析】若0a，当(,0)x−时，1()2fxxax=−+单调递减，不合题意，所以0a，所以12,2()12,2axaxxfxaxaxx−+=+−，当,2ax−时，1()2fxxax=−

+单调递减，min2()fxa=；当,02ax时，若222a−，由对勾函数的单调性得1()2fxxax=+−单调递减，2()()2afxfa=，不合题意；若222a−，由基本不等式得1()222fxxaax=+−−−，由题意得222aa

−−，即222aa+−，恒成立，故222a−，即(,2)a−−，故选B.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图,S是圆

雉的顶点,O是底面圆的圆心,,ABCD是底面圆的两条直径,且ABCD⊥,4,2,SOOBP==为SB的中点.（1）求异面直线SA与PD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);（2）求点S到平面PCD的距离.【解析】（1）2arcsin3（2）45518．（本题满分14分）本题共有2个小题，

第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数()22(xxfxaa−=+为常数，)aR.（1）讨论函数()fx的奇偶性;（2）当()fx为偶函数时，若方程(2)()3fxkfx−=在[0,1]x上有实根，求实数k的取值范围。【解析】（1）由已知得，()22

xxfxa−=+所以()()2222xxxxfxaa−−−−−=+=+当1a=时，()()fxfx−=，()fx为偶函数；当1a=−时，()()fxfx−=−，()fx为奇函数；当1a时，()()fxfx−且()()fxfx−=−，所

以()fx为非奇非偶函数.（2）由（1）知，1a=时()fx为偶函数，所以()22xxfx−=+方程(2)()3fxkfx−=即()2222223xxxxk−−+−+=在[0,1]x上有实数根，令2xt=，则[1,2]t即2222111133tktt

kttttt+−+=+−=+即21()51ttktt+−=+，即15ktttt=+−+12ytt=+当且仅当时等号成立，所以152,2tt+令15,2,2tmmt+=，即552,2kmmm=−只需

yk=与5ymm=−有交点即可当52,2m时，5ymm=−在52,2m上递增5ymm=+−511,22mm−−11,22k−19．（本题满分14分）本题共有2个小题，

第1小题满分6分，第2小题满分8分．为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花.已知扇形的半径为100米，圆心角为23,点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且//.PQOA（1）

当Q是OB的中点时，求PQ的长;(精确到米)（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米.要使郁金香种植区OPQ的面积尽可能的大，求OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本.(精确到元)【解析】（

1）115米（2）max25003S=，总成本391703元20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知抛物线24yx=的焦点为F，直线l交抛物线于不同的,AB两点.（1）若直线l的方程为1yx=−，求线段AB的

长；（2）经过点(1,0)P−，点A关于x轴的对称点为A，求证:,,AFB三点共线;（3）若直线l经过点(8,4)M−，拋物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点?N若存在，求出点N的坐标，若不存在，

请说明理由.【解析】（1）由已知得，若直线l的方程为1yx=−，过焦点()1,0F联立214yxyx==−化简得，2610xx−+=所以线段AB的长28ABABxx=++=（2）略（3）假设存在点0

20,4yNy使以弦AB为直径的圆恒过点N，设过点(8,4)M−直线的直线l的方程为(4)8,xmy=++联立方程2(4)84xmyyx=++=得2416320ymym−−−=，设221212,,,,44yyAyBy

则12124,1632yymyym+==−−；因为点N总是在以弦AB为直径的圆上；所以90,ANB=所以0NANB=；由222200121020,,,4444yyyyNAyyNByy=−−=−−所以()()22

220012102004444yyyyyyyy−−+−−=即()()()()102010201016yyyyyyyy++−−+=当10yy=或20yy=，等式显然成立当10yy或20yy时，则有()()10201

6yyyy++=−即()2120120160yyyyyy++++=,则200416160ymym−−−=,即()()()00044440myyy−+−+=所以当04y=时,无论m取何值等式都成立，将04y=代入24yx=得04x=，所以存在点(4,4)N使以弦AB为直径的圆但过点N.21．(本

题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于至少有三项的实数列na，若对任意的()*,3nnNn，都存在,st（其中)*,,,,ststNsntn，使得nstaaa=−成立

，则称数列na具有性质P.（1）分别判断数列1,2,3,4和数列1,0,1,2−是否具有性质P，请说明理由；（2）已知数列na是公差为(0)dd的等差数列，若sin,nnba=且数列na和nb都具有性质P，求公差d的最小值

；（3）已知数列||ncnab=−−（其中)*,,ababN，试探求数列nc具有性质P的充要条件.【解析】（1）不具有，具有；（2）min3d=；（3）2,4,abaaN−=