【文档说明】上海市浦东新区进才中学2021-2022学年高一下学期4月期中阶段练习数学试题 含解析.docx，共(19)页，790.631 KB，由小赞的店铺上传

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进才中学高一期中数学试卷一、填空题1.若扇形的弧长和半径都是3，则扇形的面积为______.【答案】92【解析】【分析】直接代入扇形面积公式进行求解.【详解】由扇形面积公式可得：11933222Slr===.故答案为：922.点(

),3Paa−()0a是角终边上一点，那么sin=______.【答案】32##132【解析】【分析】利用任意角三角函数的定义直接求解即可【详解】因为点(),3Paa−()0a是角终边上一点，所以22333sin22(3)yaaraaa−−====−+−，

故答案为：323.函数()sincosfxxx=的最大值是．【答案】12【解析】【分析】先将原式化简，得到1()sin22fxx=，进而可得其最大值．【详解】因为1()sincossin22fxxxx==，xR，所以

11()sin222fxx=，当且仅当,4xkkZ=+时，取得最大值．故答案为：12．【点睛】本题主要考查求正弦型函数的最大值，熟记二倍角公式，以及正弦函数的性质即可，属于基础题型．4.已知向量a，b方向相反，且4a=，5b=，则a在b方向上的数量

投影为______.【答案】-4【解析】【分析】根据给定条件，利用a在b方向上的数量投影的定义直接计算作答.【详解】因向量a，b方向相反，且4a=，5b=，则,ab=，所以，a在b方向上的数量投影是||cos,4cos4aab==−.故答案为：4−5.函数()lg2cos3y

x=−的定义域为______.【答案】ππ2π,2π66kk−++，Zk【解析】【分析】利用真数大于0列出不等式，求出定义域.【详解】由题意得：2cos30x−，即3cos2x，所以ππ2π,2π,66

xkkkZ−++.故答案为：ππ2π,2π66kk−++，Zk6.在直角坐标系xOy中，x轴在正半轴上一点M依逆时针方向作匀速圆周运动，若点M一分钟转过角()0，

2分钟到达第三象限，7分钟回到原来位置，则=______.【答案】47【解析】【分析】根据7分钟回到原来位置和0可知角速度可能为27、47和67，根据2分钟到达第三象限可确定角速度为47

，由此可得.【详解】由题意知：点M的角速度为()27kkN，又207k，1k=或2或3；当1k=时，角速度为27，则2分钟到达47的位置，不在第三象限，不合题意；当2k=时，角速度为47，则2分钟到达87的位置，位于第三象限，符合题意；当3k=时，角速度为67，

则2分钟到达127的位置，位于第四象限，不合题意；47=.故答案为：47.7.方程cos2cos0xx−=在区间0,π上的解集为______.【答案】2π0,3【解析】【分析】根据余弦二倍角公式展开cos2x，根据二次方

程解法求出cosx的值，结合x的范围即可求出x的值．【详解】∵cos2cos0xx−=，∴22cos1cos0xx−−=，即22coscos10xx−−=，即()()2cos1cos10xx+−=，∴1cos2x=−

或cos1x=，0,πx，0x=或2π.3故答案为：2π0,3．8.已知()tansin23fxaxbx=+−，且()21f=−，则()2f−=______.【答案】-5【解析】【分析】从()21f=−得到tan2sin42ab+=，从而利

用函数奇偶性求出()2f−.【详解】()2tan2sin431fab=+−=−，故tan2sin42ab+=，所以()()()()2tan2sin43tan2sin43235fabab−=−+−−=−+−=−−=−故答案为：-5

9.直角△ABC中，π2A=，1AB=，2AC=，点O是△ABC所在平面上任意一点，则向量()()OAOCOBOC−+−的模为______.【答案】17【解析】【分析】根据题意求出BC和cosC，根据向量减法化简()()OAOCOBOC−

+−，根据向量数量积的运算律即可求其模．【详解】∵在直角△ABC中，π2A=，1AB=，2AC=，∴BC=5，cosC=25ACBC=，∵()()OAOCOBOCCACB−+−=+，∴()()OAOCOBOC−+−=2222cos452255CACBCACBCACBC+

=++=++=17．故答案为：17．10.已知定义在R上的偶函数()yfx=的最小正周期为2，当0x时，()2fxx=−，()fxm=在区间,32上恰有三个解1x、2x、3x，且满足2213xxx=，其中123

xxx，则2x=______.【答案】43【解析】【分析】根据题中已知，画出简图，根据图像可找到三个解之间的关系，得到答案.【详解】根据已知可得()yfx=的简图如下，则有1223+=2π+4πxxxx=，，又2213xxx=，可得2222)(4π)(2

πxxx−−=，解得243x=.故答案为：43.二、选择题（11-16为单项选择，17-20至少有一个正确选项）11.已知△ABC所在平面上有一点P满足3PCPA=−，则下列说法正确的是（）A.点P在AC的延长线上B.点P在△A

BC的内部C.点P在直线AB上D.点P在线段AC上【答案】D【解析】【分析】作图，从图形以及向量的方向上理解即可.【详解】因为PA与PC的方向是相反的，所以点P必定在AC线段上，如上图，故选：D.12.已知1cos6x=−，π,π2x，则x=（）A.π3B.2π3C.1arccos6

D.1πarccos6−【答案】D【解析】【分析】利用反三角函数进行求解.【详解】由题意得：x=11arccosπarccos66−=−.故选：D13.方程8coslogxx=的实数解的个数是（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】将方程的实数根

的个数，转化为两个函数的交点个数.【详解】分别画出函数cosyx=和8logyx=的图象，由图象可知两个函数的交点个数是3个，所以方程程8coslogxx=的实数解的个数是3个.故选：B14.化简：()()()()()sin2tancotcostan3−+−−−−的结果

为（）A.1B.-1C.cos−D.cot【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式直接化简即可.【详解】()()()()()sin2tancotcostan3−+−−−−()sintancotsincos1costancossin==

=−−故选：A15.在△ABC中，若()0ABCBCA+=，则△ABC的形状一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】取AB的中点D，连接CD，由已知向量等式可得AB与CD垂直，从而得到三角形为

等腰三角形.【详解】若()0ABCBCA+=，取AB中点D，连接CD，则()20ABCBCAABCD+==，即AB与CD垂直且D为AB的中点，所以可得CB=CA，即三角形为等腰三角形.故选：C16.已知()sinfxxx=,若(sin)(sin)ff,则一定有（）A.cos

2cos2B.cos2cos2C.sinsinD.sinsin【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性,然后判断出函数在[0,1]上的单调性,最后利用函数的奇偶性和单调性的性质，结合二倍角的余弦公式选

出正确答案.【详解】()sin()sin()fxxxxxfx−=−−==,所以函数()fx是偶函数.当[0,1]x时,函数,sinyxyx==是单调递增函数且函数值都为非负数,故函数()sinfxxx=是[0,1]上的递增函数.于是有：22(sin)

(sin)(sin)(sin)sinsinsinsinffff,因此有1cos21cos2cos2cos222−−.故选：A【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的应用,考查了余弦的二倍角公式.17.关于函数()πcos34fxx

=+的图象变换，下列说法正确的是（）A.将()fx的图象向右平移π4个单位，得到函数cos3yx=的图象B.将()fx的图象向右平移π12个单位，得到函数cos3yx=的图象的C.将()fx图象上的点横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到πcos

4yx=+图象D.将()fx图象上点横坐标变为原来的13倍，纵坐标不变，得到πcos4yx=+图象【答案】BC【解析】【分析】根据余弦函数图象的变换性质进行逐一判断即可.【详解】因

为()fx的图象向右平移π4个单位得到π3ππcos3sin3444fxxx−=−+=的图象，所以选项A不正确；因为()fx的图象向右平移π12个单位得到πππcos3cos31244fxxx−=−+=的图象，所以选项B正确；因为()fx图象上

的点横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到πcos4yx=+图象，所以选项C正确；将()fx图象上的点横坐标变为原来的13倍，纵坐标不变，得到πcos94yx=+图象，所以选项D不正确，故选：BC18.

关于函数()sinfxx=的性质，下列说法正确的是（）A.函数()fx在π2,6π3上的值域是13,22B.函数()fx的图象关于直线32x=对称C.函数()fx在第一象限是严格单调递增函数D.函数()fx的图

象既关于()0,0对称，也关于()π,0对称【答案】BD【解析】的【分析】A选项，()fx在π2,6π3上的值域是1,12，B选项，()fx的图象关于直线32x=对称，C选项，举出

反例；D选项，()fx的对称中心为()π,0,kkZ.【详解】()fx在π2,6π3上的值域是1,12，A错误；函数()fx的图象关于直线32x=对称，B正确；1π3x=，27π6x=，均为第一象限角，且12xx，而()()

12fxfx，故不满足函数()fx在第一象限是严格单调递增函数，C错误.函数()fx的图象既关于()0,0对称，也关于()π,0对称，D正确.故选：BD19.在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A.若2a=，22b=，则A可以是3B.若6A=

，1a=，3c=，则b只能是1C.若△ABC是锐角三角形，2a=，3b=，则边长c的取值范围是()5,13D.若222sinsinsinsinsinABCBC+−≤，则角A的取值范围是0,3【答案】CD【解析】【分析】根据正余弦定理对选项逐一判

断即可【详解】对于A，当π3A=时，根据正弦定理sinsinabAB=，得到sin3B=，故A错误；对于B，由余弦定理222cos2bcaAbc+−=，得到2320bb−+=，1b=或2b=，故B错误，对于C，2,3ab==，要使ABC是锐角三角形

，需满足22222232,23cc++，2513c，513c，故C正确；对于D，由正弦定理角化边得：222+abcbc−，222bcabc+−，2221cos22bcaAbc+−=，π03A，故D正确故选：CD2

0.设函数()()sin2cos2,Rfxaxbxab=+，给出的下列结论中正确的是（）A.当0a=，1b=时，()fx为偶函数B.当1a=，0b=时，()fx在区间0,2上是单调函数C.当3a=，1

b=时，()fx在区间(),−上恰有4个零点D.当3a=，1b=时，设()fx在区间(),R4ttt+上的最大值为()Mt，最小值为()mt，则()()Mtmt−的最大值为22【答案】ACD【解析】【分析】利用

余弦型函数的奇偶性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；在(),x−时解方程()0fx=，可判断C选项；对实数t的取值进行分类讨论，求出()()Mtmt−的取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选

项，当0a=，1b=时，()cos2fxx=为偶函数，A对；对于B选项，当1a=，0b=时，()sin2fxx=，当0,2x时，02x，此时函数()fx在区间0,2上不单调，B错；对于C选项，当3a=，1

b=时，()3sin2cos22sin26fxxxx=+=+，当(),x−时，11132666x−+，由()0fx=可得2,0,,26x+−，解得7511,,,12121212x−−，此时()fx在区间(),−上恰有4个零点，C

对；对于D选项，当3a=，1b=时，()3sin2cos22sin26fxxxx=+=+，因为,4xtt+，则2222663txt+++，①若()2262Z22232tkktk

+−++，即当()Z312ktkk−−时，函数()fx在区间,4tt+上单调递增，则()()22sin22sin22sin22sin236626Mtmttttt−=+−+=++−+2

cos22sin222sin2226612ttt=+−+=−−；②若()2222Z623tktk+++时，即当()Z126ktkk−+时，函数()fx在,6tk+上单调递增，在,64kt

++上单调递减，所以，()2Mt=，()2min2sin2,2sin263mttt=++，因为()222Z62ktkk++，则()2sin20,26t+，()22sin

22cos20,236tt+=+，所以，()()()2min2sin2,2cos20,266Mtmtxx−=−++；③若()22

62Z232232tkktk++++，即当()5Z612ktkk++时，函数()fx在区间,4tt+上单调递减，则()()22sin22sin22sin22sin263662Mtmttttt

−=+−+=+−++2sin22cos222sin2226612ttt=+−+=−；④若()32222Z62

3tktk+++时，即当()52Z123ktkk++时，函数()fx在2,3tk+上单调递减，在2,34kt++上单调递增，所以，()2max2sin2,2sin

263Mttt=++，()2mt=−，因为()3222Z62ktkk+++，则()2sin22,06t+−，()22sin22cos22,036tt+=+−，所以

，()()()max2sin2,2cos220,266Mtmtxx−=+++.综上所述，()()22Mtmt−，D对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数基本性质的综合，难点在于判断D选项，要注意对实

数t的取值进行分类讨论确定函数()fx在区间(),R4ttt+上的单调性，求得()Mt、()mt的值或表达式，结合三角函数的有界性来求解.三、解答题21.某公园有三个警卫室A、B、C，互相之间均有直道相连，2AB=千米，23AC=千米，4BC=千米，保安甲沿CB从警卫室C

出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.（1）保安甲从C出发1.5小时后达点D，若ADxAByAC=+，求实数x、y的值；（2）若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内最大通话距离不超过3千米，试问有多长时

间两人不能通话？（精确到0.01小时）【答案】（1）34x=，14y=；（2）0.41小时.【解析】的【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量模的公式结合题意进行求解即可.【小问1详解】因为222ABA

CBC+=，所以ABAC⊥，因此建立如图所示的平面直角坐标系，(0,0),(2,0),(0,23)ABC，设保安甲从C出发t小时后达点D，所以有242ttCDCBCDCB==，设11(,)Dxy，由

1111(,23)(2,23),23322ttCDCBxyxtyt=−=−==−，即(,233)Dtt−，当1.5t=时，33(,)22D，由33(,)(2,0)(0,23)(2,23)22ADxA

ByACxyxy=+=+=32312,443232xxyy====；【小问2详解】设保安乙从B出发t小时后达点E，所以点E的坐标为(2,0)t−，于是有(22,323)DEtt=−−，因为对讲机在公园内的最大通话距离超过3千米，两人不能通话，所以有3DE

，所以2221051(22)(323)3720707ttttt−−+−−+，或10517t+，而[0,2]t，所以有105107t−，因为1051105100.4177−−−=，所以两人约有0.41小时不能通话.22.已知函数()()()cos0fxx=的最小正周期

为.（1）求的值及函数()()34gxfxfx=−−的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若0,2A，()12fA=−，2a=，求bc+的取值范

围.【答案】（1）2=；511,1212kk++，kZ（2）(2,4【解析】【分析】（1）由2T==可得到，化简()2sin23gxx=−，结合正弦型函数单调性即可求解；（2）由（1）可得3A=，利用余弦定理和基本不等式可得bc+的最大值

，根据三角形三边关系可知bca+，即可求解.【小问1详解】因为最小正周期为，所以2T==，则2=，所以()cos2fxx=，则()cos23cos2sin23cos22sin223gxxxxxx=−−=−=−，所以

3222232kxk+−+，kZ，所以5111212kxk++，kZ，的所以()gx的单调减区间为：511,1212kk++，kZ【小问2详解】由（1），则()1cos22fAA==−

，因为0,2A，所以223A=，则3A=，因为2a=，由余弦定理有2222cosabcbcA=+−，即()243bcbc=+−，所以()2243432bcbcbc++=++，所以4bc+，当且仅当2bc==时等号成立，所以bc+的最大值为4，又2bc

a+=，所以(2,4bc+23.已知函数()fx和()gx的定义域分别为1D和2D，若对任意的01xD，都恰好存在n个不同的实数122,,,nxxxD，使得()()0igxfx=（其中*1,2,

,,Ninn=），则称()gx为()fx的“n重覆盖函数”.（1）判断下面两组函数中，()gx是否为()fx的“n重覆盖函数”，并说明理由；①()()cos04gxxx=，()()11fxxx=−，“4

重覆盖函数”；②()()22gxxx=−，()()1sinfxxxR=+，“2重覆盖函数”；（2）若()1sinxgxx−=，()0,x+为()1fxx=，(),xst()0st的“9重覆盖函数”，求ts−的最大值.【答案】（1）①是，理由见解析；②不是，理由见解析；（2

）1【解析】【分析】（1）①：根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可；②：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即可；（2）利用正弦型函数的性质，结合反比例函数的性质进行求解即可.【小问1详解】①：当11x−时，()11fx−，根

据余弦函数的图象可知，()gx是()fx“4重覆盖函数”；②：由1sin1x−可知：()02fx，函数()()22gxxx=−的图象如下图所示：当3π2x=时，3π3π1sin022f=+=，当()00gxxx===，所以()gx不是()fx的“2重覆盖函数

”；【小问2详解】因为(),xst，所以()11fxts，因为0sin1x，所以当()0,x+时，()0gx，当1(0,]2x时，()1sin1sinπxxgxxx−−==，函数1sinπyx=−和函数1yx=都是单调递

减函数，故该函数单调递减，的当1(,1]2x时，()1sin1sinπxxgxxx−−==，函数1sinπyx=−是单调递增函数，函数1yx=是单调递减函数，而函数1sinπyx=−递增的速度快于函数1yx=递减的速度，

所以函数单调递增，而函数1sinπyx=−的最小正周期为：12π12π=，因此函数()1sinxgxx−=，()0,x+的图象如下图所示：因此要想()1sinxgxx−=，()0,x+为()1fxx=，(),xst()0st的“9重覆盖函数”，

只需()()111444411115555gsssststtgtt−−−，所以ts−的最大值1.【点睛】关键点睛：根据函数的单调性结合函数图象是

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