【文档说明】山东省枣庄市第八中学2023-2024学年高二上学期10月月考试题+数学+含解析.docx，共(26)页，2.102 MB，由小赞的店铺上传

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枣庄八中东校高二年级10月月考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）2023.10一、单项选择题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线320xy++=的倾斜角是（）A.6B.3C

.23D.562.已知向量(2,3,0)a=−，(0,3,4)b=，则向量a在向量b方向上的投影向量为（）A.913a−B.913aC.925bD.925b−3.已知⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线3230xy−+=截得的弦长为6

，则⊙O的方程为（）A224xy+=B.228xy+=C.2212xy+=D.2216xy+=4.已知直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，若()1,0,1a=−，()1,0,1n=，则直线l与平面（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.平行或在平面内5.对于圆()()()222

0xaybrr−+−=上任意一点(),Pxy，()xymxynmn−++−+的值与x，y无关，则当42mn−=时，r的最大值是（）A12B.1C.2D.46.如图，在三棱锥−PABC中，PAC△是边长为3的正三角形，M是AB上一点，

12AMMB=，D为BC的中点，N为PD上一点且23PNPD=，则MN=（）..A.5B.3C.5D.37.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以

眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则

该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A.1.8cmB.2.5cmC.3.2cmD.3.9cm8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比()0,1MQMP=，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已

知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221xy+=，定点Q为x轴上一点，1,02P−且2=，若点()1,1B，则2MPMB+的最小值为（）A6B.7C.10D.11二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选

对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知直线l过点()1,1，下列说法正确的是（）.A.若直线l的倾斜角为90，则方程为1x=B.若直线l在两坐标轴上的截距相等，则方程为20xy+−=C.

直线l与圆：223xy+=始终相交D.若直线l和以()()3,3,1,3MN−−−为端点的线段有公共点，则直线l的斜率)1,2,2k−−+10.已知圆()22:420Cxyxymm+−++=R，下列说法正确的是

（）A.若圆C的半径为1，则4m=B.若圆C不经过第二象限，则0mC.若直线:30lxaya++=恒经过的定点A在圆内，则当l被圆截得的弦最短时，其方程为30xy−−=D.若4m=−，过点()4,3P作圆的两条切线，切点分别为,MN，则直线MN的

方程为2490xy+−=11.已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A.若//ab，//bc，则//acB.若a，b，c两两共面，则a，b，c共面C.对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得pxaybzc=++D.若abc，，是空间的一组基底，则abbcc

a+++，，也是空间的一组基底12.在正方体1111ABCDABCD−中，EF、分别为线段111,BDBC上的动点，则下列结论正确的是（）A.1DB⊥平面1ACDB.直线AE与平面11BBDD所成角正弦值为定值13C.平面11ACB平面1ACDD.点F

到平面1ACD的距离为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.试写出一个点C的坐标：__________，使之与点()110A−，，，()101B−，，三点共线．1

4.已知a､b是空间相互垂直的单位向量，且5c=，22cacb==，则cmanb−−的最小值是___________.15.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知ABC的顶点()()

()3,0,3,0,3,3ABC−，若直线():390laxay+−−=与ABC的欧拉线平行，则实数a的值为________．的16.一曲线族的包络线（Envelope）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族

中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆1C：221xy+=是直线族()10,axbyabR+−=的包络线，则a，b满足的关系式为___________；若曲线2C是直线族()()212240txtyttR−+−−=的包络线

，则2C的长为___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知向量(2,1,2)=−−a，(1,1,2)b=−，(,2,2)x=c.（Ⅰ）当||22c=时

，若向量kab+与c垂直，求实数x和k的值；（Ⅱ）若向量c与向量a，b共面，求实数x的值.18.已知直线l经过点()2,1P，且与x轴､y轴的正半轴交于,AB两点，O是坐标原点，若满足__________.（1）求直线

l的一般式方程；（2）已知点()3,1,MQ−为直线l上一动点，求MQOQ+最小值.试从①直线l的方向向量为()2,1v=−；②直线l经过2380xy+−=与40xy−−=的交点；③AOB的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选

择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分.19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD正方形，PD⊥平面ABCD，2PDAB==，E、F分别是PC、AD中点．（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；（2）求点E到平面PBF的距离

．20.在平面直角坐标系中，已知圆心C在直线20xy−=上的圆C经过点()4,0A，但不经过坐标原点，并且直线430xy−=与圆C相交所得的弦长为4.是（1）求圆C的一般方程；（2）若从点()4,1M−发

出的光线经过x轴反射，反射光线刚好通过圆C的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.21.如图，直三棱柱111ABCABC-中，ABC是边长为2的正三角形，O为AB的中点．（1）证明：CO⊥平面11ABBA；（2）若直线1BC与平面11ABBA所成的角的正切值为155，求平面1

1ABC与平面1ABC夹角的余弦值．22.已知AMN的三个顶点分别为()3,0A，()0,1M，()0,9N，动点P满足3PNPM=．（1）求动点P的轨迹T的方程；（2）若B，C为（1）中曲线T上的两个动点，D为曲线()()22143xyx++=−

上的动点，且ADABAC=+，试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．枣庄八中东校高二年级10月月考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）2023.10一、单项选择题（本大题共8小题，共40分

．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线320xy++=的倾斜角是（）A.6B.3C.23D.56【答案】D【解析】【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.【详解】由题意，直线的斜率为33k=−，设直线的倾斜角为()0，即35πtan3

6=−=.故选：D.2.已知向量(2,3,0)a=−，(0,3,4)b=，则向量a在向量b方向上的投影向量为（）A.913a−B.913aC.925bD.925b−【答案】D【解析】【分析】根据投影向量的定义求解即可

.【详解】依题意，向量a在向量b方向上的投影向量为：2222229925||||034034abbbbbb→−−==++++，故选：D3.已知⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线3230xy−+=截得的弦长为6，则⊙O的方程为（）A.224xy+=B.228xy+=C.2212xy+=D.2

216xy+=【答案】C【解析】【分析】结合点到直线距离公式求出弦心距，再由勾股定理求出半径，即可得解.【详解】∵⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线3230xy−+=截得的弦长为6，设⊙O的方程为x2+y2=r2，则弦心距为

()222|0023|63,3213dr−+==+=+，解得r2=12，可得圆的标准方程为x2+y2=12.故选：C.4.已知直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，若()1,0,1a=−，()1,0,1n=，则直线l与平面

（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.平行或在平面内【答案】D【解析】【分析】计算an结果，从而可判断.【详解】因为1100110an=−++=，所以an⊥，所以直线l与平面平行或在平面内.故选：D.5.对

于圆()()()2220xaybrr−+−=上任意一点(),Pxy，()xymxynmn−++−+的值与x，y无关，则当42mn−=时，r的最大值是（）A.12B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】根据点到直线的距离公式可得到x

ymxyn−++−+表示点(),Pxy到直线0xym−+=和直线0xyn−+=的距离和的2倍，从而可得出当42mn−=时，r的最大值是两平行线间距离的一半.【详解】因为222xymxynxymxyn−+−+−++−+=+，所以xymxyn−++−+表示点(),Pxy

到直线0xym−+=和直线0xyn−+=的距离和的2倍.的所以要使xymxyn−++−+的值与x，y无关，需圆心到两直线的距离都大于等于半径，又因为42mn−=，所以两平行线0xym−+=和0xyn−+=之间的距离为42mn−=，所以r的最大值是2.故选：C.6.如图，在三棱锥−

PABC中，PAC△是边长为3的正三角形，M是AB上一点，12AMMB=，D为BC的中点，N为PD上一点且23PNPD=，则MN=（）A.5B.3C.5D.3【答案】D【解析】【分析】以,,PAPBPC为一组基底，表示MN求解

.【详解】解：以,,PAPBPC为一组基底，则22MNANAM=−，213PNPAAB=−−，2211333PDPAPBPA=−−+，211113333PBPCPAPBPA=+−−+，21233PCPA=−，22144999PCPCPAPA=−+，14

4933cos6093999=−+=，所以3MN=.故选：D7.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为

单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A.1.8cmB.2.5cmC.3

.2cmD.3.9cm【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建

立平面直角坐标系，则1,42A，3,22B−，所以4211322ABk−==−−，利用点斜式方程可得到直线AB：322yx−=+，整理为2270xy−+=，所以原点O到直线AB距离为()7722.5cm444d==+，故选:B8.阿波罗尼斯是古希腊著名的

数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比()0,1MQMP=，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221xy+=，定点Q为x轴上一点，1,02P−

且2=，若点()1,1B，则2MPMB+的最小值为（）A.6B.7C.10D.11【答案】C【解析】【分析】根据点M的轨迹方程可得()2,0Q−，结合条件可得2MPMBMQMBQB+=+，即得.【

详解】设(),0Qa，(),Mxy，所以()22=−+MQxay，又1,02P−，所以2212MPxy=++．因为MQMP=且2=，所以()2222212−+=++xayxy，整理可得22242133+−++=aaxyx，又动点M的轨

迹是221xy+=，所以24203113aa+=−=，解得2a=−，所以()2,0Q−，又2MQMP=，所以2MPMBMQMB+=+，因为()1,1B，所以2MPMB+的最小值为()()22121010=++−=

BQ．故选：C．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知直线l过点()1,1，下列说法正确的是（）A.若直线l的倾斜角为90，则方程为

1x=B.若直线l在两坐标轴上的截距相等，则方程为20xy+−=C.直线l与圆：223xy+=始终相交D.若直线l和以()()3,3,1,3MN−−−为端点的线段有公共点，则直线l的斜率)1,2,2k−−+【答案】AC【解析】【分析】

根据直线方程的形式，可判定A正确，截距的定义，分类讨论，可判定B错误；根据点与圆的位置关系，可判定C正确；根据直线的位置关系和斜率公式，可判定D错误.【详解】对于A中，当直线l的倾斜角为90，则过点()1,1的直线方程为1x=，所以A正确；对于B中，当直线l过原点时，过点()1,1直线

方程为yx=，此时在坐标轴上的截距相等；当直线不过原点时，设所求直线方程为1xyaa+=，将点()1,1代入方程，求得2a=，此时直线方程为20xy+−=，所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为yx=或2

0xy+−=，所以B错误；对于C中，由22113+，可得点()1,1在圆223xy+=内，所以直线与圆：223xy+=始终相交，所以C正确；对于D中，根据题意，设()1,1P，可得1,22PMPNkk=−=，要使得直线l和以()()3,3,1,3MN−−−为端点的线段有公共点，如图所示，

则满足122lk−，所以D错误.故选：AC.的10.已知圆()22:420Cxyxymm+−++=R，下列说法正确的是（）A.若圆C的半径为1，则4m=B.若圆C不经过第二象限，则0mC.若直线:30lxay

a++=恒经过的定点A在圆内，则当l被圆截得的弦最短时，其方程为30xy−−=D.若4m=−，过点()4,3P作圆的两条切线，切点分别为,MN，则直线MN的方程为2490xy+−=【答案】AD【解析】【分析】圆的方程化为标准方程可判断A，根据点到圆心的距离判断B，由直线所过定点及定

点与圆心连线与直线垂直判断C，根据切点写出切线方程，再由曲线与方程的关系得出切点弦所在直线方程判断D.【详解】圆的标准方程为22(2)(1)5xym−++=−.对于A，若圆C的半径为1，则51m−=，即4m=，故

A正确；对于B，因为圆心()2,1C−在第四象限，所以若圆不经过第二象限，则原点不在圆内，则222(1)5m+−−，即0m，故B错误；对于C，直线:30lxaya++=恒经过定点()0,3A−，当l被圆截得的弦最短时，lAC⊥，因为AC的斜率为1，所以l的斜率

为1−，其方程为30xy++=，故C错误；对于D，当4m=−时，圆的方程为22(2)(1)9xy−++=，其半径3R=，设切点()()1122,,,MxyNxy，则直线,PMPN的方程分别为()()()()()()()()1122

22119,22119xxyyxxyy−−+++=−−+++=，因为点()4,3P在切线,PMPN上，所以()()()()()()()()11222421319,2421319xyxy−−+++=−−+++=，即11222490,2490xyxy+−=+−=，所以直线MN

的方程为2490xy+−=，故D正确.故选：AD11.已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A.若//ab，//bc，则//acB.若a，b，c两两共面，则a，b，c共面C.对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得pxaybzc=++D.若abc，，是空间的一

组基底，则abbcca+++，，也是空间的一组基底【答案】AD【解析】【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.【解答】解：a，b，c是空间的三个单位向量，由//ab，//bc，则//ac，故A正确；a，b，c两两共

面，但是a，b，c不一定共面，a，b，c可能两两垂直，故B错误；由空间向量基本定理，可知只有当a，b，c不共面，才能作为基底，才能得到pxaybzc=++，故C错误；若abc，，是空间一组基底，则a，b，c不共面，可知abbcca++

+，，也不共面，所以abbcca+++，，也是空间的一组基底，故D正确．故选：AD.12.在正方体1111ABCDABCD−中，EF、分别为线段111,BDBC上的动点，则下列结论正确的是（）A.1DB⊥平面1ACDB.直线AE与平面11BBDD所成角的正弦值为定值13C.平面11ACB平

面1ACDD.点F到平面1ACD的距离为定值【答案】ACD【解析】【分析】设正方体1111ABCDABCD−边长为a，以A为坐标原点，1,,ABADAA为,,xyz轴建立坐标系，利用空间向量法对各选项逐一判断即可.的【详解】设正方体1111ABCDABC

D−边长为a()0a，以A为坐标原点，1,,ABADAA为,,xyz轴建立如图所示坐标系，选项A：()0,,0Da，()1,0,Baa，(),,0Caa，()10,,Daa，则()1,,DBaaa=−，(),,0ACaa=，()10,,ADaa=，设平面1ACD的法向量()111,

,xnyz=，则1111100nACaxaynADayaz=+==+=，取11x=可得平面1ACD的一个法向量()1,1,1n=−，因为1DBan=，所以1DB⊥平面1ACD，A正确；选项B：设(),,Ebaba−()0ba，则(),,AEbaba=−，由正

方体的性质可知(),,0ACaa=为平面11BBDD的一个法向量，设直线AE与平面11BBDD所成角为，则()()2222222sincos,2AEACabaabaAEACAEACababbabaaa+−====+−+−++不是定值，B错误；选项C：()10,0,A

a，()1,,Caaa，(),0,0Ba，则()11,,0ACaa=，()1,0,ABaa=−，设平面11ACB的法向量()222,,mxyz=，则112212200mACaxaymABaxaz=+=

=−=，取21x=可得平面11ACB的一个法向量()1,1,1m=−，因为mn=，所以平面11ACB平面1ACD，C正确；选项D：设(),,Facc()0ca，则(),,AFacc=，则点

F到平面1ACD的距离()22233111AFnaccdan−+===+−+是定值，D正确；故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.试写出一个点C的坐标：__________，使之与点()110A−，，，()101B−，，三点

共线．【答案】11122−，，（答案不唯一）【解析】【分析】设出点C的坐标，利用空间向量共线得到()()0,1,11,1,xyz−=+−，求出11xyz=−+=，，写出一个符合要求的即可.【详解】根据题意可得

，设()Cxyz，，，则设ABAC=，即()()0,1,11,1,xyz−=+−故11xyz=−+=，，不妨令12y=，则12z=，故11122C−，，．故答案为：11122−，，14.已知a､b是空间相互垂直的单位向量，且5c=，22cacb==，则cmanb−

−的最小值是___________.【答案】3【解析】【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到()()22222229cmanbmn−−=−+−+，求出2cmanb−−最小值，进而求出答案.【详解】因为,a

b互相垂直，所以0ab=，222222222amanbcmanbmacnbcmnab−−=++−−+()()222225424222229mnmnmn=++−−=−+−+，当且仅当22mn==时，2cmanb−−取得最小值，最小

值为9，则cmanb−−的最小值为3.故答案为：315.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知ABC的顶点()()()3,0,

3,0,3,3ABC−，若直线():390laxay+−−=与ABC的欧拉线平行，则实数a的值为________．【答案】3−【解析】【分析】根据题意，求得ABC的重心和外心，进而求得ABC的欧拉线的方程，结合两直线平行，即可求解.【详解】由ABC的顶点为()(

)()3,0,3,0,3,3ABC−，可得ABC的重心为333003(,)33G−++−++，即为(1,1)G，由ABC为直角三角形，所以外心在斜边的中点3303(,)22O−++，即3(0,)2O，可得三角形的欧拉线方程为230xy

+−=，因为直线():390laxay+−−=与230xy+−=平行，可得39123aa−−=−，解得3a=−.故答案为：3−.16.一曲线族的包络线（Envelope）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族

中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆1C：221xy+=是直线族()10,axbyabR+−=的包络线，则a，b满足的关系式为___________；若曲线2C是直线族()()212240txtyttR−+−−=的包络线，则2C的长为________

___.【答案】①.221ab+=②.4.【解析】【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，分析方程，即可求解.【详解】由题意，若圆1C：221xy+=是直线族()10,axbyabR+−=的包络线，可得2211ab=+，可得221ab+=；又由曲线2C是直线

族()()212240txtyttR−+−−=的包络线，可得()222141xtytxt−+−+−+为定值r，则()2104yxx−=−=−，可得21xy==，此时2r=，所以曲线2C的方程

为()()22214xy−+−=，所以曲线2C的周长为4.故答案为：221ab+=；4.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知向量(2,1,2)=−−a，(1,1,2)b=−，(,2,2)x=c.（Ⅰ）当||22c=时，若向量kab+与c

垂直，求实数x和k的值；（Ⅱ）若向量c与向量a，b共面，求实数x的值.【答案】（Ⅰ）实数x和k的值分别为0和3−.（Ⅱ）12−【解析】【分析】(Ⅰ)根据||22c=可求得0x=,再根据垂直的数量积为0求解k即可.(Ⅱ)根据共面有cab=+rrr,再求解对应的系数相等关

系求解即可.【详解】解：(Ⅰ)因为||22c=,所以22222220xx++==.且kab=+(21,1,22)kkk−−−+.因为向量kab+与c垂直,所以()0kabc=+即260k+=.所以实数x和k的值

分别为0和3−.(Ⅱ)因为向量c与向量a，b共面,所以设cab=+rrr（,R）.因为(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x=−−+−,2,2,222,x=−−=−=+所以1,21,23.2x=−=−=

所以实数x的值为12−..【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.18.已知直线l经过点()2,1P，且与x轴､y轴的正半轴交于,AB两点，O是

坐标原点，若满足__________.（1）求直线l的一般式方程；（2）已知点()3,1,MQ−为直线l上一动点，求MQOQ+最小值.试从①直线l的方向向量为()2,1v=−；②直线l经过2380xy+−=与40xy−−=的交点；③AOB的面积是4，这三个条件

中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）240xy+−=（2）26【解析】【分析】（1）利用三种不同的条件，求出直线l的斜率，得出直线的点斜式方程，在转化为一

般式即可.（2）设点()3,1M−关于直线l的对称点为(),Mab，利用中点坐标在直线上和两直线垂直斜率之积为1−，列出方程组求出对称点的坐标，利用对称即可求得最短距离.【小问1详解】解：若选①，由直线l的方向向量为()2,1v=−得，直

线l的斜率为12−，所以直线l的方程为()1122yx−=−−，所以直线l的一般式方程为240xy+−=.若选②，直线l经过2380xy+−=与40xy−−=的交点，联立238040xyxy+−=−−=，解得40xy==，所以交点坐标为()4,0，直线l的斜率

为101242−=−−，所以直线l的方程为()1122yx−=−−，所以直线l的一般式方程为240xy+−=.若选③，由题意设直线l的方程为()12(0)ykxk−=−，则()12,0,0,12AkBk−−1111224,,22ABCSkkk=−−==−解

得所以直线l的一般式方程为240xy+−=.【小问2详解】解：设点()3,1M−关于直线l的对称点为(),Mab，由题意得，312402211123abba−++−=−−=−+，解

得15ab=−=，所以()1,5M−，26.MQOQMO+=的最小值为19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，2PDAB==，E、F分别是PC、AD中点．（1）求直线DE和PF夹角余弦值；（2）求点E到平面PBF的距离．【答案】（1）105；（

2）63.【解析】【分析】（1）根据给定条件，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.（2）由（1）求出平面PBF的法向量，利用空间向量即可求出点E到平面PBF的距离.的【小问1详解】因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，如图，以点D为

原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则()()()()()0,0,0,000,1,1,1,0,0,2,2,2,0EFBDP,,，则直线DE的方向向量()0,1,1DE=，直线PF的方向向量()1,0,2PF=−，210cos,5||||25DEPFDE

PFDEPF−===−，所以直线DE和PF夹角的余弦值为105.【小问2详解】由（1）知，()2,2,2PB=−，()1,2,0FB=，()0,1,1EP=−，设平面PBF的法向量(),,nxyz=，则222020PBnxyzFBnx

y=+−==+=，令1y=−，得()2,1,1n=−，所以点E到平面PBF的距离为||263||6EPndn===.20.在平面直角坐标系中，已知圆心C在直线20xy−=上的圆C经过点()4,0A，但不经过坐标

原点，并且直线430xy−=与圆C相交所得的弦长为4.（1）求圆C的一般方程；（2）若从点()4,1M−发出的光线经过x轴反射，反射光线刚好通过圆C的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.【答案】（1）

22126320xyxy+−−+=（2）2530xy−+=【解析】【分析】（1）设圆()()222:Cxaybr−+−=，根据圆心C在直线20xy−=上，圆C经过点()4,0A，并且直线430xy−=与圆C相交所

得的弦长为4，列出关于,,abr的方程组，解出,,abr的值，可得圆的标准方程，再化为一般方程即可；（2）点()4,1M−关于x轴的对称点()4,1N−−，反射光线所在的直线即为NC，又因为()63C，，利用两点式可得反射光线所在的直线方程，再化为一般式即可.【小问1详解】设圆()()222:

Cxaybr−+−=，因为圆心C在直线20xy−=上，所以有：20ab−=，又因为圆C经过点()4,0A，所以有：()2224abr−+=，而圆心到直线430xy−=的距离为()224343543ababd−−==+−，由弦长为

4，我们有弦心距222dr=−，所以有224325abr−=−，联立成方程组解得：215abr===或6313abr===，又因为()()22215xy−+−=通过了坐标原点，所以215a

br===舍去.所以所求圆的方程为：()()226313xy−+−=，化为一般方程为：22126320xyxy+−−+=.【小问2详解】点()4,1M−关于x轴的对称点()4,1N−−，反射光线所在的直线即为NC，又因为()63C，，所以反射光线所在的

直线方程为：131464yx++=++，所以反射光线所在的直线方程的一般式为：2530xy−+=.21.如图，直三棱柱111ABCABC-中，ABC是边长为2的正三角形，O为AB的中点．（1）证明：CO⊥平面11ABBA；（

2）若直线1BC与平面11ABBA所成的角的正切值为155，求平面11ABC与平面1ABC夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）57．【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）连接1OB，由（1）知CO⊥平面11ABBA，又直线1BC

与平面11ABBA所成的角的正切值为155，可得12BB=，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．【详解】（1）ABC是正三角形，O为AB的中点，COAB⊥．又111ABCABC−是直三棱柱，1AA⊥平面A

BC，1AACO⊥．又1ABAAA=，CO⊥平面11ABBA．（2）连接1OB，由（1）知CO⊥平面11ABBA，∴直线1BC与平面11ABBA所成的角为1CBO，115tan5CBO=．ABC是边长为2的正三角形，则3CO=，15OB=．在直角1BB

O中，1OB=，15OB=，12BB=．建立如图所示坐标系，则()1,0,0B，()1,0,0A−，()11,2,0A−，()11,2,0B，()10,2,3C．()12,2,0BA=−，()11,2,3BC=−，设平面11ABC的法向量为(),,mxyz=，则11·0·0mBAmBC=

=，即220230xyxyz−+=−++=，解得平面11ABC的法向量为()3,3,1m=−．()2,0,0AB=，()11,2,3AC=，设平面1ABC的法向量为(),,nxyz=，则1·0·0nABnAC==，即20230xxyz=++=，解得平面1

ABC的法向量为()0,3,2n=−．设平面11ABC与平面1ABC夹角为，则5cos7mnmn==．平面11ABC与平面1ABC夹角的余弦值为57．22.已知AMN的三个顶点分别为()3,0A，()0,1M，()0,9N，动点P满足3

PNPM=．（1）求动点P的轨迹T的方程；（2）若B，C为（1）中曲线T上的两个动点，D为曲线()()22143xyx++=−上的动点，且ADABAC=+，试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答

案】（1）229xy+=（2）是，-5【解析】【分析】（1）设(),Pxy，利用距离公式得到方程，整理即可得解；（2）设直线AB和直线AC的斜率之积为()0mm，设()11,Bxy，()22,Cxy，(

)00,Dxy，即可得到()()22212221233yymxx=−−，再由B，C为圆O：229xy+=上及ADABAC=+，消去参数得到关于m的方程，解得即可.【小问1详解】设(),Pxy，由3PNPM=则22223(1)(9)xyxy+−=+−，化简得动点P的轨迹T的方程为229xy+=．【小

问2详解】设直线AB和直线AC的斜率之积为()0mm，事实上，若0m=，则直线BC必过原点，从而D的坐标为()3,0−，不合题意，舍去．设()11,Bxy，()22,Cxy，()00,Dxy，则121233yymxx=−−，()()121233yymxx=−−①，则()()2221222123

3yymxx=−−，又B，C在圆O：229xy+=上，则22119xy+=，22229xy+=，所以()()()()2212222129933xxmxx−−=−−化简得：()()()()122123333xxmxx

++=−−，整理得()()2121223191mxxxxm+=+−−②，因为ADABAC=+，所以()()()1122003,3,3,xyxyxy−+−=−，从而()12123,Dxxyy+−+，又D为曲线22(1)4(3)yxx++=−的动点，所以

()()22121224yyxx+++−=展开得()()()222211221212122240xyxyxxyyxx+++++−+=，将①代入：()()()12121299233240mxxxxxx++−−+−+=，化简得：()1212(1)(23

)9(1)0mxxmxxm+−++++=，将②代入：()()()2121231(23)01mxxmxxm++−++=−，整理得：()12501mxxm++=−，因为1233xx+−−，所以120xx+，从而50m

+=，所以5m=−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com