【文档说明】浙江省杭州市七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(17)页，955.771 KB，由管理员店铺上传

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绝密★考试结束前2023学年第二学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高二年级数学学科试题命题：东阳二中考生须知：1.本卷共四页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及

准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､单选题（每小题5分共40分）1.若双曲线22221,(0,0)xyabab−=的离心率为3，则其渐近线的斜率为（）A.2B.

2C.22D.12【答案】B【解析】【分析】根据离心率，以及222cab=+，可得ba，可得结果.【详解】由题可知：3ca=，则223ca=又222cab=+，所以2ba=双曲线22221xyab−=的渐近线方程为：byxa=所以可知渐近线的斜率为2故选：B【点睛】本题考查双曲

线的渐近线斜率，掌握双曲线的离心率，同时清晰,,abc之间的关系，属基础题.2.已知空间两条不同直线mn､，两个不同平面a､，下列命题正确的是（）①,mn⊥⊥，则//mn②//,//,//mn，

则//mn③,mm⊥⊥，则//④,//nn⊥，则⊥A①③B.②④C.①③④D.①④【答案】C【解析】【分析】根据线面和面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】若,mn⊥⊥，由线面垂直的性质，垂直同一个平

面的两条直线平行，则//mn，故①正确；若//,//,//mn，则//mn或m与n相交或异面，故②错误；若,mm⊥⊥，由垂直同一条直线的两个平面平行，则//，故③正确；若,//nn⊥，由线面垂直和线面平行性质可得⊥，故④正确.故选：C.3.已知直线:1

0lxaya+−−=，圆22:220Mxyx+−−=.则直线l与圆M的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.与a有关【答案】A【解析】【分析】利用圆心到直线的距离与半径的比较即可判断位置关系.【详解】因为圆22:220Mxyx+−−=的圆心为()1,0，

半径为3，则圆心()1,0到直线:10lxaya+−−=的距离为222211113111aaadraaa+−−====+++，所以直线l与圆M的位置关系是相交.故选：A4.东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老

”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳､刘西排一起，且要排她们中间，则全部排法有（）种.A.120B.240C.480D.720【答案】B.的在【解析】【分析】根据米一同学想与佳艳､刘

西排一起，且在他们中间，将米、佳艳、刘西捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列求解.【详解】解：因为米一同学想与佳艳､刘西排一起，所以捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列有55A种，又因为米一同学想与佳艳､刘西

排一起，且在他们中间，则佳艳､刘西全排列有22A种，所以全部排法有：5252AA240=种，故选：B5.已知等差数列na，前n项和为52020,nSaa､是方程2230xx−−=两根，则2024S=（）A.20

20B.2022C.2023D.2024【答案】D【解析】【分析】利用韦达定理求得520202aa+=，然后利用等差数列通项性质求得120242aa+=，从而利用求和公式求解即可.【详解】因为52020aa､是方程2230xx−−=两根，所以520202aa+=，所以120241

52020220232aaadaa+=+=+=，所以1202420242024()S20242aa+==.故选：D6.空间点()()()1,1,1,1,2,3,1,2,4ABC−−，则点A到直线BC的距离d=（）A.255B.5C.215D.1

055【答案】D【解析】【分析】求出,ABBC，利用空间向量夹角余弦公式求出cos,ABBC，进而求出sinABC，再利用距离公式即可求出结果.【详解】由题意得()()0,1,2,2,0,1ABBC==，所

以22cos,555ABBCABBCABBC===，所以2221sin155ABC=−=，所以点A到直线BC的距离21105sin555dABABC===.故选：D.7.已知椭圆22221xyab+=，P为椭圆上

一动点（不含左右端点），左右端点为2,3APBPABkk−､，则离心率e的范围为（）A.3,13B.30,3C.6,13D.36,33【答案】B【解析】【分析】将条

件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围.【详解】设()00,Pxy，0xa，(),0Aa−，(),0Ba，22000222000APBPyyybkkxaxaxaa

===−+−−，由题意可知，2223ba−−，即22223aca−，得2213ca，则30,3cea=.故选：B8.三棱锥−PABC中，3,1,120PAPBPCACABCAB======则三棱锥−PABC的外接球的表面积为（）A.9πB.9π2

C.18πD.36π【答案】B【解析】【分析】先根据条件求出底面ABC的半径r，进而利用直角1OBO求出外接球的半径为R，代入表面积公式即可求出结果.【详解】ABC中，1,120ACABCAB===，由余弦定理得222cos1203BCACABACAB=+−=；设底

面ABC的外心为1O，ABC外接圆的半径为r；由正弦定理2sin120BCr=，则1r=；连结1PO，此时−PABC的外接球的球心O在1PO上，利用直角1PAO△可得：2222112POPAAOPAr=−=−=，设−PABC的外接球的半径为R；此时，在直角1OBO中，22211OOOBO

B+=，即()22221RR−+=，解得324R=；所以，三棱锥−PABC的外接球的表面积22329π4π4π42SR===.故选：B.二､多选题（每小题6分，共18分，多选.错选0分少选则根据比例得分）9.已知直线

1111:0lAxByC++=和直线2222:0lAxByC++=，则下列说法正确的是（）A.若20A=，则2l表示与x轴平行或重合的直线B.直线1l可以表示任意一条直线C.若12210ABAB−=，则1l2lD.若12120AABB+=，则12ll⊥【答案】ABD【解析

】【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断.【详解】对于A，当20A=时，2l斜率为0，与x轴平行或重合，故A正确；对于B，当10B=时，1l斜率不存在，当10B时，1l斜率存在，能表示任意直线，故B正确；对于C，若12210ABAB−=，且12210AC

AC−或12210BCBC−，则1l2l，故C错误；对于D，若120BB，则由12120AABB+=可得斜率之积为-1，故12ll⊥，若()1200BB==，可得()2100AA==，此时满足12120AABB+=，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故12ll⊥，故D正确.故选

：ABD.10.已知正项等比数列na的公比为(0)qq，前n项积为nT，且满足7781,1aaa，则下列说法正确的是（）A.01qB.1qC.14131TTD.nT存在最大值【答案】ACD【解析】【分析】先通过条件确定8a和q的取值情况判断A

B，然后利用等比数列的性质计算1314,TT即可判断C，再根据数列的单调性判断D.【详解】由已知2787771aaaaqqa==，又71a，0q，所以801a，01q，A正确，B错误；()()()()()6213131132123116877771

Taaaaaaaaaaaa===，()()()()()()7141142133126978781Taaaaaaaaaaaa==，所以14131TT，C正确；因为01q且10a，所以等比数列na递减数列，于是127891aaaaa，则n

T的最大值为7T，D正确.故选：ACD11.已知定义域为R的函数()fx不恒为零，满足等式()()()2xfxxfx=+，则下列说法正确的是（）A.()00f=B.()fx在定义域上单调递增C.()fx是偶函数D.函数()fx有两个极值点【答案】AD【解析】【分析

】令0x=可判断A；令3x=−，结合()00f=和单调性可推出()30f−，得到矛盾，进而可判断B；假设()fx是偶函数，根据已知推导可得()20xfx=，可判断C；令()()()21gxfxfxx=+=，求导后消

去()fx，整理得()()()2242xxfxgxx++=，即可判断D.【详解】对于A，令0x=得()200f=，即()00f=，A正确；对于B，若()fx在定义域上单调递增，当0x时，()()00fxf=，令3x=−，

得()()3330ff−−=−−，即()30f−，与()fx在定义域上单调递增矛盾，故B错误；对于C，若()fx是偶函数，则()()fxfx−=，且()()fxfx−=−，因为()()()2xfxxfx=+，所以(

)()()2xfxxfx−−=−+−，所以()()()()22xfxxfx+=−+−，即()20xfx=，得0x=或()0fx=，又()00f=，所以()0fx=恒成立，矛盾，故C错误；对于D，当0x时，()()()()221xfxfxfxxx+=+

=，记()()()21gxfxfxx=+=，则()()()()()222222211gxfxfxfxfxxxxx=−++=−++所以()()()()22242241xxfxgxfxxxx++=++=，令2

420xx++=解得122x=−−或222x=−+，因为()fx不恒为零，所以在12,xx两边()gx异号，所以12,xx为()gx的极值点，所以函数()fx有两个极值点，D正确.故选：AD【点睛】关键点睛：本题难点在于D选项，关键在于求导后利用已知消

去()fx，然后可判断极值点.三､填空题（每小题5分共15分）12.抛物线212xy=的准线方程为_____.【答案】18y=−##0.125y=−【解析】【分析】根据抛物线的准线方程即得．【详解】由抛物线212xy=，抛物线212xy=

的准线方程为18y=−．故答案为：18y=−．13.61xx+展开式中常数项为__________.【答案】15【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数为0，求出r的值，即可求得常数项.【详解】

61xx+展开式中,通项公式为()63621661CCrrrrrrTxxx−−+==，令3602r−=，求得4r=，可得展开式中的常数项为46C15=.故答案为：15.14.已

知正方体1111ABCDABCD−是边长为1的正方体，点M为正方体棱上的一动点，则使得1125MBMD+=的点M有__________个.（用数字作答）【答案】18【解析】【分析】求出1||BD，利用椭圆的定义求出点M的轨迹，再求出棱111111,,,,,BABCBBDADCDD和正方体的另

外6条棱与该轨迹的公共点个数即可.【详解】正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，则1||3BD=，显然111235MBMDBD+==，因此，在过直线1BD的某一平面内，点M的轨迹是以1,BD为二焦点，长轴长1225a=的椭圆，半焦距32c=，短半轴长b

，2221.440.750.69bac=−=−=，在空间，点M的轨迹是上述椭圆绕直线1BD旋转半周形成的几何体，不妨称此几何体为椭球，显然点1,BD都在此椭球内，连接11BD，由1BB⊥平面1111DCBA，11BD平面1111DCB

A，得111BBBD⊥，点1B到直线1BD的距离1111||||2||3BDBBhBD==，令椭球被平面11BBD所截边界曲线方程为2211.440.69xy+=，令点1B的横坐标为t，而13||2OB=，则22211||12tOBh=−=，过点1B垂直于1BD的

直线与椭圆交点坐标为(,)ts，于是221407110.691.44121.44432st=−=−=，2936114400s=，2293612717014400343200sh−=−=−，即点1B在椭圆外，因

此正方体1111ABCDABCD−的顶点1,BD在椭球内，其余顶点都在椭球外，则棱111111,,,,,BABCBBDADCDD与椭球各有一个公共点，取棱11BC中点E，连接1,DEBE，则15||||2DEBE==，显然1EOBD⊥，2||2EO=，22

||EOb，则点E在椭球被平面1BED所截边界椭圆内，即点E在椭球内，棱11BC与椭球有2个公共点，同理棱1111,,,,AACCADCDAB与椭球都各有2个公共点，所以椭球与此正方体1111ABCDABCD−的所有棱的公共点个数为162618+=，即符合

条件的点M有18个.故答案为：18【点睛】关键点点睛：由题设条件，结合椭圆的定义探讨点M的轨迹为以1,BD为二焦点，长轴长1225a=的椭圆绕直线1BD旋转半周形成的椭球，再确定正方体的各顶点与椭球位置关系是解题的

关键.四､解答题（共77分）15.函数()212ln,1,32fxxxxx=−−，求()fx的最大值和最小值【答案】max1()2fx=−，min()2ln2fx=−【解析】【分析】利用导数求出函数的单调

区间，从而求最值即可.【详解】()()()221221xxxxfxxxxx−+−−=−−==，又0x1,2x时()()0,fxfx递减，2,3x时()()0,fxfx递增，且()()131,32ln322f

f=−=−，()()132ln320ff−=−，()()()max1()max1,312fxfff===−，()min()22ln2fxf==−16.如图多面体ABCDEF，底面ABCD为菱形，//EFAB，22ABAFEF===，120,60FABABC==，平面A

BEF⊥平面ABCD.（1）求证：BDCE⊥；（2）求平面BDE与平面ADF所成锐角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）255【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出AE，即可得到AEEF⊥，则AEAB⊥，由面面垂直的性质得到⊥AE平面

ABCD，即可得到BDAE⊥，再由BDAC⊥，证明BD⊥平面ACE，即可得证；（2）取BC中点G，连接AG，即可得到AGBC⊥，则AGAD⊥，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】在AFE△中，1,2EFAF==，由1

20FAB=，//EFAB，所以60AFE=，由余弦定理可得222cosAEAFEFAFEFAFE=+−2212122132=+−=，所以222AEEFAF+=，所以90AEF=，即AEEF⊥

，又//EFAB，AEAB⊥，又平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF平面ABCDAB=，AE平面ABEF，AE⊥平面ABCD，又BD平面ABCD，BDAE⊥，在菱形ABCD中BDAC⊥，又

AEACA=，,AEAC平面ACE，BD⊥平面ACE，CE平面ACE，BDCE⊥.【小问2详解】菱形ABCD中60ABC=，所以ABC为等边三角形，取BC中点G，连接AG，所以AGBC⊥，又//ADBC，所以AGAD⊥，又⊥AE平面ABCD，以,,AGADAE分别为,,x

yz轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()3,1,0B−，()0,2,0D，()0,0,3E，所以()3,3,0BD=−，()0,2,3DE=−，()0,2,0AD=，()3,1,0BA=−，设()111,,Fxyz，则()111,,3EFxyz=−，又2BAEF

=，所以()()1113,1,02,,3xyz−=−，所以11132123xyz=−==，即31,,322F−，所以31,,322AF=−，设平面BDE的一

个法向量为(),,nxyz=，则330230nBDxynDEyz=−+==−+=，取()3,3,2n=设平面ADF的一个法向量(),,mabc=，则20313022mADbmAFabc===−++=，取()2,0,1m=，设平面BDE与平面ADF的夹角为，则8

25cos554mnmn===，所以平面BDE与平面ADF所成锐角的余弦值为255.17.（1）求圆22:1Oxy+=和圆22:680Mxyy+−+=的公切线l（2）若l与抛物线24xy=相交，求弦长【答案】（1）5322yx=+或1x=

；（2）1或3112510+【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解；（2）将切线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求解.【详解】解：（1）当斜率存在时，设公切线为ykxn=+，因为与两圆相切，所以2231111nknk−=+=+，解得3252

nk==.切线5322yx=+当斜率不存在时，1x=也符合题意，综上：公切线为：5322yx=+或1x=；（2）当切线=1x−和5322yx=+时经检验无交点，当切线为1x=时

，求得弦长为1，当切线为5322yx=−+时，代入24xy=，得：()2565190xx−++=，由韦达定理得12126519,55xxxx++==，所以由弦长公式得：()22121214lkxxxx=++−

，225651361255+=+−−3112510+=，综上：弦长1或3112510+18.在高等数学中对于二阶线性递推式21nnnapaqa++=+求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推

数列21nnnapaqa++=+的特征方程写为2xpxq=+①，若①有两个不同实数根,，则可令1112nnnacc−−=+；若①有两个相同的实根，则可令()112nnacnc−=+，再根据12,aa求出12,cc，代入即可求出数列na的通项.（1）斐波那契数列（Fibonacci

sequence），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔为子繁殖问题而得名.斐波那契数列指的是形如1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144nF=的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前

两项之和，请求出斐波那契数列的通项公式；（2）已知数列na中12212,1,2nnnaaaaa++===+，数列nb满足()12log(1)nnnba−=−−，数列nc满足1sin1coscosnnncbb+=

，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）11515225nnna+−=−；（2）tannTn=【解析】【分析】（1）利用特征根法求解即可；（2）利用特征根法求解na的通项公式，然后利用裂项相消法求和即可.【小问

1详解】易知斐波那契数列对应的特征方程为21xx=+，解得两个实根分别为12152152xx+=−=，令111122nnnacxcx−−=+，代入121,1aa==可得12112211cccxcx

+=+=，解得1255105510cc+=−=，所以斐波那契数列的通项公式为115515551511515102102225nnnnna−−++−−+−=+=−

｡【小问2详解】易知数列na对应的特征方程为22xx=+，解得1212xx=−=，所以令111122nnnacxcx−−=+，代入122,1aa==，解得121cc==，所以112(1)nnna−−=+

−，所以12log21nnbn−==−，所以nb是公差为1的等差数列，10b=，所以()11111111sinsincossincossinsinsin1coscoscoscoscoscoscoscosnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbcbbbbbbb

b++++++++−−====−，所以1121111121sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscosnnnnnnnnnnnbbbbbbTcccbbbbbb+−−+−=+++=−+−++−1

111sinsinsintancoscoscosnnbbnnbbn++=−==【点睛】方法点睛：本题考查数列新定义，处理此类问题，注意根据题目的定义，结合已知内容进行求解即可.19.已知点()2,1P−为焦点在x轴上的等轴双曲线上的一点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线lPO⊥

且l交双曲线右支于,MN两点，直线,PMPN分别交该双曲线斜率为正渐近线于,EF两点，设四边形EFNM和三角形PEF的面积分别为1S和2S，求12SS的取值范围.【答案】（1）22133yx−=（2）127,9SS+【解析】【分析

】（1）设出等轴双曲线方程，将点()2,1P−代入即可得到双曲线的方程；（2）由直线lPO⊥可得l的斜率，设出l的方程2yxm=+，联立双曲线方程消元，又,MN是双曲线右支于两点，由根与系数关系解出m的范围，表示出,EF两点的坐标，由三角形的面积公式得到2129102SSSm=+−，再由m的范围

得到2121699SSS+，从而得到12SS的取值范围.【小问1详解】设等轴双曲线方程为22221xyaa−=，代入点()2,1P−可得231a=，所以23a=，所以双曲线方程为22133yx−=.【小问2详解】因为()2,1

P−，所以12OPk=−，又lPO⊥，所以2lk=，的设直线()()1122:2,,,,lyxmMxyNxy=+，联立221332xyyxm−==+，可得223430xmxm+++=，因为,MN是双曲线右支的两点，所以()2212212Δ161230403303mmmxxm

xx=−++=−+=，解得3m−.又因为双曲线斜率为正的渐近线为yx=，直线()111:122yPMyxx−−=++，可得111123Eyxxyx−−=−−，同理可得222223Fyxxyx−−=−−，而()()()()212121sin222122sin2EF

PFPEEPFxxPEPFSSSPMPNxxPMPNMPN++===+++()()()()121122121236363392233xxyxyxxxxmxm−−−−−−−−==+++−+−()()212129993(3)10

216xxmxxmm==+−++−−，所以2121699SSS+，即1279SS，所以127,9SS+.【点睛】关键点点睛：设出l的方程2yxm=+，由,MN是双曲线右支的两点，先得

到m的范围，要求12SS的取值范围，可以先求212SSS+的范围.