【文档说明】黑龙江省大庆市大庆中学2022-2023学年高二下学期开学考试 数学 含解析.docx，共(9)页，703.376 KB，由小赞的店铺上传

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大庆中学2022--2023学年度下学期开学初考试高二年级数学试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题60分）一、单

项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。）1．椭圆2211625+=xy的焦点坐标是（）A．(0,3),(0,3)−B．(3,0),(3,0)−C．(0,5

),(0,5)−D．(4,0),(4,0)−【答案】A【分析】根据椭圆的标准方程即可得到答案.【详解】因为椭圆2211625+=xy，225a=，216b=，焦点在y轴，所以25163c=−=，焦点坐标为(0,3),(0,3)−.故选：A2．数列2,22,222,2222,的一个通项公式是（）

A．()21019n−B．101n−C．()2101n−D．108n−【答案】A【分析】利用999与10n的关系确定9,99,999,9999,的通项，然后得出题设结论．【详解】先写出9,99,999,9999,的通项是101n−，数列2,22,22

2,2222,的通项公式是()21019nna=−．故选：A．3．已知圆22210xyx+−−=，则其圆心和半径分别为（）A．()1,0,2B．()1,0,2−C．()1,0,2D．()1,0,2−3．C【分析】将圆的一般

式化为标准式，然后求圆心和半径即可.【详解】圆的方程可整理为()2212xy−+=，所以圆心为()1,0，半径为2.故选：C.4．在等差数列na中，若285,23aa==，则5a等于（）A．13B．14C．15D．16【详解】在等差数列na中，若285,23a

a==,则285552,228,14aaaaa===+，故选：B5．若两直线()1:1320laxy−−−=与()2:120lxay−++=平行，则a的值为()A．2B．2C．2−D．0由题意知：(1)(1)(3)10aa−+−−−=，整理得240a−=，∴2a=，故选：A6．若等差数

列na满足7897100,0aaaaa+++，则当na的前n项和的最大时，n的值为（）A．7B．8C．9D．8或9【答案】B【解析】因为789830aaaa++=，所以80a，因为710890aaaa+=+，所以90a，所以当na的前n项和的最大时

，n的值为8.故选：B.7．已知点(2,3)P−在双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线上，则双曲线的离心率为（）A．733B．2C．3D．727．D【分析】将P点坐标代入渐近线方程，求出a与b的关系，再根据222c

ab=+求出离心率.【详解】渐近线方程为：byxa=，由于P点坐标在第二象限，选用byxa=−，将P点坐标代入得：()332,2bbaa=−−=，又22222222223777,,,4442ccabcaaaeea=+=+====；故选：D.8．已知抛物线

28yx=，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则PFPA+的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】如图，作PQ，AN与准线x=-2垂直，垂足分别为Q，N，则|PQ|=|PF|，|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|

AN|=6，当且仅当Q，P，A三点共线即P到M重合时等号成立．故答案为：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部答对得5分，部分答对得2分，有选错给0分。）9．关于直线l：310xy－－

＝，下列说法正确的有()．A．过点(，－2)B．斜率为C．倾斜角为60°D．在y轴上的截距为1【答案】BC【解析】对于A，将(，－2)代入l：310xy－－＝，可知不满足方程，故A不正确；对于B，由310xy－－＝，可得31yx＝－，所以k

＝3，故B正确；对于C，由，即tan3＝，可得直线倾斜角为60°，故C正确；对于D，由310xy－－＝，可得31yx＝－，直线在y轴上的截距为－1，故D不正确.故选BC.10．已知正项等比数列na中12a=，5342aaa−=，设其公比为q，前

n项和为nS，则（）A．2q=B．2nna=C．102047S=D．12nnnaaa+++【答案】ABD【解析】因为5342aaa−=，所以4231112aqaqaq−=，即220qq−−=，解得2q=或

1q=−，又0q，所以2q=，所以A正确；数列na的通项公式为112nnnaaq−==，所以B正确；()10111021222204612S−==−=−，所以C不正确；由2nna=，得112232nnnnnaa+++=

+=，22242nnna++==，所以12nnnaaa+++，所以D正确．故选:ABD11.已知双曲线2222:1(0)xyMabab−=的焦距为4，两条渐近线的夹角为60，则下列说法正确的是（）A．M的离心率为233B．M的标准方程为2213y

x−=C．M的渐近线方程为33yx=D．直线20xy+−=经过M的一个焦点11．ACD【分析】根据题意，过一三象限的渐近线的斜率为3或33两种情况，根据0ab可求得双曲线方程，再逐个辨析即可3333k=【详解】根

据题意双曲线2222:1(0)xyMabab−=的焦距为4，两条渐近线的夹角为60，有2224abc+==，①，双曲线的两条渐近线的夹角为60，则过一三象限的渐近线的斜率为3或33，即3ba=或33

ba=，②联立①②可得：21a=，23b=，24c=或23a=，21b=，24c=；因为ab，所以23a=，21b=，24c=，故双曲线的方程为2213xy−=对A，则离心率为42333=，故A正确.对B

，双曲线的方程为2213xy−=，故B错误；对C，渐近线方程为33yx=，故C正确；对D，直线20xy+−=经过M的一个焦点(2,0)，所以D正确.故选：ACD12．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有()．A．公共弦AB所在直线方程为x－

y＝0B．线段AB中垂线方程为x＋y－1＝0C．公共弦AB的长为D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为212＋【答案】ABD【解析】对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－

4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确．对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，AB＝1则线段AB中垂线斜率为－1，即线段AB中垂线方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可

得x＋y－1＝0，故B正确．对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1，0)到x－y＝0的距离为22102211d－＝＝＋(－)∣∣，半径r＝1，所以222122AB－∣＝＝∣，故C不正确．

对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到x－y＝0的距离为22d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为212＋，故D正确．故选ABD．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案

填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效。）13．若曲线24yx=上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______.【答案】3【分析】根据抛物线定义，可得点P到抛物线准线1x=−的距离，进而即得.【详解】因为点P到焦点的距离为4，所以点P到抛物线准线1x=−的距离为4，所以点P

到y轴的距离为3.故答案为：3.14．在正项等比数列na中，48128aaa=，=142aa则______.【答案】4【解析】在正项等比数列na中，48128aaa=，所以3481288aaaa=

=，所以82a=，241284aaa==，15．以()11,0F−为焦点的椭圆()222103xyaa+=上有一动点M，则1MF的最大值为___________.【详解】因为()11,0F−为椭圆()222103xyaa+=的焦点，所以23

a，1,3cb==，所以由()22222222134abcacb−==+=+=，所以椭圆的标准方程为：22143xy+=，如图所示：22因为()11,0F−为椭圆的左焦点，M为椭圆上的动点，故当M处于右顶点A时1M

F最大，且最大值为1213MFac=+=+=，故答案为：3.16．数列na满足11a=，()*13Nnnaann++=，则2020a=___________.16．3029【分析】由题可得23nnaa+−=，进而可得na的偶数项构成等差数列，然后根据通项公式即得.【详解】

因为()*13Nnnaann++=，11a=，所以123aa+=，22a=，由13nnaan++=，可得()1231nnaan+++=+，所以23nnaa+−=，所以na的偶数项构成等差数列，首项为2，公差为3，∴2020210093230273029aa=+

=+=.故答案为：3029.四、解答题(共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知等差数列{}na的前n项和为nS，36a=，且312S=.(1)求数列{}na的通项公式；(2)令11nnnc

aa+=，求数列{}nc的前n项和nT.【答案】(1)2nan=(2)44nnTn=+【解析】（1）因为312S=，所以()1322331322,4aaSaa=+===，又36a=，则等差数列{}na的公差642d=−=又

1422a=−=，所以数列{}na的通项公式2(1)22nann=+−=.（2）因为1111()2(22)41ncnnnn==−++，所以1211111111(1)(1)422314144nnnTcccnnnn=+++=−+−++−=−=+++.18．已知抛物线2:2(0

)Cypxp=过点(2,4)A−−．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60的直线，交抛物线于A、B两点，求线段AB的长度．18．(1)28yx=−，2x=(2)323【分析】（1）将A点代入抛物线方程即可求得C的方程，由抛物线方程可得准线方程；（

2）设():32AByx=+，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果.【详解】（1）()220ypxp=过点()2,4A−−，416p−=，解得：4p=−，抛物线2:8Cyx=−，准线方程为：2x=（2）由（1）知：抛物线焦点为()2,0−，

因为直线倾斜角为60，所以设直线():32AByx=+，()11,Axy，()22,Bxy，由()2328yxyx=+=−得：2320120xx++=，12203xx+=−，122032433ABxxp=++=

−−=.19．已知等差数列na的前n项和为nS，等比数列nb的前n项和为nT．若113ab==，42ab=，4212ST−=．（1）求数列na与nb的通项公式；（2）求数列nnab+的前n项和．．【答

案】（1）21,3nnnanb=+=；（2）()331(2)2nnn−++.【解析】（1）由11ab=，42ab=，则4212341223()()12STaaaabbaa−=+++−+=+=设等差数列na的公差为d，则231236312aaadd+=+=+=，所以2d=.所以32(

1)21nann=+−=+设等比数列nb的公比为q，由题249ba==，即2139bbqq===，所以3q=.所以3nnb=；（2）(21)3nnnabn+=++，所以nnab+的前n项和为1212()()nnaaabbb+++++++2(3521)(

333)nn=++++++++(321)3(13)213nnn++−=+−3(31)(2)2nnn−=++.20．如图，已知四棱锥VABCD−的底面是矩形，VD⊥平面,222,,,ABCDABADVDEFG===分别是棱,,A

BVCCD的中点．(1)求证：EF∥平面VAD；(2)求平面AVE与平面VEG夹角的大小20．(1)证明见详解；(2)π3【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD的法向量，然后EF与法向量垂直可证

；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE与平面VEG夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系，()()()()()()1000,100,0,0,1110,020,010,012DAVECGF，，，，，，，，，，，，，()()100,001DADV==，，，，

，设平面VAD的法向量为()=,,,nabc所以0,0DAnaDVnc====不妨取()=0,1,0,n又111,0,,100100,22EFEFn=−=−++=又EF平面VAD，EF∥平面VAD；（2）由（1）

知：()()()()0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AEAVGEGV==−==−,设平面AVE的法向量为()1=,,nxyz，平面VEG的法向量()2=,,npqr所以110,0AEnyAVnxz===−+=不妨取()1=

1,0,1;n同理220,0GEnpGVnqr===−=不妨取()2=0,1,1;n设平面AVE与平面VEG夹角为π,0,2所以12222211πcoscos,,.231111nn====++21．已知圆P过两点M(0，2

)，N(3，1)，且圆心P在直线y＝x上．(1)求圆P的方程；(2)过点Q(－1，2)的直线交圆P于A，B两点，当｜AB｜＝23时，求直线AB的方程．【答案】(1)x2＋y2＝4(2)3x＋4y－5＝0或x＝

－1．【解析】(1)因为圆P过点M(0，2)，N(3，1)，所以线段MN的中垂线也过圆心，线段MN的中点为3322，，直线MN的斜率为33＝－k，得线段MN的中垂线方程为33322yx－＝－，即3yx＝．所以圆心坐标为(0，0)，得圆P的方程为x

2＋y2＝4．(2)由｜AB｜＝23，根据垂径定理，可得圆心(0，0)到直线AB的距离2212drAB＝－＝．若直线斜率存在，可设直线AB方程为y－2＝k(x＋1)，由2211d＋＝＋＝kk，解得34＝－k，得直线方程为3x＋4y－5＝0；若直线斜率

不存在，则直线方程为x＝－1，符合条件．综上，所求直线方程为3x＋4y－5＝0或x＝－1．22．已知椭圆C：()222210xyabab+=的右焦点和上顶点均在直线30xy+−=上.(1)求椭圆C的方程；(2)已知

点()2,1A，若过点()3,0B的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.直线AM和直线AN的斜率分别为1k和2k，求证：12kk+为定值.22．(1)22163xy+=，(2)证明见解析.【分析】（1）求出直线与

坐标轴的交点，可得椭圆的右焦点和上顶点，从而可求出,cb，再由222abc=+求出2a，进而可得椭圆方程，（2）设直线方程为1122(3),(,),(,)ykxMxyNxy=−，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用根与系数的关系，然后表示出1k和

2k，再计算12kk+即可.【详解】（1）对于直线30xy+−=，当=0x时，3y=，当=0y时，3x=，因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线30xy+−=上，所以3,3bc==，所以2226abc=+=，所以

椭圆方程为22163xy+=，（2）因为()3,0B在椭圆外，过点()3,0B的直线l与椭圆C交于不同的两点，所以直线l的斜率一定存在，所以设直线l方程为(3)ykx=−，设1122(,),(,)MxyNxy，由22=

(3)+=163ykxxy−，得2222(12)121860kxkxk+−+−=，42221444(12)(186)24240kkkk=−+−=−+，得11k−，2212122212186,1212kkxxxxkk−+==++，因为1111113122AMykxkkkxx−−

−===−−，2222213122ANykxkkkxx−−−===−−，所以121212313122kxkkxkkkxx−−−−+=+−−122112(31)(2)(31)(2)(2)(2)kxkxkxkxxx−−−+−−−=−−1

212121212[25()12]()42()4kxxxxxxxxxx−++−++=−++22222222221861212[2512]412121218612241212kkkkkkkkkkk−−+−++++=−−+++2244222k

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